# SRBRD-00
## Exact Representation Kernel
### Symmetric Root-Bounded Relation Domain 的有限性、雙向等價、Count-Level Bijection 與 Root-Truncated Residue Cells

**母計畫：** RG-SCP / Reverse Goldbach Structural Closure Program  
**支線：** SRBRD — Symmetric Root-Bounded Relation Domain  
**輪次：** SRBRD-00  
**日期：** 2026-09-30  
**版本：** v0.1  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**性質：** Exact Representation Audit / Formalization Specification  
**狀態：** 非 Goldbach 證明；目標是證明新表示與原 Goldbach reduced target 雙向 exact

---

# 0. 本輪唯一任務

本輪不試圖證：

$$
\forall m,\quad
\operatorname{Res}(\mathfrak R_m)\neq\varnothing.
$$

本輪只證：

$$
\boxed{
\operatorname{Res}(\mathfrak R_m)\neq\varnothing
\Longleftrightarrow
R_G^{-}(2m)>0
}
$$

以及更強的 count-level statement：

$$
\boxed{
|\operatorname{Res}(\mathfrak R_m)|
=
R_G^{-}(2m)
}
$$

對：

$$
m\ge3
$$

成立。

也就是：

> SRBRD-00 必須先證明自己只是無漏洞的 exact representation。

如果 count equality 都不能成立，後續所有 finite-cover / closure 研究都必須停止。

---

# 1. Boundary

強 Goldbach 的最小 target：

$$
4=2+2.
$$

這一 pair 不是 odd-prime symmetric pair。

所以 SRBRD 主 kernel 將：

$$
N=4
$$

獨立處理。

主 domain：

$$
\boxed{
N=2m,
\qquad
m\ge3.
}
$$

也就是：

$$
N\ge6.
$$

此時任何 Goldbach representation都不能含 prime $2$。

因若：

$$
2+(N-2)=N,
$$

則：

$$
N-2
$$

為大於 $2$ 的偶數，所以 composite。

因此：

$$
\boxed{
N\ge6,\ N\text{ even}
\Longrightarrow
\text{所有 Goldbach pairs皆為 odd prime + odd prime}.
}
$$

---

# 2. Center

令：

$$
\boxed{
N=2m.
}
$$

任何 unordered decomposition：

$$
a+b=2m,
\qquad
a\le b
$$

都可寫成：

$$
\boxed{
a=m-d,
\qquad
b=m+d,
}
$$

其中：

$$
d=m-a\ge0.
$$

所以：

$$
m
$$

同時是：

1. 偶數的 compulsory division result：
   $$
   2m\xrightarrow{/2}m;
   $$
2. additive symmetric midpoint。

這是 SRBRD 的 Level-0 origin。

---

# 3. Legal Offset Domain

對：

$$
m\ge3,
$$

定義：

$$
\boxed{
\Omega_m
=
\left\{
d\in\mathbb N:
d\le m-3,
\quad
m-d\text{ odd}
\right\}.
}
$$

這裡必須允許：

$$
d=0.
$$

否則會漏掉：

$$
p+p=2p
$$

型 Goldbach representation。

例如：

$$
10=5+5
$$

對應：

$$
m=5,
\quad
d=0.
$$

---

# 4. Endpoint Functions

定義：

$$
\boxed{
L_m(d)=m-d,
}
$$

$$
\boxed{
R_m(d)=m+d.
}
$$

為避免 relation $R$ 與 right endpoint混名，formal code建議：

```text
LeftEndpoint
RightEndpoint
RootObstruction
```

不要讓 `R_m` 同時代表兩種 object。

---

# 5. Endpoint Bounds

## Theorem SRBRD-00-T01

若：

$$
d\in\Omega_m,
$$

則：

$$
\boxed{
3\le L_m(d)\le m\le R_m(d)\le2m-3.
}
$$

proof：

由：

$$
d\le m-3,
$$

得：

$$
m-d\ge3.
$$

且：

$$
d\ge0.
$$

所以：

$$
m-d\le m\le m+d.
$$

再由：

$$
d\le m-3
$$

得：

$$
m+d\le2m-3.
$$

---

# 6. Endpoint Parity

## Theorem SRBRD-00-T02

若：

$$
d\in\Omega_m,
$$

則：

$$
\boxed{
L_m(d)\text{ odd}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
R_m(d)\text{ odd}.
}
$$

