# SRBRD-03
## Center–Frontier Occupancy Closure
### Shared-Prime Decomposition、Bonferroni Exact Remainder、Center-Supported Error 與 Cap-Corrected Non-Cover Certificate

**母計畫：** RG-SCP / Reverse Goldbach Structural Closure Program  
**支線：** SRBRD — Symmetric Root-Bounded Relation Domain  
**輪次：** SRBRD-03  
**日期：** 2026-09-30  
**版本：** v0.1  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**性質：** Exact Center–Frontier Decomposition / Structural Closure Audit  
**前置：** SRBRD-00；SRBRD-01；SRBRD-02  
**狀態：** 建立新的 rigorous center-correction certificate；尚未得到 uniform Goldbach closure

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# 0. 本輪目標

SRBRD-02 已建立 occupancy moments：

$$
B_j(m)
=
\sum_{d\in\Omega_m}
\binom{\mu_m(d)}{j},
$$

以及 odd Bonferroni upper hierarchy：

$$
U_q(m)
=
\sum_{j=1}^{q}
(-1)^{j+1}B_j(m),
\qquad
q\text{ odd}.
$$

並有：

$$
|\mathcal O_m|
\le
U_q(m).
$$

本輪真正要回答：

> 為什麼低階 $U_q$ 會失敗？它的 overcount 到底發生在哪裡？

答案可以 exact 寫出：

$$
\boxed{
U_q(m)
-
|\mathcal O_m|
=
\sum_{d\in\Omega_m}
\binom{\mu_m(d)-1}{q},
}
$$

其中約定：

$$
\binom{a}{q}=0
\quad
\text{when }a<q.
$$

對 odd：

$$
q,
$$

這表示：

$$
\boxed{
\text{Bonferroni upper error只來自 }
\mu_m(d)\ge q+1
\text{ 的 offsets。}
}
$$

因此 SRBRD 可以 exact 分成：

- **frontier：** multiplicity $\le q$，第 $q$ 階 closure已完全 exact；
- **center：** multiplicity可能 $>q$，所有剩餘 error都集中在這裡。

這正是本輪的 Center–Frontier Occupancy Closure。

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# 1. Sidewise Root-Witness Sets

對：

$$
d\in\Omega_m,
$$

定義：

$$
\boxed{
\mathcal P_L(m,d)
=
\left\{
r\in\mathbb P:
r^2\le m-d,
\quad
r\mid(m-d)
\right\},
}
$$

$$
\boxed{
\mathcal P_R(m,d)
=
\left\{
r\in\mathbb P:
r^2\le m+d,
\quad
r\mid(m+d)
\right\}.
}
$$

因兩 endpoints皆 odd，

所有：

$$
r\in\mathcal P_L\cup\mathcal P_R
$$

都有：

$$
r\ge3.
$$

---

# 2. Prime-Group Occupancy

SRBRD-02 的 occupancy可以寫成：

$$
\boxed{
\mu_m(d)
=
\left|
\mathcal P_L(m,d)
\cup
\mathcal P_R(m,d)
\right|.
}
$$

這直接把 prime-group cell occupancy與 endpoint factor structure連接。

---

# 3. Shared Prime Witnesses

若：

$$
r\in
\mathcal P_L(m,d)
\cap
\mathcal P_R(m,d),
$$

則：

$$
r\mid(m-d)
$$

與：

$$
r\mid(m+d).
$$

所以：

$$
r\mid2m,
$$

以及：

$$
r\mid2d.
$$

因：

$$
r
$$

odd，

得到：

$$
r\mid m,
$$

$$
r\mid d.
$$

反之，若：

$$
r\mid m,
\quad
r\mid d,
$$

則：

$$
r\mid(m-d),
$$

$$
r\mid(m+d).
$$

只需再檢查較強的 left root bound：

$$
r^2\le m-d.
$$

right root bound便自動成立。

---

# 4. Exact Shared-Witness Theorem

## Theorem SRBRD-03-T01

$$
\boxed{
\mathcal P_L(m,d)
\cap
\mathcal P_R(m,d)
=
\left\{
r\in\mathbb P:
r\mid\gcd(m,d),
\quad
r^2\le m-d
\right\}.
}
$$

