# RG-SCP Validation Round 03
## RG-SCP 03 Claim / Source Audit
### 《M6／Wheel 障礙幾何與反例覆蓋成本》的 primorial 強化、effective-wheel 去冗餘與圖結構審計

**驗證系列：** RG-SCP Validation  
**驗證階段：** V0 — Claim / Source Audit  
**輪次：** 03  
**對應原稿：** RG-SCP 03《M6／Wheel 障礙幾何與反例覆蓋成本》v0.1  
**日期：** 2026-09-28  
**版本：** v0.1  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**性質：** Canonical Audit / Theorem-Source Ledger  
**狀態：** 第三輪審計；不宣稱新的 Goldbach 全域證明

---

## 摘要

本文件對 RG-SCP 03《M6／Wheel 障礙幾何與反例覆蓋成本》進行 claim/source audit。

本輪重點：

1. M6 easy / hard branch 是否 exact；
2. wheel-hard nesting 是否 exact；
3. primorial suppression theorem 是否可強化；
4. `effective obstruction alphabet` 與 `effective wheel` 是否真正增加新結構；
5. obstruction cost、pressure、entropy、alphabet 等量哪些是 exact observable、哪些只是 diagnostic interpretation；
6. obstruction matrix / bipartite graph 是否新增 proof source；
7. graph deficiency 與 Goldbach representation count 的精確關係；
8. RG-SCP 02 與 03 的 theorem/source 重複如何去重。

本輪得到三個重要審計結果。

第一，原稿的 primorial suppression theorem可以強化。

原稿寫：

$$
M_k\mid N
\land
F_G(N)=1
\Longrightarrow
p>p_k
\Rightarrow
\operatorname{lpf}(N-p)>p_k.
$$

其中「complement 避開前 $k$ 個質因子」其實不需要：

$$
F_G(N)=1.
$$

只要：

$$
M_k\mid N
$$

且：

$$
p>p_k
$$

為質數，

就已經有：

$$
\boxed{
\gcd(N-p,M_k)=1.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathbb H_{M_k}(N)
=
\left\{
p\in\mathbb P:
p_k<p\le N/2
\right\}
}
$$

在：

$$
M_k\mid N,
\quad
p_k\le N/2
$$

時 exact 成立。

因此：

$$
\boxed{
|\mathbb H_{M_k}(N)|
=
\pi(N/2)-k.
}
$$

這個 hard-sector formula 同樣不需要 Goldbach failure。

只有從：

$$
\gcd(N-p,M_k)=1
$$

升到：

$$
N-p
\text{ composite}
$$

以及：

$$
\operatorname{lpf}(N-p)>p_k
$$

時，才需要 failure。

第二，原稿提出的：

$$
M_k^{\mathrm{eff}}(N)
=
\prod_{\substack{
i\le k\\
p_i\nmid N
}}
p_i
$$

與：

$$
\mathbb H_{M_k}^{\mathrm{eff}}(N)
$$

不適合作為新的 canonical exact object。

理由：

若：

$$
p>p_k,
$$

所有被從 product 移除的：

$$
r\mid N,
\quad
r\le p_k
$$

本來就不可能整除：

$$
N-p.
$$

所以在真正的 large-prime hard sector 上：

$$
\boxed{
\mathbb H_{M_k}^{\mathrm{eff}}(N)
=
\mathbb H_{M_k}(N).
}
$$

它沒有新增資訊。

反之，在 self-cell：

$$
p=r,
\quad
r\mid N,
$$

ordinary wheel 正確地看到：

$$
r\mid(N-p),
$$

但 effective wheel 把 $r$ 從 modulus 移除後，可能錯把這個 input 標成「hard」。

所以 `effective wheel` 應從 canonical exact core 移除，或最多保留成明確忽略 self-cells 的 heuristic availability proxy。

第三，obstruction matrix / graph 是有價值的 relational organization，但不是新的 arithmetic source。

在 reduced domain，若右側 obstruction primes限制為：

$$
r^2\le N-2,
$$

則：

$$
\boxed{
\deg(p)=0
\Longleftrightarrow
N-p\in\mathbb P.
}
$$

因此 graph deficiency：

$$
\delta_N
=
\#\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
\deg(p)=0
\right\}
$$

其實精確等於 reduced Goldbach representation count：

$$
\boxed{
\delta_N
=
R_G^{-}(N).
}
$$

所以：

$$
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
\delta_N=0.
$$

這是 exact equivalence，但仍是 factor-source graphification，而不是新的 primality oracle。

本輪 verdict：

$$
\boxed{
\mathrm{PASS\ WITH\ STRENGTHENING,\ DEDUPLICATION,\ AND\ EFFECTIVE\mbox{-}WHEEL\ REMOVAL}.
}
$$

