# RG-SCP Validation Round 05
## RG-SCP 05 Claim / Source Audit
### 《質數逼近、歪度場與反例壓力探測》的 Truth-Leakage 修正、Heuristic 分層與 Escape Observable 審計

**驗證系列：** RG-SCP Validation  
**驗證階段：** V0 — Claim / Source Audit  
**輪次：** 05  
**對應原稿：** RG-SCP 05《質數逼近、歪度場與反例壓力探測》v0.1  
**日期：** 2026-09-28  
**版本：** v0.1  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**性質：** Canonical Audit / Heuristic-Proof Boundary / Data-Role Audit  
**狀態：** 第五輪審計；不新增 Goldbach 全域證明

---

## 摘要

本文件對 RG-SCP 05《質數逼近、歪度場與反例壓力探測》進行 claim/source audit。

第五篇的主要任務本來就不是證明 Goldbach，而是建立 discovery layer：

$$
\boxed{
\text{approximation}
\to
\text{anomaly}
\to
\text{candidate theorem}
\to
\text{independent proof}.
}
$$

本輪確認這個大方向是正確的，但發現原稿還需要加入一個比「exact / heuristic」更重要的維度：

$$
\boxed{
\text{data role}.
}
$$

因為一個量可以完全 exact，卻仍然不適合作為探索模型的輸入；原因是它可能已經包含 target 本身。

例如第四輪已驗證：

對偶數：

$$
N\ge10,
$$

有：

$$
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
\Delta_6(N)>0
\land
N-3\notin\mathbb P.
$$

所以如果一個「counterexample pressure model」把：

$$
\Delta_6(N)
$$

與：

$$
B_3(N)
=
\mathbf1_{\{N-3\notin\mathbb P\}}
$$

同時當 feature，它其實已經直接拿到了：

$$
F_G(N)
$$

的完整 exact encoding。

在：

$$
6\mid N,
\quad
N\ge12,
$$

更強：

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
\Delta_6(N)>0.
}
$$

所以在這個 branch 中，單獨使用：

$$
\Delta_6(N)
$$

去「預測 Goldbach failure」就是直接 truth leakage。

因此本輪把第五篇原本的一維 tag：

$$
\tau
\in
\{
\mathrm{exact},
\mathrm{heuristic},
\mathrm{mixed}
\}
$$

升級為二維分類：

## Epistemic Status

$$
\boxed{
\mathrm{Exact}
\;|\;
\mathrm{Heuristic}
\;|\;
\mathrm{Mixed}
}
$$

## Data Role

$$
\boxed{
\mathrm{ProofInput}
\;|\;
\mathrm{DiscoveryProbe}
\;|\;
\mathrm{Diagnostic}
\;|\;
\mathrm{TruthLabel}
}
$$

一個 exact quantity 若是：

$$
\mathrm{TruthLabel},
$$

就不能在同一 target 的 discovery model 中當輸入。

本輪也對 $\varepsilon_{\mathrm{full}}$ 做更嚴格分級。

原稿說：

- 小尺度 exact table；
- 中尺度 regression；
- 大尺度 analytic asymptotic。

本輪修正為：

### 小尺度 table

若數值由已知 prime data 與預先固定的 finite-difference rule 直接計算，

則它是：

$$
\boxed{
\text{exact finite measurement relative to that rule}.
}
$$

但不是某個未指定 continuous derivative 的 exact value。

### 中尺度 regression

$$
[\mathrm H].
$$

### 大尺度 branch

若只是從 PNT-style asymptotic expansion導出的 truncated approximation，但沒有附 rigorous remainder theorem，仍應標：

$$
[\mathrm H]
$$

或：

$$
[\mathrm{Mixed}],
$$

不能因為使用 analytic main term就自動進 proof channel。

此外，本輪修正「intrinsic arithmetic residual」用語。

$$
\Delta_\pi(x)
=
\pi(x)-\operatorname{Li}(x)
$$

與：

$$
\Delta_\psi(x)
=
\psi(x)-x
$$

的數值在定義後是 exact。

但 residual仍依賴選定 baseline：

$$
\operatorname{Li}(x),
\quad
x.
$$

所以更精確名稱應為：

$$
\boxed{
\text{standard exact arithmetic residual}
}
$$

而不是把它們描述成完全 baseline-free 的 intrinsic invariant。

本輪對 `escape prime` 得到一個重要 strengthening。

若：

$$
k\ge2,
$$

$$
M_k\mid N,
$$

且：

$$
N>6,
$$

則任何 Goldbach representation 的 reduced endpoint都必須滿足：

$$
p>p_k.
$$

因此原稿定義的：

$$
p_{\mathrm{esc}}(N;k)
=
\min
\left\{
p\in\mathbb P:
p_k<p\le N/2,
\quad
N-p\in\mathbb P
\right\}
$$

不是「Goldbach-success state 可能存在」而已。

在這個 branch：

$$
\boxed{
R_G(N)>0
\Longleftrightarrow
p_{\mathrm{esc}}(N;k)
\text{ exists}.
}
$$

因此 `escape prime existence` 是 exact target-equivalent observable。

這表示：

> `escape prime` 與 `escape depth` 很適合作為 truth / evaluation output，卻不應被用作同一個 $N$ 的 pre-target heuristic feature。

本輪也修正 surrogate / null-world 語義。

若 synthetic set：

$$
\widetilde{\mathbb P}
$$

不是實際 primes，就不能仍使用：

$$
F_G
$$

指稱其 Goldbach target。

應改定義：

$$
R_{\mathcal Q}^{-}(N)
=
\#\left\{
q\in\mathcal Q:
q\le N/2,
\quad
N-q\in\mathcal Q
\right\},
$$

