# RG-SCP Validation Round 06
## RG-SCP 06 Claim / Source Audit
### 《反例需求—障礙容量不等式》的 Canonical Capacity 重構、Incidence 去中心化與 AP 邊界審計

**驗證系列：** RG-SCP Validation  
**驗證階段：** V0 — Claim / Source Audit  
**輪次：** 06  
**對應原稿：** RG-SCP 06《反例需求—障礙容量不等式》v0.1  
**日期：** 2026-09-28  
**版本：** v0.1  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**性質：** Canonical Audit / Demand-Capacity Core / Source-Role Audit  
**狀態：** 第六輪審計；不宣稱新的 Goldbach 全域證明

---

## 摘要

本文件對 RG-SCP 06《反例需求—障礙容量不等式》進行 claim/source audit。

本輪特別檢查：

1. $D_N(y)\le I_N(y)$ 到底具有多少獨立 proof content；
2. $R_G^{-}=D+\Omega-I$ 是否為真正 compression，還是 target identity；
3. exact incidence $I_N(y)$ 是否已經過度讀取 complement factorization；
4. 「capacity」應該定義成 incidence mass，還是可實際覆蓋的 composite-survivor cardinality；
5. raw arithmetic-progression capacity upper bound是否正確；
6. $r\mid N$ 時的 capacity column能否由 $\le1$ 強化成 exact formula；
7. small-factor demand side的 self-suppression是否也可強化；
8. primorial demand formula是否與 RG-SCP 03 重複；
9. Brun–Titchmarsh interface 的條件是否正確；
10. demand / capacity closure是否存在 circularity或 truth leakage。

本輪最重要的結論是：

> **第六篇真正 canonical 的 capacity 不應是 multiplicity-weighted incidence $I_N(y)$，而應是「被 deep proper factors 實際覆蓋的 composite survivor 數」。**

對：

$$
2\le y<\frac N2,
$$

定義 survivor set：

$$
\mathbb H_y(N)
=
\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
\gcd(N-p,P(y))=1
\right\},
$$

以及 demand：

$$
D_N(y)
=
|\mathbb H_y(N)|.
$$

再定義 reduced Goldbach-success set：

$$
\boxed{
\mathbb G_N^{-}
=
\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
N-p\in\mathbb P
\right\}.
}
$$

由：

$$
y<N/2
$$

以及：

$$
N-p\ge N/2,
$$

所有 prime complements 都自動避開：

$$
P(y).
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathbb G_N^{-}
\subseteq
\mathbb H_y(N).
}
$$

接著定義 canonical composite-survivor set：

$$
\boxed{
\mathbb C_y(N)
=
\left\{
p\in\mathbb H_y(N):
N-p\text{ composite}
\right\}.
}
$$

則有完全不含 multiplicity 的 exact partition：

$$
\boxed{
\mathbb H_y(N)
=
\mathbb G_N^{-}
\bigsqcup
\mathbb C_y(N).
}
$$

因此：

$$
\boxed{
D_N(y)
=
R_G^{-}(N)
+
C_N^{\mathrm{can}}(y),
}
$$

其中：

$$
\boxed{
C_N^{\mathrm{can}}(y)
=
|\mathbb C_y(N)|.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
R_G^{-}(N)
=
D_N(y)
-
C_N^{\mathrm{can}}(y).
}
$$

這是本輪建議升格為 RG-SCP 06 的 canonical demand–capacity identity。

再以 least factor partition：

$$
B_r(N;y)
=
\left\{
p\in\mathbb H_y(N):
N-p\text{ composite},
\quad
\operatorname{lpf}(N-p)=r
\right\},
$$

得到：

$$
\boxed{
\mathbb C_y(N)
=
\bigsqcup_{\substack{
r\in\mathbb P\\
r>y
}}
B_r(N;y),
}
$$

因此：

$$
\boxed{
C_N^{\mathrm{can}}(y)
=
\sum_{r>y}
|B_r(N;y)|.
}
$$

Goldbach failure 現在有最乾淨的形式：

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
D_N(y)
=
C_N^{\mathrm{can}}(y)
}
$$

對任何：

$$
2\le y<N/2.
$$

所以真正的 proof target應是：

$$
\boxed{
\text{Demand Lower Bound}
>
\text{Canonical Coverage Capacity Upper Bound}.
}
$$

亦即若能證：

$$
D_N(y)\ge L_N(y),
$$

$$
C_N^{\mathrm{can}}(y)\le U_N^{\mathrm{can}}(y),
$$

且：

$$
\boxed{
L_N(y)>U_N^{\mathrm{can}}(y),
}
$$

就立即有：

$$
R_G^{-}(N)>0.
$$

原稿的：

$$
I_N(y)
$$

不是錯誤；它是 exact **deep factor-incidence mass**。

而：

$$
\Omega_N(y)
$$

是 exact **incidence-overlap surplus**。

本輪證明：

$$
\boxed{
I_N(y)
=
C_N^{\mathrm{can}}(y)
+
\Omega_N(y).
}
$$

因此：

$$
R_G^{-}
=
D+\Omega-I
$$

只是：

$$
R_G^{-}
=
D-C^{\mathrm{can}}
$$

把：

$$
C^{\mathrm{can}}
=
I-\Omega
$$

代回後的等價展開。

所以：

- $D+\Omega-I$ 應保留作 audit identity；
- $I$ 應改名 `incidence mass`；
- 真正 canonical capacity 應改用 $C_N^{\mathrm{can}}$。

這也精確解釋：

$$
D_N(y)>I_N(y)
$$

到底在檢測什麼。

由：

$$
R_G^{-}
=
D+\Omega-I,
$$

有：

$$
\boxed{
D>I
\Longleftrightarrow
R_G^{-}>\Omega.
}
$$

所以 $D>I$ 並不是一般 Goldbach-success characterization。

它只會在：

> Goldbach representation count大於 incidence-overlap surplus

時觸發。

例如 finite example：

$$
N=68,
\quad
y=2
$$

可有：

$$
D=10,
\quad
I=10,
\quad
\Omega=2,
\quad
R_G^{-}=2.
$$

因此：

$$
R_G^{-}>0
$$

但：

$$
D>I
$$

不成立。

所以 RG-SCP-06.1 的 implication正確，但作為直接 detector 很弱。

真正 proof value來自：

> 不去 exact 計算 $I$ 或 $C^{\mathrm{can}}$，而是從 independent structure建立 rigorous upper bound。

