# RG-SCP Validation Round 07
## RG-SCP 07 Claim / Source Audit
### 《最小反例、平移傳輸與需求容量閉合》的 Neighborhood Canonicalization、Matching 降級與 Additive-History Source 審計

**驗證系列：** RG-SCP Validation  
**驗證階段：** V0 — Claim / Source Audit  
**輪次：** 07  
**對應原稿：** RG-SCP 07《最小反例、平移傳輸與需求容量閉合》v0.1  
**日期：** 2026-09-28  
**版本：** v0.1  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**性質：** Canonical Audit / Minimality Transport / Additive-History Source Audit  
**狀態：** 第七輪審計；不宣稱新的 Goldbach 全域證明

---

## 摘要

本文件對 RG-SCP 07《最小反例、平移傳輸與需求容量閉合》進行 claim/source audit。

本輪檢查：

1. lift-blocking theorem 是否只是 failure 的重新索引；
2. smooth shift 是否真的增加 constraint rank；
3. `smooth shift` 的數論命名是否準確；
4. transport graph 的 edge-to-hard-survivor theorem 是否成立；
5. maximum matching $\nu_k$ 是否真的是最自然的 transport demand；
6. bounded-degree matching lower bound 是否必要；
7. Hall condition 是否被要求得太強；
8. right-degree arithmetic-progression bound 是否可精確化；
9. smooth-shift layer count 的端點是否正確；
10. RG-SCP 07 應如何接入 V0-R06 重構後的 canonical capacity：

$$
C_N^{\mathrm{can}}(y).
$$

本輪最重要的結論是：

> **Transport graph 真正 canonical 的 demand object，不是 maximum matching $\nu_k$，而是整個 right-neighborhood $\Gamma_k$.**

原稿已證：

$$
\Gamma_k(N_*)
\subseteq
\mathbb H_{p_k}(N_*).
$$

因此最直接、而且比 matching 更強的 exact lower bound 是：

$$
\boxed{
D_{N_*}(p_k)
\ge
|\Gamma_k(N_*)|.
}
$$

而：

$$
\nu_k(N_*)
\le
|\Gamma_k(N_*)|.
$$

所以：

$$
D_{N_*}(p_k)\ge\nu_k(N_*)
$$

雖然正確，但不是 strongest canonical statement。

此外，若：

$$
L_k
=
\mathcal H_k(N_*),
$$

每個 left shift都有至少一條 edge，且 right-side maximum degree為：

$$
\Delta_k^R(N_*),
$$

則直接由 edge counting：

$$
|L_k|
\le
|E_k|
\le
|\Gamma_k(N_*)|
\Delta_k^R(N_*),
$$

得到：

$$
\boxed{
|\Gamma_k(N_*)|
\ge
\left\lceil
\frac{
|L_k|
}{
\Delta_k^R(N_*)
}
\right\rceil.
}
$$

這完全不需要 matching theorem。

因此原稿的 bounded-degree matching lemma可保留，但應降級成：

$$
\boxed{
\text{optional certificate / one-to-one transport structure}.
}
$$

對單純 demand cardinality而言，matching不是必要中介。

同理，原稿提出 Hall condition：

$$
|\Gamma(S)|\ge|S|
$$

對所有：

$$
S\subseteq L_k
$$

來保證：

$$
\nu_k=|L_k|.
$$

若目標只是推出：

$$
D_{N_*}(p_k)\ge|L_k|,
$$

其實只需要 whole-set expansion：

$$
\boxed{
|\Gamma(L_k)|\ge|L_k|.
}
$$

Hall 對所有 subsets 的要求比 demand closure所需更強。

只有在研究者需要：

> 每一個 lower layer 都得到一個不同 right endpoint 的 injective certificate

時，Hall才真正必要。

本輪第二個重要修正是命名。

原稿把：

$$
M_k\mid h
$$

稱為 `primorial-smooth shift`。

但在標準數論語義中，`$y$-smooth` 通常表示：

> 所有 prime factors 都不超過 $y$。

而：

$$
M_k\mid h
$$

只表示：

> $h$ 至少含有前 $k$ 個 primes；

它仍可能含有任意大的其他質因子。

所以 canonical 名稱改為：

$$
\boxed{
\text{primorial-divisible shift}
}
$$

或：

$$
\boxed{
\text{primorial-saturated shift}.
}
$$

本文件以下主要使用：

# Primorial-Divisible Shift

本輪第三個重要結果是 right-degree 可以寫成 exact interval AP count，而不只是粗 upper bound。

固定 right vertex：

$$
q,
$$

若：

$$
h\sim q,
$$

令：

$$
p=N_*-h-q.
$$

則：

$$
h=N_*-p-q.
$$

edge 條件等價於：

1. $p$ 為 prime；
2. $p\equiv N_*-q\pmod{M_k}$；
3. $p\ge q$；
4. $p+q>2p_k$；
5. $p\le N_*-q-M_k$。

因此令：

$$
\boxed{
L_{k,q}
=
\max
\left(
q,
2p_k-q+1
\right),
}
$$

以及：

$$
\boxed{
U_{k,q}
=
N_*-q-M_k.
}
$$

則：

$$
\boxed{
\deg(q)
=
\#\left\{
p\in\mathbb P:
L_{k,q}\le p\le U_{k,q},
\quad
p\equiv N_*-q\pmod{M_k}
\right\}.
}
$$

若：

$$
U_{k,q}<L_{k,q},
$$

則 degree為：

$$
0.
$$

若：

$$
\gcd(N_*-q,M_k)>1,
$$

則：

$$
\deg(q)=0,
$$

因所有合法 partner primes都滿足：

$$
p>p_k.
$$

所以原稿的：

$$
\pi(N_*-q-M_k;M_k,N_*-q\bmod M_k)
$$

是合法 raw upper bound，但 exact degree應使用 interval AP count。

本輪第四個修正是 smooth-shift layer count 的邊界。

原稿寫：

> 若 $N_*>2p_k+2+M_k$，則
> $$
> |\mathcal H_k(N_*)|
> =
> \left\lfloor
> \frac{N_*-2p_k-2}{M_k}
> \right\rfloor.
> $$

實際上 equality boundary也可以。

因：

$$
h=jM_k,
\quad
j\ge1,
$$

且：

$$
N_*-h>2p_k.
$$

對 even $N_*$ 與 even $h$，等價於：

$$
jM_k
\le
N_*-2p_k-2.
$$

所以若：

$$
N_*\ge2p_k+2,
$$

則：

$$
\boxed{
|\mathcal H_k(N_*)|
=
\left\lfloor
\frac{
N_*-2p_k-2
}{
M_k
}
\right\rfloor
}
$$