以及：

$$
F_{\mathcal Q}(N)
=
\mathbf1_{\{R_{\mathcal Q}^{-}(N)=0\}}.
$$

這樣「surrogate contradictory fiber」才具有清楚語義。

最後，本輪把 promotion gate拆成兩個不同 gate：

### Discovery Promotion

用 held-out、null model、cross-model reconstruction 等判斷一個 pattern值不值得投入 proof search。

### Proof Promotion

只看：

- exact statement；
- valid proof / certificate；
- assumptions；
- source provenance。

一旦 theorem 被嚴格證明，其數學有效性不依賴它是否通過 cross-AI reconstruction 或 empirical held-out test。

本輪 verdict：

$$
\boxed{
\mathrm{PASS\ WITH\ TRUTH\mbox{-}LEAKAGE\ FIREWALL,\ HEURISTIC\ RECLASSIFICATION,\ AND\ ESCAPE\mbox{-}OBSERVABLE\ STRENGTHENING}.
}
$$

---

# 1. 審計範圍

本輪只審：

# RG-SCP 05
## 《質數逼近、歪度場與反例壓力探測》

不重證：

- RG-SCP 01–04 的 exact theorem；
- $\varepsilon_{\mathrm{full}}$ 原始專案全部係數；
- 《歪線》的整套解析數論背景；
- 外部 PNT / explicit formula theorem。

本輪只問：

> 第五篇把這些東西接入 RG-SCP 時，proof boundary 是否乾淨？

---

# 2. 第五篇的正確總定位

第五篇的 canonical role 應固定為：

$$
\boxed{
\text{Discovery Infrastructure}
}
$$

不是：

$$
\boxed{
\text{Proof Source by Default}.
}
$$

也就是：

$$
\mathcal H^{\mathrm{disc}}
$$

可以非常自由，但：

$$
\mathcal K^{\mathrm{proof}}
$$

必須保持封閉。

---

# 3. 原本 exact / heuristic tag 不夠

原稿定義：

$$
\tau(P_i)
\in
\{
\mathrm{exact},
\mathrm{heuristic},
\mathrm{mixed}
\}.
$$

這是必要的，但還不夠。

因為：

$$
\Delta_6(N)
$$

是 exact，

可是如果 target 是：

$$
F_G(N),
$$

那它在：

$$
6\mid N
$$

branch 幾乎就是答案本身。

所以：

$$
\boxed{
\text{exactness}
\neq
\text{legal discovery input}.
}
$$

---

# 4. 二維資料分類

本輪建議每個 feature 都同時標兩個欄位。

## Axis A — Epistemic status

```text
exact
heuristic
mixed
```

## Axis B — Data role

```text
proof_input
discovery_probe
diagnostic
truth_label
```

---

# 5. Data role 定義

## 5.1 Proof Input

已證 theorem、certificate 或 exact assumption 中可合法進入 proof chain 的量。

## 5.2 Discovery Probe

不直接 encode target，用來找 pattern 或 candidate theorem。

## 5.3 Diagnostic

可以在事後分析使用，但不應拿來作同一 target 的無洩漏預測輸入。

## 5.4 Truth Label

直接等價或近乎直接定義 target 的量。

---

# 6. Truth leakage principle

如果：

$$
T(N)
=
f(X_1(N),\ldots,X_m(N))
$$

已被 exact 證明，

那麼在以：

$$
T
$$

為 prediction / anomaly target 的 discovery experiment 中，

把：

$$
X_1,\ldots,X_m
$$

全部餵給模型，就是：

$$
\boxed{
\text{target leakage}.
}
$$

即使每個：

$$
X_i
$$

都是合法 exact arithmetic quantity。

---

# 7. $\Delta_6+B_3$ 是完整 target encoding

第四輪已證：

對 even：

$$
N\ge10,
$$

$$
\boxed{
F_G(N)
=
\mathbf1_{\{\Delta_6(N)>0\}}
\cdot
\mathbf1_{\{N-3\notin\mathbb P\}}.
}
$$

所以：

$$
\left(
\Delta_6(N),
B_3(N)
\right)
$$

不能當成「預測 $F_G$」的 independent probe vector。

它是 target decomposition。

---

# 8. $6\mid N$ branch 的更強 leakage

對：

$$
6\mid N,
\quad
N\ge12,
$$

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
\Delta_6(N)>0.
}
$$

所以若研究 target 是：

$$
F_G,
$$

則：

$$
\Delta_6
$$

必須標：

```yaml
epistemic_status: exact
data_role: truth_label
```

而不是：

```yaml
data_role: discovery_probe
```

---

# 9. Canonical Correction C01 — Pressure vector 分流

原稿：

$$
\mathbf H_G(N)
=
(
\Delta_6,
B_3,
\eta,
D_G,
\mathcal K,
\mathcal R
).
$$

這個 vector 可以作：

$$
\boxed{
\text{state description}
}
$$

但不能整體作：

$$
\boxed{
\text{counterexample prediction feature vector}.
}
$$

canonical schema應拆成：

```yaml
truth_state:
  delta_6:
  boundary_3:
  goldbach_count:
  escape_exists:

exact_non_target_probes:
  wheel_residual:
  divisor_structure:
  residue_structure:

heuristic_probes:
  fitted_residual:
  skew_normalization:
  learned_features:
```

---

# 10. $D_G$ 的 typing 問題

第四輪以前已指出：

$$
D_G(N)
$$

原本是 failure-state obstruction depth。

如果：

$$
N
$$

Goldbach-success，

某些 complement為 prime，

則：

$$
\operatorname{lpf}(N-p)=N-p
$$

不再是 proper obstruction。

所以第五篇若要在一般 successful dataset 上存：

$$
D_G(N),
$$

必須先修正語義。

---

# 11. Canonical Correction C02 — General-data depth

建議分：

## Failure obstruction depth

$$
D_G^{\mathrm{fail}}(N)
$$

只在：

$$
F_G(N)=1
$$

時定義。

## Composite-complement depth

對任意 $N$ 定義：

$$
\boxed{
D_{\mathrm{comp}}(N)
=
\max
\left(
\left\{
\operatorname{lpf}(N-p):
p\in\mathbb P_N^{-},
\quad
N-p\text{ composite}
\right\}
\cup
\{0\}
\right).
}
$$