因：

$$
R_m(d)-L_m(d)=2d
$$

為偶數。

所以兩 endpoint parity相同。

---

# 7. Offset-to-Decomposition Map

定義：

$$
\boxed{
\Phi_m(d)
=
\left(
m-d,
m+d
\right).
}
$$

對：

$$
d\in\Omega_m,
$$

有：

$$
\boxed{
(m-d)+(m+d)=2m.
}
$$

且：

$$
m-d\le m+d.
$$

因此每個 offset產生唯一 unordered odd decomposition。

---

# 8. Decomposition-to-Offset Map

若：

$$
a+b=2m,
$$

$$
3\le a\le b,
$$

且：

$$
a,b
$$

odd，

定義：

$$
\boxed{
d=m-a.
}
$$

因：

$$
a\le b
$$

與：

$$
a+b=2m,
$$

有：

$$
a\le m.
$$

所以：

$$
d\ge0.
$$

又：

$$
a\ge3
$$

給：

$$
d=m-a\le m-3.
$$

且：

$$
m-d=a
$$

odd。

所以：

$$
d\in\Omega_m.
$$

---

# 9. Odd Decomposition Bijection

## Theorem SRBRD-00-T03

對：

$$
m\ge3,
$$

$\Omega_m$ 與 unordered odd decompositions：

$$
(a,b)
$$

滿足：

$$
a+b=2m,
$$

$$
3\le a\le b,
$$

$$
a,b\text{ odd}
$$

之間存在 bijection：

$$
\boxed{
d
\longleftrightarrow
(m-d,m+d).
}
$$

這一 theorem 是 SRBRD 的 additive domain completeness。

---

# 10. Reduced Goldbach Pair Bijection

對：

$$
N=2m\ge6,
$$

V1-01 的 reduced Goldbach witness滿足：

$$
p\in\mathbb P,
$$

$$
2p\le2m,
$$

$$
2m-p\in\mathbb P.
$$

由 $N\ge6$：

$$
p\neq2.
$$

所以：

$$
p\ge3
$$

且 odd。

令：

$$
\boxed{
d=m-p.
}
$$

則：

$$
d\in\Omega_m.
$$

反之，若：

$$
d\in\Omega_m
$$

且兩 endpoint都是 prime，

令：

$$
p=m-d.
$$

則：

$$
2p\le2m
$$

且：

$$
2m-p=m+d
$$

prime。

所以 $p$ 是 reduced Goldbach witness。

---

# 11. Count-Level Candidate Bijection

## Theorem SRBRD-00-T04

對：

$$
m\ge3,
$$

map：

$$
\boxed{
p
\mapsto
m-p
}
$$

在：

$$
\operatorname{GoldbachReducedPair}(2m,p)
$$

與：

$$
\left\{
d\in\Omega_m:
m-d,m+d\in\mathbb P
\right\}
$$

之間為 bijection。

反函數：

$$
\boxed{
d
\mapsto
m-d.
}
$$

---

# 12. Root-Bounded Division Domain

對：

$$
x>1,
$$

定義：

$$
\boxed{
\mathcal D(x)
=
\left\{
r\in\mathbb P:
r^2\le x,
\quad
r\mid x
\right\}.
}
$$