本輪也強化 self-suppression 的 AP column。

原稿只有：

$$
r\mid N
\Longrightarrow
A_r(N)\le1.
$$

實際可寫成 exact：

$$
\boxed{
A_r(N)
=
\mathbf1_{\{r\le x_r(N)\}}
}
$$

其中：

$$
x_r(N)
=
\min
\left(
N/2,
N-r^2
\right).
$$

由於：

$$
r\le x_r(N)
$$

等價於：

$$
N\ge r^2+r,
$$

所以：

$$
\boxed{
r\mid N
\Longrightarrow
A_r(N)
=
\mathbf1_{\{N\ge r(r+1)\}}.
}
$$

small-factor demand側也可強化。

若：

$$
\ell\le y<N/2,
$$

且：

$$
\ell\mid N,
$$

則：

$$
\boxed{
S_\ell(N)=\{\ell\},
}
$$

不是只知道：

$$
|S_\ell(N)|\le1.
$$

這兩個 exact sharpening都應進 formal core。

最後，外部解析接口 audit確認：原稿所引用的 Brun–Titchmarsh 型式

$$
\pi(x;q,a)
\le
\frac{2x}{
\varphi(q)\log(x/q)
}
$$

在：

$$
\gcd(a,q)=1,
\quad
q<x
$$

的標準適用條件下形式正確。

但它仍應留在：

$$
\boxed{
\mathcal S_5
=
\text{External Analytic Source}
}
$$

而不併入 elementary core。

本輪 verdict：

$$
\boxed{
\mathrm{PASS\ WITH\ CANONICAL\mbox{-}CAPACITY\ RECONSTRUCTION,\ INCIDENCE\ DEMOTION,\ AND\ SUPPRESSION\ SHARPENING}.
}
$$

---

# 1. 審計範圍

本輪只審：

# RG-SCP 06
## 《反例需求—障礙容量不等式》

本輪不預先審 RG-SCP 07 minimality transport。

同時沿用 V0-R05 的二維資料分類：

## Epistemic Status

```text
exact
heuristic
mixed
```

## Data Role

```text
proof_input
discovery_probe
diagnostic
truth_label
```

---

# 2. Reduced prime domain

沿用：

$$
\boxed{
\mathbb P_N^{-}
=
\left\{
p\in\mathbb P:
2\le p\le N/2
\right\}.
}
$$

定義：

$$
\boxed{
R_G^{-}(N)
=
\#\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
N-p\in\mathbb P
\right\}.
}
$$

有：

$$
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
R_G^{-}(N)=0.
$$

---

# 3. Cutoff 與 small-factor product

對：

$$
2\le y<N/2,
$$

定義：

$$
\boxed{
P(y)
=
\prod_{\substack{
\ell\in\mathbb P\\
\ell\le y
}}
\ell.
}
$$

canonical formalization建議只讓：

$$
y
$$

取自然數或 prime cutoff index，

避免不必要的 real-valued cutoff coercion。

---

# 4. Survivor set

定義：

$$
\boxed{
\mathbb H_y(N)
=
\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
\gcd(N-p,P(y))=1
\right\}.
}
$$

以及：

$$
\boxed{
D_N(y)
=
|\mathbb H_y(N)|.
}
$$

這些只使用：

- prime input $p$；
- divisibility by small primes。

不需要知道：

$$
N-p
$$

最後是否 prime。

因此：

```yaml
D_N(y):
  epistemic_status: exact
  data_role: proof_input_or_discovery_probe
  truth_leakage: low
```

---

# 5. Prime complements一定 survive

## 定理 R06-T01

若：

$$
2\le y<N/2,
$$

以及：

$$
p\in\mathbb P_N^{-},
$$

且：

$$
N-p\in\mathbb P,
$$

則：

$$
\boxed{
p\in\mathbb H_y(N).
}
$$

---

## 證明

因：

$$
p\le N/2,
$$

所以：

$$
N-p\ge N/2>y.
$$

若某：

$$
\ell\le y
$$

prime整除：

$$
N-p,
$$

因：

$$
N-p
$$

本身 prime，

只能：

$$
\ell=N-p,
$$

但：

$$
\ell\le y<N-p,
$$

矛盾。

因此：

$$
\gcd(N-p,P(y))=1.
$$

證畢。

---

# 6. Goldbach-success set

定義：

$$
\boxed{
\mathbb G_N^{-}
=
\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
N-p\in\mathbb P
\right\}.
}
$$

由 R06-T01：

$$
\boxed{
\mathbb G_N^{-}
\subseteq
\mathbb H_y(N).
}
$$

且：

$$
|\mathbb G_N^{-}|
=
R_G^{-}(N).
$$

---

# 7. Composite survivor set

定義：

$$
\boxed{
\mathbb C_y(N)
=
\left\{
p\in\mathbb H_y(N):
N-p\text{ composite}
\right\}.
}
$$

則每個 survivor complement：

$$
N-p\ge2
$$

要嘛 prime，要嘛 composite。

所以：

$$
\boxed{
\mathbb H_y(N)
=
\mathbb G_N^{-}
\bigsqcup
\mathbb C_y(N).
}
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

---

# 8. Canonical coverage capacity

定義：

$$
\boxed{
C_N^{\mathrm{can}}(y)
=
|\mathbb C_y(N)|.
}
$$

稱為：

# Canonical Composite-Survivor Capacity

它表示：

> survivor demand 中，實際被 deep proper-factor structure覆蓋的 left vertices數量。

---

# 9. Canonical Demand–Capacity Identity

## 定理 R06-T02

對：

$$
2\le y<N/2,
$$

有：

$$
\boxed{
D_N(y)
=
R_G^{-}(N)
+
C_N^{\mathrm{can}}(y).
}
$$

所以：

$$
\boxed{
R_G^{-}(N)
=
D_N(y)
-
C_N^{\mathrm{can}}(y).
}
$$

這是本輪建議升格的 canonical identity。

---

# 10. Failure characterization

由 R06-T02：

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
D_N(y)
=
C_N^{\mathrm{can}}(y).
}
$$