所以 shared-prime overlap完全由：

$$
\boxed{
\gcd(m,d)
}
$$

與 left root frontier控制。

---

# 5. Exact Occupancy Decomposition

定義：

$$
\nu_L(m,d)
=
|\mathcal P_L(m,d)|,
$$

$$
\nu_R(m,d)
=
|\mathcal P_R(m,d)|,
$$

以及：

$$
\gamma_m(d)
=
\left|
\mathcal P_L(m,d)
\cap
\mathcal P_R(m,d)
\right|.
$$

則：

## Theorem SRBRD-03-T02

$$
\boxed{
\mu_m(d)
=
\nu_L(m,d)
+
\nu_R(m,d)
-
\gamma_m(d).
}
$$

這是 same-prime center collapse的 pointwise exact form。

---

# 6. Center-Divisor Interpretation

由 T01：

$$
\gamma_m(d)>0
$$

只可能在：

$$
\gcd(m,d)>1.
$$

所以：

> center $m$ 的 odd prime divisors只有在 offset $d$ 同時落在對應 divisor lattice時，才會產生左右 shared occupancy。

這將 SRBRD-01 的：

$$
r\mid m
\Longrightarrow
O_{L,r}\subseteq O_{R,r}
$$

提升成 pointwise occupancy decomposition。

---

# 7. Odd Primorial Sequence

令：

$$
q_1=3,
\quad
q_2=5,
\quad
q_3=7,
\ldots
$$

為 odd primes。

定義：

$$
\boxed{
Q_t
=
\prod_{i=1}^{t}q_i,
}
$$

且：

$$
Q_0=1.
$$

---

# 8. Local Product Budget

對：

$$
d\in\Omega_m,
$$

有：

$$
\boxed{
(m-d)(m+d)
=
m^2-d^2.
}
$$

如果：

$$
\mu_m(d)\ge t,
$$

就存在至少：

$$
t
$$

個 distinct odd obstruction primes，

其乘積整除：

$$
(m-d)(m+d).
$$

因此：

## Theorem SRBRD-03-T03

$$
\boxed{
\mu_m(d)\ge t
\Longrightarrow
Q_t
\le
m^2-d^2.
}
$$

這是 SRBRD-02 global occupancy bound的 local form。

---

# 9. Local Occupancy Cap

定義：

$$
\boxed{
\kappa_m(d)
=
\max
\left\{
t:
Q_t\le m^2-d^2
\right\}.
}
$$

則：

$$
\boxed{
\mu_m(d)\le\kappa_m(d).
}
$$

---

# 10. Frontier Monotonicity

若：

$$
0\le d_1\le d_2,
$$

則：

$$
m^2-d_2^2
\le
m^2-d_1^2.
$$

所以：

## Theorem SRBRD-03-T04

$$
\boxed{
\kappa_m(d_2)
\le
\kappa_m(d_1).
}
$$

也就是：

> 越靠近 frontier，最大可能 obstruction multiplicity 單調下降。

---

# 11. Center Support Zones

對：

$$
t\ge1,
$$

定義：

$$
\boxed{
\mathcal C_t(m)
=
\left\{
d\in\Omega_m:
d^2+Q_t\le m^2
\right\}.
}
$$

稱：

# $t$-Occupancy Center Zone

由 T03：

## Theorem SRBRD-03-T05

若：

$$
\mu_m(d)\ge t,
$$

則：

$$
\boxed{
d\in\mathcal C_t(m).
}
$$

---

# 12. Nested Center Zones

因：

$$
Q_{t+1}>Q_t,
$$

有：

$$
\boxed{
\mathcal C_{t+1}(m)
\subseteq
\mathcal C_t(m).
}
$$

所以 higher-order overlap被限制在愈來愈小的 nested center regions。

---

# 13. Frontier Zones

定義：

$$
\boxed{
\mathcal F_t(m)
=
\Omega_m
\setminus
\mathcal C_t(m).
}
$$

若：

$$
d\in\mathcal F_t(m),
$$

則：

$$
Q_t>m^2-d^2.
$$

由 T03 contrapositive：

$$
\boxed{
\mu_m(d)\le t-1.
}
$$

---

# 14. Bonferroni Point Polynomial

對：

$$
q\ge1,
$$

定義：

$$
\boxed{
P_q(k)
=
\sum_{j=1}^{q}
(-1)^{j+1}
\binom{k}{j}.
}
$$

對 covered offset：

$$
k\ge1.
$$

使用標準 binomial identity：

$$
\sum_{j=0}^{q}
(-1)^j
\binom{k}{j}
=
(-1)^q
\binom{k-1}{q}.
$$

---

# 15. Odd-Order Pointwise Exact Remainder

若：

$$
q
$$

odd，

則：

## Theorem SRBRD-03-T06

對：

$$
k\ge1,
$$

$$
\boxed{
P_q(k)
=
1+
\binom{k-1}{q}.
}
$$

若：

$$
k=0,
$$

則：

$$
P_q(0)=0.
$$

所以：

$$
\boxed{
P_q(k)
=
\mathbf1_{\{k\ge1\}}
+
\binom{k-1}{q}.
}
$$

採 convention：

$$
\binom{k-1}{q}=0
$$

when：

$$
k\le q.
$$

---

# 16. Global Exact Bonferroni Remainder

對 odd：

$$
q,
$$

SRBRD-02：

$$
U_q(m)
=
\sum_{d\in\Omega_m}
P_q(\mu_m(d)).
$$

由 T06：

## Theorem SRBRD-03-T07

$$
\boxed{
U_q(m)
=
|\mathcal O_m|
+
E_q(m),
}
$$

其中：

$$
\boxed{
E_q(m)
=
\sum_{d\in\Omega_m}
\binom{\mu_m(d)-1}{q}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
|\mathcal O_m|
=
U_q(m)-E_q(m).
}
$$