注意：

這裡直接只保留 prime divisor witnesses。

不需要所有：

$$
2\le d\le\sqrt x.
$$

因任何 composite $x$ 都存在 prime proper factor：

$$
r\le\sqrt x.
$$

---

# 13. Root-Bounded Primality Equivalence

## Theorem SRBRD-00-T05

若：

$$
x\ge2,
$$

則：

$$
\boxed{
x\in\mathbb P
\Longleftrightarrow
\mathcal D(x)=\varnothing.
}
$$

---

# 14. Prime Direction

若 $x$ prime，唯一正因子為：

$$
1,x.
$$

任何：

$$
r\in\mathbb P
$$

若：

$$
r\mid x,
$$

只能：

$$
r=x.
$$

但：

$$
x^2>x
$$

對：

$$
x\ge2.
$$

所以：

$$
r^2\le x
$$

不可能。

因此：

$$
\mathcal D(x)=\varnothing.
$$

---

# 15. Composite Direction

若：

$$
x
$$

composite且：

$$
x\ge2,
$$

取：

$$
r=\operatorname{lpf}(x).
$$

則：

$$
r\in\mathbb P,
$$

$$
r\mid x,
$$

以及：

$$
r^2\le x.
$$

所以：

$$
\mathcal D(x)\neq\varnothing.
$$

---

# 16. Odd Endpoints Remove Factor 2

若：

$$
d\in\Omega_m,
$$

則兩 endpoint皆 odd。

因此：

$$
2\nmid L_m(d),
$$

$$
2\nmid R_m(d).
$$

所以任何 root-bounded witness必有：

$$
\boxed{
r\ge3.
}
$$

這正式實現 Parity Base-Space note：

> factor $2$ 不再是 residual obstruction prime；它已在 target generation layer被全域處理。

---

# 17. Global Finite Witness Prime Domain

由 endpoint bound：

$$
R_m(d)\le2m-3,
$$

任何 root-bounded witness都滿足：

$$
r^2\le2m-3.
$$

所以定義：

$$
\boxed{
Q_m
=
\left\{
r\in\mathbb P:
3\le r,
\quad
r^2\le2m-3
\right\}.
}
$$

這完全避免：

$$
\sqrt{2m-3}
$$

的 machine rounding問題。

---

# 18. Side Domain

定義有限 side type：

$$
\boxed{
\Sigma
=
\{\mathrm L,\mathrm R\}.
}
$$

witness universe：

$$
\boxed{
W_m
=
\Sigma\times Q_m.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
|W_m|<\infty.
}
$$

---

# 19. Endpoint-by-Side

定義：

$$
E_m(d,\mathrm L)=m-d,
$$

$$
E_m(d,\mathrm R)=m+d.
$$

---

# 20. Root Obstruction Relation

定義：

$$
\boxed{
\mathcal R_m(d,\sigma,r)
}
$$

當且僅當：

1. $d\in\Omega_m$；
2. $r\in Q_m$；
3. $r\mid E_m(d,\sigma)$；
4. $r^2\le E_m(d,\sigma)$。

也就是：

$$
\boxed{
\mathcal R_m
\subseteq
\Omega_m\times\Sigma\times Q_m.
}
$$

---

# 21. Relation Finiteness

## Theorem SRBRD-00-T06

對每個：

$$
m\ge3,
$$

有：

$$
\boxed{
|\Omega_m|<\infty,
\qquad
|Q_m|<\infty,
\qquad
|\mathcal R_m|<\infty.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathfrak R_m
=
(\Omega_m,\Sigma\times Q_m,\mathcal R_m)
}
$$

是 finite relation domain。

---

# 22. Sidewise Completeness

## Theorem SRBRD-00-T07

若：

$$
d\in\Omega_m,
$$

則對任意：

$$
\sigma\in\Sigma,
$$

$$
\boxed{
E_m(d,\sigma)\in\mathbb P
}
$$

當且僅當不存在：

$$
r\in Q_m
$$

使：

$$
\mathcal R_m(d,\sigma,r).
$$

這是 root-bound completeness在 global witness universe中的版本。

---

# 23. Why Global $Q_m$ Does Not Overreach

雖然：

$$
Q_m
$$

只用 global bound：

$$
r^2\le2m-3,
$$

relation仍要求 endpoint-specific：

$$
r^2\le E_m(d,\sigma).
$$

所以不會把：

> 對整體 target夠小、但對目前 endpoint太大的 prime

錯當 proper-factor witness。

---

# 24. Obstruction Degree

定義：

$$
\boxed{
\deg_m(d)
=
\#\left\{
(\sigma,r)\in\Sigma\times Q_m:
\mathcal R_m(d,\sigma,r)
\right\}.
}
$$