這是一般 dataset 可用的 exact diagnostic。

兩者不能混名。

---

# 12. $\varepsilon(n)$ 的 derivative 語義

原稿理想化寫：

$$
m(n)
=
\frac{
d\log A(n)
}{
d\log n
}.
$$

但：

$$
n
$$

是離散 index。

如果沒有指定 interpolation，

這不是唯一 exact derivative。

所以 canonical exact observable應使用預先固定的 finite difference。

---

# 13. Canonical discrete slope

例如固定一個 window rule：

$$
h(n)\in\mathbb N.
$$

定義：

$$
\boxed{
m_h(n)
=
\frac{
\log A(n+h(n))
-
\log A(n-h(n))
}{
\log(n+h(n))
-
\log(n-h(n))
}
}
$$

在 domain合法時成立。

再定義：

$$
\boxed{
\varepsilon_h(n)
=
m_h(n)-1.
}
$$

這才是 finite dataset上的 exact measurement。

---

# 14. $\varepsilon_{\mathrm{full}}$ 三段審計

## 14.1 Table segment

如果 table是由：

- exact prime list；
- 固定 finite-difference rule；
- deterministic arithmetic；

計算，

則 table entry是：

$$
\boxed{
[\mathrm T/F_{\mathrm{finite}}]
}
$$

意義：

> exact finite measurement relative to the chosen measurement rule。

不是「continuous intrinsic derivative theorem」。

## 14.2 Regression segment

所有 fitted coefficients：

$$
\beta_i
$$

以及由 finite dataset regression得到的公式：

$$
[\mathrm H].
$$

## 14.3 Large-$n$ asymptotic segment

若公式由已知 asymptotic reasoning啟發，但目前文件沒有提供 rigorous remainder bound：

$$
|\varepsilon(n)-\varepsilon_{\mathrm{asy}}(n)|
\le
E(n),
$$

則 RG-SCP 中仍應標：

$$
\boxed{
[\mathrm H]
\text{ or }
[\mathrm{Mixed}].
}
$$

不能只因包含 PNT main term就標 proof theorem。

---

# 15. Canonical Correction C03

整個：

$$
\varepsilon_{\mathrm{full}}
$$

應統一標：

```yaml
epistemic_status: mixed
data_role: discovery_probe
proof_role: none_by_default
```

其 table / regression / asymptotic components另存 component-level provenance。

---

# 16. Prime trajectory residual

$$
\rho_p(n)
=
p_n-\widehat p(n).
$$

若：

$$
p_n
$$

是真值而：

$$
\widehat p
$$

為 fitted model，

則：

$$
\rho_p(n)
$$

數值可以 exact 計算，但其意義 model-relative。

所以：

```yaml
epistemic_status: mixed
data_role: diagnostic_or_discovery_probe
baseline_dependent: true
```

---

# 17. $\Delta_\pi$ 與 $\Delta_\psi$

定義：

$$
\Delta_\pi(x)
=
\pi(x)-\operatorname{Li}(x),
$$

$$
\Delta_\psi(x)
=
\psi(x)-x.
$$

只要 baseline conventions固定，其數值是 exact。

所以：

$$
[\mathrm T/F_{\mathrm{observable}}].
$$

---

# 18. 「Intrinsic residual」用語修正

雖然：

$$
\pi(x)
$$

與：

$$
\psi(x)
$$

是 canonical arithmetic functions，

但 residual：

$$
\pi-\operatorname{Li}
$$

仍選擇了：

$$
\operatorname{Li}
$$

作 baseline。

同理：

$$
\psi-x
$$

選擇：

$$
x
$$

作 main term。

所以本輪建議名稱：

$$
\boxed{
\text{standard exact arithmetic residual}
}
$$

取代：

$$
\boxed{
\text{intrinsic residual}
}
$$

以避免「完全 baseline-free」的誤解。

---

# 19. Residual exact 不代表 Goldbach relevance

即使：

$$
\Delta_\pi
$$

exact，

也沒有：

$$
\boxed{
|\Delta_\pi(N-p)|\text{ large}
\Rightarrow
N-p\text{ composite}.
}
$$

所以：

$$
\Delta_\pi(N-p)
$$

通常：

```yaml
epistemic_status: exact
data_role: discovery_probe
target_implication: none
```

---

# 20. Baseline complement field

$$
B(x)=\frac1{\log x}
$$

作 prime density scale是標準 asymptotic intuition。

但：

$$
B(x)
$$

不是：

$$
\Pr(x\in\mathbb P).
$$

本輪確認原稿禁止 `PrimeProbability` 命名是正確的。

保留：

$$
\boxed{
\text{density surrogate}
}
$$

或：

$$
\boxed{
\text{heuristic intensity}.
}
$$

---

# 21. Prime probability firewall

任何 feature：

$$
s(x)
$$

若未建立 probability space與 calibration theorem，

不得寫：

$$
s(x)=\Pr(x\text{ prime}).
$$

即使：

$$
0\le s(x)\le1.
$$

這是研究工程規則：

$$
[\mathrm F].
$$

---

# 22. Fitted prime-index pullback

$$
R_{\mathrm{fit}}(x)
$$

與：

$$
R_{N,\mathrm{fit}}(p)
$$

完全屬：

$$
[\mathrm H].
$$

原稿 classification PASS。

---

# 23. Skew pullback

若：

$$
K_N(p)
=
\Delta_\pi(N-p)
$$

或：

$$
\Delta_\psi(N-p),
$$

則數值 exact。

但：

- aggregation；
- anomaly threshold；
- spectrum interpretation；

通常 heuristic。

所以需 component-wise tag，而不是整個 `skew field` 一刀切。

---

# 24. Exact observable / heuristic interpretation split

本輪固定模式：

```text
observable:
  exact

normalization:
  maybe heuristic

anomaly threshold:
  heuristic

interpretation:
  heuristic until proved

theorem consequence:
  none by default
```