---

# 17. Exact Residual Formula with Center Correction

因：

$$
|\operatorname{Res}(m)|
=
|\Omega_m|-|\mathcal O_m|,
$$

所以：

## Corollary SRBRD-03-C01

$$
\boxed{
|\operatorname{Res}(m)|
=
|\Omega_m|
-
U_q(m)
+
E_q(m).
}
$$

這是一個比單純 Bonferroni upper更精確的 closure identity。

---

# 18. Error Support Is Center-Only

若：

$$
\binom{\mu_m(d)-1}{q}>0,
$$

則：

$$
\mu_m(d)\ge q+1.
$$

由 T05：

$$
d\in\mathcal C_{q+1}(m).
$$

所以：

## Theorem SRBRD-03-T08

$$
\boxed{
E_q(m)
=
\sum_{d\in\mathcal C_{q+1}(m)}
\binom{\mu_m(d)-1}{q}.
}
$$

所有 Bonferroni overcount完全不存在於：

$$
\boxed{
\mathcal F_{q+1}(m).
}
$$

---

# 19. Frontier Exactness Theorem

若：

$$
d\in\mathcal F_{q+1}(m),
$$

則：

$$
\mu_m(d)\le q.
$$

所以：

$$
\binom{\mu_m(d)-1}{q}=0.
$$

因此：

## Theorem SRBRD-03-T09

對 odd：

$$
q,
$$

在 frontier：

$$
\boxed{
P_q(\mu_m(d))
=
\mathbf1_{\{\mu_m(d)\ge1\}}.
}
$$

也就是：

> 第 $q$ 階 Bonferroni 在 frontier 上不是 approximation，而是 pointwise exact。

這是本輪最重要的 center–frontier theorem。

---

# 20. Interpretation

低階 closure失敗並不是因為整個 offset domain都需要高階 correction。

真正原因只可能是：

$$
\boxed{
\mathcal C_{q+1}(m)
}
$$

內存在：

$$
\mu\ge q+1
$$

的 high-occupancy states。

所以 higher-order研究可以完全聚焦中心 zone。

---

# 21. Global Occupancy Cap

定義：

$$
\boxed{
\kappa(m)
=
\max
\left\{
t:
Q_t\le m^2
\right\}.
}
$$

由：

$$
m^2-d^2\le m^2,
$$

有：

$$
\boxed{
\mu_m(d)\le\kappa(m)
}
$$

對所有：

$$
d.
$$

---

# 22. Error to Next Even Moment

對：

$$
\mu\ge q+1,
$$

有：

$$
\binom{\mu}{q+1}
=
\frac{\mu}{q+1}
\binom{\mu-1}{q}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\binom{\mu-1}{q}
=
\frac{q+1}{\mu}
\binom{\mu}{q+1}.
}
$$

又：

$$
\mu\le\kappa(m).
$$

因此：

$$
\boxed{
\binom{\mu-1}{q}
\ge
\frac{q+1}{\kappa(m)}
\binom{\mu}{q+1}.
