# RG-SCP Validation Round 08 ## Phase-I Canonical Synthesis ### RG-SCP 01–07 總審計、Canonical Core 重構、Formalization Priority 與 E0–E8 驗證協議 **驗證系列：** RG-SCP Validation **驗證階段：** V0 — Claim / Source Audit **輪次：** 08 / V0 總收束 **對應原稿：** RG-SCP 08《反向閉合總成：源類審計、可形式化核心與第一階實驗規格》v0.1 **日期：** 2026-09-28 **版本：** v0.1 **作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol） **性質：** Canonical Phase-I Checkpoint / Theorem Ledger / Source Ledger / Validation Protocol **狀態：** V0 claim/source audit 完成；Phase-II 尚未開啟；Formal Core 與 E0–E8 尚待執行 --- ## 摘要 本文件是 RG-SCP Validation V0 的第一份總 checkpoint。 它不再新增新的 Goldbach 路線，而是把 V0-R01 至 V0-R07 的審計結果正式合併，取代原 RG-SCP 08 中已被修正、弱化或重新定位的部分。 Phase-I canonical architecture 現在不再以： $$ \text{obstruction cost} \to \text{matching demand} \to \text{incidence capacity} $$ 作主幹。 經過七輪逐篇審計後，較乾淨的主線應重構為： $$ \boxed{ \text{Counterexample Universe} } $$ $$ \Downarrow $$ $$ \boxed{ \text{Proof-Admissible Outer Approximation} } $$ $$ \Downarrow $$ $$ \boxed{ \text{Exact Reduced-Domain Obstruction Cover} } $$ $$ \Downarrow $$ $$ \boxed{ \text{Primorial Hard-Sector Geometry} } $$ $$ \Downarrow $$ $$ \boxed{ \text{M6 Fixed-Point / Two-Channel Decomposition} } $$ $$ \Downarrow $$ $$ \boxed{ \text{Canonical Survivor Demand} } $$ $$ \Downarrow $$ $$ \boxed{ \text{Canonical Composite Coverage Capacity} } $$ $$ \Downarrow $$ $$ \boxed{ \text{Minimality Transport Neighborhood} } $$ $$ \Downarrow $$ $$ \boxed{ \text{Lower Bound} > \text{Independent Upper Bound} } $$ $$ \Downarrow $$ $$ \boxed{ \text{Counterexample Branch Exclusion}. } $$ V0 最重要的 canonical corrections 如下。 --- ### 1. Admissibility 不再把 target predicate 塞進集合定義 原始： $$ \mathcal A_k = \{N:F_G(N)=1\land K_1(N)\land\cdots\}. $$ canonical 改為： $$ \boxed{ \mathcal A_k^{\mathrm P} = \left\{ N\in2\mathbb N_{\ge4}: K_1(N)\land\cdots\land K_k(N) \right\}, } $$ 並另外證： $$ \boxed{ \mathcal C_G \subseteq \mathcal A_k^{\mathrm P}. } $$ 所以： $$ \mathcal A_k^{\mathrm P}=\varnothing $$ 才可非循環地推出： $$ \mathcal C_G=\varnothing. $$ --- ### 2. Raw GFOC 在 reduced domain 是 exact characterization 對： $$ \mathbb P_N^{-} = \left\{ p\in\mathbb P: 2\le p\le N/2 \right\}, $$ 有： $$ \boxed{ F_G(N)=1 \Longleftrightarrow \mathbb P_N^{-} \subseteq \bigcup_{\substack{ r\in\mathbb P\\ r^2\le N-2 }} \mathcal O_r(N). } $$ 所以 obstruction cover 不只是必要條件，而是 reduced-domain exact reformulation。 --- ### 3. Primorial hard sector 本身不需要 failure 假設 若： $$ M_k\mid N, $$ 且： $$ p_k\le N/2, $$ 則： $$ \boxed{ \mathbb H_{p_k}(N) = \left\{ p\in\mathbb P: p_kp_k $$ 時才需要： $$ F_G(N)=1. $$ --- ### 4. Effective wheel 從 canonical exact core 移除 $$ M_k^{\mathrm{eff}}(N) $$ 對： $$ p>p_k $$ 不增加 ordinary wheel以外的資訊。 而在 self-cell： $$ p=r\mid N $$ 反而可能錯把真 small-factor obstruction標成 hard。 所以： $$ \boxed{ \text{effective wheel} } $$ 不再列 Phase-I exact core。 --- ### 5. M6 fixed-point fiber 的 multiplier 需修正 原始： $$ F_p \sim pU_6 $$ 不精確。 canonical 定義： $$ \boxed{ U_p = \left\{ u\ge1: \gcd(u,6)=1, \quad r\mid u,\ r\in\mathbb P \Rightarrow r\ge p \right\}, } $$ 則： $$ \boxed{ F_p = \{pu:u\in U_p\}. } $$ 因此 exact fiber cone： $$ \boxed{ \mathcal I_{p,q}^{\mathrm{fib}} = \left\{ pu+qv: u\in U_p, \quad v\in U_q \right\}. } $$ --- ### 6. M6 positive shadow gap 至少是 $20$ 對： $$ n\in M6^*, $$ 若： $$ e_6(n) = n-T_{\mathrm{top}}(n) >0, $$ 則： $$ \boxed{ e_6(n)\ge20. } $$ 所以： $$ \boxed{ \Delta_6(N)>0 \Longrightarrow \Delta_6(N)\ge20. } $$ 以及： $$ \boxed{ \max\mathcal S_6(N)\le N-20. } $$ 這取代原稿較弱的： $$ \Delta_6(N)\ge2. $$ --- ### 7. Two-channel decomposition 可以提升到 count level 對 even： $$ N\ge10, $$ 定義： $$ R_6^{-}(N) = \#\left\{ p\in P^*: p\le N/2, \quad N-p\in P^* \right\}. $$ 則： $$ \boxed{ R_G^{-}(N) = R_6^{-}(N) + \mathbf1_{\mathbb P}(N-3). } $$ 所以對： $$ 6\mid N, \quad N\ge12, $$ 直接有： $$ \boxed{ R_G^{-}(N) = R_6^{-}(N). } $$ --- ### 8. Discovery 必須加入 Truth-Leakage Firewall `exact` 不等於可以合法當探索 feature。 例如： $$ \Delta_6(N) $$ 在： $$ 6\mid N $$ branch 已 exact 決定 failure。 而： $$ \Delta_6(N) + B_3(N) $$ 對一般 even： $$ N\ge10 $$ 完整 encode failure。 所以 Phase-I 後續所有資料都必須同時標： ## Epistemic Status ```text exact heuristic mixed ``` ## Data Role ```text proof_input discovery_probe diagnostic truth_label ``` --- ### 9. Escape prime 是 target-equivalent observable 若： $$ k\ge2, \quad M_k\mid N, \quad N>6, $$ 則： $$ \boxed{ R_G(N)>0 \Longleftrightarrow p_{\mathrm{esc}}(N;k) \text{ exists}. } $$ 所以： - `escape_exists` 是 truth label； - `escape_depth` 是 exact post-hoc diagnostic； 不能作 same-target leakage-free feature。 --- ### 10. Canonical capacity 不是 $I_N(y)$ 原稿把： $$ I_N(y) $$ 叫 deep obstruction capacity。 V0-R06 重構後，真正無重疊的 capacity是： $$ \boxed{ C_N^{\mathrm{can}}(y) = \#\left\{ p\in\mathbb H_y(N): N-p\text{ composite} \right\}. } $$ exact partition： $$ \boxed{ D_N(y) = R_G^{-}(N) + C_N^{\mathrm{can}}(y). } $$ 所以： $$ \boxed{ R_G^{-}(N) = D_N(y) - C_N^{\mathrm{can}}(y). } $$ 而： $$ I_N(y) $$ 應改名： $$ \boxed{ \text{deep factor-incidence mass}. } $$ 並有： $$ \boxed{ I_N(y) = C_N^{\mathrm{can}}(y) + \Omega_N(y). } $$ 因此： $$ R_G^{-} = D+\Omega-I $$ 保留作 audit identity，不再作 canonical capacity definition。 --- ### 11. Minimality transport 的主 object 不是 matching，而是 neighborhood 定義： $$ \Gamma_k(N_*) = \left\{ q: \exists h\in\mathcal H_k(N_*), \quad h\sim q \right\}. $$ 則： $$ \boxed{ \Gamma_k(N_*) \subseteq \mathbb H_{p_k}(N_*). } $$ 所以： $$ \boxed{ D_{N_*}(p_k) \ge |\Gamma_k(N_*)|. } $$ under minimal failure： $$ \boxed{ \Gamma_k(N_*) \subseteq \mathbb C_{p_k}(N_*). } $$ 因此： $$ \boxed{ |\Gamma_k(N_*)| \le C_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k). } $$ maximum matching： $$ \nu_k $$ 仍正確，但只是 optional injective certificate。 --- ### 12. Bounded-degree transport demand不需要 matching theorem 若： $$ \Delta_k^R $$ 是 transport graph right maximum degree， 則： $$ \boxed{ |\Gamma_k| \ge \left\lceil \frac{ |\mathcal H_k| }{ \Delta_k^R } \right\rceil. } $$ 直接由 edge counting即可。 Hall theorem只有在需要 left-perfect matching時才必要。 --- ### 13. `primorial-smooth shift` 改名 $$ M_k\mid h $$ 不代表 $h$ 的所有 prime factors都： $$ \le p_k. $$ 所以 canonical 名稱改為： $$ \boxed{ \text{Primorial-Divisible Shift}. } $$ --- ### 14. Phase-I 真正 closure target 現在統一為： $$ \boxed{ \text{Leakage-Free Demand Lower Bound} > \text{Independent Canonical Coverage Upper Bound}. } $$ 一般形式： $$ \boxed{ L_N(y) > U_N^{\mathrm{can}}(y). } $$ minimality transport形式： $$ \boxed{ L_k^{\mathrm{trans}}(N_*) > U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k). } $$ 這是 V0 之後唯一應被當作主線的 inequality closure。 --- 本輪最終 verdict： $$ \boxed{ \mathrm{V0\ COMPLETE} } $$ 但： $$ \boxed{ \mathrm{PHASE\ II\ NOT\ YET\ OPEN}. } $$ 原因是： - exact claim audit已完成； - source audit已完成； - canonical core已重構； - 但 Formal Core 尚未 machine-check； - E0 exact identity suite 尚未執行； - demand / capacity compression 尚未量測； - transport incremental gain 尚未量測； - source novelty尚未通過 adversarial sufficiency test。 因此下一階段不是 RG-SCP 09。 下一階段應是： # V1 — Formal Core 然後： # V2 — E0 Identity Validation 再依序進： $$ E1\to E6. $$ Phase-II Gate只有在真正看到： $$ \boxed{ \text{nontrivial compression gain} } $$ 或： $$ \boxed{ \text{new exact source-separating invariant} } $$ 後才開。 --- # 1. V0 的任務是否完成？ V0 的任務是： > 不靠大規模計算，逐篇檢查 RG-SCP 01–07 的 claim class、source class、邏輯邊界、資料角色、重複 source 與明顯可修正點。 現在： $$ \boxed{ \text{V0-R01} \to \text{V0-R07} } $$ 均已完成。 所以： $$ \boxed{ \text{V0 Claim / Source Audit = COMPLETE}. } $$ --- # 2. Claim taxonomy 最終版 後續 canonical claim至少標： ## T — Exact Theorem $$ [\mathrm T] $$ 已經有嚴格 proof。 ## E — Equivalent Reformulation $$ [\mathrm E] $$ 與 target或既有 theorem邏輯等價，沒有自動降低 proof burden。 ## H — Heuristic / Empirical $$ [\mathrm H] $$ 依賴 fitting、finite observation、learned pattern、approximate reconstruction。 ## O — Open Target $$ [\mathrm O] $$ 尚未證，但如果成立會降低 counterexample admissibility。 ## F — Framework / Definition $$ [\mathrm F] $$ 研究規則、資料結構、定義、方法論。 ## C — Canonical Correction $$ [\mathrm C] $$ 不是新 theorem，而是修正 domain、notation、typing、source ownership或 data role。 --- # 3. Data-role taxonomy 最終版 所有可計算 object再標： ## ProofInput 可合法進 rigorous proof chain。 ## DiscoveryProbe 不直接 encode target，用來找 pattern。 ## Diagnostic 可事後分析，但不應用作 same-target無洩漏輸入。 ## TruthLabel 直接或組合後 exact 決定 target。 ## HistoryDerived 由 minimality / prefix truth合法導出，但必須揭露其 target-history provenance。 這一類可與前四種 role並列成 secondary tag。 --- # 4. Source-class ledger 最終版 ## $\mathcal S_0$ — Elementary arithmetic / logic - parity； - addition； - multiplication； - order； - set / finite counting； - divisibility； - well-ordering。 --- ## $\mathcal S_1$ — Factor / least-prime-factor source 包括： $$ \operatorname{lpf}(n), $$ $$ T_{\mathrm{top}}(n) $$ 在： $$ M6^*, $$ $$ \Phi_N^{\min}(p) $$ 在 hard failure branch， 以及所有其 deterministic readouts： - least-factor cells； - factor depth； - factor incidence； - lpf entropy； - obstruction alphabet。 --- ## $\mathcal S_2$ — Finite quotient / wheel source 包括： $$ \bmod6, $$ $$ \bmod30, $$ $$ \bmod210, $$ 一般： $$ M_k $$ wheel。 增加更多 finite moduli通常只是 source refinement。 --- ## $\mathcal S_3$ — Fixed-point relational organization 不新增 primality bit。 它重新組織： - multiplicative fibers； - additive section； - shadow map； - anti-incidence； - zero-lift transport target。 --- ## $\mathcal S_4$ — Additive-history / minimality source 來自： $$ \forall M0. $$ 它是 target-internal historical source。 核心用途： - lower occupied layers； - primorial-divisible shift； - transport neighborhood； - history-derived lower bound。 --- ## $\mathcal S_5$ — External analytic counting 包括： - prime count bounds； - primes in AP； - Brun–Titchmarsh； - explicit PNT； - sieve bounds； - future pair-correlation theorems。 這些不屬 RG-SCP elementary core。 --- ## $\mathcal S_6$ — Heuristic approximation / skew 包括： - fitted $\varepsilon$； - prime predictors； - empirical skew； - anomaly detector； - ML feature； - surrogate scoring。 默認不進 proof chain。 --- ## Future $\mathcal S_7$ — New nonlocal / pair source 尚未建立。 若 Phase I stalled，可能搜尋： - pair spectral； - additive convolution invariant； - nonlocal operator； - generating-function positivity certificate； - new source-kernel split。 --- # 5. Source de-duplication final rules 以下不得重複計成 independent sources： $$ \boxed{ T_{\mathrm{top}} = \operatorname{lpf} } $$ on： $$ M6^*. $$ 以及： $$ \boxed{ T_{\mathrm{top}}(N-p) = \Phi_N^{\min}(p) } $$ on hard failure branch。 