---

# 25. Zero Degree iff Prime Pair

## Theorem SRBRD-00-T08

若：

$$
d\in\Omega_m,
$$

則：

$$
\boxed{
\deg_m(d)=0
\Longleftrightarrow
m-d\in\mathbb P
\land
m+d\in\mathbb P.
}
$$

proof：

degree zero iff左右兩側都沒有 witness。

由 T07：

左右兩 endpoint均 prime。

---

# 26. Residual Set

定義：

$$
\boxed{
\operatorname{Res}(m)
=
\left\{
d\in\Omega_m:
\deg_m(d)=0
\right\}.
}
$$

等價：

$$
\boxed{
\operatorname{Res}(m)
=
\left\{
d\in\Omega_m:
m-d,m+d\in\mathbb P
\right\}.
}
$$

---

# 27. Exact Representation Theorem

## Theorem SRBRD-00-T09

對：

$$
m\ge3,
$$

$$
\boxed{
\operatorname{Res}(m)\neq\varnothing
\Longleftrightarrow
R_G^{-}(2m)>0.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
2m
\text{ satisfies Goldbach}
\Longleftrightarrow
\operatorname{Res}(m)\neq\varnothing.
}
$$

---

# 28. Count-Level Exactness

## Theorem SRBRD-00-T10

對：

$$
m\ge3,
$$

$$
\boxed{
|\operatorname{Res}(m)|
=
R_G^{-}(2m).
}
$$

這比 existence equivalence更重要。

它表示：

> 每一個 reduced unordered Goldbach representation正好對應一個 residual offset，沒有多算，也沒有漏算。

---

# 29. Counterexample Exact Form

由 T09：

$$
\boxed{
\operatorname{GoldbachFailure}(2m)
\Longleftrightarrow
\operatorname{Res}(m)=\varnothing.
}
$$

對：

$$
m\ge3.
$$

注意：

$$
2m
$$

自動 legal even。

---

# 30. Obstruction Cells

對：

$$
\sigma\in\Sigma,
\quad
r\in Q_m,
$$

定義：

$$
\boxed{
O_{m,\sigma,r}
=
\left\{
d\in\Omega_m:
\mathcal R_m(d,\sigma,r)
\right\}.
}
$$

則：

$$
\boxed{
\operatorname{Res}(m)
=
\Omega_m
\setminus
\bigcup_{\sigma,r}
O_{m,\sigma,r}.
}
$$

---

# 31. Failure as Complete Cover

## Theorem SRBRD-00-T11

對：

$$
m\ge3,
$$

$$
\boxed{
\operatorname{GoldbachFailure}(2m)
\Longleftrightarrow
\Omega_m
=
\bigcup_{\sigma,r}
O_{m,\sigma,r}.
}
$$

所以 counterexample exact 等價於 finite complete cover。

---

# 32. Left Residue Cell

考慮：

$$
\sigma=\mathrm L.
$$

relation要求：

$$
r\mid(m-d).
$$

在：

$$
d\le m
$$

下等價於：

$$
\boxed{
d\equiv m\pmod r.
}
$$

root bound：

$$
r^2\le m-d
$$

等價於：

$$
\boxed{
d\le m-r^2.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
O_{m,\mathrm L,r}
=
\left\{
d\in\Omega_m:
d\equiv m\pmod r,
\quad
d\le m-r^2
\right\}.
}
$$

如果：

$$
r^2>m,
$$

則：

$$
\boxed{
O_{m,\mathrm L,r}=\varnothing.
}
$$

這是第一個非常重要的 root-asymmetry fact。

---

# 33. Right Residue Cell

考慮：

$$
\sigma=\mathrm R.
$$

relation要求：

$$
r\mid(m+d).
$$

在模 $r$ 中：

$$
\boxed{
d\equiv -m\pmod r.
}
$$

formal Nat版本可以寫：

$$
\boxed{
m+d\equiv0\pmod r.
}
$$

避免 negative residue implementation問題。

root bound：

$$
r^2\le m+d
$$

等價於：

$$
\boxed{
d\ge r^2-m.
}
$$

加：

$$
d\ge0,
$$

得到：

$$
\boxed{
d\ge\max(0,r^2-m).
}
$$

因此：

$$
\boxed{
O_{m,\mathrm R,r}
=
\left\{
d\in\Omega_m:
d\equiv -m\pmod r,
\quad
d\ge\max(0,r^2-m)
\right\}.
}
$$