}
$$

---

# 23. Cap-Corrected Error Lower Bound

summation後：

## Theorem SRBRD-03-T10

$$
\boxed{
E_q(m)
\ge
\frac{q+1}{\kappa(m)}
B_{q+1}(m).
}
$$

因左側是整數，可強化：

$$
\boxed{
E_q(m)
\ge
\left\lceil
\frac{(q+1)B_{q+1}(m)}
{\kappa(m)}
\right\rceil.
}
$$

---

# 24. Cap-Corrected Union Upper Bound

由：

$$
|\mathcal O_m|
=
U_q-E_q,
$$

得到：

## Theorem SRBRD-03-T11

$$
\boxed{
|\mathcal O_m|
\le
U_q(m)
-
\left\lceil
\frac{(q+1)B_{q+1}(m)}
{\kappa(m)}
\right\rceil.
}
$$

這使用：

- odd moments到 $q$；
- 下一個 even moment $B_{q+1}$；
- global structural occupancy cap。

不需要下一個 positive odd moment：

$$
B_{q+2}.
$$

---

# 25. Cap-Corrected Non-Cover Criterion

## Theorem SRBRD-03-T12

若：

$$
\boxed{
U_q(m)
-
\left\lceil
\frac{(q+1)B_{q+1}(m)}
{\kappa(m)}
\right\rceil
<
|\Omega_m|,
}
$$

則：

$$
\boxed{
\operatorname{Res}(m)\neq\varnothing.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
R_G^{-}(2m)>0.
}
$$

這是本輪第一個新的 rigorous structural certificate。

---

# 26. Layered Local-Cap Correction

global：

$$
\kappa(m)
$$

可能太鬆。

因此按 local cap分層。

定義：

$$
\boxed{
Z_t(m)
=
\left\{
d\in\Omega_m:
\kappa_m(d)=t
\right\}.
}
$$

以及 restricted even moment：

$$
\boxed{
B_{q+1}^{[t]}(m)
=
\sum_{d\in Z_t(m)}
\binom{\mu_m(d)}{q+1}.
}
$$

---

# 27. Layerwise Error Lower Bound

在：

$$
Z_t,
$$

有：

$$
\mu\le t.
$$

所以：

$$
\binom{\mu-1}{q}
\ge
\frac{q+1}{t}
\binom{\mu}{q+1}.
$$

因此：

## Theorem SRBRD-03-T13

$$
\boxed{
E_q(m)
\ge
\sum_{t\ge q+1}
\left\lceil
\frac{(q+1)B_{q+1}^{[t]}(m)}
{t}
\right\rceil.
}
$$

這比 global cap correction不弱。

---

# 28. Layered Center–Frontier Closure

定義：

$$
\boxed{
C_q^{\mathrm{layer}}(m)
=
\sum_{t\ge q+1}
\left\lceil
\frac{(q+1)B_{q+1}^{[t]}(m)}
{t}
\right\rceil.
}
$$