這適用：

- $\Delta_\pi$；
- $\Delta_\psi$；
- $\eta_{M_k}$；
- $\omega(N)$；
- exact representation counts。

---

# 25. Shadow-gap skew

$$
K_\Delta(N)
=
\Delta_6(N)-B_\Delta(N)
$$

若：

$$
B_\Delta
$$

是 empirical baseline，

則：

$$
K_\Delta
$$

為 mixed / heuristic。

更重要的是：

若 target是 Goldbach failure，

$$
\Delta_6
$$

本身可能是 truth-adjacent甚至 truth-equivalent。

所以：

$$
K_\Delta
$$

不能被當作 leakage-free predictor。

---

# 26. Obstruction-depth skew

$$
K_D(N)
=
D_{\mathrm{comp}}(N)-B_D(N)
$$

可作一般 diagnostic。

若使用：

$$
D_G^{\mathrm{fail}},
$$

則它只有在 target已知 failure後才定義，更不能當 failure detector feature。

---

# 27. Wheel residual ratio

$$
\eta_{M_k}(N)
$$

是 exact且不需要知道 complement primality。

所以它可以合法作：

$$
\boxed{
\text{exact discovery probe}.
}
$$

這是一個好例子：

```yaml
epistemic_status: exact
data_role: discovery_probe
truth_leakage: low
```

---

# 28. Divisor structure

像：

$$
\omega(N),
$$

$$
M_k\mid N,
$$

$$
N\bmod M_k
$$

也屬：

$$
\boxed{
\text{exact discovery probes}.
}
$$

它們不直接包含：

$$
N-p
$$

是否 prime。

---

# 29. Escape prime

原稿定義：

$$
\boxed{
p_{\mathrm{esc}}(N;k)
=
\min
\left\{
p\in\mathbb P:
p_k<p\le N/2,
\quad
N-p\in\mathbb P
\right\}.
}
$$

若集合非空。

數值是 exact。

但它直接使用：

$$
N-p\in\mathbb P.
$$

所以它高度 target-adjacent。

---

# 30. Primorial branch 的 escape equivalence

## 定理 R05-T01

若：

$$
k\ge2,
$$

$$
M_k\mid N,
$$

且：

$$
N>6,
$$

則：

$$
\boxed{
R_G(N)>0
\Longleftrightarrow
p_{\mathrm{esc}}(N;k)
\text{ exists}.
}
$$

---

# 31. 證明：escape 存在推 success

由定義若：

$$
p_{\mathrm{esc}}
$$

存在，

則：

$$
p_{\mathrm{esc}}
$$

與：

$$
N-p_{\mathrm{esc}}
$$

皆 prime。

所以：

$$
R_G(N)>0.
$$

---

# 32. 證明：success 推 escape 存在

假設：

$$
R_G(N)>0.
$$

取 reduced representation：

$$
N=p+q,
$$

其中：

$$
p\le q
$$

且：

$$
p\le N/2.
$$

反設：

$$
p\le p_k.
$$

因：

$$
p
$$

prime，

所以：

$$
p
$$

是：

$$
p_1,\ldots,p_k
$$

之一。

由：

$$
M_k\mid N,
$$

得：

$$
p\mid N.
$$

又：

$$
q=N-p,
$$

所以：

$$
p\mid q.
$$

因：

$$
q
$$

prime，

只能：

$$
q=p.
$$

因此：

$$
N=2p.
$$

又：

$$
k\ge2
$$

推出：

$$
6\mid M_k\mid N.
$$

所以：

$$
6\mid2p,
$$

即：

$$
3\mid p.
$$

因 $p$ prime，

所以：

$$
p=3.
$$

故：

$$
N=6,
$$

與：

$$
N>6
$$

矛盾。

所以：

$$
p>p_k.
$$

因此定義 escape set非空。

證畢。

---

# 33. Escape existence 是 truth label

在 R05-T01 domain：

$$
\boxed{
\mathbf1_{\{p_{\mathrm{esc}}\text{ exists}\}}
=
\mathbf1_{\{R_G(N)>0\}}.
}
$$

所以：

```yaml
escape_exists:
  epistemic_status: exact
  data_role: truth_label
```

不能當 Goldbach-success detector 的輸入 feature。

---

# 34. Escape depth

若 escape prime存在：

$$
D_{\mathrm{esc}}(N;k)
=
\pi(p_{\mathrm{esc}})
-
\pi(p_k).
$$

因：

$$
p_{\mathrm{esc}}>p_k,
$$

所以：

$$
D_{\mathrm{esc}}\ge1.
$$

它精確表示：

> cutoff 後第幾個 prime input 首次形成 representation。

Claim class：

$$
[\mathrm T/F_{\mathrm{observable}}].
$$

---

# 35. Escape depth 的 data role

因它只有在 success 已發生時定義，而其 finite / undefined status本身透露 target，

所以：

```yaml
escape_depth:
  epistemic_status: exact
  data_role: truth_label_or_posthoc_diagnostic
```

不應作 same-target preclassification feature。

---

# 36. Canonical Correction C04 — Escape fields 分流

原稿 heuristic state把：

$$
D_{\mathrm{esc}}
$$

與普通 probes並列。

建議改：

```yaml
evaluation_truth:
  escape_exists:
  escape_prime:
  escape_depth:

discovery_inputs:
  wheel_residual:
  divisor_structure:
  nonleaking_skew:
  fitted_baseline_features:
```