所以： ```text fixed point label least factor canonical obstruction factor ``` 在 element level共用： $$ \mathcal S_1. $$ --- # 6. Wheel source去重 $$ M_2, M_3, M_4,\ldots $$ 不是一串 independent sources。 它們屬同一： $$ \mathcal S_2. $$ 只有如果某個 wheel-derived construction產生： > 無法由 finite quotient signature deterministic reconstruct 的 theorem-level invariant 才可能升成新 source。 --- # 7. Effective wheel final status 原 RG-SCP 03： $$ M_k^{\mathrm{eff}}(N) $$ 從： $$ M_k $$ 移除： $$ r\mid N $$ 的 small primes。 V0 verdict： $$ \boxed{ \text{REMOVE FROM CANONICAL EXACT CORE}. } $$ 理由： - 對 $p>p_k$ 與 ordinary wheel相同； - 對 self-cell可能誤標； - 不增加 proof information。 可留 async heuristic history，但不進 theorem ledger。 --- # 8. Counterexample admissibility final form 定義 counterexample universe： $$ \mathcal C_G. $$ proof-admissible outer approximation： $$ \boxed{ \mathcal A_k^{\mathrm P} = \left\{ N\in2\mathbb N_{\ge4}: K_1(N)\land\cdots\land K_k(N) \right\}. } $$ 每個： $$ K_i $$ 必須有 theorem： $$ F_G(N)=1 \Longrightarrow K_i(N). $$ 因此： $$ \boxed{ \mathcal C_G \subseteq \mathcal A_k^{\mathrm P}. } $$ --- # 9. Heuristic candidate space分離 若使用 heuristic filters： $$ H_j(N), $$ 另定義： $$ \mathcal A_m^{\mathrm H}. $$ 不得寫： $$ \mathcal C_G \subseteq \mathcal A_m^{\mathrm H} $$ 除非每個 filter已 promotion 成 theorem。 --- # 10. Goldbach reduced-domain canonical target 統一使用： $$ \boxed{ \mathbb P_N^{-} = \left\{ p\in\mathbb P: 2\le p\le N/2 \right\}. } $$ 以及： $$ \boxed{ R_G^{-}(N) = \#\left\{ p\in\mathbb P_N^{-}: N-p\in\mathbb P \right\}. } $$ 則： $$ \boxed{ F_G(N)=1 \Longleftrightarrow R_G^{-}(N)=0. } $$ --- # 11. Canonical GFOC 定義： $$ \mathcal O_r(N) = \left\{ p\in\mathbb P_N^{-}: r\mid(N-p) \right\}. $$ 則： $$ \boxed{ F_G(N)=1 \Longleftrightarrow \mathbb P_N^{-} \subseteq \bigcup_{\substack{ r\in\mathbb P\\ r^2\le N-2 }} \mathcal O_r(N). } $$ 這是 R02 audit後的 canonical obstruction cover。 --- # 12. Canonical proper obstruction map failure等價於存在： $$ \Phi_N: \mathbb P_N^{-} \to \mathbb P $$ 使： $$ \Phi_N(p)\mid(N-p), $$ 以及： $$ \Phi_N(p)^2\le N-p. $$ canonical choice： $$ \Phi_N^{\min}(p) = \operatorname{lpf}(N-p). $$ 注意： > total proper map不唯一；least-factor choice唯一。 --- # 13. Divisor self-suppression 若： $$ r\mid N, $$ 且： $$ r\mid(N-p), $$ 則： $$ r\mid p. $$ 對 prime： $$ p, $$ 所以： $$ p=r. $$ 這是 R03 primorial geometry與 R06 capacity suppression共同核心。 --- # 14. Primorial hard-sector canonical theorem 若： $$ M_k\mid N, $$ 且： $$ p_k\le N/2, $$ 則： $$ \boxed{ \mathbb H_{p_k}(N) = \left\{ p\in\mathbb P: p_kp_k. } $$ 這是 failure對 hard sector的 conditional strengthening。 --- # 16. M6 fixed-point canonical theorem 對： $$ n\in M6^*, $$ $$ \boxed{ T_{\mathrm{top}}(n) = \operatorname{lpf}(n). } $$ 所以： $$ \boxed{ \operatorname{Fix}(T_{\mathrm{top}}) = P^*. } $$ --- # 17. Canonical M6 fiber 對： $$ p\in P^*, $$ 定義： $$ U_p = \left\{ u\ge1: \gcd(u,6)=1, \quad r\mid u,\ r\in\mathbb P \Rightarrow r\ge p \right\}. $$ 則： $$ \boxed{ F_p = \{pu:u\in U_p\}. } $$ 舊： $$ pU_6 $$ 版本 superseded。 --- # 18. M6 additive candidate nonemptiness 對所有 even： $$ N\ge10, $$ $$ \boxed{ \mathcal A_N^{(6)} \neq\varnothing. } $$ 甚至 reduced： $$ \boxed{ \mathcal A_N^{(6),-} \neq\varnothing. } $$ 可由 residue class explicit witnesses： $$ 5 $$ 或： $$ 7 $$ 初等證明。 --- # 19. Two-channel count theorem 對： $$ N\ge10 $$ even： $$ \boxed{ R_G^{-}(N) = R_6^{-}(N) + \mathbf1_{\mathbb P}(N-3). } $$ 因此： $$ F_G(N)=1 $$ 等價於： $$ \Delta_6(N)>0 $$ 以及： $$ N-3\notin\mathbb P. $$ --- # 20. $6\mid N$ clean branch 若： $$ 6\mid N, \quad N\ge12, $$ 則： $$ \boxed{ R_G^{-}(N) = R_6^{-}(N), } $$ 所以： $$ \boxed{ F_G(N)=1 \Longleftrightarrow \Delta_6(N)>0. } $$ --- # 21. Canonical shadow identity $$ S_N(a) = T_{\mathrm{top}}(a) + T_{\mathrm{top}}(N-a). $$ $$ E_{6,N}(a) = e_6(a)+e_6(N-a). $$ 有： $$ \boxed{ S_N(a) = N-E_{6,N}(a). } $$ 因此： $$ \boxed{ \Delta_6(N) = N-\max\mathcal S_6(N). } $$ --- # 22. Shadow positive-gap theorem 若： $$ e_6(n)>0, $$ 則： $$ e_6(n)\ge20. $$ 所以： $$ \boxed{ \Delta_6(N) = 0 } $$ 或： $$ \boxed{ \Delta_6(N)\ge20. } $$ 若 section hole： $$ \boxed{ \max\mathcal S_6(N)\le N-20. } $$ --- # 23. Naive shadow descent final status 任何： $$ S_N(a) $$ 本身已是兩個： $$ P^* $$ primes之和。 所以： $$ \boxed{ F_G(S_N(a))=0. } $$ 若： $$ S_N(a)6, $$ $$ \boxed{ R_G(N)>0 \Longleftrightarrow p_{\mathrm{esc}}(N;k)\text{ exists}. } $$ 所以： ```text escape_exists = TruthLabel escape_depth = PosthocDiagnostic / TruthAdjacent ``` --- # 28. Surrogate world final semantics 對： $$ \mathcal Q\subseteq\mathbb N, $$ 定義： $$ R_{\mathcal Q}^{-}(N), $$ 以及： $$ F_{\mathcal Q}(N). $$ 只有： $$ \mathcal Q=\mathbb P $$ 才叫： $$ F_G. $$ synthetic world不可直接冒用 real-prime target notation。 --- # 29. Canonical survivor demand 對： $$ 2\le yy} B_r(N;y). } $$ 因此： $$ \boxed{ C_N^{\mathrm{can}}(y) = \sum_{r>y} |B_r(N;y)|. } $$ --- # 32. Incidence mass final status $$ m_y(N,p) $$ 計 deep proper factors數量。 $$ I_N(y) = \sum_p m_y(N,p). $$ 它不是 canonical coverage capacity。 而： $$ \Omega_N(y) = \sum_p \max(m_y(N,p)-1,0). $$ 有： $$ \boxed{ I_N(y) = C_N^{\mathrm{can}}(y) + \Omega_N(y). } $$ 所以： $$ R_G^{-} = D+\Omega-I $$ 只是 audit identity。 --- # 33. $D>I$ final interpretation $$ \boxed{ D_N(y)>I_N(y) \Longleftrightarrow R_G^{-}(N)>\Omega_N(y). } $$ 所以 $D>I$ 只是 success sufficient criterion。 不再作 Phase-I main closure target。 --- # 34. AP raw capacity column 定義： $$ x_r(N) = \min(N/2,N-r^2), $$ $$ A_r(N) = \#\left\{ p\in\mathbb P: 2\le p\le x_r(N), \quad p\equiv N\pmod r \right\}. $$ least-factor cell： $$ B_r(N;y) \subseteq A_r(N). $$ 所以： $$ \boxed{ C_N^{\mathrm{can}}(y) \le \sum_{r>y} A_r(N). } $$ --- # 35. Exact divisor-column suppression 若： $$ r\mid N, $$ 則： $$ \boxed{ A_r(N) = \mathbf1_{\{N\ge r(r+1)\}}. } $$ 這取代： $$ A_r\le1. $$ --- # 36. Exact small-factor self-cell 若： $$ \ell\mid N, $$ 且： $$ \ell\le y U_N^{\mathrm{can}}(y) \Longrightarrow R_G^{-}(N)>0. } $$ 這是 Phase-I 主 closure template。 --- # 38. Minimality transport naming final form 舊： `primorial-smooth shift` canonical： $$ \boxed{ \text{primorial-divisible shift} } $$ 即： $$ M_k\mid h. $$ --- # 39. Transport layer set $$ \boxed{ \mathcal H_k(N_*) = \left\{ h>0: M_k\mid h, \quad N_*-h>2p_k \right\}. } $$ 其 size： $$ \boxed{ |\mathcal H_k(N_*)| = \left\lfloor \frac{ N_*-2p_k-2 }{ M_k } \right\rfloor } $$ 在 numerator非負時成立。 nonempty iff： $$ \boxed{ N_* \ge M_k+2p_k+2. } $$ --- # 40. Transport neighborhood $$ \boxed{ \Gamma_k(N_*) = \left\{ q: \exists h\in\mathcal H_k(N_*), \quad q\in\mathcal R^{-}(N_*-h) \right\}. } $$ 則： $$ \boxed{ \Gamma_k(N_*) \subseteq \mathbb H_{p_k}(N_*). } $$ under failure： $$ \boxed{ \Gamma_k(N_*) \subseteq \mathbb C_{p_k}(N_*). } $$ --- # 41. Transport demand canonical： $$ \boxed{ D_{N_*}(p_k) \ge |\Gamma_k(N_*)|. } $$ matching： $$ \nu_k $$ 降為 optional certificate。 --- # 42. Direct bounded-degree lower bound 若： $$ \Delta_k^R(N_*) $$ 是 right maximum degree， 則： $$ \boxed{ |\Gamma_k(N_*)| \ge \left\lceil \frac{ |\mathcal H_k(N_*)| }{ \Delta_k^R(N_*) } \right\rceil. } $$ 不需要 matching theorem。 --- # 43. Exact right-degree interval 對 fixed right endpoint： $$ q, $$ 定義： $$ L_{k,q} = \max(q,2p_k-q+1), $$ $$ U_{k,q} = N_*-q-M_k. $$ 則： $$ \boxed{ \deg(q) = \#\left\{ p\in\mathbb P: L_{k,q}\le p\le U_{k,q}, \quad p\equiv N_*-q\pmod{M_k} \right\}. } $$ 若： $$ \gcd(N_*-q,M_k)>1, $$ 則： $$ \deg(q)=0. $$ --- # 44. Minimality closure final form 若： $$ |\Gamma_k(N_*)| \ge L_k^{\mathrm{trans}}(N_*), $$ 以及： $$ C_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k) \le U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k), $$ 則 minimal counterexample要求： $$ L_k^{\mathrm{trans}}(N_*) \le U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k). $$ 所以： $$ \boxed{ L_k^{\mathrm{trans}}(N_*) > U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k) } $$ 排除 minimal counterexample。 --- # 45. Transport 的真正研究域 若： $$ M_k\mid N, $$ total demand已 exact： $$ D_N(p_k) = \pi(N/2)-k. $$ 因此 transport最可能新增 quantitative value的區域是： $$ \boxed{ M_k\nmid N, } $$ 但存在很多： $$ M_k\mid h $$ lower layers。 這是 E6 的優先 domain。 --- # 46. Canonical theorem ledger：Core A — Foundation ## C-A01 Counterexample set emptiness等價 Goldbach。 Class： $$ [\mathrm E]. $$ ## C-A02 非空 counterexample set有 minimal counterexample。 Class： $$ [\mathrm T]. $$ ## C-A03 minimality implies all smaller legal evens success。 Class： $$ [\mathrm T]. $$ ## C-A04 proof-admissible outer approximation soundness。 Class： $$ [\mathrm T/F]. $$ --- # 47. Canonical theorem ledger：Core B — Obstruction ## C-B01 Reduced prime domain suffices。 ## C-B02 Reduced pointwise small-factor characterization。 ## C-B03 Reduced GFOC exact characterization。 ## C-B04 Total proper obstruction map iff failure。 ## C-B05 least-factor canonical partition。 ## C-B06 divisor self-suppression。 --- # 48. Canonical theorem ledger：Core C — Wheel ## C-C01 M6 residue branch classification。 ## C-C02 wheel-hard nesting。 ## C-C03 primorial-divisible target implies hard-sector equality。 ## C-C04 hard-sector cardinality： $$ \pi(N/2)-k. $$ ## C-C05 failure turns hard sector into $p_k$-rough composite wall。 ## C-C06 graph deficiency： $$ \delta_N = R_G^{-}(N). $$ --- # 49. Canonical theorem ledger：Core D — Fixed Point ## C-D01 $$ T_{\mathrm{top}} = \operatorname{lpf} $$ on： $$ M6^*. $$ ## C-D02 exact fiber multiplier： $$ F_p=pU_p. $$ ## C-D03 M6 additive candidate nonempty。 ## C-D04 positive fixed-point defect至少： $$ 20. $$ ## C-D05 count-level two-channel decomposition。 ## C-D06 shadow identity。 ## C-D07 shadow-gap identity。 ## C-D08 positive $\Delta_6$ 至少： $$ 20. $$ ## C-D09 naive shadow descent no-go。 ## C-D10 $6\mid N$ clean branch。 --- # 50. Canonical theorem ledger：Core E — Heuristic Firewall 這一組不是數論新 theorem，而是 research-method core。 ## C-E01 Exactness / Data Role 二維標記。 ## C-E02 Truth leakage principle。 ## C-E03 world-relative surrogate target： $$ F_{\mathcal Q}. $$ ## C-E04 Discovery Gate / Proof Gate separation。 ## C-E05 exact observation collision implies source insufficiency。 --- # 51. Canonical theorem ledger：Core F — Demand / Capacity ## C-F01 all reduced Goldbach inputs survive： $$ \mathbb G_N^{-} \subseteq \mathbb H_y(N). $$ ## C-F02 canonical partition： $$ H=G\bigsqcup C. $$ ## C-F03 $$ R_G^{-} = D-C^{\mathrm{can}}. $$ ## C-F04 least-factor capacity-cell partition。 ## C-F05 $$ I=C^{\mathrm{can}}+\Omega. $$ ## C-F06 incidence decomposition。 ## C-F07 raw AP upper envelope。 ## C-F08 divisor AP exact indicator。 ## C-F09 small-factor self-cell exact theorem。 ## C-F10 canonical closure： $$ L>U^{\mathrm{can}} \Rightarrow R>0. $$ --- # 52. Canonical theorem ledger：Core G — Minimality Transport ## C-G01 lift-blocking。 ## C-G02 primorial-divisible shift suppression。 ## C-G03 edge-to-hard-survivor。 ## C-G04 transport neighborhood inclusion。 ## C-G05 under failure： $$ \Gamma\subseteq C^{\mathrm{can}}. $$ ## C-G06 direct bounded-degree neighborhood lower bound。 ## C-G07 exact right-degree interval AP formula。 ## C-G08 minimality transport closure： $$ L^{\mathrm{trans}}>U^{\mathrm{can}}. $$ matching / Hall不再列 primary core。 --- # 53. Superseded claim ledger 以下舊說法不再使用。 ## S-UP01 $$ \mathcal A_k = \{N:F_G(N)=1\land K_i\ldots\}. $$ Superseded by： $$ \mathcal A_k^{\mathrm P} $$ outer approximation。 --- ## S-UP02 Raw GFOC只是必要條件。 Superseded by： $$ \boxed{ \text{reduced GFOC exact characterization}. } $$ --- ## S-UP03 effective wheel為新 exact obstruction object。 Superseded： $$ \boxed{ \text{removed from core}. } $$ --- ## S-UP04 fiber multiplier只需： $$ u\in U_6. $$ Superseded by： $$ u\in U_p. $$ --- ## S-UP05 section hole只保證： $$ \Delta_6\ge2. $$ Superseded by： $$ \Delta_6\ge20. $$ --- ## S-UP06 $I_N$ 作 canonical capacity。 Superseded by： $$ C_N^{\mathrm{can}}. $$ --- ## S-UP07 $D+\Omega-I$ 作 primary demand-capacity identity。 Superseded by： $$ R=D-C^{\mathrm{can}}. $$ --- ## S-UP08 matching $\nu_k$ 作 canonical transport demand。 Superseded by： $$ |\Gamma_k|. $$ --- ## S-UP09 primorial-smooth shift。 Superseded terminology： $$ \boxed{ \text{primorial-divisible shift}. } $$ --- # 54. Formalization priority重排 原 RG-SCP 08 建議全面形式化。 V0 後改為三層。 --- # 55. Formalization Tier 0 — Definitions / Safety 優先建立： ```text Basic GoldbachReduced Counterexample ProofAdmissible PrimeCutoff DataRoleMetadata ``` 目標： - domain無歧義； - reduced count統一； - 不偷塞 target； - cutoff全部離散化。 --- # 56. Formalization Tier 1 — Elementary Exact Spine 最高優先： 1. minimal counterexample existence； 2. reduced GFOC exact theorem； 3. proper obstruction map theorem； 4. divisor self-suppression； 5. primorial hard-sector equality； 6. $T_{\mathrm{top}}=\operatorname{lpf}$； 7. exact M6 fiber multiplier； 8. two-channel count theorem； 9. positive defect $\ge20$； 10. shadow identity； 11. canonical survivor partition； 12. $R=D-C^{\mathrm{can}}$； 13. incidence audit identity； 14. AP divisor column exact indicator； 15. transport neighborhood inclusion； 16. bounded-degree neighborhood lower bound； 17. exact right-degree interval formula。 --- # 57. Formalization Tier 2 — Closure Templates 在 Tier 1 PASS 後才做： $$ L>U^{\mathrm{can}} \Rightarrow R>0, $$ 以及： $$ L^{\mathrm{trans}} > U^{\mathrm{can}} \Rightarrow \text{no minimal counterexample}. $$ 這些 theorem本身 elementary， 真正困難在提供 nontrivial： $$ L, U. $$ --- # 58. External analytic interface 分離： ```text RGSCPExternal/ PrimeCountBounds APUpperBounds BrunTitchmarsh ExplicitPNT SieveBounds PairCorrelationFuture ``` 不得 import heuristic module進 proof core。 --- # 59. Heuristic 不需要大規模形式化 以下不優先 Lean： - $\varepsilon_{\mathrm{full}}$ fitted model； - pressure ridge； - skew anomaly； - ML classifier； - surrogate generator； - cross-AI reconstruction。 只需保存 provenance與 promotion結果。 --- # 60. V1 Formal Core Gate 只有以下全 PASS： ```text [ ] definitions type-check [ ] no sorry [ ] no hidden complement-primality oracle [ ] no target predicate embedded in admissibility sets [ ] lpf/T_top source aliases explicit [ ] old effective-wheel imports removed [ ] fiber multiplier uses U_p [ ] canonical capacity uses C_can [ ] transport primary object uses Gamma [ ] analytic imports isolated ``` 才標： $$ \boxed{ \text{RG-SCP Core-0.1 Formalized}. } $$ --- # 61. E0 — Identity / Invariant Validation 修正版 第一輪不跑大。 建議： $$ N\le10^5. $$ 必驗： ## E0-A $$ R_G^{-} = D-C^{\mathrm{can}}. $$ ## E0-B $$ I = C^{\mathrm{can}}+\Omega. $$ ## E0-C $$ R_G^{-} = D+\Omega-I. $$ ## E0-D $$ \Delta_6 = N-\max\mathcal S_6. $$ ## E0-E $$ \Delta_6=0 $$ 或： $$ \Delta_6\ge20. $$ ## E0-F $$ R_G^{-} = R_6^{-} + \mathbf1_{\mathbb P}(N-3). $$ --- # 62. E0 Primorial invariants 若： $$ M_k\mid N, $$ 必驗： $$ \boxed{ \mathbb H_{p_k}(N) = \{p:p_k leakage-free theorem lower bound能抓到 exact demand多少？ --- # 69. E3 — Canonical Capacity Upper-Bound Audit 舊 E3： $$ U/I. $$ canonical 改： $$ \boxed{ \operatorname{CanonicalCapacitySlack} = \frac{ U_N^{\mathrm{can}}(y) }{ C_N^{\mathrm{can}}(y)+1 }. } $$ 其中： $$ C_N^{\mathrm{can}} $$ 只在 truth/evaluation channel。 --- # 70. E3 Bound Ladder 依序比較： 1. raw AP sum； 2. divisor-suppressed AP； 3. survivor-restricted incidence envelope； 4. Bonferroni； 5. least-factor cell bound； 6. any new cross-$r$ bound。 最重要不是誰 fit最好， 而是： $$ \boxed{ U^{\mathrm{can}} \text{ 能否真的往 }D\text{ 以下壓}. } $$ --- # 71. E4 — Cutoff Optimization Firewall 如果用： $$ C^{\mathrm{can}}, I,R_G $$ 真值選 cutoff再宣稱 predictor有效， 屬 leakage。 所以： ## Discovery cutoff 只能由 leakage-free input選： $$ y(N). $$ ## Proof cutoff 可由 symbolic theorem自由指定， 但 selection rule需寫進 theorem。 --- # 72. E5 — Primorial Branch 對： $$ M_k\mid N, $$ demand已 exact。 所以 E5 不需再研究 demand prediction。 直接測： $$ \boxed{ \operatorname{PrimorialCapacityRatio} = \frac{ U_N^{\mathrm{can}}(p_k) }{ \pi(N/2)-k }. } $$ 如果長期： $$ \gg1, $$ capacity side是主要 bottleneck。 --- # 73. E5 Escape truth control 若： $$ k\ge2, \quad N>6, $$ 驗： $$ R_G(N)>0 \Longleftrightarrow p_{\mathrm{esc}}\text{ exists}. $$ 但 escape field只作 truth/evaluation。 --- # 74. E6 — Minimality Transport 修正版 真 minimal counterexample未知。 所以用 successful frontier surrogate只測 geometry。 保存： ```text k M_k M_k | N ? shift_count |H_k| right_neighborhood_count |Gamma_k| max_right_degree direct_degree_lower_bound matching_optional Hall_optional ordinary_demand_lower_bound transport_demand_lower_bound incremental_gain ``` --- # 75. E6 的核心指標 不是： $$ \nu_k. $$ 而是： $$ \boxed{ \operatorname{TransportIncrement} = \max \left( L_{\mathrm{ordinary}}, L_{\mathrm{trans}} \right) - L_{\mathrm{ordinary}}. } $$ 如果長期： $$ 0, $$ 則 $\mathcal S_4$ 沒有 quantitative gain。 --- # 76. E6 優先 domain 優先： $$ \boxed{ M_k\nmid N. } $$ 原因： 若： $$ M_k\mid N, $$ total demand： $$ D_N(p_k) $$ 已 exact known。 transport在該 branch主要只剩 local-structure用途。 --- # 77. E7 — Heuristic Target Selection 可用： - fitted $\varepsilon$； - skew； - pressure； - anomaly detector； 選： - candidate family； - cutoff； - transport scale； - local subset。 但輸出必須是： $$ \boxed{ \text{exact candidate statement}. } $$ 若只有： > model score很高 不得 promotion。 --- # 78. E8 — Adversarial Source Sufficiency 建立 world-relative： $$ \mathcal Q. $$ 測： - density-matched； - wheel-preserved； - residue-shuffled； - lpf-profile-matched； - pair-target-different surrogate。 --- # 79. E8 Formal vs Empirical ## Empirical $$ J_H(X)\approx J_H(Y), $$ target不同。 只能報： ```text empirical_indistinguishability ``` ## Formal $$ J(X)=J(Y) $$ 且： $$ T(X)\neq T(Y). $$ 可報： ```text formal_observation_insufficiency_witness ``` 並推出： $$ \nexists f, \quad T=f\circ J. $$ --- # 80. V0 後第一個正式研究 Bottleneck 現在不是： > Goldbach 還沒證。 而是兩個更具體 bottleneck。 ## Bottleneck A — Demand 能否得到： $$ L_N(y) $$ 足夠接近： $$ D_N(y)? $$ ## Bottleneck B — Canonical Capacity 能否得到： $$ U_N^{\mathrm{can}}(y) $$ 足夠接近： $$ C_N^{\mathrm{can}}(y)? $$ --- # 81. 第三個 Bottleneck — History Gain minimality source是否真的增加： $$ L? $$ 即： $$ \boxed{ L_{\mathrm{trans}} > L_{\mathrm{ordinary}} } $$ 是否在任何有用 family上成立？ 如果沒有， R07應停止加深。 --- # 82. 第四個 Bottleneck — Source Sufficiency 如果： - factor； - wheel； - fixed-point organization； - standard analytic AP； 全部只能產生很鬆： $$ L,U, $$ 則應問： $$ \boxed{ \text{是否 source class 本身不足？} } $$ 而不是繼續加更大 wheel。 --- # 83. Phase-II Gate 最終版 Phase II 不再只看「有沒有漂亮 pattern」。 必須至少滿足四個 Gate。 --- ## Gate A — Formal Correctness ```text Core-0.1 machine-check PASS no sorry no hidden oracle all corrected domains implemented ``` --- ## Gate B — Compression Gain 至少一個： $$ L $$ 或： $$ U $$ 相對 trivial / raw baseline有 nontrivial quantitative improvement。 --- ## Gate C — Source Usefulness 新增 source或 organization確實： - raise $L$； - lower $U$； - shrink admissible family； - or produce family theorem。 --- ## Gate D — Truth-Leakage Clean 所有 discovery claim通過 data-role audit。 --- # 84. Phase-II Gate 判定 只有： $$ \boxed{ A\land B\land C\land D } $$ 才開 Phase II。 目前： ```text Gate A: PENDING Gate B: PENDING Gate C: PARTIAL-CONCEPTUAL Gate D: DESIGNED, NOT YET TESTED ``` 所以： $$ \boxed{ \text{Phase II = NOT OPEN}. } $$ --- # 85. 如果 Capacity Compression PASS 若 E3 / E5 顯示： $$ U_N^{\mathrm{can}} $$ 可顯著壓低， 而有 theorem candidate， 則下一主篇可以是： # RG-SCP 09 ## Canonical Capacity Compression ### Least-Factor Cells, Survivor Restriction, and Family Exclusion --- # 86. 如果 Transport Gain PASS 若： $$ L_{\mathrm{trans}} > L_{\mathrm{ordinary}} $$ 在明確 family出現， 則可先走： # RG-SCP 09 ## Minimality Neighborhood Expansion ### Additive-History Lower Bounds Beyond Ordinary Wheel Demand --- # 87. 如果兩者都 FAIL 若： - capacity upper bounds持續太鬆； - transport沒有 incremental gain； - adversarial source test顯示 finite quotient / lpf source不足； 則不要繼續： $$ M_k \to M_{k+1} \to M_{k+2}. $$ 直接開： # RG-SCP 09 ## Source-Class Escape ### From Local Factor Obstructions to Pair-Spectral or Nonlocal Additive Structure --- # 88. Pair-Spectral Gate 若要開 pair-spectral route， 至少要回答： > 新 operator / transform到底保存了哪種 two-point information，是不是只是重新計算 $R_G$？ 不能只寫： $$ P(z)^2 $$ 係數等於 Goldbach count， 因這是 target重寫。 --- # 89. Generating Function Gate $$ P(z) = \sum_{p\in\mathbb P}z^p. $$ $$ [z^N]P(z)^2 $$ 直接 encode Goldbach representations。 所以新 proof power必須來自： - independent coefficient positivity lower bound； - transform preserving positivity； - analytic restriction producing new bound； - certificate compression。 --- # 90. Nonlocal Operator Gate 若建立： $$ \mathcal T_N $$ 作用於整個： $$ \{N-p\}_{p\in\mathbb P_N^{-}}, $$ 要檢查： 1. 是否逐點 secretly factor； 2. 是否逐點 secretly query primality； 3. 是否有 bounded-size output； 4. 是否能證 target-dependent invariant； 5. 是否 split old-source fibers。 只有後三項成功，才可能叫 source escape。 --- # 91. Formal source-novelty test 若舊 observation： $$ J_{\mathrm{old}} $$ 與新 observation： $$ J_{\mathrm{new}} $$ 滿足： $$ J_{\mathrm{new}} = f\circ J_{\mathrm{old}}, $$ 則： $$ J_{\mathrm{new}} $$ 不是 independent source。 