以非負範圍理解。

且：

$$
\boxed{
\mathcal H_k(N_*)\neq\varnothing
\Longleftrightarrow
N_*\ge M_k+2p_k+2.
}
$$

原稿的 strict `>` 應修成：

$$
\ge.
$$

本輪第五個、也是和 V0-R06 最重要的接合修正：

原稿使用：

$$
\nu_k(N_*)
\le
I_{N_*}(p_k)
\le
U_{N_*}(p_k).
$$

但 V0-R06 已將：

$$
I_N
$$

降級為 **deep factor-incidence mass**，

真正 canonical capacity為：

$$
C_N^{\mathrm{can}}(y).
$$

對 hypothetical minimal counterexample：

$$
N_*,
$$

transport neighborhood中的每個：

$$
q\in\Gamma_k(N_*)
$$

滿足：

$$
q\in\mathbb H_{p_k}(N_*).
$$

又因：

$$
F_G(N_*)=1,
$$

所以：

$$
N_*-q
$$

composite。

因此其實有更精確的：

$$
\boxed{
\Gamma_k(N_*)
\subseteq
\mathbb C_{p_k}(N_*).
}
$$

所以：

$$
\boxed{
|\Gamma_k(N_*)|
\le
C_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k).
}
$$

若：

$$
C_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k)
\le
U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k)
$$

是 independent rigorous upper bound，

則 minimal counterexample 必須滿足：

$$
\boxed{
|\Gamma_k(N_*)|
\le
U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k).
}
$$

再配合 bounded-degree neighborhood lower bound：

$$
\boxed{
\left\lceil
\frac{
|\mathcal H_k(N_*)|
}{
\Delta_k^R(N_*)
}
\right\rceil
\le
|\Gamma_k(N_*)|
\le
U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k).
}
$$

這是本輪建議取代原稿 matching-centered squeeze 的 canonical minimality transport inequality。

所以真正 closure target改成：

$$
\boxed{
L_k^{\mathrm{trans}}(N_*)
>
U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k),
}
$$

其中：

$$
L_k^{\mathrm{trans}}(N_*)
$$

可以直接 lower-bound：

$$
|\Gamma_k(N_*)|.
$$

這比：

$$
\nu_k>U
$$

更強也更簡潔。

本輪最後的 source verdict：

- unstructured lift-blocking 本身主要是 failure complement obstruction的重新索引；
- primorial-divisible shift新增的是 **constraint geometry**，因為它不要求 $M_k\mid N_*$；
- minimality提供的是：

$$
\boxed{
\mathcal S_4
=
\text{additive-history / prefix-success source}.
}
$$

這是一個與 target-state factorization不同的 relational source，但不是新的 primality oracle。

因此：

$$
\boxed{
\text{source-class novelty: relational yes; primality-source no}.
}
$$

本輪 verdict：

$$
\boxed{
\mathrm{PASS\ WITH\ NEIGHBORHOOD\ CANONICALIZATION,\ MATCHING\ DEMOTION,\ SHIFT\ RENAMING,\ AND\ CANONICAL\mbox{-}CAPACITY\ REBASE}.
}
$$

---

# 1. 審計範圍

本輪只審：

# RG-SCP 07
## 《最小反例、平移傳輸與需求容量閉合》

沿用 V0-R06 canonical capacity：

$$
C_N^{\mathrm{can}}(y).
$$

所以本輪不再把：

$$
I_N(y)
$$

稱為 canonical obstruction capacity。

---

# 2. Minimal counterexample

假設：

$$
\mathcal C_G\neq\varnothing.
$$

則：

$$
\boxed{
N_*
=
\min\mathcal C_G.
}
$$

所以：

$$
F_G(N_*)=1
$$

以及：

$$
\boxed{
\forall M,
\quad
4\le M<N_*,
\quad
M\equiv0\pmod2
\Longrightarrow
R_G(M)>0.
}
$$

這是：

$$
\boxed{
\mathcal S_4
=
\text{additive-history / minimality source}.
}
$$

---

# 3. Ordered pair fiber

定義：

$$
\mathcal G(M)
=
\left\{
(p,q)\in\mathbb P^2:
p+q=M
\right\}.
$$

則：

$$
\mathcal G(M)\neq\varnothing
$$

等價於：

$$
R_G(M)>0.
$$

`first empty even anti-diagonal` 是 exact geometric reformulation：

$$
[\mathrm E].
$$

---

# 4. Representation-count frontier

定義：

$$
r_2(M)
=
|\mathcal G(M)|.
$$

若：

$$
N_*
$$

minimal counterexample，

則：

$$
r_2(M)>0
$$

對所有較小 even $M$，

而：

$$
r_2(N_*)=0.
$$

所以：

$$
r_2(N_*-2)>0
$$

且：

$$
r_2(N_*)=0.
$$

exact。

但「terminal drop不應存在」目前沒有 theorem。

---

# 5. Lift-blocking theorem

若：

$$
p+q=N_*-h,
$$

則：

$$
(p+h)+q=N_*.
$$

若：

$$
p+h
$$

prime，

就得到 $N_*$ 的 Goldbach representation。

所以：

$$
\boxed{
p+h
\text{ composite}.
}
$$

同理：

$$
\boxed{
q+h
\text{ composite}.
}
$$

只要：

$$
h>0,
$$

所以 shifted endpoint大於 $1$。

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

---

# 6. Lift-blocking 的 source audit

這個 theorem本身只需要：

$$
F_G(N_*)=1.
$$

minimality只負責保證：

$$
\mathcal G(N_*-h)\neq\varnothing
$$

對所有合法 lower even layers成立。

所以：

```text
failure:
  blocks lifted endpoints

minimality:
  guarantees a witness exists on every lower layer
```

兩個 source角色應分開。

---

# 7. Unstructured lift 的資訊增量

因：

$$
p+h
=
N_*-q,
$$

所以「$p+h$ composite」等價於：

$$
N_*-q
$$

composite。

若沒有利用 $h$ 的結構，

這只是原 failure complement condition的重新索引。

因此原稿的自我警告 PASS：

$$
\boxed{
\text{unstructured lift blocking}
}
$$

不算新 factor source。

---

# 8. Terminology correction：不是 smooth shift

原稿把：

$$
M_k\mid h
$$

稱為：

`primorial-smooth shift`。

但：

$$
h=M_k t
$$

中的：

$$
t
$$

可含任意：

$$
>p_k
$$

的 prime factor。

所以 $h$ 不一定是 $p_k$-smooth。

---

# 9. Canonical shift name

本輪改用：

$$
\boxed{
\text{Primorial-Divisible Shift}
}
$$

定義：

$$
\boxed{
M_k\mid h.
}
$$

若要用 `saturated` 也可，但 canonical code / theorem name建議使用：

```text
primorial_divisible_shift
```