---

# 37. Escape predictor

$$
\widehat p_{\mathrm{esc}}(N;k)
$$

可以是合法 heuristic discovery output。

它的評估 target是：

$$
p_{\mathrm{esc}}.
$$

但訓練 / 預測 input不得包含：

- actual escape prime；
- actual escape depth；
- Goldbach representation count；
- $\Delta_6+B_3$ full truth encoding。

---

# 38. Windowed Goldbach subproblem

若 heuristic提出：

$$
W(N),
$$

真正 theorem target：

$$
\boxed{
\exists p\in W(N)\cap\mathbb P,
\quad
N-p\in\mathbb P.
}
$$

只要這句被獨立證明，heuristic來源不影響 theorem validity。

這點原稿方向正確。

---

# 39. Discovery gate 與 Proof gate 應分離

原稿 P1–P10 有一點容易造成混淆：

好像 theorem要同時通過：

- held-out；
- null model；
- cross-AI；
- proof；
- formalization。

但數學上不是這樣。

---

# 40. Discovery Promotion Gate

一個 empirical pattern是否值得投入 proof search，可看：

1. held-out stability；
2. matched controls；
3. null-model discrimination；
4. cross-seed stability；
5. cross-model reconstruction；
6. falsifiability；
7. source novelty。

這些屬：

$$
[\mathrm H/F_{\mathrm{method}}].
$$

---

# 41. Proof Promotion Gate

一個 statement進 theorem ledger只需要：

1. statement 精確；
2. assumptions 精確；
3. proof valid；
4. source provenance清楚；
5. 若是 finite computational theorem，certificate / verifier足夠。

形式化是很強的額外保證，但數學 theorem不以 cross-AI reconstruction為必要條件。

---

# 42. Canonical Correction C05

Promotion pipeline改成兩階：

$$
\boxed{
\text{Discovery Gate}
}
$$

決定：

> 值不值得證。

再：

$$
\boxed{
\text{Proof Gate}
}
$$

決定：

> 已不已經成 theorem。

不能把兩者混成單一 promotion score。

---

# 43. Cross-AI reconstruction 的正確地位

Cross-AI reconstruction可以測：

- prompt dependence；
- rediscoverability；
- conceptual robustness。

但：

$$
\boxed{
\text{two AIs agree}
\not\Rightarrow
\text{theorem true}.
}
$$

同樣：

$$
\boxed{
\text{other AI fails to rediscover}
\not\Rightarrow
\text{theorem false}.
}
$$

所以它只屬：

$$
[\mathrm H].
$$

---

# 44. Null model semantics

若建立 surrogate set：

$$
\mathcal Q
\subseteq
\mathbb N,
$$

且它不是實際：

$$
\mathbb P,
$$

就不應把其 target寫成：

$$
F_G.
$$

---

# 45. Canonical surrogate target

對任意：

$$
\mathcal Q,
$$

定義：

$$
\boxed{
R_{\mathcal Q}^{-}(N)
=
\#\left\{
q\in\mathcal Q:
2\le q\le N/2,
\quad
N-q\in\mathcal Q
\right\}.
}
$$

以及：

$$
\boxed{
F_{\mathcal Q}(N)
=
\mathbf1_{\{R_{\mathcal Q}^{-}(N)=0\}}.
}
$$

只有：

$$
\mathcal Q=\mathbb P
$$

時：

$$
F_{\mathcal Q}=F_G.
$$

---

# 46. Canonical Correction C06 — Surrogate world typing

所有 surrogate experiment都應記：

```yaml
world:
  carrier_set: Q
  target: F_Q
  relation_to_real_primes:
```

禁止把 surrogate target直接標：

$$
F_G.
$$

---

# 47. Approximate contradictory fiber

若 heuristic signature：

$$
J_H
$$

使用 tolerance：

$$
\|J_H(x)-J_H(y)\|\le\epsilon,
$$

而 target不同，只能得到：

$$
\boxed{
\text{empirical near-collision}.
}
$$

不能叫 exact contradictory fiber。

原稿已提醒 approximate / exact distinction，方向 PASS。

---

# 48. Exact surrogate collision 可升成 formal insufficiency

若構造兩個 exact worlds / states：

$$
X,Y
$$

滿足：

$$
\boxed{
J(X)=J(Y)
}
$$

但：

$$
\boxed{
T(X)\neq T(Y),
}
$$

則可嚴格推出：

> target $T$ 不能 factor through observation $J$。

也就是：

$$
\boxed{
\nexists f,
\quad
T=f\circ J.
}
$$

這才是正式的 source-insufficiency certificate。

---

# 49. Null-model failure 的正確結論

如果某 model分不出 true world與 surrogate，最多可以說：

> 對這個 model / probe family / chosen surrogate class，辨識力不足。

不能直接推出：

$$
\boxed{
\text{整個數學 source class 永遠不足}.
}
$$

除非有 exact observation-factorization theorem。

---

# 50. Canonical Correction C07

原稿：

> 若抓不到 surrogate，表示 heuristic probe 尚未對 target 敏感。

保留。

但：

> 就證明這些 features 對 Goldbach 不充分。

只有在 exact collision語義下才可用「證明」。

empirical case改寫成：

$$
\boxed{
\text{evidence of insufficiency under tested surrogate class}.
}
$$

---

# 51. Density fit vs pair fidelity

原稿：

$$
\text{one-point density fit}
\neq
\text{two-point additive sufficiency}.
$$

作為方法論警告是正確的。

但若要 theorem化，需要指定：

- fit metric；
- tolerance；
- model class；
- target class。

所以目前標：

$$
[\mathrm F/H].
$$

---

# 52. Skew fit vs pair fidelity

同理：

$$
\text{one-point skew fit}
\neq
\text{Goldbach-pair fidelity}.
$$

目前是：

$$
[\mathrm F/H].
$$

不能當成 formal impossibility theorem。

---

# 53. Goldbach fidelity

$$
\operatorname{GFid}(B)
$$

原稿刻意不先定單一 scalar。

這個決策 PASS。

因：

- one-point count；
- residue；
- pair correlation；
- representation count；
- hard branch；