而：

$$
R_G^{-}(N)>0
$$

等價於：

$$
\boxed{
D_N(y)
>
C_N^{\mathrm{can}}(y).
}
$$

這才是最直接的 demand / actual-coverage relation。

---

# 11. 注意：$C_N^{\mathrm{can}}$ 是 target-adjacent

雖然：

$$
C_N^{\mathrm{can}}(y)
$$

exact，

但其定義直接問：

$$
N-p
$$

是否 composite。

又：

$$
R_G^{-}
=
D-C^{\mathrm{can}}.
$$

所以：

```yaml
C_can:
  epistemic_status: exact
  data_role: truth_label_adjacent_or_posthoc_diagnostic
```

不能把 exact：

$$
C_N^{\mathrm{can}}
$$

本身當作 leakage-free discovery input。

真正 proof value來自：

$$
\boxed{
C_N^{\mathrm{can}}(y)
\le
U_N^{\mathrm{can}}(y)
}
$$

的 independent upper bound。

---

# 12. Canonical least-factor cells

對：

$$
r>y,
$$

定義：

$$
\boxed{
B_r(N;y)
=
\left\{
p\in\mathbb H_y(N):
N-p\text{ composite},
\quad
\operatorname{lpf}(N-p)=r
\right\}.
}
$$

加入：

$$
N-p\text{ composite}
$$

是必要的 typing。

否則 prime complement：

$$
q=N-p
$$

也有：

$$
\operatorname{lpf}(q)=q,
$$

會被錯誤放進「proper obstruction cell」。

---

# 13. Canonical cell partition

不同：

$$
r
$$

的：

$$
B_r(N;y)
$$

互斥。

而：

$$
p\in\mathbb C_y(N)
$$

時，

其 least factor：

$$
r=\operatorname{lpf}(N-p)
$$

滿足：

$$
r>y.
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathbb C_y(N)
=
\bigsqcup_{\substack{
r\in\mathbb P\\
r>y
}}
B_r(N;y).
}
$$

因此：

$$
\boxed{
C_N^{\mathrm{can}}(y)
=
\sum_{r>y}
|B_r(N;y)|.
}
$$

---

# 14. Canonical closure theorem

## 定理 R06-T03

若存在 rigorous bounds：

$$
D_N(y)\ge L_N(y),
$$

以及：

$$
C_N^{\mathrm{can}}(y)
\le
U_N^{\mathrm{can}}(y),
$$

且：

$$
\boxed{
L_N(y)>U_N^{\mathrm{can}}(y),
}
$$

則：

$$
\boxed{
R_G^{-}(N)>0.
}
$$

---

## 證明

由：

$$
R_G^{-}
=
D-C^{\mathrm{can}},
$$

得：

$$
R_G^{-}
\ge
L-U^{\mathrm{can}}
>
0.
$$

證畢。

---

# 15. Canonical branch closure

若對某 family：

$$
\mathcal F
$$

能證：

$$
L_N(y_N)
>
U_N^{\mathrm{can}}(y_N)
$$

對所有：

$$
N\in\mathcal F,
$$

則：

$$
\boxed{
\mathcal F
\cap
\mathcal C_G
=
\varnothing.
}
$$

這是 RG-SCP 06 最乾淨的 family-level target。

---

# 16. Deep incidence multiplicity

原稿定義：

$$
m_y(N,p)
=
\#\left\{
r\in\mathbb P:
y<r,
\quad
r^2\le N-p,
\quad
r\mid(N-p)
\right\}.
$$

本輪用 square form取代 real square root。

對 survivor：

- prime complement：$m_y=0$；
- composite complement：$m_y\ge1$。

exact。

---

# 17. Deep incidence mass

定義：

$$
\boxed{
I_N(y)
=
\sum_{p\in\mathbb H_y(N)}
m_y(N,p).
}
$$

本輪建議名稱改為：

# Deep Factor-Incidence Mass

而不是 canonical capacity。

原因：

同一 composite survivor若有多個 deep prime divisors，

會被重複計數。

---

# 18. Overlap surplus

定義：

$$
\boxed{
\Omega_N(y)
=
\sum_{p\in\mathbb H_y(N)}
\max
\left(
m_y(N,p)-1,
0
\right).
}
$$