則：

$$
\boxed{
|\mathcal O_m|
\le
U_q(m)-C_q^{\mathrm{layer}}(m).
}
$$

如果：

$$
\boxed{
U_q(m)-C_q^{\mathrm{layer}}(m)
<
|\Omega_m|,
}
$$

則 Goldbach success。

---

# 29. 為什麼這是真正的 Center–Frontier Architecture

frontier：

$$
\kappa_m(d)\le q
$$

時：

$$
B_{q+1}
$$

contribution自動為零，

而第 $q$ 階已 exact。

所以：

$$
C_q^{\mathrm{layer}}
$$

只需要處理 center layers：

$$
t\ge q+1.
$$

這不是 heuristic domain split，而是由 exact error identity強迫出來。

---

# 30. Center Correction Criterion

由 C01：

$$
|\operatorname{Res}|
=
|\Omega|-U_q+E_q.
$$

若：

$$
U_q\ge|\Omega|,
$$

仍不代表 low-order route失敗。

真正只需要：

$$
\boxed{
E_q
>
U_q-|\Omega|.
}
$$

因此：

> low-order Bonferroni超過 domain多少，就只需要從 center證回多少 forced redundancy。

這將 proof burden從全域 union轉成：

$$
\boxed{
\text{central high-multiplicity correction}.
}
$$

---

# 31. Computational Control：$m=100$

SRBRD-02：

$$
|\Omega|=49,
$$

$$
U_1=B_1=59,
$$

$$
B_2=21.
$$

global：

$$
\kappa(100)=4
$$

因：

$$
Q_4=1155\le10000,
$$

$$
Q_5=15015>10000.
$$

cap correction：

$$
\left\lceil
\frac{2\cdot21}{4}
\right\rceil
=
11.
$$

所以：

$$
|\mathcal O|
\le
59-11
=
48
<
49.
$$

因此只使用：

$$
\boxed{
B_1+B_2+\kappa
}
$$

已能證 fixed target：

$$
2m=200
$$

有 Goldbach representation。

actual union：

$$
41.
$$

此 bound不是 exact，但已足夠 non-cover。

---

# 32. Computational Control：$m=199$

已有：

$$
|\Omega|=99,
$$

$$
U_3=94,
$$

所以原本已直接：

$$
94<99.
$$

另外：

$$
B_4=2,
$$

$$
\kappa(199)=5.
$$

cap correction再給：

$$
\left\lceil
\frac{4\cdot2}{5}
\right\rceil
=
2.
$$

所以：

$$
|\mathcal O|
\le92.
$$

這剛好等於 exact union。

---

# 33. Computational Control：$m=1000$

SRBRD-02：

$$
|\Omega|=499,
$$

$$
U_3=511,
$$

所以第三階 Bonferroni本身失敗：

$$
511>499.
$$

但：

$$
B_4=53,
$$

以及：

$$
\kappa(1000)=6,
$$

因：

$$
Q_6=255255\le10^6,
$$

$$
Q_7=4849845>10^6.
$$

所以 cap correction：

$$
\left\lceil
\frac{4\cdot53}{6}
\right\rceil
=
36.
$$

得到：

$$
\boxed{
|\mathcal O|
\le
511-36
=
475
<
499.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
q=3
+
\text{one even moment }B_4
}
$$

已足夠 structural-certify $N=2000$。

而不需要完整走到：

$$
U_5.
$$

---

# 34. Computational Control：$m=5000$

$$
|\Omega|=2499,
$$

$$
U_5=2390<2499.
$$

原 fifth-order已成功。

另外：

$$
B_6=18,
$$

$$
\kappa(5000)=7.
$$

cap correction：

$$
\left\lceil
\frac{6\cdot18}{7}
\right\rceil
=
16.
$$

給：

$$
|\mathcal O|
\le2374.
$$

exact union：

$$
2372.
$$

---

# 35. Computational Control：$m=100000$

SRBRD-02：

$$
|\Omega|=49999,
$$

$$
U_5=53157,
$$

所以 fifth-order本身失敗。

但 finite audit：

$$
B_6=5170.
$$

且：

$$
\kappa(100000)=9.
$$

所以：

$$
\left\lceil
\frac{6\cdot5170}{9}
\right\rceil
=
3447.
$$

得到：

$$
\boxed{
|\mathcal O|
\le
53157-3447
=
49710
<
49999.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
q=5+B_6+\kappa
}
$$