語義不同。

不應任意加權。

---

# 54. Pressure ridge / valley

pressure surface、ridge、valley全部屬：

$$
[\mathrm H].
$$

除非 ridge equation被改寫成 exact arithmetic theorem並獨立證明。

---

# 55. Generation-preserving probe

這是本系列 design vocabulary，不是 standard theorem notion。

分類：

$$
[\mathrm F].
$$

若未來要 theorem化，需要定義：

> probe exactly preserves which event family / discrete structure。

目前不需要。

---

# 56. Pair-spectral target

第五篇提出：

$$
r_2(N)
=
\sum_a
\mathbf1_{\mathbb P}(a)
\mathbf1_{\mathbb P}(N-a)
$$

作真正 two-point target。

這個方向正確。

但注意：

$$
r_2(N)
$$

本身就是 representation count，所以只是 target object。

新 proof power必須來自：

- lower bound；
- positivity certificate；
- spectral invariant；
- transform。

---

# 57. Exact / Heuristic / Role Matrix

本輪建議 canonical matrix：

| Object | Epistemic | Role if target = $F_G$ | Note |
|---|---|---|---|
| $N\bmod M_k$ | Exact | DiscoveryProbe | nonleaking |
| $M_k\mid N$ | Exact | DiscoveryProbe | nonleaking |
| $\omega(N)$ | Exact | DiscoveryProbe | nonleaking |
| $\eta_{M_k}(N)$ | Exact | DiscoveryProbe | no complement primality needed |
| $\Delta_\pi(x)$ | Exact | DiscoveryProbe / Diagnostic | baseline-relative |
| $\Delta_\psi(x)$ | Exact | DiscoveryProbe / Diagnostic | baseline-relative |
| fitted $\rho_p$ | Mixed | DiscoveryProbe | model-relative |
| $\varepsilon_{\mathrm{full}}$ | Mixed | DiscoveryProbe | no proof role by default |
| $\Delta_6(N)$ | Exact | TruthLabel on $6\mid N$; otherwise TruthAdjacent | target leakage risk |
| $B_3(N)$ | Exact | TruthAdjacent | with $\Delta_6$ fully determines target |
| $R_G^{-}(N)$ | Exact | TruthLabel | never probe same target |
| $p_{\mathrm{esc}}$ exists | Exact | TruthLabel on primorial branch | target-equivalent |
| $D_{\mathrm{esc}}$ | Exact | PosthocDiagnostic / TruthAdjacent | defined only on success |
| $D_G^{\mathrm{fail}}$ | Exact conditional | TruthLabel-adjacent | failure-only |
| $D_{\mathrm{comp}}$ | Exact | Diagnostic | safe if target protocol allows |

---

# 58. Leakage-free discovery feature set

若目標是：

> 找出可能影響 Goldbach representation 的 structure，

較安全的 initial inputs：

$$
\boxed{
N\bmod M_k,
\quad
\omega(N),
\quad
\eta_{M_k}(N),
\quad
\text{small-factor residue profile},
\quad
\text{standard arithmetic residuals},
\quad
\text{fitted scale features}.
}
$$

而 outputs / labels另存：

$$
\boxed{
R_G^{-},
\quad
\Delta_6,
\quad
p_{\mathrm{esc}},
\quad
D_{\mathrm{esc}}.
}
$$

---

# 59. Time / range split

若同一 $N$ 的 exact target-derived量被放進 feature，

即使 train/test按 $N$ range切開，仍然是 leakage。

所以：

$$
\boxed{
\text{held-out split}
\neq
\text{leakage protection}.
}
$$

feature semantics必須先 audit。

---

# 60. Pre-registration PASS

第五篇要求預註冊：

- domain；
- baseline；
- threshold；
- null model；
- stopping rule；
- promotion rule。

這是良好的 research discipline。

保留。

---

# 61. MVE-1 修正

原稿 MVE-1 同時列：

- exact $R_G$；
- $\Delta_6$；
- $D_G$；
- wheel；
- skew。

Canonical 應拆：

## Truth / Evaluation Table

```text
R_G^-
delta_6
boundary_3
escape_exists
escape_depth
```

## Leakage-Free Probe Table

```text
residue
divisor structure
wheel survivor ratios
standard skew residuals
fitted scale features
```

## Conditional Diagnostics

```text
failure obstruction depth
canonical obstruction statistics
```

---

# 62. MVE-2 primorial branch strengthening

對：

$$
k\ge2,
\quad
M_k\mid N,
\quad
N>6,
$$

不只比較 escape depth。

應先驗 exact identity：

$$
\boxed{
R_G(N)>0
\Longleftrightarrow
p_{\mathrm{esc}}(N;k)\text{ exists}.
}
$$