避免和 smooth-number terminology衝突。

---

# 10. Shift self-suppression

## 定理 R07-T01

若：

$$
M_k\mid h,
$$

且：

$$
p>p_k
$$

為 prime，

則：

$$
\boxed{
\gcd(p+h,M_k)=1.
}
$$

原稿 proof正確。

---

# 11. General shift suppression

更一般，

若：

$$
r\mid h
$$

且：

$$
p
$$

prime，

$$
p\neq r,
$$

則：

$$
r\nmid(p+h).
$$

所以：

$$
\boxed{
r\mid h
\land
r\neq p
\Longrightarrow
r\nmid(p+h).
}
$$

primorial-divisible shift只是一次對：

$$
r=p_1,\ldots,p_k
$$

同步使用。

---

# 12. Deep obstruction theorem

若：

$$
F_G(N_*)=1,
$$

$$
M_k\mid h,
$$

$$
p+q=N_*-h,
$$

且：

$$
p>p_k,
$$

則：

$$
p+h
=
N_*-q
$$

composite，

且：

$$
\gcd(p+h,M_k)=1.
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{lpf}(N_*-q)>p_k.
}
$$

PASS。

---

# 13. 這裡是否真的有新增 constraint rank？

有，但要精確描述。

RG-SCP 03 的 primorial theorem使用：

$$
M_k\mid N.
$$

本篇使用：

$$
M_k\mid h.
$$

所以即使：

$$
M_k\nmid N_*,
$$

仍可由 lower representation產生：

$$
p_k
$$

-rough complement：

$$
N_*-q.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{new target-state constraint geometry: yes}.
}
$$

但：

$$
\boxed{
\text{new elementwise primality source: no}.
}
$$

---

# 14. Reduced representation endpoint

定義：

$$
\mathcal R^{-}(M)
=
\left\{
q\in\mathbb P:
q\le M/2,
\quad
M-q\in\mathbb P
\right\}.
$$

若：

$$
M>2p_k,
$$

且：

$$
q\in\mathcal R^{-}(M),
$$

令：

$$
p=M-q.
$$

則：

$$
p\ge M/2>p_k.
$$

所以 reduced orientation恰好提供 shift theorem需要的 large endpoint。

PASS。

---

# 15. Canonical shift-layer set

原稿：

$$
\mathcal H_k(N_*)
=
\left\{
h:
h\ge M_k,
\quad
M_k\mid h,
\quad
N_*-h>2p_k
\right\}.
$$

但：

$$
h>0
\land
M_k\mid h
$$

已自動推出：

$$
h\ge M_k.
$$

所以 canonical 可簡化：

$$
\boxed{
\mathcal H_k(N_*)
=
\left\{
h\in\mathbb N_{>0}:
M_k\mid h,
\quad
N_*-h>2p_k
\right\}.
}
$$

---

# 16. Shift-layer count

因：

$$
M_k
$$

為偶數，

$$
N_*
$$

為偶數，

且：

$$
2p_k
$$

為偶數，

條件：

$$
N_*-h>2p_k
$$

等價於：

$$
h\le N_*-2p_k-2.
$$

令：

$$
h=jM_k,
\quad
j\ge1.
$$

則若：

$$
N_*\ge2p_k+2,
$$

有：

$$
\boxed{
|\mathcal H_k(N_*)|
=
\left\lfloor
\frac{
N_*-2p_k-2
}{
M_k
}
\right\rfloor.
}
$$

---

# 17. Nonempty boundary correction

所以：

$$
\boxed{
\mathcal H_k(N_*)\neq\varnothing
\Longleftrightarrow
N_*
\ge
M_k+2p_k+2.
}
$$

原稿寫：

$$
N_*>M_k+2p_k+2
$$

才給 count formula，

strict inequality過強。

這是 Canonical Correction C01。

---

# 18. Minimality left-totality

若：

$$
h\in\mathcal H_k(N_*),
$$

則：

$$
M=N_*-h
$$

為：

- even；
- $M<N_*$；
- $M>2p_k\ge4$。

由 minimality：

$$
R_G(M)>0.
$$

所以：

$$
\mathcal R^{-}(M)\neq\varnothing.
$$

因此 transport graph每個 left vertex degree至少：

$$
1.
$$

PASS。

---

# 19. Transport graph

定義：

$$
\mathcal T_k(N_*)
=
(L_k,R_k,E_k),
$$

其中：

$$
L_k
=
\mathcal H_k(N_*),
$$

right universe可取：

$$
R_k
=
\left\{
q\in\mathbb P:
q<N_*/2
\right\}.
$$

edge：

$$
\boxed{
h\sim q
\Longleftrightarrow
q\in\mathcal R^{-}(N_*-h).
}
$$

exact。

---

# 20. Edge partner

若：

$$
h\sim q,
$$

令：

$$
p=N_*-h-q.
$$

則：

$$
p,q
$$

皆 prime，

且：

$$
q\le p.
$$

又：

$$
p+q=N_*-h>2p_k,
$$

所以：

$$
p>p_k.
$$

PASS。

---

# 21. Edge-to-hard-survivor theorem

由：

$$
M_k\mid h
$$

與：

$$
p>p_k,
$$

有：

$$
\gcd(p+h,M_k)=1.
$$

但：

$$
p+h=N_*-q.
$$

因此：

$$
\boxed{
\gcd(N_*-q,M_k)=1.
}
$$

而：

$$
q<N_*/2.
$$

所以：

$$
\boxed{
q\in\mathbb H_{p_k}(N_*).
}
$$

PASS。

注意：

這一步不需要：

$$
F_G(N_*)=1.
$$

它只用：

- lower representation；
- primorial-divisible shift。

failure只在下一步把 complement升成 composite。

---

# 22. Transport neighborhood

定義：

$$
\boxed{
\Gamma_k(N_*)
=
\left\{
q:
\exists h\in L_k,
\quad
h\sim q
\right\}.
}
$$