真正 source escape至少需要存在： $$ x,y $$ 使： $$ J_{\mathrm{old}}(x) = J_{\mathrm{old}}(y) $$ 但： $$ J_{\mathrm{new}}(x) \neq J_{\mathrm{new}}(y). $$ --- # 92. Phase-I Proof Compression Criterion 最終版 一個新結果要被標： ```text proof_compression_gain: true ``` 至少滿足之一： 1. uniform raise demand lower bound； 2. uniform lower canonical capacity upper bound； 3. eliminate infinite candidate family； 4. compress many pointwise factor obligations成 bounded-size certificate； 5. produce cross-$p$ theorem； 6. use minimality history to add quantitative lower-bound power； 7. split a source fiber relevant to target。 --- # 93. 不算 proof compression 的事情 以下本身不算： - 換 notation； - 畫 graph； - 加一個 wheel； - 定義 entropy； - 定義 energy； - fitting更準； -驗到更大 $N$； - 同一 lpf source產生更多 derived metrics； - 把 target truth改名成 pressure score。 --- # 94. Canonical synchronization policy 同步區： ```text 00_SYNC_CORE ``` 只放： - canonical theorem； - canonical correction； - source ledger； - formal proof； - exact certificate； - Phase Gate； - promoted theorem candidate。 --- # 95. Async policy ```text 10_ASYNC_TEXT 20_ASYNC_AUDIT 30_ASYNC_EXPERIMENTS ``` 可放： - narrative summary； - fitted model； - experiment log； - failed candidate； - null-model output； - charts； - raw data； - cross-AI reconstruction。 只有 promotion後再搬入 sync core。 --- # 96. Canonical Phase-I file set 建議 formal handoff 至少包含： ```text RG-SCP_Canonical_Definitions_v0.1.md RG-SCP_Canonical_Theorem_Ledger_v0.1.yaml RG-SCP_Canonical_Source_Ledger_v0.1.yaml RG-SCP_Truth_Leakage_Ledger_v0.1.yaml RG-SCP_Formalization_Priority_v0.1.md RG-SCP_E0-E8_Protocol_v0.1.md RG-SCP_PhaseII_Gate_v0.1.yaml ``` 這些可在 V1 前由本文件拆出。 --- # 97. V0 Status Matrix | Round | 主題 | Verdict | 主要修正 | |---|---|---|---| | V0-R01 | Counterexample / Admissibility | PASS WITH CORRECTION | 外逼近去除 $F_G$ circular definition | | V0-R02 | Obstruction Cover | PASS WITH STRENGTHENING | reduced GFOC 升格 exact | | V0-R03 | M6 / Wheel | PASS WITH STRENGTHENING | primorial hard sector unconditional；移除 effective wheel | | V0-R04 | Fixed Point | PASS WITH CORRECTION | $F_p=pU_p$；$\Delta_6>0\Rightarrow\Delta_6\ge20$ | | V0-R05 | Heuristic Layer | PASS WITH FIREWALL | TruthLabel / DiscoveryProbe 分離 | | V0-R06 | Demand / Capacity | PASS WITH RECONSTRUCTION | $C^{can}$ 取代 $I$ 作 canonical capacity | | V0-R07 | Minimality Transport | PASS WITH REBASE | $\Gamma$ 取代 matching 作 primary transport demand | | V0-R08 | Phase-I Synthesis | V0 COMPLETE | canonical core / protocol / gates 重構 | --- # 98. Phase-I Current Status ```yaml phase: I conceptual_architecture: status: COMPLETE claim_source_audit: status: COMPLETE canonical_corrections: status: COMPLETE_FOR_V0 formal_core: status: PENDING exact_identity_experiments: status: PENDING demand_compression: status: PENDING capacity_compression: status: PENDING transport_increment: status: PENDING adversarial_source_audit: status: PENDING goldbach_closure: status: OPEN phase_II: status: NOT_OPEN ``` --- # 99. V1 建議執行順序 不要從最長 theorem開始。 依 dependency： ```text V1-01 Basic / Reduced Goldbach V1-02 Counterexample / Admissibility V1-03 Obstruction / GFOC V1-04 Primorial Geometry V1-05 T_top / Exact M6 Fiber V1-06 Two-Channel / Shadow V1-07 Survivor / Canonical Capacity V1-08 Incidence Audit / AP Suppression V1-09 Minimality / Transport Neighborhood V1-10 Closure Templates ``` --- # 100. 若不做 Lean，最低可接受形式驗證 如果本地資源暫時不足以完整 Lean， 至少每個 theorem需要： 1. machine-readable statement； 2. finite-domain sanity test； 3. independent proof rewrite； 4. dependency graph； 5. no-target-oracle audit； 6. counterexample search for theorem statement。 但： $$ \boxed{ \text{這仍不等於正式 proof assistant verification}. } $$ --- # 101. E0 優先於大規模 E1 Formal core完成後， 第一個計算任務必須是： $$ \boxed{ E0. } $$ 而不是直接： $$ N\le10^8 $$ branch census。 原因： 如果： $$ R=D-C^{can} $$ 或： $$ \Delta_6 $$ 實作錯一個 domain， 大規模結果全無意義。 --- # 102. E0 最值得優先撞的 bug 根據 V0 audit： 1. fiber把 $U_6$ 誤當 $U_p$； 2. effective wheel self-cell； 3. prime complement誤進 lpf obstruction cell； 4. target-derived field進 discovery input； 5. cutoff： $$ y\ge N/2 $$ 邊界； 6. transport layer strict / non-strict inequality； 7. AP degree忽略 lower interval； 8. $I$ 被錯當 canonical capacity。 這些都應先寫 regression tests。 --- # 103. Phase-I 最值得保留的三個核心研究問題 如果把整套 RG-SCP 壓到只剩三題： ## Q1 — Capacity Compression 能不能 independent 地證： $$ C_N^{\mathrm{can}}(y) \le U_N^{\mathrm{can}}(y) $$ 而： $$ U_N^{\mathrm{can}} $$ 顯著小於 raw AP sum？ --- ## Q2 — Demand Compression 能不能 independent 地證： $$ D_N(y)\ge L_N(y) $$ 且： $$ L_N $$ 足夠接近 exact demand？ --- ## Q3 — History Gain minimality transport能不能證： $$ L_{\mathrm{trans}} > L_{\mathrm{ordinary}} $$ 在某個非平凡 family？ --- # 104. Phase-I 真正成功的條件 不是： > 定義很多量。 而是至少出現： $$ \boxed{ L>U^{\mathrm{can}}. } $$ 或： $$ \boxed{ \text{一個新的 cross-input theorem， 能 uniform 地提高 }L \text{ 或降低 }U. } $$ --- # 105. Phase-I 真正失敗的條件 如果： - $L$ 永遠太低； - $U^{\mathrm{can}}$ 永遠太高； - transport increment約為 $0$； - surrogate exact collision顯示 current source insufficient； 那麼應： $$ \boxed{ \text{Freeze factor/wheel branch}. } $$ 這不是研究失敗。 它是： $$ \boxed{ \text{source-class falsification}. } $$ --- # 106. V0 最終 Source Audit Principle 若： $$ J_2 = f\circ J_1, $$ 則： $$ J_2 $$ 不是 independent source。 所以： - fixed-point label； - lpf； - canonical factor obstruction； 不能被當成多份證據。 --- # 107. V0 最終 Truth-Leakage Principle 若： $$ T = f(X_1,\ldots,X_m) $$ exact， 則在以： $$ T $$ 為 target的 discovery model中， 完整使用： $$ X_1,\ldots,X_m $$ 等於 target leakage。 