---

# 34. Root-Bound Asymmetry

左右 residue classes在模 $r$ 上形式對稱：

$$
\boxed{
d\equiv\pm m\pmod r.
}
$$

但 root-bound truncation完全不同：

### Left

$$
\boxed{
d\le m-r^2.
}
$$

### Right

$$
\boxed{
d\ge\max(0,r^2-m).
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{residue symmetry}
+
\text{opposite interval truncation}.
}
$$

這是 SRBRD 相較單純 sieve residue cover多出的 exact geometry。

---

# 35. Large Witness Prime Regime

若：

$$
r^2>m,
$$

則：

$$
O_{m,\mathrm L,r}=\varnothing.
$$

但 right cell仍可能非空，只要：

$$
r^2\le2m-3.
$$

此時：

$$
d\ge r^2-m>0.
$$

所以所有：

$$
\sqrt m<r\le\sqrt{2m-3}
$$

的 obstruction primes：

$$
\boxed{
\text{只能作用於右端，而且只能作用於 sufficiently large offsets}.
}
$$

這是後續 SRBRD-1 compression audit 的第一個 candidate invariant。

---

# 36. Small Witness Prime Regime

若：

$$
r^2\le m,
$$

則：

### Left

$$
d\le m-r^2.
$$

### Right

right root bound自動滿足：

$$
r^2\le m\le m+d.
$$

所以 right cell只剩 residue restriction：

$$
d\equiv -m\pmod r.
$$

在 $\Omega_m$ 中。

因此 small / large witness primes天然分層。

---

# 37. Witness Regime Split

定義：

$$
\boxed{
Q_m^{\mathrm{small}}
=
\{r\in Q_m:r^2\le m\},
}
$$

$$
\boxed{
Q_m^{\mathrm{large}}
=
\{r\in Q_m:m<r^2\le2m-3\}.
}
$$

則：

$$
Q_m
=
Q_m^{\mathrm{small}}
\bigsqcup
Q_m^{\mathrm{large}}.
$$

large witnesses只有 right action。

這是 exact theorem，不是 heuristic。

---

# 38. Finite Elimination Operator

對任何：

$$
X\subseteq\Omega_m,
$$

與 witness：

$$
w=(\sigma,r),
$$

定義：

$$
\boxed{
\mathcal E_w(X)
=
X\setminus O_{m,w}.
}
$$

若 enumeration：

$$
w_1,\ldots,w_s
$$

涵蓋全部：

$$
W_m,
$$

令：

$$
X_0=\Omega_m,
$$

$$
X_{j+1}=\mathcal E_{w_{j+1}}(X_j).
$$

則：

$$
\boxed{
X_s=\operatorname{Res}(m).
}
$$

---

# 39. Finite Termination

## Theorem SRBRD-00-T12

因：

$$
W_m
$$

有限，

elimination process經：

$$
|W_m|
$$

步後結束。

這不是 convergence conjecture。

而是 finite exact termination。

---

# 40. Order Independence

## Theorem SRBRD-00-T13

任何 witness enumeration順序都得到同一 final state：

$$
\boxed{
\Omega_m
\setminus
\bigcup_wO_{m,w}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{Res}(m)
}
$$

是 order-independent finite closure residual。

---

# 41. Closure Fixed Point

若所有 witness cells已消去，

再重複任何同一 witness action都不改變 residual。

所以：

$$
\boxed{
\mathcal E_w(\operatorname{Res}(m))
=
\operatorname{Res}(m)
}
$$

對所有：

$$
w\in W_m.
$$

在這個意義下：

$$
\operatorname{Res}(m)
$$

是 elimination operator family的 common fixed set。

---

# 42. Formal-Friendly Definitions

Lean-oriented：

```lean
inductive Side
| left
| right

def OffsetAdmissible (m d : Nat) : Prop :=
  3 ≤ m - d ∧
  d ≤ m ∧
  Odd (m - d)

def LeftEndpoint (m d : Nat) : Nat :=
  m - d

def RightEndpoint (m d : Nat) : Nat :=
  m + d
```