---

# 1. 審計範圍

本輪只審：

# RG-SCP 03
## 《M6／Wheel 障礙幾何與反例覆蓋成本》

RG-SCP 02 已完成以下 canonicalization：

- reduced prime domain優先；
- raw GFOC exact characterization；
- proper obstruction map；
- canonical lpf partition；
- raw cover / partition 分離。

所以本輪不重複把這些算作 RG-SCP 03 新 theorem。

---

# 2. Canonical reduced domain

沿用：

$$
\boxed{
\mathbb P_N^{-}
=
\left\{
p\in\mathbb P:
2\le p\le N/2
\right\}.
}
$$

所有 wheel / graph / cost objects 都應以此 domain 為 canonical。

---

# 3. M6 residue geometry

對：

$$
p>3
$$

prime：

$$
p\bmod6
\in
\{1,5\}.
$$

對 even：

$$
N,
$$

有：

$$
N\bmod6
\in
\{0,2,4\}.
$$

所以 complement table：

| $N\bmod6$ | $p\bmod6=1$ | $p\bmod6=5$ |
|---|---|---|
| $0$ | $N-p\equiv5$ | $N-p\equiv1$ |
| $2$ | $N-p\equiv1$ | $N-p\equiv3$ |
| $4$ | $N-p\equiv3$ | $N-p\equiv5$ |

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

Source：

$$
\mathcal S_2.
$$

---

# 4. M6 hard branch

定義：

$$
\boxed{
\mathbb H_6(N)
=
\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
p>3,
\quad
\gcd(N-p,6)=1
\right\}.
}
$$

若：

$$
F_G(N)=1,
$$

則：

$$
N-p
$$

composite。

而：

$$
\gcd(N-p,6)=1
$$

表示其 least prime factor不是：

$$
2
$$

或：

$$
3.
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{lpf}(N-p)\ge5.
}
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

---

# 5. M6 easy branch

定義：

$$
\mathbb E_6(N)
=
\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
p>3,
\quad
3\mid(N-p)
\right\}.
$$

在 failure state 下，

若：

$$
p\in\mathbb E_6(N),
$$

則：

$$
N-p
$$

composite。

因：

$$
N-p
$$

為 odd，

所以：

$$
2\nmid(N-p).
$$

且：

$$
3\mid(N-p).
$$

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{lpf}(N-p)=3.
}
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

---

# 6. Boundary $N-p=3$

若：

$$
N-p=3
$$

且：

$$
p
$$

prime，

則：

$$
N=p+3
$$

是 Goldbach representation。

所以在：

$$
F_G(N)=1
$$

假設下不會發生。

因此 easy-branch 的：

$$
\operatorname{lpf}=3
$$

沒有 hidden boundary exception。

---

# 7. Exact M6 branch description

在 failure state：

### 若

$$
N\equiv0\pmod6,
$$

則所有：

$$
p>3
$$

prime inputs都在 hard branch。

### 若

$$
N\equiv2\pmod6,
$$

則：

$$
p\equiv5\pmod6
$$

為 easy branch，

$$
p\equiv1\pmod6
$$

為 hard branch。

### 若

$$
N\equiv4\pmod6,
$$

則：

$$
p\equiv1\pmod6
$$

為 easy branch，

$$
p\equiv5\pmod6
$$

為 hard branch。

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

---

# 8. $6\mid N$ 的 hard sector可完全顯式化

若：

$$
6\mid N,
$$

則對：

$$
p>3,
$$

prime：

$$
\gcd(N-p,6)=1.
$$

而：

$$
p=2
$$

時：

$$
2\mid(N-p),
$$

$$
p=3
$$

時：

$$
3\mid(N-p).
$$

所以若：

$$
3\le N/2,
$$

即：

$$
N\ge6,
$$

有：

$$
\boxed{
\mathbb H_6(N)
=
\left\{
p\in\mathbb P:
3<p\le N/2
\right\}.
}
$$

完全不需要 failure 假設。

因此：

$$
\boxed{
|\mathbb H_6(N)|
=
\pi(N/2)-2.
}
$$

對：

$$
6\mid N,
\quad
N\ge6
$$

成立。

---

# 9. 原稿「$\eta_6$ 接近 1」可強化

原稿寫：

> 若 $N\equiv0\pmod6$，$\eta_6(N)$ 接近 $1$。

其實在：

$$
6\mid N
$$

下，

$$
\boxed{
\eta_6(N)
=
\frac{
\pi(N/2)-2
}{
\pi(N/2)
}
}
$$

只要使用：

$$
\mathbb P_N^{-}
$$

為分母。

這是 exact formula。

所以 M6 branch 在 $6\mid N$ 時不需要 heuristic density language。

這是 Strengthening S01。

---

# 10. General primorial wheel

定義：

$$
M_k
=
\prod_{i=1}^{k}p_i.
$$

以及：

$$
\boxed{
\mathbb H_{M_k}(N)
=
\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
\gcd(N-p,M_k)=1
\right\}.
}
$$