exact。

---

# 19. Incidence–Coverage Identity

## 定理 R06-T04

有：

$$
\boxed{
I_N(y)
=
C_N^{\mathrm{can}}(y)
+
\Omega_N(y).
}
$$

---

## 證明

對每個：

$$
p\in\mathbb H_y(N),
$$

若 complement prime：

$$
m_y=0,
$$

且不貢獻：

$$
C^{\mathrm{can}}
$$

與：

$$
\Omega.
$$

若 complement composite：

$$
m_y\ge1,
$$

它對：

$$
C^{\mathrm{can}}
$$

貢獻：

$$
1,
$$

對：

$$
\Omega
$$

貢獻：

$$
m_y-1.
$$

總和：

$$
m_y.
$$

逐點求和即得。

證畢。

---

# 20. 原稿 identity 的來源

由：

$$
R_G^{-}
=
D-C^{\mathrm{can}}
$$

以及：

$$
C^{\mathrm{can}}
=
I-\Omega,
$$

立即得到：

$$
\boxed{
R_G^{-}
=
D+\Omega-I.
}
$$

所以原稿 RG-SCP-06.4 完全正確。

但它現在被重新定位為：

$$
\boxed{
\text{derived audit identity}.
}
$$

而不是 canonical capacity definition。

---

# 21. $D\le I$ 的真正地位

若 failure：

$$
R_G^{-}=0,
$$

則：

$$
D=C^{\mathrm{can}}.
$$

又：

$$
I=C^{\mathrm{can}}+\Omega.
$$

所以：

$$
\boxed{
I=D+\Omega\ge D.
}
$$

因此：

$$
F_G(N)=1
\Longrightarrow
D_N(y)\le I_N(y)
$$

PASS。

但它其實是 canonical partition加 incidence multiplicity後的弱 corollary。

---

# 22. $D>I$ 到底代表什麼

由：

$$
R_G^{-}
=
D+\Omega-I,
$$

有：

$$
D-I
=
R_G^{-}-\Omega.
$$

所以：

$$
\boxed{
D>I
\Longleftrightarrow
R_G^{-}>\Omega.
}
$$

因此原稿的：

$$
D>I
\Longrightarrow
R_G^{-}>0
$$

正確，

但只捕捉：

$$
\boxed{
\text{representation count exceeds overlap surplus}
}
$$

的 success states。

它不是 general success characterization。

---

# 23. Finite example：success 但 $D>I$ 不觸發

取：

$$
N=68,
\quad
y=2.
$$

reduced survivor domain有：

$$
D_{68}(2)=10.
$$

其中：

$$
68-5=63
$$

具有 deep factors：

$$
3,7,
$$

而：

$$
68-23=45
$$

具有 deep factors：

$$
3,5.
$$

所以 overlap surplus：

$$
\Omega_{68}(2)=2.
$$

可得：

$$
I_{68}(2)=10.
$$

同時 reduced Goldbach representations有：

$$
68=7+61
$$

與：

$$
68=31+37.
$$

所以：

$$
R_G^{-}(68)=2.
$$

exact identity：

$$
2
=
10+2-10.
$$

但：

$$
D>I
$$

為：

$$
10>10,
$$

不成立。

這說明：

$$
\boxed{
D>I
}
$$

只能作 sufficient detector，

不能作 canonical capacity criterion。

---

# 24. Exact $I$ 的 truth-leakage 地位

要 exact 計算：

$$
I_N(y),
$$

通常需要知道 survivor complements 的 deep prime factors。

這已經非常接近完整 factorization truth。

而：

$$
R_G^{-}
=
D+\Omega-I
$$

更顯示：

$$
(I,\Omega,D)
$$

一起直接重建 target。

所以 exact：

$$
I_N(y)
$$

應標：

```yaml
epistemic_status: exact
data_role: posthoc_diagnostic_or_truth_adjacent
```

而不是：

```yaml
data_role: leakage_free_discovery_probe
```

---

# 25. 真正 proof input 是 upper bound

重要區分：

$$
I_N(y)
$$

的 exact值不是 proof compression。

但若從不讀 complement factorization的外部 theorem得到：

$$
\boxed{
I_N(y)\le U_N(y),
}
$$

則：

$$
U_N
$$

可以是 legitimate proof input。

同理：

$$
C_N^{\mathrm{can}}(y)
\le
U_N^{\mathrm{can}}(y)
$$

才是真正值得追的 capacity theorem。

---

# 26. Incidence decomposition

對：

$$
r>y,
$$

定義：

$$
C_r^{\mathrm{inc}}(N;y)
=
\#\left\{
p\in\mathbb H_y(N):
r^2\le N-p,
\quad
r\mid(N-p)
\right\}.
$$

則：

$$
\boxed{
I_N(y)
=
\sum_{r>y}
C_r^{\mathrm{inc}}(N;y).
}
$$

為避免與 canonical capacity：

$$
C_N^{\mathrm{can}}
$$

混淆，

本輪建議把原稿：

$$
C_r(N;y)
$$

改名：

$$
\boxed{
C_r^{\mathrm{inc}}(N;y).
}
$$

---

# 27. Proper-factor range

$$
r^2\le N-p
$$

等價於：

$$
p\le N-r^2.
$$

又：

$$
p\le N/2.
$$

所以：

$$
\boxed{
x_r(N)
=
\min
\left(
N/2,
N-r^2
\right).
}
$$

則：

$$
C_r^{\mathrm{inc}}(N;y)
=
\#
\left\{
p\in\mathbb H_y(N):
p\le x_r(N),
\quad
p\equiv N\pmod r
\right\}.
$$

PASS。

---

# 28. Raw AP column

定義：

$$
\boxed{
A_r(N)
=
\#\left\{
p\in\mathbb P:
2\le p\le x_r(N),
\quad
p\equiv N\pmod r
\right\}.
}
$$

移除：

$$
p\in\mathbb H_y
$$

限制後，

有：

$$
\boxed{
C_r^{\mathrm{inc}}(N;y)
\le
A_r(N).
}
$$

exact。

---

# 29. Raw AP sum upper bound

因此：

$$
\boxed{
I_N(y)
\le
\sum_{\substack{
r\in\mathbb P\\
y<r\\
r^2\le N-2
}}
A_r(N).
}
$$

exact。

這是 legitimate upper envelope，

因：

$$
A_r
$$

只需要：

- left prime distribution；
- residue；
- proper-factor range；

不需要判定：

$$
N-p
$$

是否 prime。

---

# 30. AP envelope 的資料角色

所以：

```yaml
A_r(N):
  epistemic_status: exact
  data_role: proof_input
  target_leakage: low
```