已經足夠，

不必使用完整 seventh-order positive term。

這是本輪 certificate確實增加 proof compression 的重要 finite control。

---

# 36. Structural Meaning of $B_{q+1}$

當：

$$
q
$$

odd，

下一個：

$$
B_{q+1}
$$

是 even-order hyperintersection mass。

它不是「補更多正項」。

它提供的是：

$$
\boxed{
\text{low-order Bonferroni overcount必須存在多少 central redundancy}
}
$$

的直接證據。

這是和單純提高 odd order不同的理解。

---

# 37. Exact Remainder as Occupancy Excess

T07可以讀成：

$$
\boxed{
E_q
=
\sum_{\text{covered }d}
\binom{\mu(d)-1}{q}.
}
$$

所以：

- $\mu\le q$：
  沒有 error；
- $\mu=q+1$：
  每點 error：
  $$
  1;
  $$
- $\mu=q+2$：
  每點 error：
  $$
  q+1;
  $$
- occupancy越高，error快速增長。

因此 high-overlap center不是 nuisance，而是：

$$
\boxed{
\text{可用來扣掉 Bonferroni overestimate 的資產}.
}
$$

---

# 38. Improved Research Target

SRBRD-02 的問題是：

> 要計多少階 moments？

SRBRD-03 後問題可改成：

> 能不能只取得一個較低 odd order $U_q$，再證 central even moment $B_{q+1}$ 足夠大？

也就是：

$$
\boxed{
B_{q+1}
>
\frac{\kappa(m)}
{q+1}
\left(
U_q-|\Omega|
\right)
}
$$

即可 closure，忽略 ceiling時。

---

# 39. Layered Version Is Better

更精確地，不應只用：

$$
\kappa(m).
$$

center不同半徑具有不同：

$$
\kappa_m(d).
$$

所以真正 target是：

$$
\boxed{
\sum_t
\frac{q+1}{t}
B_{q+1}^{[t]}
>
U_q-|\Omega|.
}
$$

這就是 Center–Frontier Occupancy Closure 的最自然 inequality。

---

# 40. Moment Support Radius

由：

$$
\mu(d)\ge q+1
$$

必有：

$$
Q_{q+1}\le m^2-d^2.
$$

所以：

$$
\boxed{
d^2+Q_{q+1}\le m^2.
}
$$

也就是 higher-order correction只在 centered radius內。

formalization中應保留 squared form，

不使用：

$$
\sqrt{m^2-Q_{q+1}}.
$$

---

# 41. Center Size Interface

定義：

$$
\boxed{
C_t^{\#}(m)
=
|\mathcal C_t(m)|.
}
$$

這個量完全由：

- $m$；
- odd primorial；
- parity；

決定。

不讀任何 endpoint primality / factorization truth。

所以可以作：

$$
\boxed{
\text{proof-admissible geometry input}.
}
$$

---

# 42. Center Size Alone Still Insufficient

只知道：

$$
|\mathcal C_{q+1}|
$$

不能 lower-bound：

$$
E_q.
$$

因為 center zone只是：

> 高 occupancy 可以出現。

並不表示：

> 高 occupancy 必然出現。

因此：

$$
\boxed{
\text{support localization}
\neq
\text{forced overlap}.
}
$$

真正 closure還需要 lower-bound：

$$
B_{q+1}
$$

或等價 central multiplicity。

---

# 43. Shared-Prime Term May Help Lower-Bound Even Moments

T02：

$$
\mu
=
\nu_L+\nu_R-\gamma.
$$

其中：

$$
\gamma
$$

由：

$$
\gcd(m,d)
$$

控制。

未來可利用：

- center divisors；
- offset divisor lattice；
- left/right factor counts；

研究：

$$
B_{q+1}
$$

的 forced lower bound。

這可能比直接 enumerate CRT hypercells更好。

---

# 44. Center–Frontier Two-Zone Proof Pattern

一個未來 proof可以長成：

### Frontier

證：

$$
\mu\le q.
$$

所以第 $q$ 階 closure exact。

### Center

不需要完全解 union。