這可作 E0 / E1 implementation control。

---

# 63. MVE-3 surrogate correction

「人工生成 dual-hole surrogate」若不是標準整數 prime structure，不要使用真正：

$$
\Delta_6
$$

除非 surrogate也明確定義對應 operator。

較安全：

定義 world-relative：

$$
\Delta_{6,\mathcal Q}
$$

或只使用：

$$
F_{\mathcal Q}.
$$

避免把 real-prime operator與 synthetic carrier混合。

---

# 64. MVE-4 exact vs empirical insufficiency

若：

$$
J_{\mathrm H}
$$

只是近似 match，輸出：

```text
empirical_indistinguishability
```

若：

$$
J
$$

exact match且 target不同，輸出：

```text
formal_observation_insufficiency_witness
```

兩種 report必須分開。

---

# 65. MVE-5 candidate theorem extraction PASS

第五篇要求最終一定要輸出：

$$
\boxed{
\text{exact arithmetic statement}
}
$$

而不是更準 model。

這是整篇最值得保留的方法論之一。

---

# 66. Stop Conditions audit

S1–S6 全部可保留作 project management / discovery stop rules。

但它們不是 mathematical no-go theorem。

尤其：

> cross-AI reconstruction失敗

只能降低 discovery confidence，不能否定 theorem可能性。

---

# 67. Promotion Conditions audit

原稿 P1–P6適合：

$$
\boxed{
\text{Discovery Promotion}
}
$$

不是 theorem validity條件。

P7–P10 中：

- independent proof；
- formalization；
- hidden oracle audit；

才真正接 proof gate。

---

# 68. Formal proof 的優先級

若某 candidate theorem已有完整人工 proof，即使：

- fit不穩；
- cross-AI沒重建；
- null model表現差；

它仍可以是 theorem。

因為 theorem validity由 proof決定。

empirical pipeline只是 discovery provenance。

---

# 69. Hidden oracle audit

這是第五篇非常重要的一點，應提升為 canonical rule。

任何 candidate theorem / algorithm都要問：

> 是否在 feature、preprocessing、window selection或 normalization中，偷偷使用了 target primality / representation truth？

這與 truth leakage firewall合併。

---

# 70. Canonical proof-promotion pipeline

建議改成：

$$
\boxed{
\text{Discovery}
}
$$

$$
\Downarrow
$$

$$
\boxed{
\text{Exact Statement Extraction}
}
$$

$$
\Downarrow
$$

$$
\boxed{
\text{Oracle / Source Audit}
}
$$

$$
\Downarrow
$$

$$
\boxed{
\text{Independent Proof}
}
$$

$$
\Downarrow
$$

$$
\boxed{
\text{Certificate / Formalization}
}
$$

其中：

- held-out；
- null model；
- AI reconstruction；

放在 Discovery 階段。

---

# 71. Canonical claim ledger — RG-SCP 05

| ID | Claim / Object | Class | Role | Status |
|---|---|---|---|---|
| R05-F01 | proof/discovery channel separation | F | research discipline | PASS |
| R05-F02 | heuristic anomaly does not imply proof | F | research discipline | PASS |
| R05-T01 | primorial branch success iff escape prime exists | T/E | TruthLabel | **AUDIT STRENGTHENING / PASS** |
| R05-T02 | escape depth exact once escape exists | T/F | PosthocDiagnostic | PASS |
| R05-T03 | $\Delta_\pi,\Delta_\psi$ exact after baseline definitions | T/F | Probe/Diagnostic | PASS |
| R05-H01 | $\varepsilon_{\mathrm{full}}$ as unified predictor | H/Mixed | DiscoveryProbe | KEEP |
| R05-H02 | fitted prime residual | H/Mixed | DiscoveryProbe | KEEP |
| R05-H03 | pressure ridge / valley | H | DiscoveryProbe | KEEP |
| R05-H04 | skew anomaly | H | DiscoveryProbe | KEEP |
| R05-F03 | null / surrogate benchmark framework | F/H | Falsification | PASS with typing correction |
| R05-O01 | heuristic yields theorem-worthy exact invariant | O | future | OPEN |
| R05-O02 | uniform escape-depth upper bound | O | future | OPEN |
| R05-O03 | pair-spectral source supplies positivity certificate | O | future | OPEN |

---

# 72. Canonical corrections ledger

## C01 — Add Data Role Axis

`exact / heuristic / mixed` 不足。

新增：

```text
proof_input
discovery_probe
diagnostic
truth_label
```

## C02 — General obstruction depth typing

一般 successful dataset使用：

$$
D_{\mathrm{comp}}.
$$

failure-only object保留：

$$
D_G^{\mathrm{fail}}.
$$

## C03 — $\varepsilon$ discrete semantics

finite exact部分必須綁定：

$$
h(n)
$$

與 finite-difference rule。

## C04 — Escape fields move to truth/evaluation

`escape_exists` 在 primorial branch target-equivalent。

不能作 same-target probe。

## C05 — Split Discovery Gate / Proof Gate

empirical robustness不等於 theorem validity。

## C06 — Surrogate world target typing

使用：

$$
F_{\mathcal Q},
$$

不是把 synthetic target仍叫：

$$
F_G.
$$

## C07 — Empirical vs formal insufficiency

near-collision：

$$
[\mathrm H].
$$

exact collision：

可形成 formal source-insufficiency theorem。

## C08 — Residual terminology

`intrinsic residual` 改：

```text
standard exact arithmetic residual
```

---

# 73. Source audit

RG-SCP 05 本身主要引入：

$$
\boxed{
\mathcal S_6
=
\text{heuristic approximation / skew source}.
}
$$

它預設：

$$
\mathcal S_6
$$

不直接進 proof chain。

Exact probes則仍來自：

- $\mathcal S_0$ elementary；
- $\mathcal S_1$ factor；
- $\mathcal S_2$ quotient；
- standard analytic observables。

---

# 74. Source novelty verdict

第五篇沒有聲稱：

$$
\mathcal S_6
$$

本身是 proof-complete source。

這點 PASS。

真正 source novelty要等：

$$
\boxed{
\text{heuristic}
\to
\text{new exact invariant}
}
$$

後再審。

---

# 75. Formalization priority

第五篇不需要大規模 Lean 化。

只建議形式化少數 firewall / exact interfaces：

## F05-01

primorial escape equivalence R05-T01。

## F05-02

world-relative representation count：

$$
R_{\mathcal Q}^{-}.
$$

## F05-03

observation-factorization insufficiency lemma：

若：

$$
J(x)=J(y)
$$

但：

$$
T(x)\neq T(y),
$$

則不存在：

$$
T=f\circ J.
$$

其餘 heuristic pipeline不用送 proof assistant。

---

# 76. 不應放進同步 proof core 的東西

以下預設放：

$$
10\_\mathrm{ASYNC\_TEXT}
$$

或：

$$
30\_\mathrm{ASYNC\_EXPERIMENTS}.
$$

- fitted coefficients；
- pressure surfaces；
- ridge / valley；
- anomaly thresholds；
- learned predictors；
- null-model result summaries；
- cross-AI rediscovery notes。