Claim class：

$$
[\mathrm F].
$$

---

# 11. Wheel-hard nesting

因：

$$
M_k\mid M_{k+1},
$$

所以：

$$
\gcd(N-p,M_{k+1})=1
\Longrightarrow
\gcd(N-p,M_k)=1.
$$

因此：

$$
\boxed{
\mathbb H_{M_{k+1}}(N)
\subseteq
\mathbb H_{M_k}(N).
}
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

Source：

$$
\mathcal S_2.
$$

---

# 12. Failure 對 hard branch 的 least-factor consequence

若：

$$
p\in\mathbb H_{M_k}(N)
$$

且：

$$
F_G(N)=1,
$$

則：

$$
N-p
$$

composite，

且沒有任何：

$$
r\le p_k
$$

的 prime factor。

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{lpf}(N-p)>p_k.
}
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

Source：

$$
\mathcal S_1+\mathcal S_2.
$$

---

# 13. Primorial divisibility theorem 可以拆成兩層

原稿把：

$$
M_k\mid N
$$

與 failure 合在同一 theorem。

本輪建議拆成：

## Layer A — unconditional wheel geometry

若：

$$
M_k\mid N,
$$

且：

$$
p>p_k
$$

為 prime，

則：

$$
\boxed{
\gcd(N-p,M_k)=1.
}
$$

## Layer B — conditional compositeness

若再有：

$$
F_G(N)=1,
$$

則：

$$
\boxed{
N-p
\text{ composite}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\operatorname{lpf}(N-p)>p_k.
}
$$

這樣 source dependency更清楚。

---

# 14. Primorial hard-sector theorem

## 定理 R03-T01

若：

$$
M_k\mid N,
$$

且：

$$
p_k\le N/2,
$$

則：

$$
\boxed{
\mathbb H_{M_k}(N)
=
\left\{
p\in\mathbb P:
p_k<p\le N/2
\right\}.
}
$$

---

## 證明：$p>p_k$ 推 hard

對每個：

$$
p_i\le p_k,
$$

有：

$$
p_i\mid N.
$$

若：

$$
p_i\mid(N-p),
$$

則：

$$
p_i\mid p.
$$

但：

$$
p>p_k\ge p_i
$$

且 $p$ prime，

所以不可能。

故：

$$
\gcd(N-p,M_k)=1.
$$

---

## 證明：$p\le p_k$ 不 hard

若：

$$
p\le p_k
$$

且 $p$ prime，

則：

$$
p=p_i
$$

對某：

$$
i\le k.
$$

因：

$$
p_i\mid N
$$

且：

$$
p_i\mid p,
$$

所以：

$$
p_i\mid(N-p).
$$

因此：

$$
\gcd(N-p,M_k)>1.
$$

證畢。

---

# 15. Primorial hard-sector cardinality

由 R03-T01：

$$
\boxed{
|\mathbb H_{M_k}(N)|
=
\pi(N/2)-k.
}
$$

在：

$$
M_k\mid N,
\quad
p_k\le N/2
$$

時成立。

所以：

$$
\boxed{
\eta_{M_k}(N)
=
1-
\frac{k}{\pi(N/2)}.
}
$$

這也是 exact。

這是 Strengthening S02。

---

# 16. 與 RG-SCP 06 去重

上述：

$$
D_N(p_k)=\pi(N/2)-k
$$

在 RG-SCP 06 被正式用作 demand formula。

本輪審計判定：

> 這個 formula 的 arithmetic core 已經 latent 在 RG-SCP 03 的 primorial geometry 中；RG-SCP 06 的新意在於把它放進 demand–capacity inequality，而不是首次發現 hard-sector cardinality。

所以 theorem ledger應去重：

```text
R03:
  owns primorial hard-sector geometry

R06:
  owns demand-capacity interpretation and closure use
```

---

# 17. Primorial rough-composite wall

若：

$$
M_k\mid N
$$

且：

$$
F_G(N)=1,
$$

則對所有：

$$
p_k<p\le N/2
$$

prime：

$$
N-p
$$

同時滿足：

$$
\gcd(N-p,M_k)=1
$$

與：

$$
N-p
\text{ composite}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathcal W_k(N)
=
\left\{
N-p:
p_k<p\le N/2,\ p\in\mathbb P
\right\}
}
$$