由 R07-T01 / edge theorem：

$$
\boxed{
\Gamma_k(N_*)
\subseteq
\mathbb H_{p_k}(N_*).
}
$$

因此：

$$
\boxed{
D_{N_*}(p_k)
\ge
|\Gamma_k(N_*)|.
}
$$

這是 canonical minimality-derived demand statement。

---

# 23. Matching 並不是最強基本 object

原稿定義 maximum matching：

$$
\nu_k(N_*).
$$

因 matching的 right endpoints互異：

$$
\nu_k(N_*)
\le
|\Gamma_k(N_*)|.
$$

所以：

$$
D\ge\nu
$$

雖然正確，

但 weaker than：

$$
\boxed{
D\ge|\Gamma|.
}
$$

因此本輪把：

$$
|\Gamma_k|
$$

提升為 canonical transport demand。

---

# 24. Canonical Correction C02 — Matching demotion

新的角色：

## Canonical demand object

$$
\boxed{
T_k^{\mathrm{nbr}}(N_*)
=
|\Gamma_k(N_*)|.
}
$$

## Optional injective certificate object

$$
\boxed{
\nu_k(N_*).
}
$$

matching仍可能有價值，

但不應作 transport demand的 primary definition。

---

# 25. Direct bounded-degree neighborhood lemma

## 定理 R07-T02

若：

$$
L_k\neq\varnothing
$$

且每個 left vertex degree至少：

$$
1,
$$

right-side maximum degree：

$$
\Delta_k^R>0,
$$

則：

$$
\boxed{
|\Gamma_k|
\ge
\left\lceil
\frac{|L_k|}{\Delta_k^R}
\right\rceil.
}
$$

---

## 證明

因每個：

$$
h\in L_k
$$

至少一條 edge，

所以：

$$
|E_k|
\ge
|L_k|.
$$

另一方面，

所有 edges都終止於：

$$
\Gamma_k.
$$

每個 right vertex degree至多：

$$
\Delta_k^R.
$$

所以：

$$
|E_k|
\le
|\Gamma_k|\Delta_k^R.
$$

因此：

$$
|L_k|
\le
|\Gamma_k|\Delta_k^R.
$$

即得：

$$
|\Gamma_k|
\ge
\left\lceil
\frac{|L_k|}{\Delta_k^R}
\right\rceil.
$$

證畢。

---

# 26. 這比 matching 路徑更直接

原稿：

$$
|L|
\to
\nu
\to
D.
$$

canonical：

$$
\boxed{
|L|
\to
|\Gamma|
\to
D.
}
$$

少一層，

而且：

$$
|\Gamma|\ge\nu.
$$

---

# 27. 原 bounded-degree matching lemma 的地位

原稿 lemma：

$$
\nu
\ge
\left\lceil
\frac{|L|}{\Delta_R}
\right\rceil
$$

本身正確。

保留為：

$$
[\mathrm T].
$$

但它不再是 demand lower bound不可缺少的 theorem。

它可以服務：

- injective layer-to-endpoint certificate；
- local pairing；
- Hall-style refinement。

---

# 28. Hall criterion 是否必要？

原稿要求：

$$
|\Gamma(S)|\ge|S|
$$

對所有：

$$
S\subseteq L_k
$$

以推出：

$$
\nu_k=|L_k|.
$$

Hall theorem完全正確。

但若唯一目標只是：

$$
D\ge|L_k|,
$$

只需：

$$
\boxed{
|\Gamma(L_k)|\ge|L_k|.
}
$$

所以 Hall condition比需求 cardinality所需更強。

---

# 29. Canonical Correction C03 — Hall demotion

Hall route保留為：

```text
optional objective:
  injective transport certificate
```

而 demand closure的較弱 target：

$$
\boxed{
|\Gamma_k(N_*)|
\ge
|L_k|.
}
$$

即可。

如果 proof需要一對一 attribution，

再升級到 Hall。

---

# 30. Fixed right vertex 的 exact degree

固定：

$$
q\in R_k.
$$

edge：

$$
h\sim q
$$

等價於存在 prime：

$$
p=N_*-q-h.
$$

由：

$$
M_k\mid h,
$$

有：

$$
p\equiv N_*-q\pmod{M_k}.
$$

---

# 31. Exact partner interval

edge還要求：

$$
q\le p,
$$

以及：

$$
p+q>2p_k,
$$

與：

$$
h\ge M_k
\Longrightarrow
p\le N_*-q-M_k.
$$

所以定義：

$$
\boxed{
L_{k,q}
=
\max
\left(
q,
2p_k-q+1
\right),
}
$$

$$
\boxed{
U_{k,q}
=
N_*-q-M_k.
}
$$

---

# 32. Exact right-degree formula

## 定理 R07-T03

若：

$$
U_{k,q}\ge L_{k,q},
$$

則：

$$
\boxed{
\deg(q)
=
\#\left\{
p\in\mathbb P:
L_{k,q}\le p\le U_{k,q},
\quad
p\equiv N_*-q\pmod{M_k}
\right\}.
}
$$

若：

$$
U_{k,q}<L_{k,q},
$$

則：

$$
\deg(q)=0.
$$

這是原稿 AP upper bound的 exact interval refinement。

---

# 33. AP counting notation

若定義：

$$
\pi(x;M,a)
=
\#\left\{
p\le x:
p\in\mathbb P,
\quad
p\equiv a\pmod M
\right\},
$$

則在 reduced residue class：

$$
a=N_*-q\bmod M_k,
$$

有：

$$
\boxed{
\deg(q)
=
\pi(U_{k,q};M_k,a)
-
\pi(L_{k,q}-1;M_k,a).
}
$$

---

# 34. Nonreduced residue degree zero

注意：

$$
L_{k,q}>p_k.
$$

證明：

- 若 $q>p_k$，則 $L_{k,q}\ge q>p_k$；
- 若 $q\le p_k$，則
  $$
  2p_k-q+1\ge p_k+1.
  $$

所以所有 partner primes：

$$
p>p_k.
$$

若：

$$
\gcd(N_*-q,M_k)>1,
$$

任何：

$$
p\equiv N_*-q\pmod{M_k}
$$

都被某個：

$$
r\le p_k
$$

整除。

但：

$$
p>p_k
$$

prime，

不可能。

所以：

$$
\boxed{
\gcd(N_*-q,M_k)>1
\Longrightarrow
\deg(q)=0.
}
$$

PASS。

---

# 35. 原稿 right-degree upper bound

原稿：

$$
\deg(q)
\le
\pi(
N_*-q-M_k;
M_k,
N_*-q\bmod M_k
).
$$

這是正確 upper bound，

只是忽略：

- lower interval bound；
- $p\ge q$；
- $p+q>2p_k$。

所以保留作 raw envelope。

---

# 36. Global right-degree envelope

原稿：

$$
B_k(N_*)
=
\max_{\gcd(a,M_k)=1}
\pi(
N_*-M_k-2;
M_k,a
).
$$

因：

$$
q\ge2,
$$

所以：

$$
N_*-q-M_k
\le
N_*-M_k-2.
$$

因此：

$$
\boxed{
\Delta_k^R(N_*)
\le
B_k(N_*).
}
$$

PASS。

但 exact interval AP envelope可以更緊。

---

# 37. AP-controlled neighborhood lower bound

若有 rigorous：

$$
\Delta_k^R(N_*)
\le
\widetilde B_k(N_*),
$$

則：

$$
\boxed{
|\Gamma_k(N_*)|
\ge
\left\lceil
\frac{
|\mathcal H_k(N_*)|
}{
\widetilde B_k(N_*)
}
\right\rceil.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
D_{N_*}(p_k)
\ge
\left\lceil
\frac{
|\mathcal H_k(N_*)|
}{
\widetilde B_k(N_*)
}
\right\rceil.
}
$$