但更建議避免 Nat subtraction ambiguity，直接把：

```lean
d ≤ m - 3
```

放進 admissibility，再證：

```lean
3 ≤ m - d
```

---

# 43. Canonical Offset Definition

建議：

```lean
def OffsetAdmissible (m d : Nat) : Prop :=
  d ≤ m - 3 ∧
  Odd (m - d)
```

只在：

```lean
3 ≤ m
```

的 namespace / theorem premises下使用。

這與 paper definition一致。

---

# 44. Witness Prime

```lean
def WitnessPrime (m r : Nat) : Prop :=
  Nat.Prime r ∧
  3 ≤ r ∧
  r * r ≤ 2 * m - 3
```

---

# 45. Endpoint by Side

```lean
def Endpoint (m d : Nat) : Side → Nat
| Side.left  => m - d
| Side.right => m + d
```

---

# 46. Root Obstruction

```lean
def RootObstruction
    (m d : Nat)
    (s : Side)
    (r : Nat) : Prop :=
  OffsetAdmissible m d ∧
  WitnessPrime m r ∧
  r ∣ Endpoint m d s ∧
  r * r ≤ Endpoint m d s
```

---

# 47. Residual Offset

```lean
def ResidualOffset (m d : Nat) : Prop :=
  OffsetAdmissible m d ∧
  ∀ s r,
    WitnessPrime m r →
    ¬ RootObstruction m d s r
```

更乾淨的版本可讓 relation本身已含 WitnessPrime，則量詞只需：

```lean
∀ s r, ¬ RootObstruction m d s r
```

但有限 enumeration theorem會需要 witness finset。

---

# 48. Formal Theorem Queue

```yaml
SRBRD_00:
  T01: offset_endpoint_bounds
  T02: offset_endpoint_parity
  T03: offset_odd_decomposition_bijection
  T04: reduced_goldbach_pair_offset_bijection
  T05: prime_iff_no_root_bounded_prime_divisor
  T06: relation_domain_finite
  T07: side_endpoint_prime_iff_no_obstruction
  T08: zero_degree_iff_prime_pair
  T09: residual_nonempty_iff_goldbach_success
  T10: residual_card_eq_RGminus
  T11: failure_iff_complete_cell_cover
  T12: elimination_finite_termination
  T13: elimination_order_independent
```