若再以 analytic theorem upper-bound：

$$
A_r(N),
$$

同樣合法。

---

# 31. Divisor column strengthening

原稿：

$$
r\mid N
\Longrightarrow
A_r(N)\le1.
$$

可強化。

因：

$$
p\equiv N\pmod r
$$

且：

$$
r\mid N
$$

推出：

$$
r\mid p.
$$

prime：

$$
p
$$

只能：

$$
p=r.
$$

所以：

$$
A_r(N)=1
$$

當且僅當：

$$
r
$$

落在允許範圍：

$$
2\le r\le x_r(N).
$$

因此：

$$
\boxed{
A_r(N)
=
\mathbf1_{\{r\le x_r(N)\}}
}
$$

對：

$$
r\mid N.
$$

---

# 32. 更簡單的 divisor-column exact formula

因：

$$
x_r(N)
=
\min(N/2,N-r^2),
$$

對：

$$
r\ge2,
$$

條件：

$$
r\le x_r(N)
$$

等價於：

$$
N\ge r^2+r.
$$

因為：

$$
r^2+r\ge2r.
$$

所以：

$$
\boxed{
r\mid N
\Longrightarrow
A_r(N)
=
\mathbf1_{\{N\ge r(r+1)\}}.
}
$$

這是 Strengthening S01。

---

# 33. Non-divisor AP column

若：

$$
r\nmid N,
$$

因 $r$ prime：

$$
\gcd(N,r)=1.
$$

所以：

$$
\boxed{
A_r(N)
=
\pi
\left(
x_r(N);
r,
N\bmod r
\right).
}
$$

exact。

---

# 34. Brun–Titchmarsh interface

若：

$$
r\nmid N
$$

且：

$$
r<x_r(N),
$$

可接 standard Brun–Titchmarsh upper bound：

$$
\boxed{
\pi(x_r;r,N\bmod r)
\le
\frac{
2x_r
}{
(r-1)\log(x_r/r)
}.
}
$$

這個 theorem屬：

$$
\boxed{
\mathcal S_5
=
\text{External Analytic Number Theory}.
}
$$

本輪只驗 interface compatibility，

不把其 proof納入 RG-SCP elementary core。

---

# 35. $x_r\le r$ fallback

若：

$$
x_r(N)\le r,
$$

一個 fixed residue class：

$$
\bmod r
$$

在：

$$
[1,x_r]
$$

中最多有一個 integer representative。

所以：

$$
A_r(N)\le1.
$$

PASS。

但若：

$$
r\mid N,
$$

應優先使用前節 exact indicator。

---

# 36. Canonical AP envelope

可定義：

$$
\boxed{
U_r^{\mathrm{AP}}(N)
=
\begin{cases}
\mathbf1_{\{N\ge r(r+1)\}},
& r\mid N,\\
\pi(x_r;r,N\bmod r),
& r\nmid N.
\end{cases}
}
$$

這比原稿 divisor case一律寫：

$$
1
$$

更緊。

若第二支再換成 rigorous analytic upper bound，

得到 computable symbolic envelope。

---

# 37. Small-factor demand classes

對：

$$
\ell\le y,
$$

定義：

$$
S_\ell(N)
=
\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
\ell\mid(N-p)
\right\}.
$$

則：

$$
\boxed{
\mathbb H_y(N)
=
\mathbb P_N^{-}
\setminus
\bigcup_{\ell\le y}
S_\ell(N).
}
$$

PASS。

---

# 38. Demand exact complement form

$$
\boxed{
D_N(y)
=
\pi(N/2)
-
\left|
\bigcup_{\ell\le y}
S_\ell(N)
\right|.
}
$$

exact。

---

# 39. Demand union-bound lower envelope

由：

$$
\left|
\bigcup_{\ell\le y}
S_\ell
\right|
\le
\sum_{\ell\le y}
|S_\ell|,
$$

有：

$$
\boxed{
D_N(y)
\ge
\pi(N/2)
-
\sum_{\ell\le y}
|S_\ell(N)|.
}
$$

PASS。

---

# 40. Small-factor self-cell可強化

若：

$$
\ell\le y<N/2
$$

為 prime，

且：

$$
\ell\mid N,
$$

則：

$$
p\equiv N\pmod\ell
$$

在 prime $p$ 中只可能：

$$
p=\ell.
$$

而：

$$
\ell<N/2
$$

保證：

$$
\ell\in\mathbb P_N^{-}.
$$

又：

$$
\ell\mid(N-\ell).
$$

因此：

$$
\boxed{
S_\ell(N)=\{\ell\}.
}
$$

不是僅：

$$
|S_\ell|\le1.
$$

這是 Strengthening S02。

---

# 41. General Demand Lower Envelope

若：

$$
V_\ell(N)\ge|S_\ell(N)|
$$

為 rigorous upper bounds，

則：

$$
\boxed{
L_N(y)
=
\max
\left(
0,
\pi(N/2)
-
\sum_{\ell\le y}
V_\ell(N)
\right)
}
$$

滿足：

$$
D_N(y)\ge L_N(y).
$$

PASS。

---

# 42. Primorial demand formula

若：

$$
M_k\mid N,
$$

且：

$$
p_k\le N/2,
$$

則由 V0-R03：

$$
\boxed{
\mathbb H_{p_k}(N)
=
\left\{
p\in\mathbb P:
p_k<p\le N/2
\right\}.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
D_N(p_k)
=
\pi(N/2)-k.
}
$$

exact。

---

# 43. Theorem ownership 去重

這個 formula 的 arithmetic geometry已屬：

$$
\boxed{
\text{RG-SCP 03}.
}
$$

RG-SCP 06 的新內容是：

> 把這個 exact demand接入 capacity upper-bound architecture。

所以 ledger應寫：

```text
R03:
  primorial hard-sector theorem

R06:
  use hard-sector cardinality as demand
  compare against canonical/AP capacity
```

---

# 44. M6 demand同理

若：

$$
6\mid N,
$$

且：

$$
N\ge12,
$$

則：

$$
\boxed{
D_N(3)
=
\pi(N/2)-2.
}
$$

同樣源自 R03 hard-sector geometry。

R06只負責 capacity interpretation。

---

# 45. Canonical primorial closure target

對：

$$
M_k\mid N,
$$

真正乾淨的 target應寫：

$$
\boxed{
\pi(N/2)-k
>
U_N^{\mathrm{can}}(p_k).
}
$$

而不是優先：

$$
\pi(N/2)-k>I_N(p_k).
$$

因 exact：

$$
I_N
$$

帶 multiplicity且讀取 factor truth。

---

# 46. Raw AP envelope如何接 canonical capacity

因：

$$
B_r(N;y)
\subseteq
\left\{
p\in\mathbb P:
p\le x_r,
\quad
p\equiv N\pmod r
\right\},
$$

所以：

$$
\boxed{
|B_r(N;y)|
\le
A_r(N).
}
$$

因此：

$$
\boxed{
C_N^{\mathrm{can}}(y)
\le
\sum_{r>y}
A_r(N).
}
$$

所以 raw AP sum仍可直接 upper-bound canonical capacity。

這使 canonical reconstruction不會丟掉原稿的 AP route。

---

# 47. 為什麼 canonical route更乾淨

原路：

$$
D
\le
I
\le
\sum_r A_r.
$$

canonical route：

$$
R
=
D-C^{\mathrm{can}},
$$

且：

$$
C^{\mathrm{can}}
\le
\sum_r A_r.
$$

若：

$$
D>\sum_rA_r,
$$

仍然推出：

$$
R>0.
$$

但不需要把 repeated factor incidences稱為 capacity。

---

# 48. Canonical cell upper bound

更理想：

$$
\boxed{
|B_r(N;y)|
\le
U_r^{\mathrm{sieve}}(N;y).
}
$$

則：

$$
\boxed{
C_N^{\mathrm{can}}(y)
\le
\sum_{r>y}
U_r^{\mathrm{sieve}}(N;y).
}
$$

如果：

$$
L_N(y)
>
\sum_{r>y}
U_r^{\mathrm{sieve}}(N;y),
$$

即可排除 failure。

這保留原稿最重要的 future target。

---

# 49. 「$B_r$ 通常遠小於 $A_r$」的分類

exact：

$$
B_r\subseteq A_r.
$$

但：

> $B_r$ 通常遠小於 $A_r$

是 empirical / heuristic expectation。

所以：

$$
[\mathrm H].
$$

不要在 theorem wording中寫「因此通常遠小」。

---

# 50. Parity-barrier wording

原稿寫：

> 這是 parity problem 會出現的地方。

本輪建議改成：

> canonical least-factor capacity 的 sharp upper bounds可能與 sieve parity-type limitations接近，但 RG-SCP 06 尚未證明兩者完全等價。