不需要 matching中介。

---

# 38. Minimality source與 truth leakage

transport graph使用：

$$
q\in\mathcal R^{-}(N_*-h),
$$

也就是 lower-state Goldbach truth。

在 hypothetical minimal-counterexample proof中，

這是合法的：

$$
\boxed{
\text{minimality consequence}.
}
$$

所以它屬：

$$
\mathcal S_4.
$$

---

# 39. 實驗中的 data role

但在普通 finite dataset上計算：

$$
\Gamma_k(N)
$$

需要讀取：

$$
R_G(N-h)
$$

或 lower Goldbach pairs。

因此它不應標成一般 `leakage-free arithmetic probe`。

更精確：

```yaml
transport_neighborhood:
  epistemic_status: exact
  data_role: history_derived_diagnostic_or_S4_probe
  uses_target_family_history: true
  uses_current_target_truth: false
```

---

# 40. Sequential legitimacy

若研究問題明確是：

> 假設 $N$ 是第一個 failure，已知所有較小偶數成功，能推出什麼？

那麼 lower-history truth是合法 premise。

因此：

$$
\boxed{
\text{history-derived}
\neq
\text{circular}.
}
$$

但 experiment report必須揭露此 source。

---

# 41. Transport neighborhood under failure

若再使用：

$$
F_G(N_*)=1,
$$

則：

$$
q\in\Gamma_k(N_*)
$$

不只滿足：

$$
q\in\mathbb H_{p_k}(N_*),
$$

還有：

$$
N_*-q
$$

composite。

所以：

$$
\boxed{
\Gamma_k(N_*)
\subseteq
\mathbb C_{p_k}(N_*).
}
$$

這是與 V0-R06 canonical capacity最乾淨的接點。

---

# 42. Canonical capacity squeeze

由：

$$
|\Gamma_k|
\le
C_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k),
$$

若：

$$
C_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k)
\le
U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k),
$$

則：

$$
\boxed{
|\Gamma_k(N_*)|
\le
U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k).
}
$$

所以 minimal counterexample 必須：

$$
\boxed{
L_k^{\mathrm{trans}}(N_*)
\le
U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k)
}
$$

對任何 rigorous：

$$
L_k^{\mathrm{trans}}
\le
|\Gamma_k|
$$

成立。

---

# 43. Canonical transport closure theorem

## 定理模板 R07-T04

若對 hypothetical minimal counterexample $N_*$ 可以 independent 地證：

$$
|\Gamma_k(N_*)|
\ge
L_k^{\mathrm{trans}}(N_*),
$$

以及：

$$
C_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k)
\le
U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k),
$$

且：

$$
\boxed{
L_k^{\mathrm{trans}}(N_*)
>
U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k),
}
$$

則：

$$
\boxed{
N_*
\text{ 不存在}.
}
$$

---

# 44. Bounded-degree closure corollary

若：

$$
\Delta_k^R(N_*)
\le
\widetilde B_k(N_*),
$$

則可取：

$$
\boxed{
L_k^{\mathrm{trans}}(N_*)
=
\left\lceil
\frac{
|\mathcal H_k(N_*)|
}{
\widetilde B_k(N_*)
}
\right\rceil.
}
$$

所以只要：

$$
\boxed{
\left\lceil
\frac{
|\mathcal H_k(N_*)|
}{
\widetilde B_k(N_*)
}
\right\rceil
>
U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k),
}
$$

就排除 minimal counterexample。

---

# 45. 這比原 $\nu_k>U$ 更強

因：

$$
\nu_k\le|\Gamma_k|,
$$

任何：

$$
\nu_k>U
$$

都會推出：

$$
|\Gamma_k|>U.
$$

但反方向未必。

所以 canonical neighborhood closure：

$$
|\Gamma_k|>U
$$

弱化了所需前提，

因此 proof target更強。

---

# 46. Matching 的保留用途

matching仍值得保留三個用途：

1. 建立 one-to-one layer-to-endpoint certificate；
2. localize distinct witnesses；
3. 未來若 proof需要每個 layer獨立 charge 一個 endpoint，可使用 Hall / matching。

但不是 cardinality demand的 primary object。

---

# 47. Hall route重新定位

若證：

$$
|\Gamma(S)|\ge|S|
$$

對所有：

$$
S\subseteq L_k,
$$

則有 perfect-left matching。

這提供：

$$
|L_k|
$$

個 distinct endpoint certificates。

但若只想：

$$
D\ge|L_k|,
$$

只需：

$$
|\Gamma(L_k)|\ge|L_k|.
$$

所以：

```text
Hall:
  stronger_than_needed_for_global_demand
  useful_for_injective_certificate
```

---

# 48. Transport congestion

原稿定義：

$$
\kappa_k
=
\frac{
|L_k|
}{
|\Gamma_k|
}.
$$

只要：

$$
L_k\neq\varnothing,
$$

由 left-totality：

$$
\Gamma_k\neq\varnothing.
$$

所以 well-defined。

數值 exact。

但「高 congestion = counterexample支付高成本」是 interpretation：

$$
[\mathrm F/H].
$$

---

# 49. Congestion / AP relation

固定：

$$
q,
$$

其 degree正是某一 interval arithmetic progression中的 prime count。

所以 high congestion意味：

> 某個 specific AP interval含較多 partner primes。

這是 exact relational statement。

但「異常高」需要 analytic / empirical baseline，

屬：

$$
[\mathrm H]
$$

直到有 rigorous upper bound。

---

# 50. General shift design

原稿將：

$$
\mathcal D(h)
=
\left\{
r\in\mathbb P:
r\mid h
\right\}
$$

視為 suppressed obstruction colors。

更精確：

對 fixed endpoint prime $p$，

$$
\boxed{
r\in\mathcal D(h),
\quad
r\neq p
\Longrightarrow
r\nmid(p+h).
}
$$

所以 suppression set其實是：

$$
\mathcal D(h)\setminus\{p\}.
$$

原稿已用 `p 不等於 h 的任何 prime divisor` 處理，PASS。

---

# 51. Shift-design source role

選擇：

$$
h
$$

不是新 primality information。

它是在已有 additive-history witness上設計：

$$
\boxed{
\text{which small factors are automatically excluded after lifting}.
}
$$