---

# 49. Exact Count Tests

## $N=6$

$$
m=3.
$$

$$
\Omega_3=\{0\}.
$$

endpoint：

$$
(3,3).
$$

所以：

$$
\operatorname{Res}(3)=\{0\}.
$$

$$
R_G^{-}(6)=1.
$$

---

# 50. $N=8$

$$
m=4.
$$

$$
\Omega_4=\{1\}.
$$

endpoint：

$$
(3,5).
$$

所以：

$$
|\operatorname{Res}(4)|=1.
$$

$$
R_G^{-}(8)=1.
$$

---

# 51. $N=10$

$$
m=5.
$$

$$
\Omega_5=\{0,2\}.
$$

$$
d=0
\Rightarrow
(5,5).
$$

$$
d=2
\Rightarrow
(3,7).
$$

兩者都 residual。

所以：

$$
\boxed{
|\operatorname{Res}(5)|=2
=
R_G^{-}(10).
}
$$

這是 $d=0$ 不可刪除的 regression test。

---

# 52. $N=12$

$$
m=6.
$$

合法 offsets：

$$
\Omega_6=\{1,3\}.
$$

$$
d=1
\Rightarrow
(5,7)
$$

residual。

$$
d=3
\Rightarrow
(3,9)
$$

被 right factor：

$$
3
$$

obstruct。

所以：

$$
|\operatorname{Res}(6)|=1
=
R_G^{-}(12).
$$

---

# 53. $N=14$

$$
m=7.
$$

$$
\Omega_7=\{0,2,4\}.
$$

$$
d=0
\Rightarrow
(7,7)
$$

residual。

$$
d=2
\Rightarrow
(5,9)
$$

obstructed。

$$
d=4
\Rightarrow
(3,11)
$$

residual。

所以：

$$
|\operatorname{Res}(7)|=2
=
R_G^{-}(14).
$$

---

# 54. $N=68$

$$
m=34.
$$

known reduced Goldbach witnesses include：

$$
p=31
\Rightarrow
d=3,
$$

與：

$$
p=7
\Rightarrow
d=27.
$$

所以至少：

$$
d=3,27
$$

是 residual offsets。

這和 V0/V1 的：

$$
R_G^{-}(68)=2
$$

一致。

---

# 55. Root-Truncation Example

取：

$$
m=50,
$$

$$
r=7.
$$

因：

$$
r^2=49\le50,
$$

屬 small witness regime。

left cell需：

$$
d\le1.
$$

right side的 root bound則對所有：

$$
d\ge0
$$

自動滿足。

所以同一 $r$：

- left action只可能在非常靠近中心；
- right action可延伸整個 offset range，但仍受 residue class限制。

這正是 asymmetry。

---

# 56. Large Witness Example

仍取：

$$
m=50.
$$

若：

$$
r=11,
$$

則：

$$
r^2=121>2m-3=97.
$$

所以：

$$
r\notin Q_m.
$$

根本不能作用。

若某 $r$ 滿足：

$$
50<r^2\le97,
$$

它只能作用 right side，left cell必空。

---

# 57. Source Audit

SRBRD-00 使用：

### S0

- finite sets；
- parity；
- additive symmetry；
- congruence；
- De Morgan；
- cardinality / bijection。

### S1

- composite iff root-bounded prime divisor exists；
- least prime factor witness。

不使用：

- analytic prime distribution；
- PNT；
- sieve asymptotics；
- minimal counterexample；
- heuristic。

---

# 58. Truth-Role Audit

因：

$$
|\operatorname{Res}(m)|=R_G^{-}(2m),
$$

所以 exact residual size是：

$$
\boxed{
\text{TruthLabel}.
}
$$

same-target experiment不能用：

$$
|\operatorname{Res}(m)|
$$

當 predictor。

同樣：

$$
\operatorname{Res}(m)\neq\varnothing
$$

就是 Goldbach success本身。

---

# 59. Representation vs Compression

這一輪如果全部成立，只能得到：

$$
\boxed{
\text{SRBRD is exact}.
}
$$

不能得到：

$$
\boxed{
\text{SRBRD is stronger}.
}
$$

真正 compression必須來自下一輪，例如：

- cell size upper bounds；
- left/right incompatibility；
- large-prime right-only regime；
- overlap constraints；
- forced residual invariant。

---

# 60. Candidate New Structural Facts

雖然 Goldbach equivalence本身只是重編碼，本輪已出現幾個可能提供額外 geometry 的 exact facts：

1. left/right residue為：
   $$
   d\equiv\pm m\pmod r;
   $$
2. left root truncation：
   $$
   d\le m-r^2;
   $$
3. right root truncation：
   $$
   d\ge\max(0,r^2-m);
   $$
4. 若：
   $$
   r^2>m,
   $$
   則 left cell必空；
5. witness prime domain只到：
   $$
   r^2\le2m-3.
   $$

這些將是 SRBRD-01 的主要 audit對象。

---

# 61. Acceptance Gate

SRBRD-00 只有以下全部 PASS 才進 SRBRD-01：

1. $N=4$ boundary獨立處理；
2. $d=0$ 被合法保留；
3. $\Omega_m$ 與 unordered odd decomposition bijection；
4. reduced Goldbach pair與 residual offset bijection；
5. root-bounded primality equivalence；
6. witness universe finite；
7. sidewise obstruction completeness；
8. zero-degree iff prime pair；
9. residual nonempty iff Goldbach success；
10. residual cardinality equals $R_G^{-}(2m)$；
11. failure iff complete cover；
12. left residue-cell exact form；
13. right residue-cell exact form；
14. large witness right-only theorem；
15. elimination finite termination；
16. elimination order independence；
17. no unproved prime-distribution assumption。