因此分類：

$$
[\mathrm F/H_{\mathrm{caution}}].
$$

不能把目前 failure to close自動歸因於 parity barrier。

---

# 51. Raw AP sum 的真正缺陷

原稿說 raw AP sum因 overlap而鬆。

正確。

但 canonical reconstruction後可以更精確說：

$$
\sum_r A_r
$$

有兩種 slack：

## S1 — Survivor slack

$$
A_r
$$

沒有要求：

$$
p\in\mathbb H_y.
$$

## S2 — Least-factor slack

$$
A_r
$$

只要求：

$$
r\mid(N-p),
$$

沒有要求：

$$
r=\operatorname{lpf}(N-p).
$$

所以即使不談「同一 p 多重計數」，

raw column本身已比 canonical cell大。

---

# 52. Overlap不是唯一 bottleneck

因此 capacity compression應拆：

$$
\boxed{
A_r
\to
C_r^{\mathrm{inc}}
\to
B_r.
}
$$

第一步加：

$$
p\in\mathbb H_y.
$$

第二步加：

$$
r=\operatorname{lpf}(N-p).
$$

這比只說「扣 overlap」更清楚。

---

# 53. Inclusion–exclusion route

原稿的 Chinese-remainder overlap分析是 exact。

若：

$$
r,s\mid(N-p),
$$

不同 primes：

$$
r\neq s,
$$

則：

$$
rs\mid(N-p),
$$

所以：

$$
p\equiv N\pmod{rs}.
$$

PASS。

但這仍屬：

$$
\mathcal S_1+\mathcal S_2.
$$

沒有 source escape。

---

# 54. Matching analogy audit

原稿正確警告：

一個 obstruction prime：

$$
r
$$

可以 cover很多：

$$
p.
$$

所以不能把 obstruction graph直接當 capacity-one matching。

PASS。

---

# 55. Local capacity inequality

若對：

$$
S\subseteq\mathbb H_y(N)
$$

有每個 right obstruction class的 rigorous coverage bound：

$$
u_r(S),
$$

則：

$$
|S|
\le
\sum_r u_r(S)
$$

是 failure的必要條件。

這是 valid template。

但 $u_r(S)$ 的定義必須：

- 不使用 target truth circularly；
- upper-bound actual canonical coverage；
- 清楚處理 overlap。

---

# 56. Truth-leakage audit：$D$ vs $I$ vs $A$

## $D_N(y)$

只看 small factors：

$$
\boxed{
\text{safe exact proof/discovery input}.
}
$$

## $I_N(y)$

讀 deep factorization：

$$
\boxed{
\text{truth-adjacent posthoc diagnostic}.
}
$$

## $\Omega_N(y)$

同樣依賴 deep factorization：

$$
\boxed{
\text{truth-adjacent posthoc diagnostic}.
}
$$

## $C_N^{\mathrm{can}}(y)$

直接等於：

$$
D-R,
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{truth-label adjacent}.
}
$$

## $A_r(N)$

只看 left primes與 AP residue：

$$
\boxed{
\text{legitimate proof input}.
}
$$

---

# 57. Capacity theorem 的合法形式

最佳 proof route不是：

> exact 算出 $C^{\mathrm{can}}$ 很小。

而是：

> 不讀 complement primality，從 independent source 證：

$$
\boxed{
C_N^{\mathrm{can}}(y)
\le
U_N^{\mathrm{can}}(y).
}
$$

這才是 proof compression。

---

# 58. Cutoff trade-off PASS

增加：

$$
y
$$

會縮小：

$$
D_N(y),
$$

同時也縮短可用 deep-factor range。

這個 trade-off exact存在。

但「最佳 cutoff在中間」只是 hypothesis。

---

# 59. Cutoff optimization data-role

若用 exact target-derived：

$$
I,
\Omega,C^{\mathrm{can}}
$$

在每個 $N$ 上選最好的：

$$
y,
$$

再報告模型表現，

可能產生 target-dependent cutoff leakage。

所以 heuristic cutoff selector應只使用 leakage-free features。

proof階段則可以任意選定：

$$
y(N)
$$

，只要其定義與 proof獨立。

---

# 60. Canonical Correction C01 — Capacity rename

舊：

```text
I_N(y) = capacity
```

新：

```text
I_N(y) = deep_factor_incidence_mass
C_can_N(y) = canonical_coverage_capacity
```