所以： $$ \boxed{ \text{Exact} \neq \text{Leakage-Free}. } $$ --- # 108. V0 最終 Closure Principle 真正 closure只接受： $$ \boxed{ \text{rigorous lower bound} > \text{rigorous independent upper bound}. } $$ 對 RG-SCP Phase I： $$ \boxed{ L_N(y) > U_N^{\mathrm{can}}(y) } $$ 是主形式。 minimality： $$ \boxed{ L_k^{\mathrm{trans}}(N_*) > U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k) } $$ 是 history-enhanced形式。 --- # 109. V0 最終結論 RG-SCP Phase I 經過八輪 V0 審計後， 可以正式保留為： $$ \boxed{ \text{a counterexample-admissibility and proof-compression research program}. } $$ 但不能描述為： $$ \boxed{ \text{a Goldbach proof}. } $$ 它目前真正完成的是： 1. counterexample state normalization； 2. source de-duplication； 3. exact obstruction characterization； 4. primorial hard-sector compression； 5. fixed-point relational normalization； 6. truth-leakage firewall； 7. canonical demand / coverage identity； 8. minimality neighborhood architecture； 9. formalization-ready dependency order； 10. falsifiable Phase-II gate。 --- # 110. 下一步 不是直接 RG-SCP 09。 正式下一階： # RG-SCP Validation V1 ## Formal Core 第一篇建議： # V1-01 ## Basic / Reduced Goldbach / Counterexample Kernel 內容只做： - reduced domain； - $R_G^{-}$； - $F_G$； - $\mathcal C_G$； - minimal counterexample existence； - proof-admissible outer approximation schema。 完成後才進： $$ \boxed{ \text{V1-02 Obstruction Core}. } $$ --- # 111. 最短版本 如果只保留一句話： > **V0 完成後，RG-SCP 的主線已從「很多 obstruction 指標」收斂成一個乾淨的 proof-compression 問題：用不偷看 Goldbach truth 的方法證明 survivor demand 下界，大於 canonical composite-coverage 上界；minimality transport的價值則只在它能額外提高這個 demand 下界時成立。** Phase-I canonical closure： $$ \boxed{ L_N(y)>U_N^{\mathrm{can}}(y) } $$ Minimality-enhanced closure： $$ \boxed{ L_k^{\mathrm{trans}}(N_*) > U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k). } $$ Phase-II gate： $$ \boxed{ \text{Formal Correctness} \land \text{Compression Gain} \land \text{Source Usefulness} \land \text{Truth-Leakage Clean}. } $$ 目前： $$ \boxed{ \text{V0 COMPLETE}, \qquad \text{PHASE II NOT OPEN}. } $$ --- # 附錄 A：Canonical Object Ledger ```yaml counterexample: C_G: N_star: admissibility: A_proof: A_heuristic: obstruction: reduced_domain: raw_GFOC: proper_map: canonical_lpf: wheel: H_y: D_N_y: primorial_hard_sector: fixed_point: T_top: U_p: F_p: delta_6: shadow_set: capacity: C_can_N_y: B_r: I_N_y: Omega_N_y: A_r: transport: primorial_divisible_shift: H_k_shift: Gamma_k: Delta_R: matching_optional: heuristic: epsilon_full: skew: pressure: truth: R_G_minus: delta_6: escape_exists: ``` --- # 附錄 B：Canonical Source Ledger ```yaml S0: name: elementary_arithmetic_logic S1: name: factor_lpf aliases: - T_top_on_M6 - Phi_min_on_hard_failure S2: name: finite_quotient_wheel S3: name: fixed_point_relational S4: name: additive_history_minimality type: target_internal_history_source S5: name: external_analytic_counting S6: name: heuristic_approximation_skew S7: name: future_nonlocal_pair_source status: not_established ``` --- # 附錄 C：Truth-Leakage Ledger ```yaml safe_exact_probes: - N_mod_Mk - Mk_divides_N - omega_N - eta_Mk - small_factor_screening - standard_arithmetic_residuals truth_or_truth_adjacent: - R_G_minus - delta_6 - boundary_3 - escape_exists - escape_depth - C_can - exact_I - exact_Omega history_derived: - lower_Goldbach_pairs - transport_Gamma - transport_Delta_R ``` --- # 附錄 D：Superseded Objects ```yaml remove_from_core: - effective_wheel rename: primorial_smooth_shift: to: primorial_divisible_shift replace: admissibility_with_FG_inside: by: proof_admissible_outer_approximation fiber_pU6: by: fiber_pUp canonical_capacity_I: by: canonical_capacity_C_can transport_demand_matching: by: transport_demand_neighborhood_Gamma ``` --- # 附錄 E：E0 Kill-Switch Tests ```text [ ] R = D - C_can [ ] I = C_can + Omega [ ] R = D + Omega - I [ ] delta_6 = N - max(shadow) [ ] delta_6 == 0 or delta_6 >= 20 [ ] R = R6 + indicator(N-3 prime) [ ] primorial hard-sector equality [ ] D(N,p_k) = pi(N/2)-k [ ] A_r exact divisor-column indicator [ ] S_l = {l} for suppressed small factor [ ] T_top = lpf on M6* [ ] fiber membership uses U_p [ ] transport layer boundary uses >= [ ] exact right-degree interval count ``` --- # 附錄 F：Phase-II Gate ```yaml formal_correctness: status: pending compression_gain: status: pending source_usefulness: status: partial_conceptual truth_leakage_clean: status: protocol_defined_not_executed phase_II: open: false next: - V1_Formal_Core - E0_Identity_Validation - E1_to_E6 ``` --- # 附錄 G：Commit Decision ```yaml validation_round: V0-R08 decision: V0_COMPLETE_PHASE_I_CANONICALIZED major_rebases: - proof_admissible_outer_approximation - reduced_GFOC_exact - primorial_hard_sector_unconditional - effective_wheel_removed - exact_M6_fiber_uses_U_p - shadow_gap_minimum_20 - truth_leakage_firewall - escape_as_truth_observable - canonical_capacity_C_can - incidence_demoted_to_audit_mass - transport_neighborhood_Gamma_primary - matching_and_Hall_demoted - primorial_divisible_shift_terminology phase_II_open: false next_stage: V1-01_Basic_Reduced_Goldbach_Counterexample_Kernel commit_to_sync_core: true ```