所以屬：

$$
\boxed{
\text{constraint-engineering layer}.
}
$$

---

# 52. $k$ trade-off

增加：

$$
k
$$

使：

$$
M_k
$$

快速增長，

會：

- suppress更多 small factors；
- 減少可用 shift layers。

這個 trade-off exact存在。

但最佳：

$$
k
$$

在哪裡，

目前：

$$
[\mathrm H/O].
$$

---

# 53. Transport gain

原稿：

$$
\mathcal T\mathrm{Gain}_k
=
|L_k|/\Delta_k^R.
$$

現在應理解為：

> direct neighborhood lower bound 的 unrounded proxy。

即：

$$
|\Gamma_k|
\ge
\left\lceil
\mathcal T\mathrm{Gain}_k
\right\rceil.
$$

如果 $\Delta_k^R$ exact。

但若 denominator使用 heuristic upper estimate，

整體就是 mixed metric。

---

# 54. Cross-scale monotonicity

若：

$$
k_1\ge k_2,
$$

則：

$$
P(p_{k_2})
\mid
P(p_{k_1}),
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathbb H_{p_{k_1}}(N)
\subseteq
\mathbb H_{p_{k_2}}(N).
}
$$

PASS。

因此 deeper transport neighbors也可充當 shallower demand。

---

# 55. Local transport subset

對：

$$
H\subseteq L_k,
$$

定義：

$$
\Gamma_k(H).
$$

則：

$$
\boxed{
\Gamma_k(H)
\subseteq
\mathbb H_{p_k}(N_*).
}
$$

若 failure：

$$
\boxed{
\Gamma_k(H)
\subseteq
\mathbb C_{p_k}(N_*).
}
$$

所以 local transport不需要先做 matching才能形成 local forced subset。

---

# 56. Local capacity closure修正

原稿使用 matching-selected：

$$
Q_k^{\mathrm{match}}.
$$

canonical更一般：

直接選：

$$
\boxed{
Q=\Gamma_k(H)
}
$$

或任何 exact subset：

$$
Q\subseteq\Gamma_k(H).
$$

若能 independent 地證：

$$
|Q|\ge L_Q
$$

但 canonical capacity theorem只能容納：

$$
< L_Q
$$

個這樣的 composite survivors，

即可 contradiction。

matching只是產生某一種容易 certificate 的 $Q$。

---

# 57. Finite matching certificate 的地位

原稿 certificate仍有效。

但可另加更簡單的：

## Neighborhood certificate

```text
shift h_i
one lower Goldbach pair for each h_i
right endpoint q_i
deduplicated q-set Gamma
proof q_i in H_pk(N)
```

若只需 lower-bound：

$$
|\Gamma|,
$$

不需要證明 one-to-one matching。

---

# 58. Prime-gap interface audit

$h=2$ 時：

lower Goldbach endpoints全部不能滿足：

$$
p+2\in\mathbb P.
$$

exact。

但 global bounded-gap theorem通常只給：

- infinitely many；
- positive proportion；
- averaged statements；

不自動命中：

$$
\mathcal E_2(N_*).
$$

原稿 population-discipline警告 PASS。

---

# 59. Source independence audit

RG-SCP 07 的 source signature：

## $\mathcal S_0$

elementary arithmetic / graph counting。

## $\mathcal S_1$

factor / lpf，用於 failure後 rough-composite interpretation。

## $\mathcal S_2$

primorial divisibility / finite quotient。

## $\mathcal S_4$

minimality / additive-history。

這篇真正比 R03 多的是：

$$
\boxed{
\mathcal S_4.
}
$$

---

# 60. $\mathcal S_4$ 是否獨立？

不是「與 Goldbach target無關」的外部 source。

它來自：

$$
\boxed{
N_*
\text{ 是最小 counterexample}
}
$$

這個 contradiction hypothesis。

所以更精確：

$$
\boxed{
\mathcal S_4
=
\text{target-internal historical source}.
}
$$

它合法，但 provenance要清楚。

---

# 61. Minimality transport 是否真的比 ordinary demand 強？

目前答案：

$$
\boxed{
\text{not yet proved uniformly}.
}
$$

transport給：

$$
D_{N_*}(p_k)
\ge
|\Gamma_k(N_*)|.
$$

但 ordinary R06 / R03 可能已有其他：

$$
D\ge L_{\mathrm{ordinary}}.
$$

真正增益應測：

$$
\boxed{
L_{\mathrm{combined}}
=
\max
\left(
L_{\mathrm{ordinary}},
L_{\mathrm{trans}}
\right).
}
$$

若：

$$
L_{\mathrm{trans}}
\le
L_{\mathrm{ordinary}}
$$

在所有有用 branch，

transport沒有新增 lower-bound power。

---

# 62. Canonical transport novelty metric

因此 experiment不應只報：

$$
\nu_k.
$$

應報：

$$
\boxed{
\operatorname{TransportGain}
=
L_{\mathrm{combined}}
-
L_{\mathrm{ordinary}}.
}
$$