---

# 61. Canonical Correction C02 — Primary identity

舊 primary：

$$
R=D+\Omega-I.
$$

新 primary：

$$
\boxed{
R=D-C^{\mathrm{can}}.
}
$$

舊 identity保留為：

$$
\boxed{
C^{\mathrm{can}}=I-\Omega.
}
$$

---

# 62. Canonical Correction C03 — Least-factor cell typing

$$
B_r
$$

明確要求：

$$
N-p\text{ composite}
$$

或：

$$
r^2\le N-p.
$$

避免 prime complement被當成 obstruction cell。

---

# 63. Canonical Correction C04 — AP divisor column

舊：

$$
r\mid N
\Rightarrow
A_r\le1.
$$

新：

$$
\boxed{
A_r
=
\mathbf1_{\{N\ge r(r+1)\}}.
}
$$

---

# 64. Canonical Correction C05 — Small-factor suppression cell

舊：

$$
\ell\mid N
\Rightarrow
|S_\ell|\le1.
$$

新：

$$
\boxed{
S_\ell=\{\ell\}
}
$$

在：

$$
\ell\le y<N/2.
$$

---

# 65. Canonical Correction C06 — Data roles

exact：

$$
I,\Omega,C^{\mathrm{can}}
$$

不再當 leakage-free discovery probes。

upper/lower theorem bounds：

$$
L,U
$$

才是 proof architecture主體。

---

# 66. Canonical Correction C07 — R03 ownership

primorial demand formula歸 R03 theorem ledger。

R06只 claim：

$$
\boxed{
\text{demand-capacity use}.
}
$$

---

# 67. Canonical Correction C08 — External analytic isolation

Brun–Titchmarsh：

$$
\mathcal S_5.
$$

不進：

```text
RGSCP/Core
```

而進：

```text
RGSCP/Interfaces
RGSCP/External
```

---

# 68. Canonical theorem ledger — RG-SCP 06

| ID | Claim | Class | Source | Status |
|---|---|---|---|---|
| R06-T01 | every reduced prime complement survives cutoff $y<N/2$ | T | S0 | **AUDIT ADDITION / PASS** |
| R06-T02 | $R_G^{-}=D-C^{\mathrm{can}}$ | T/E | S0+S1 | **CANONICAL RECONSTRUCTION / PASS** |
| R06-T03 | $L>U^{\mathrm{can}}$ implies Goldbach success | T template | bound-dependent | **CANONICAL CLOSURE / PASS** |
| R06-T04 | $I=C^{\mathrm{can}}+\Omega$ | T/E | S1 | **AUDIT ADDITION / PASS** |
| R06-T05 | $R_G^{-}=D+\Omega-I$ | T/E | S1 | PASS, derived |
| R06-T06 | failure implies $D\le I$ | T | S1 | PASS, weak corollary |
| R06-T07 | $D>I\iff R_G^{-}>\Omega$ | T/E | S1 | **AUDIT INTERPRETATION / PASS** |
| R06-T08 | incidence decomposition $\sum_rC_r^{inc}$ | T | S1 | PASS |
| R06-T09 | $C_r^{inc}\le A_r$ | T | S0+S1 | PASS |
| R06-T10 | divisor AP column exact indicator | T | S0+S1 | **STRENGTHENED / PASS** |
| R06-T11 | $\ell\mid N,\ell\le y<N/2\Rightarrow S_\ell=\{\ell\}$ | T | S0+S1 | **STRENGTHENED / PASS** |
| R06-T12 | primorial demand formula | T | S0+S2 | PASS, owned by R03 |
| R06-H01 | raw AP sum likely too loose | H/F | diagnostic | KEEP |
| R06-H02 | parity-type bottleneck interpretation | H/F | external caution | KEEP |
| R06-O01 | nontrivial canonical capacity upper bound | O | future | OPEN |
| R06-O02 | family crossing $L>U^{can}$ | O | future | OPEN |

---

# 69. Formalization priority

建議 R06 core改為：

## F06-01

survivor contains all reduced Goldbach inputs。

## F06-02

canonical partition：

$$
H=G\bigsqcup C.
$$

## F06-03

$$
R=D-C^{\mathrm{can}}.
$$

## F06-04

least-factor cell partition of $C^{\mathrm{can}}$。

## F06-05

$$
I=C^{\mathrm{can}}+\Omega.
$$

## F06-06

incidence decomposition。

## F06-07

raw AP upper envelope。

## F06-08

divisor-column exact indicator。

## F06-09

small-factor self-cell exact theorem。

## F06-10

generic:

$$
L>U^{\mathrm{can}}
\Rightarrow
R>0.
$$

---

# 70. 不優先形式化

暫不需要把：

- Brun–Titchmarsh proof；
- heuristic capacity density；
- cutoff phase diagram；
- parity interpretation；

塞進 core。

---

# 71. Formal file layout 修正

建議：

```text
RGSCP/Core/
  Survivor.lean
  CanonicalCoverage.lean
  LeastFactorCells.lean
  IncidenceAudit.lean
  APColumns.lean
  Closure.lean

RGSCP/Interfaces/
  PrimeCountLowerBound.lean
  APUpperBound.lean
  CanonicalCellUpperBound.lean

RGSCP/External/
  BrunTitchmarsh.lean
  ExplicitPNT.lean
  SieveBounds.lean
```

---

# 72. First experiment control

E0 不只驗：

$$
R=D+\Omega-I.
$$

應同時驗：

$$
\boxed{
R=D-C^{\mathrm{can}}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
C^{\mathrm{can}}=I-\Omega.
}
$$

三條任一不一致都停止。

---

# 73. AP implementation control

若：

$$
r\mid N,
$$

程式應驗：

$$
A_r(N)
=
\begin{cases}
1,&N\ge r(r+1),\\
0,&N<r(r+1).
\end{cases}
$$

若出現：

$$
A_r>1,
$$

必為 bug。

---

# 74. Small-factor implementation control

若：

$$
\ell\le y<N/2,
$$

且：

$$
\ell\mid N,
$$

程式必須得到：

$$
S_\ell(N)=\{\ell\}.
$$

這比原來的：

$$
|S_\ell|\le1
$$

更強，適合做 invariant test。

---

# 75. Capacity-slack 實驗應改寫

原 E3 若只看：

$$
U/I
$$

不夠理想。

更直接：

$$
\boxed{
\operatorname{CanonicalCapacitySlack}
=
\frac{
U_N^{\mathrm{can}}(y)
}{
C_N^{\mathrm{can}}(y)+1
}.
}
$$

但：

$$
C_N^{\mathrm{can}}
$$

只可在 truth/evaluation channel計算。

proof probe只產：

$$
U_N^{\mathrm{can}}.
$$

---

# 76. Proof-compression verdict

第六篇的真正 proof-compression不在：

$$
D\le I.
$$

也不在 exact：

$$
R=D+\Omega-I.
$$

真正值得保留的是：

$$
\boxed{
\text{leakage-free demand lower bound}
}
$$

對上：

$$
\boxed{
\text{independently proved canonical coverage upper bound}.
}
$$

即：

$$
\boxed{
L_N(y)>U_N^{\mathrm{can}}(y).
}
$$

---

# 77. Source novelty verdict

R06 exact core仍主要使用：

$$
\mathcal S_0
+
\mathcal S_1
+
\mathcal S_2.
$$

AP upper bounds開始接：

$$
\mathcal S_5.
$$

沒有 source-class escape。

但它新增了一個重要 architecture：

$$
\boxed{
\text{lower-bound source}
\quad\text{vs}\quad
\text{upper-bound source}
}
$$