只需證：

$$
E_q
>
U_q-|\Omega|.
$$

或由：

$$
B_{q+1}
$$

與 occupancy cap推出足夠 correction。

這是非常乾淨的二區 proof architecture。

---

# 45. New Canonical Closure Form

本輪建議將 SRBRD closure target升級為：

$$
\boxed{
\mathcal C_{\mathrm{SRBRD}}(m,q)
:
\Longleftrightarrow
U_q(m)
-
L_{E,q}(m)
<
|\Omega_m|,
}
$$

其中：

$$
L_{E,q}(m)
\le E_q(m)
$$

是任何 proof-admissible error lower bound。

只要：

$$
\mathcal C_{\mathrm{SRBRD}}(m,q)
$$

成立，

即：

$$
R_G^{-}(2m)>0.
$$

---

# 46. Cap Provider

最基本：

$$
\boxed{
L_{E,q}^{\mathrm{cap}}(m)
=
\left\lceil
\frac{(q+1)B_{q+1}(m)}
{\kappa(m)}
\right\rceil.
}
$$

更強：

$$
\boxed{
L_{E,q}^{\mathrm{layer}}(m)
=
\sum_t
\left\lceil
\frac{(q+1)B_{q+1}^{[t]}(m)}
{t}
\right\rceil.
}
$$

這建立可插拔 center-correction provider。

---

# 47. Data-Role Audit

### $\Omega_m$

ProofInput。

### $U_q$

由 root obstruction cells / hyperintersections構成。

Proof-admissible structural quantity。

### $B_{q+1}$

同樣是 structural hyperintersection mass。

不是 prime-pair truth label。

### Exact $E_q$

和 exact union互相可轉換，

屬 truth-adjacent diagnostic。

### Lower bound $L_{E,q}$

若由：

- occupancy cap；
- CRT；
- gcd；
- cofactor constraints；

推出，則為合法 ProofInput。

---

# 48. Important Distinction

雖然完整 moment hierarchy可以重建 exact residual，

單個：

$$
B_j
$$

本身不是 Goldbach label。

形式研究可以使用：

$$
B_j
$$

作 proof quantity，

只要其取得方式不是：

> 先標出 prime pair / residual，再反推 moment。

canonical implementation應直接從 relation edges / CRT hypercells計。

---

# 49. Formal Theorem Queue

```yaml
SRBRD_03:
  T01: shared_root_primes_eq_center_offset_divisors
  T02: occupancy_left_plus_right_minus_shared
  T03: local_odd_primorial_product_bound
  T04: local_occupancy_cap_monotone_in_offset
  T05: high_occupancy_implies_center_zone
  T06: odd_bonferroni_pointwise_remainder_identity
  T07: global_exact_bonferroni_remainder
  T08: error_supported_only_in_center
  T09: frontier_pointwise_exactness
  T10: cap_corrected_error_lower_bound
  T11: cap_corrected_union_upper_bound
  T12: cap_corrected_noncover
  T13: layered_local_cap_error_lower_bound
```

---

# 50. Acceptance Gate

SRBRD-03 要升格 formal core前需要：

1. shared-witness set equality；
2. occupancy decomposition；
3. local product bound；
4. local cap monotonicity；
5. nested center support；
6. pointwise binomial remainder identity；
7. global exact remainder；
8. frontier exactness；
9. $E_q$ / $B_{q+1}$ ratio theorem；
10. integer ceiling correction；
11. layered cap theorem；
12. finite controls獨立於 theorem proof；
13. 不把 exact $E_q$ 當 leakage-free provider；
14. 不宣稱 uniform closure。