或 ratio version。

只有 positive gain才表示：

$$
\mathcal S_4
$$

真的壓縮 admissible space。

---

# 63. 特別是 $M_k\mid N_*$ branch

若：

$$
M_k\mid N_*,
$$

V0-R03 已有 exact：

$$
D_{N_*}(p_k)
=
\pi(N_*/2)-k.
$$

這時 transport lower bound不可能超過 exact demand。

所以 transport的真正價值更可能出現在：

$$
\boxed{
M_k\nmid N_*.
}
$$

這是本輪重要研究定位。

---

# 64. Primorial-divisible target branch上 transport的角色

若：

$$
M_k\mid N_*,
$$

transport仍可能：

- 選出 structured local subset；
- 提供 local capacity target；
- 建立 history coupling。

但它不再需要用來 lower-bound total：

$$
D_{N_*}(p_k),
$$

因 total demand已 exact known。

---

# 65. 這使 R07 研究 domain 更精確

優先測：

$$
\boxed{
M_k\nmid N
}
$$

但存在很多：

$$
M_k\mid h
$$

的 lower shifts。

這正是 R07 相對 R03 最可能提供新增量的區域。

---

# 66. Right-degree AP source

right-degree bound使用：

$$
\pi(x;M_k,a).
$$

若接 analytic upper bound，

屬：

$$
\mathcal S_5.
$$

與 R06 AP capacity類似，

但這裡上界控制的是：

$$
\boxed{
\text{transport collision}.
}
$$

不是 factor-obstruction column。

兩者 target不同。

---

# 67. Two-AP squeeze 的真正意義

R07 有兩套不同 AP problem：

### Transport AP

固定：

$$
q,
$$

數 partner primes：

$$
p=N_*-q-h
$$

在：

$$
\bmod M_k.
$$

### Capacity AP

固定 obstruction prime：

$$
r,
$$

數 candidate endpoints：

$$
q\equiv N_*\pmod r.
$$

所以兩者雖都使用 AP counting，

不是同一個 column family。

這個 cross-structure值得保留。

---

# 68. 但不能當獨立 analytic sources重複計分

若兩邊最後都只調用同一個：

- Brun–Titchmarsh；
- PNT in AP；
- sieve bound；

則 source class仍是：

$$
\mathcal S_5.
$$

只是作用在不同 combinatorial interfaces。

---

# 69. Canonical theorem ledger — RG-SCP 07

| ID | Claim | Class | Source | Status |
|---|---|---|---|---|
| R07-T01 | primorial-divisible shift self-suppression | T | S0+S2 | PASS |
| R07-T02 | neighborhood lower bound $|\Gamma|\ge\lceil|L|/\Delta_R\rceil$ | T | S0 graph counting | **AUDIT ADDITION / PASS** |
| R07-T03 | exact interval AP formula for right degree | T | S0+S4 | **AUDIT STRENGTHENING / PASS** |
| R07-T04 | transport neighborhood $\Gamma\subseteq H_{p_k}$ | T | S0+S2+S4 | PASS |
| R07-T05 | under failure $\Gamma\subseteq C^{can}_{p_k}$ | T | S1+S2+S4 | **AUDIT ADDITION / PASS** |
| R07-T06 | canonical transport-capacity closure $L^{trans}>U^{can}$ | T template | bound-dependent | **REBASED / PASS** |
| R07-T07 | maximum matching lower bound | T | S0 graph | PASS, optional |
| R07-T08 | Hall criterion for left-perfect matching | T imported graph theorem | S0 | PASS, stronger than demand need |
| R07-T09 | exact shift-layer count | T | S0 | PASS with boundary correction |
| R07-E01 | first-empty anti-diagonal | E | S4 | PASS |
| R07-H01 | high congestion as existence cost | H/F | interpretation | KEEP |
| R07-H02 | optimal shift scale $k$ | H/O | discovery | OPEN |
| R07-O01 | transport lower bound beats ordinary demand bound | O | future | OPEN |
| R07-O02 | neighborhood expansion yields family contradiction | O | future | OPEN |

---

# 70. Canonical corrections ledger

## C01 — Layer-count boundary

Nonempty iff：

$$
N_*\ge M_k+2p_k+2.
$$

不是 strict greater-than。

## C02 — Neighborhood is canonical demand object

Primary：

$$
|\Gamma_k|.
$$

matching：

$$
\nu_k
$$

降為 optional certificate。

## C03 — Hall demotion

只為 demand cardinality，

whole-set neighborhood expansion已足夠。

## C04 — Smooth terminology

`primorial-smooth` 改：

```text
primorial-divisible
```

## C05 — Right-degree exact interval

加入：

$$
L_{k,q},
U_{k,q}.
$$

## C06 — Capacity rebase

從：

$$
I_N
$$

改接：

$$
C_N^{\mathrm{can}}.
$$

## C07 — Experiment novelty metric

比較：

$$
L_{\mathrm{trans}}
$$

與：

$$
L_{\mathrm{ordinary}}.
$$

## C08 — Research-domain targeting

R07 優先：

$$
M_k\nmid N.
$$

因：

$$
M_k\mid N
$$

時 total demand已由 R03 exact formula給出。

---

# 71. Formalization priority

建議：

## F07-01

minimality lower-success theorem。

## F07-02

lift-blocking。

## F07-03

primorial-divisible shift suppression。

## F07-04

reduced endpoint partner $>p_k$。

## F07-05

transport graph left-totality。

## F07-06

edge-to-hard-survivor。

## F07-07

transport neighborhood inclusion：

$$
\Gamma\subseteq H.
$$

## F07-08

under failure：

$$
\Gamma\subseteq C^{\mathrm{can}}.
$$

## F07-09

direct bounded-degree neighborhood lemma。

## F07-10

exact right-degree interval formula。

## F07-11

canonical closure：

$$
L^{\mathrm{trans}}>U^{\mathrm{can}}.
$$

matching / Hall可以第二優先。

---

# 72. Experiment schema correction

E6 transport實驗建議保存：

```yaml
transport:
  k:
  M_k:
  target_divisible_by_M_k:
  shift_count:
  right_neighborhood_count:
  max_right_degree:
  bounded_degree_lower_bound:
  exact_matching_optional:
  hall_optional:

ordinary_demand:
  lower_bound:

transport_demand:
  lower_bound:

novelty:
  incremental_gain:

truth_evaluation:
  exact_D:
  exact_C_can:
```

其中：

$$
D,C^{\mathrm{can}}
$$

只放 truth/evaluation。

---

# 73. E6 最重要問題

不是：

> matching有多大？

而是：

$$
\boxed{
\text{transport lower bound是否高於不用 minimality就已知的 lower bound？}
}
$$

如果沒有，

R07 architecture沒有實質 compression gain。

---

# 74. Local certificate correction

若只要證：

$$
|\Gamma|\ge m,
$$

可輸出：

- $m$ 個 distinct right endpoints；
- 每個 endpoint至少一條合法 lower representation edge。

不需要 matching涵蓋 left layers。

這比 full matching certificate更便宜。

---

# 75. Circularity audit

canonical R07 route：

$$
\text{minimality}
\to
\Gamma
\to
L^{\mathrm{trans}}
\to
U^{\mathrm{can}}
$$

沒有 circularity，

前提是：

1. lower representations只來自 $M<N_*$；
2. $U^{\mathrm{can}}$ 不讀 $N_*$ 的 Goldbach truth；
3. shift subset若由 heuristic選擇，selection rule完整揭露；
4. empirical experiments不把 exact current-target $D/C$ 回灌到 feature selection。

---

# 76. Source novelty verdict

RG-SCP 07 的真正新增不是：

$$
\operatorname{lpf}.
$$

不是：

$$
M_k.
$$

而是：

$$
\boxed{
\text{minimality prefix}
+
\text{designed shift geometry}.
}
$$

它建立 target-internal historical source：

$$
\mathcal S_4.
$$

目前尚未證明：

$$
\mathcal S_4
$$

能提供足以造成：

$$
L>U
$$

的 quantitative gain。

所以：

```text
new relational source: yes
new primality source: no
uniform proof gain: open
```