可以由不同數學工具供給。

---

# 78. Circularity verdict

canonical closure：

$$
L>U^{\mathrm{can}}
$$

本身沒有 circularity，

前提是：

- $L$ 的證明不讀 $R_G$；
- $U^{\mathrm{can}}$ 的證明不直接枚舉 complement primality；
- cutoff不是由 target truth事後挑選再未揭露；
- assumptions完整記錄。

所以 proof certificate必須帶 source provenance。

---

# 79. External analytic audit

原稿 Brun–Titchmarsh interface的形式：

$$
\pi(x;q,a)
\le
\frac{
2x
}{
\varphi(q)\log(x/q)
}
$$

在：

$$
\gcd(a,q)=1,
\quad
q<x
$$

的標準條件下可保留。

對 prime modulus：

$$
q=r,
$$

$$
\varphi(r)=r-1.
$$

但 formal core只保留抽象 interface：

```text
APUpperBound
```

具體 analytic theorem另行引用。

---

# 80. Validation verdict

RG-SCP 06：

$$
\boxed{
\mathrm{PASS\ WITH\ CANONICAL\mbox{-}CAPACITY\ RECONSTRUCTION,\ INCIDENCE\ DEMOTION,\ AND\ SUPPRESSION\ SHARPENING}
}
$$

最重要 canonical reconstruction：

$$
\boxed{
R_G^{-}(N)
=
D_N(y)
-
C_N^{\mathrm{can}}(y).
}
$$

最重要 reinterpretation：

$$
\boxed{
I_N(y)
\text{ is incidence mass, not canonical coverage capacity}.
}
$$

最重要 exact sharpening：

$$
\boxed{
r\mid N
\Longrightarrow
A_r(N)
=
\mathbf1_{\{N\ge r(r+1)\}},
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\ell\mid N,
\quad
\ell\le y<N/2
\Longrightarrow
S_\ell(N)=\{\ell\}.
}
$$

真正 closure target改為：

$$
\boxed{
L_N(y)
>
U_N^{\mathrm{can}}(y).
}
$$

---

# 81. 下一輪

V0 Round 07 只審：

# RG-SCP 07
## 《最小反例、平移傳輸與需求容量閉合》

重點：

1. lift-blocking theorem 是否只是 failure 的重新索引；
2. smooth shift到底是否真的新增 constraint rank；
3. $M_k\mid h$ 的 deep-obstruction theorem；
4. transport graph定義與 matching lower bound；
5. $\nu_k(N_*)\le U$ 是否真的比 R06 ordinary demand更強；
6. right-degree AP bound是否正確；
7. Hall route是否有 hidden assumption；
8. minimality-derived demand是否能被 canonical capacity framework乾淨接收。

---

# 附錄 A：Canonical Demand–Capacity Core

```text
H_y(N):
  prime inputs whose complements avoid all primes <= y

D_N(y):
  |H_y(N)|

G_N^-:
  survivor inputs whose complements are prime

C_y(N):
  survivor inputs whose complements are composite

Partition:
  H_y(N) = G_N^- disjoint_union C_y(N)

Therefore:
  R_G^-(N) = D_N(y) - C_can_N(y)
```

---

# 附錄 B：Canonical Least-Factor Capacity

```text
B_r(N;y):
  p in H_y(N)
  N-p composite
  lpf(N-p) = r

Then:
  C_y(N) = disjoint_union_{r>y} B_r(N;y)

  C_can_N(y)
    = sum_{r>y} |B_r(N;y)|
```

---

# 附錄 C：Incidence Audit

```text
m_y(N,p):
  number of deep proper prime factors

I_N(y):
  sum_p m_y(N,p)

Omega_N(y):
  sum_p max(m_y(N,p)-1,0)

Identity:
  I_N(y) = C_can_N(y) + Omega_N(y)

Therefore:
  R_G^-
    = D_N(y) + Omega_N(y) - I_N(y)
```

---

# 附錄 D：AP Suppression

For prime:

$$
r\mid N,
$$

raw proper-factor AP column：

$$
A_r(N)
=
\mathbf1_{\{N\ge r(r+1)\}}.
$$

For prime:

$$
\ell\le y<N/2,
\quad
\ell\mid N,
$$

small-factor screening class：

$$
S_\ell(N)=\{\ell\}.
$$

---

# 附錄 E：Canonical Closure

If:

$$
D_N(y)\ge L_N(y),
$$

and:

$$
C_N^{\mathrm{can}}(y)
\le U_N^{\mathrm{can}}(y),
$$

then:

$$
R_G^{-}(N)
\ge
L_N(y)-U_N^{\mathrm{can}}(y).
$$

Hence:

$$
\boxed{
L_N(y)>U_N^{\mathrm{can}}(y)
\Longrightarrow
R_G^{-}(N)>0.
}
$$

---

# 附錄 F：Source / Data Role

```yaml
D_N_y:
  status: exact
  role: proof_input
  source: S0+S2

C_can_N_y:
  status: exact
  role: truth_adjacent_diagnostic
  source: S1

I_N_y:
  status: exact
  role: truth_adjacent_diagnostic
  source: S1

Omega_N_y:
  status: exact
  role: truth_adjacent_diagnostic
  source: S1

A_r_N:
  status: exact
  role: proof_input
  source: S0+prime_left_domain

U_can:
  status: theorem_bound
  role: proof_input
  source: depends_on_bound
```

---

# 附錄 G：Commit Decision

```yaml
validation_round: V0-R06
decision: PASS_WITH_CANONICAL_CAPACITY_RECONSTRUCTION_INCIDENCE_DEMOTION_AND_SUPPRESSION_SHARPENING

canonical_reconstruction:
  - R_equals_D_minus_Ccanonical
  - canonical_capacity_is_composite_survivor_count
  - least_factor_cells_partition_canonical_capacity
  - incidence_equals_capacity_plus_overlap

strengthening:
  - divisor_AP_column_exact_indicator
  - small_factor_self_cell_exact
  - D_greater_I_iff_R_greater_Omega

canonical_corrections:
  - rename_I_to_incidence_mass
  - demote_D_plus_Omega_minus_I_to_audit_identity
  - type_B_r_with_composite_condition
  - isolate_external_analytic_bounds
  - deduplicate_primorial_demand_with_R03
  - apply_truth_leakage_roles

commit_to_sync_core: true
promote_new_goldbach_theorem: false
next_round: V0-R07
```