---

# 51. Verdict

本輪可以正式給：

$$
\boxed{
\mathrm{SRBRD\mbox{-}03\ CENTER\mbox{-}FRONTIER\ CLOSURE\ PASS}
}
$$

理由不是 Goldbach被證明，

而是我們得到新的 exact statement：

$$
\boxed{
\text{低階 Bonferroni 的全部誤差只存在 central high-occupancy zone。}
}
$$

並得到新的 rigorous certificate：

$$
\boxed{
U_q
-
\left\lceil
\frac{(q+1)B_{q+1}}
{\kappa(m)}
\right\rceil
<
|\Omega|
\Longrightarrow
R_G^{-}(2m)>0.
}
$$

這比單純提高到：

$$
U_{q+2}
$$

提供了不同的 proof-compression路徑。

但：

$$
\boxed{
\mathrm{UNIFORM\ GOLDBACH\ CLOSURE\ STILL\ OPEN}.
}
$$

---

# 52. 下一輪建議

# SRBRD-04
## Forced Central Redundancy / Even-Moment Lower Bound

現在最值得攻擊的已經非常明確：

> 不再計 exact $B_{q+1}$，而是從 center geometry本身 lower-bound它。

優先來源：

1. $\gcd(m,d)$ shared-prime term；
2. center divisor lattice；
3. cofactor hyperclosure；
4. cell mass pigeonhole；
5. CRT forced intersections；
6. center-zone incidence density；
7. even moment convexity；
8. partition-by-$\kappa_m(d)$。

真正目標：

$$
\boxed{
B_{q+1}(m)
\ge
L_{q+1}^{\mathrm{struct}}(m)
}
$$

且：

$$
\boxed{
U_q
-
\frac{q+1}{\kappa}
L_{q+1}^{\mathrm{struct}}
<
|\Omega|.
}
$$

如果能對一個 uniform $q$ 或緩慢成長的 $q(m)$ 成立，

這條線才真正開始接近全域 non-cover theorem。

---

# 附錄 A：Canonical Center–Frontier Contract

```yaml
occupancy:
  mu_m_d:
    distinct_prime_group_count: true

local_cap:
  kappa_m_d:
    defined_by:
      odd_primorial <= m^2-d^2
    monotone:
      decreases_with_d: true

center:
  C_t:
    condition:
      d*d + Q_t <= m*m

frontier:
  F_t:
    complement_of: C_t

odd_bonferroni:
  U_q:
    q: odd

error:
  E_q:
    exact:
      sum_choose_mu_minus_1_q: true
    support:
      C_q_plus_1: true
```

---

# 附錄 B：Cap-Corrected Certificate

```yaml
global_cap_provider:
  L_E:
    ceil((q+1)*B_(q+1)/kappa(m))

closure:
  if:
    U_q - L_E < card(Omega_m)
  then:
    residual_nonempty: true
    RGminus_positive: true
```

---

# 附錄 C：Selected Numerical Audit

| $m$ | $|\Omega|$ | $q$ | $U_q$ | $B_{q+1}$ | $\kappa(m)$ | Cap correction | Corrected upper | Exact union |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| 100 | 49 | 1 | 59 | 21 | 4 | 11 | 48 | 41 |
| 199 | 99 | 3 | 94 | 2 | 5 | 2 | 92 | 92 |
| 1000 | 499 | 3 | 511 | 53 | 6 | 36 | 475 | 462 |
| 5000 | 2499 | 5 | 2390 | 18 | 7 | 16 | 2374 | 2372 |
| 100000 | 49999 | 5 | 53157 | 5170 | 9 | 3447 | 49710 | 48582 |

**注意：** Exact union僅作 audit truth channel。

---

# 附錄 D：Commit Decision

```yaml
research_round: SRBRD-03

decision:
  center_frontier_exact_decomposition: true
  bonferroni_error_localized: true
  cap_corrected_certificate: true
  uniform_goldbach_closure: false

new_exact_structures:
  - shared_prime_gcd_decomposition
  - nested_center_support
  - pointwise_bonferroni_remainder
  - global_error_identity
  - frontier_exactness
  - cap_corrected_union_bound
  - layered_local_cap_correction

next:
  SRBRD-04_Forced_Central_Redundancy_EvenMoment_LowerBound
```