---

# 77. Proof-compression verdict

R07 的真正值得保留的主線應從：

$$
\boxed{
D\ge\nu
}
$$

改成：

$$
\boxed{
D\ge|\Gamma|
\ge
\left\lceil
|L|/\Delta_R
\right\rceil.
}
$$

若 failure：

$$
\boxed{
|\Gamma|
\le
C^{\mathrm{can}}
\le
U^{\mathrm{can}}.
}
$$

所以 canonical squeeze：

$$
\boxed{
\left\lceil
\frac{
|\mathcal H_k(N_*)|
}{
\Delta_k^R(N_*)
}
\right\rceil
\le
|\Gamma_k(N_*)|
\le
C_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k)
\le
U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k).
}
$$

真正要攻的是第一項與最後一項 crossing。

---

# 78. Validation verdict

RG-SCP 07：

$$
\boxed{
\mathrm{PASS\ WITH\ NEIGHBORHOOD\ CANONICALIZATION,\ MATCHING\ DEMOTION,\ SHIFT\ RENAMING,\ AND\ CANONICAL\mbox{-}CAPACITY\ REBASE}
}
$$

最重要的新 canonical object：

$$
\boxed{
|\Gamma_k(N_*)|.
}
$$

最重要簡化：

$$
\boxed{
\text{bounded-degree demand不需要 matching theorem}.
}
$$

最重要 capacity接合：

$$
\boxed{
\Gamma_k(N_*)
\subseteq
\mathbb C_{p_k}(N_*)
}
$$

under minimal failure。

最重要未決問題：

$$
\boxed{
L_{\mathrm{trans}}
>
L_{\mathrm{ordinary}}
\ ?
}
$$

如果 transport不能提高 ordinary demand lower bound，

這條線就沒有新增 quantitative proof power。

---

# 79. 下一輪

V0 Round 08 只審：

# RG-SCP 08
## 《反向閉合總成：源類審計、可形式化核心與第一階實驗規格》

這一輪不再只找局部 bug，

而會把 V0-R01 至 V0-R07 的修正全部回寫成：

1. Phase-I canonical theorem ledger；
2. superseded / corrected claims；
3. source-class ledger；
4. truth-leakage ledger；
5. formalization priority重新排序；
6. E0–E8 experiment protocol修正版；
7. Phase-II Gate 的真正判定條件。

它會成為 V0 的第一份總 checkpoint。

---

# 附錄 A：Canonical Transport Graph

```text
Left:
  h > 0
  M_k | h
  N_star - h > 2 p_k

Right:
  q prime
  q < N_star / 2

Edge h ~ q:
  q <= (N_star-h)/2
  p = N_star-h-q is prime
```

For every edge:

```text
p > p_k
gcd(N_star-q, M_k)=1
```

Under failure:

```text
N_star-q composite
lpf(N_star-q) > p_k
```

---

# 附錄 B：Canonical Neighborhood Demand

$$
\Gamma_k(N_*)
=
\left\{
q:
\exists h\in\mathcal H_k(N_*),
\quad
h\sim q
\right\}.
$$

Then:

$$
\Gamma_k(N_*)
\subseteq
\mathbb H_{p_k}(N_*).
$$

Hence:

$$
D_{N_*}(p_k)
\ge
|\Gamma_k(N_*)|.
$$

Under failure:

$$
\Gamma_k(N_*)
\subseteq
\mathbb C_{p_k}(N_*).
$$

---

# 附錄 C：Direct Degree Bound

If every left vertex has degree at least one:

$$
|E|
\ge
|L|.
$$

If right maximum degree is:

$$
\Delta_R,
$$

then:

$$
|E|
\le
|\Gamma(L)|\Delta_R.
$$

Therefore:

$$
\boxed{
|\Gamma(L)|
\ge
\left\lceil
|L|/\Delta_R
\right\rceil.
}
$$

No matching theorem required.

---

# 附錄 D：Exact Right-Degree Interval

For fixed prime right endpoint:

$$
q,
$$

define:

$$
L_{k,q}
=
\max(q,2p_k-q+1),
$$

$$
U_{k,q}
=
N_*-q-M_k.
$$

Then:

$$
\deg(q)
=
\#
\left\{
p\in\mathbb P:
L_{k,q}\le p\le U_{k,q},
\quad
p\equiv N_*-q\pmod{M_k}
\right\}.
$$

If:

$$
\gcd(N_*-q,M_k)>1,
$$

then:

$$
\deg(q)=0.
$$

---

# 附錄 E：Canonical Closure

If:

$$
|\Gamma_k(N_*)|
\ge
L_k^{\mathrm{trans}}(N_*),
$$

and:

$$
C_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k)
\le
U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k),
$$

then a minimal counterexample requires:

$$
L_k^{\mathrm{trans}}(N_*)
\le
U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k).
$$

Thus:

$$
\boxed{
L_k^{\mathrm{trans}}(N_*)
>
U_{N_*}^{\mathrm{can}}(p_k)
}
$$

excludes the minimal counterexample.

---

# 附錄 F：Source Signature

```yaml
RG-SCP-07:
  S0_elementary: true
  S1_factor_lpf: conditional_failure_interpretation
  S2_primorial_quotient: shift_geometry
  S3_fixed_point: not_required_for_core_transport
  S4_additive_history_minimality: primary_new_relational_source
  S5_analytic_AP: optional_interface
  S6_heuristic: scale_subset_selection_only

novelty:
  new_primality_oracle: false
  new_relational_source: true
  new_constraint_geometry: true
  uniform_quantitative_gain: open
```

---

# 附錄 G：Commit Decision

```yaml
validation_round: V0-R07
decision: PASS_WITH_NEIGHBORHOOD_CANONICALIZATION_MATCHING_DEMOTION_SHIFT_RENAMING_AND_CANONICAL_CAPACITY_REBASE

strengthening:
  - transport_neighborhood_is_primary_demand
  - direct_bounded_degree_neighborhood_lower_bound
  - exact_right_degree_interval_AP_formula
  - neighborhood_subset_of_canonical_composite_capacity_under_failure
  - corrected_shift_layer_boundary

canonical_corrections:
  - rename_primorial_smooth_to_primorial_divisible
  - demote_matching_to_optional_certificate
  - demote_Hall_for_global_demand
  - rebase_capacity_from_incidence_to_C_can
  - prioritize_non_primorial_target_branches_for_transport_gain
  - compare_transport_lower_bound_against_ordinary_lower_bound

commit_to_sync_core: true
promote_new_goldbach_theorem: false
next_round: V0-R08
```