---

# 62. Bug / Falsification Checklist

任一發生立即停止：

- $d=0$ 被排除；
- $N=10$ residual count不是 $2$；
- odd decomposition沒有唯一 offset；
- relation使用 global root bound卻忘記 endpoint-specific root bound；
- prime endpoint仍出現 relation edge；
- composite endpoint沒有任何 relation edge；
- factor $2$ 出現在 odd endpoint residual obstruction；
- $r^2>m$ 時 left cell仍非空；
- right congruence負 residue在 Nat implementation中寫錯；
- residual cardinality與 $R_G^-$ 不同；
- finite elimination順序改變 final residual；
- 把 exact equivalence誤稱 Goldbach proof。

---

# 63. Verdict

本文件的 target verdict 是：

$$
\boxed{
\mathrm{SRBRD\mbox{-}00\ EXACT\ REPRESENTATION\ SPECIFICATION\ READY}
}
$$

但 machine status仍是：

$$
\boxed{
\text{not yet Lean-verified}.
}
$$

---

# 64. 下一輪：SRBRD-01

若 SRBRD-00 formal / computational audit PASS，下一輪應立即研究：

# **SRBRD-01 — Structural Compression Audit**

核心問題：

$$
\boxed{
\text{SRBRD 是否只是 Goldbach 的有限重編碼，
還是 root-truncated residue geometry 真正降低了 complete-cover 的自由度？}
}
$$

優先檢查：

1. small / large witness regime；
2. left/right cell cardinality公式；
3. $O_{L,r}$ 與 $O_{R,r}$ 的 overlap / disjointness；
4. 同 $r$ 的 $\pm m$ residue collision條件；
5. 不同 $r$ 的 CRT overlap；
6. exact union capacity；
7. 是否存在不讀 primality truth的 residual lower bound；
8. 是否能構造：
   $$
   |\cup O_w|<|\Omega_m|.
   $$

只有這一輪出現真正 nontrivial compression，SRBRD 才值得升格為新的證明主線。

---

# 附錄 A：Machine Contract

```yaml
module: SRBRD.ExactRepresentation
version: 0.1

domain:
  m_min: 3
  N: 2*m

offset:
  d_min: 0
  d_max: m-3
  parity:
    left_endpoint_odd: true
    right_endpoint_odd: derived

witness:
  side:
    - left
    - right
  prime_min: 3
  global_bound:
    r*r <= 2*m-3
  endpoint_bound:
    r*r <= endpoint
  divides_endpoint: true

residual:
  definition:
    no_root_obstruction_on_either_side: true

exact_targets:
  - residual_nonempty_iff_RGminus_positive
  - residual_card_equals_RGminus
  - failure_iff_complete_cover

truth_role:
  residual_nonempty: TruthLabel
  residual_cardinality: TruthLabel
```

---

# 附錄 B：Formal Dependency Graph

```text
Parity Base Layer
  ↓
N = 2m
  ↓
Offset Domain Ω_m
  ↓
Odd-Decomposition Bijection
  ↓
Reduced Goldbach Pair Bijection
```

parallel：

```text
Root-Bounded Prime-Divisor Theorem
  ↓
Finite Witness Prime Domain Q_m
  ↓
Sidewise Root Obstruction
  ↓
Zero Degree
  ↓
Residual Set
```

join：

```text
Reduced Goldbach Pair Bijection
        +
Zero-Degree Prime-Pair Theorem
        ↓
|Res(m)| = RGminus(2m)
        ↓
Failure iff Complete Cover
```

---

# 附錄 C：Canonical Cell Geometry

```yaml
left_cell:
  congruence:
    d == m mod r
  root_truncation:
    d <= m-r*r
  empty_if:
    r*r > m

right_cell:
  congruence:
    m+d == 0 mod r
  conceptual:
    d == -m mod r
  root_truncation:
    d >= max(0,r*r-m)

global:
  d <= m-3
  r*r <= 2*m-3
```

---

# 附錄 D：Commit Decision

```yaml
research_round: SRBRD-00
decision: EXACT_REPRESENTATION_SPECIFICATION_READY

claims:
  goldbach_proved: false
  exact_reformulation_targeted: true
  count_level_bijection_targeted: true
  finite_relation_targeted: true

new_candidate_structure:
  - opposite_root_truncation
  - large_witness_right_only_regime
  - finite_residue_cells

next:
  SRBRD-01_Structural_Compression_Audit
```