除非被 promotion 成 exact theorem。

---

# 77. 應同步的東西

需要進：

$$
00\_\mathrm{SYNC\_CORE}
$$

的是：

- truth-leakage schema；
- exact/role taxonomy；
- escape theorem；
- surrogate target definitions；
- promoted exact candidate statement；
- proof / certificate；
- source ledger update。

---

# 78. Experiment schema correction

Canonical experiment record應至少分：

```yaml
inputs:
  leakage_free_exact:
  heuristic:
  mixed:

truth:
  goldbach_count:
  delta_6:
  boundary_3:
  escape_exists:
  escape_depth:

posthoc_diagnostics:
  composite_depth:
  obstruction_profile:

surrogate:
  carrier_set:
  world_target:

promotion:
  discovery_gate:
  exact_statement:
  proof_gate:
```

---

# 79. Leakage audit checklist

每個 experiment在跑前回答：

```text
[ ] Does any feature directly test N-p primality?
[ ] Does any feature reconstruct R_G?
[ ] Does any pair of features exactly determine F_G?
[ ] Is escape existence included as an input?
[ ] Is delta_6 included on a 6|N target?
[ ] Is target-derived preprocessing used?
[ ] Is window selection based on the true representation?
```

任一答案是 YES，

就要標記：

```text
truth_leakage: true
```

---

# 80. Validation verdict

RG-SCP 05：

$$
\boxed{
\mathrm{PASS\ WITH\ TRUTH\mbox{-}LEAKAGE\ FIREWALL,\ HEURISTIC\ RECLASSIFICATION,\ AND\ ESCAPE\mbox{-}OBSERVABLE\ STRENGTHENING}
}
$$

其最大價值不是某一個 predictor，而是：

$$
\boxed{
\text{把 discovery freedom 與 proof validity 分開}.
}
$$

本輪再進一步把：

$$
\boxed{
\text{exactness}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\text{legal feature role}
}
$$

也分開。

---

# 81. 下一輪

V0 Round 06 只審：

# RG-SCP 06
## 《反例需求—障礙容量不等式》

重點：

1. $D_N(y)\le I_N(y)$ 是否真的有非平凡 proof content；
2. $R_G^{-}=D+\Omega-I$ identity 邊界；
3. $I_N(y)$ 是否其實已直接讀到 target factorization；
4. raw AP capacity upper bound 是否正確；
5. $r\mid N$ 時 $A_r(N)\le1$ 的 domain細節；
6. primorial demand formula與 R03 去重；
7. demand/capacity inequality是否有 circularity；
8. 哪些 capacity quantities可作 proof input、哪些只適合 finite verification。

---

# 附錄 A：Canonical Data Taxonomy

```yaml
feature:
  name:

  epistemic_status:
    - exact
    - heuristic
    - mixed

  data_role:
    - proof_input
    - discovery_probe
    - diagnostic
    - truth_label

  target:
  truth_leakage:
  source_class:
  baseline_dependency:
  proof_dependency:
```

---

# 附錄 B：Primorial Escape Theorem

Assume:

$$
k\ge2,
\quad
M_k\mid N,
\quad
N>6.
$$

Then:

$$
\boxed{
R_G(N)>0
\Longleftrightarrow
\exists p,
\quad
p_k<p\le N/2,
\quad
p,N-p\in\mathbb P.
}
$$

Hence:

$$
\boxed{
R_G(N)>0
\Longleftrightarrow
p_{\mathrm{esc}}(N;k)\text{ exists}.
}
$$

---

# 附錄 C：Surrogate World

For arbitrary:

$$
\mathcal Q\subseteq\mathbb N,
$$

define:

$$
R_{\mathcal Q}^{-}(N)
=
\#
\left\{
q\in\mathcal Q:
2\le q\le N/2,
\quad
N-q\in\mathcal Q
\right\}.
$$

and:

$$
F_{\mathcal Q}(N)
=
\mathbf1_{\{R_{\mathcal Q}^{-}(N)=0\}}.
$$

Only when:

$$
\mathcal Q=\mathbb P
$$

do we write:

$$
F_G.
$$

---

# 附錄 D：Promotion Pipeline

```text
DISCOVERY
  |
  | held-out / controls / nulls / cross-model robustness
  v
EXACT STATEMENT EXTRACTION
  |
  v
ORACLE + SOURCE AUDIT
  |
  v
INDEPENDENT PROOF
  |
  v
CERTIFICATE / FORMALIZATION
  |
  v
THEOREM LEDGER
```

---

# 附錄 E：Commit Decision

```yaml
validation_round: V0-R05
decision: PASS_WITH_TRUTH_LEAKAGE_FIREWALL_HEURISTIC_RECLASSIFICATION_AND_ESCAPE_STRENGTHENING

strengthening:
  - primorial_success_iff_escape_exists_for_k_ge_2_N_gt_6
  - escape_depth_reclassified_as_exact_posthoc_truth_observable
  - exact_surrogate_target_definition

canonical_corrections:
  - add_data_role_axis
  - split_truth_from_probe_features
  - type_failure_obstruction_depth
  - discrete_epsilon_measurement
  - standard_exact_residual_not_intrinsic
  - split_discovery_gate_and_proof_gate
  - world_relative_surrogate_target
  - distinguish_empirical_from_formal_insufficiency

commit_to_sync_core: true
promote_new_goldbach_theorem: false
next_round: V0-R06
```