全部落在 $p_k$-rough composite sector。

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

---

# 18. Small-factor-avoiding composite wall 的真正資訊

這個 object不是新 factor theorem。

它的價值是「同步性」：

$$
\boxed{
\text{大量由同一 }N
\text{ 生成的 complements 同時 rough 且 composite}.
}
$$

所以其潛在 proof value在：

- cross-$p$ coupling；
- density upper bound；
- capacity theorem；

而不在單點：

$$
\operatorname{lpf}(N-p)>p_k.
$$

---

# 19. Obstruction alphabet

在 failure state下：

$$
\Sigma_N
=
\left\{
\operatorname{lpf}(N-p):
p\in\mathbb P_N^{-}
\right\}.
$$

以及：

$$
A_G(N)
=
|\Sigma_N|.
$$

數值本身 exact。

Claim class：

$$
[\mathrm F/T_{\mathrm{observable}}].
$$

但：

$$
A_G(N)\text{ 大或小}
\Rightarrow
\text{counterexample admissibility}
$$

沒有 theorem。

所以 interpretation：

$$
[\mathrm H].
$$

---

# 20. Suppression count

$$
S_N(y)
=
\#\left\{
r\le y:
r\in\mathbb P,
\quad
r\mid N
\right\}.
$$

是 exact observable。

$$
\sigma_N(y)
=
\frac{S_N(y)}{\pi(y)}
$$

也是 exact ratio。

但：

> suppression ratio高會使 counterexample更困難

目前只是 structural hypothesis。

分類：

$$
[\mathrm H/O].
$$

---

# 21. Effective obstruction alphabet 的問題

原稿定義：

$$
\Sigma_{\mathrm{avail}}(N;y)
=
\left\{
r\in\mathbb P:
r\le y,
\quad
r\nmid N
\right\}.
$$

這省略了：

$$
r\mid N
$$

但：

$$
p=r
$$

的 self-cell。

事實上：

$$
r\mid N
$$

時，

$$
r
$$

不是「完全不可用」，

而是：

$$
\boxed{
\text{只可作用於 }p=r.
}
$$

所以 availability 應該是 $p$-dependent。

---

# 22. Canonical p-specific availability

若真的需要 available-color object，

建議定義：

$$
\boxed{
\Sigma_{\mathrm{avail}}(N,p;y)
=
\left\{
r\in\mathbb P:
r\le y,
\quad
r\nmid N
\ \lor\
r=p
\right\}.
}
$$

但即使如此，

是否真正 obstruction還需：

$$
r\mid(N-p).
$$

所以更直接的 exact object其實仍是：

$$
\boxed{
\left\{
r\le y:
r\mid(N-p)
\right\}.
}
$$

因此 separate `available alphabet` 的 proof value有限。

---

# 23. Suppressed wheel

原稿定義：

$$
M_k^{\mathrm{eff}}(N)
=
\prod_{\substack{
i\le k\\
p_i\nmid N
}}
p_i.
$$

並定義：

$$
\mathbb H_{M_k}^{\mathrm{eff}}(N)
=
\left\{
p:
\gcd(N-p,M_k^{\mathrm{eff}}(N))=1
\right\}.
$$

本輪判定：

$$
\boxed{
\text{不應進 canonical exact core}.
}
$$

---

# 24. 為什麼 effective wheel 在 large-prime sector 完全冗餘

取：

$$
p>p_k.
$$

若：

$$
r\le p_k,
\quad
r\mid N,
$$

則：

$$
r\nmid p
$$

因為 $p$ 是大於 $p_k$ 的 prime。

若：

$$
r\mid(N-p),
$$

會推出：

$$
r\mid p,
$$

矛盾。

所以被從：

$$
M_k
$$

刪掉的那些：

$$
r\mid N
$$

本來就不會整除：

$$
N-p.
$$

因此：

$$
\boxed{
p>p_k
\Longrightarrow
\left[
\gcd(N-p,M_k^{\mathrm{eff}})=1
\Longleftrightarrow
\gcd(N-p,M_k)=1
\right].
}
$$

所以在真正 hard sector：

$$
\boxed{
\mathbb H_{M_k}^{\mathrm{eff}}
=
\mathbb H_{M_k}.
}
$$

---

# 25. effective wheel 在 self-cell 反而可能誤標

若：

$$
p=r,
\quad
r\mid N,
\quad
r\le p_k,
$$

則：

$$
r\mid(N-p).
$$

ordinary wheel正確判定：

$$
p\notin\mathbb H_{M_k}(N).
$$

但：

$$
r
$$

被從：

$$
M_k^{\mathrm{eff}}
$$

移除。

若沒有其他 unsuppressed small factor，

effective wheel可能判：

$$
p\in
\mathbb H_{M_k}^{\mathrm{eff}}(N).
$$

這與「沒有 small obstruction」的真實語義不符。

---

# 26. Canonical Correction C01

刪除：

$$
M_k^{\mathrm{eff}}
$$

與：

$$
\mathbb H_{M_k}^{\mathrm{eff}}
$$

作為 canonical theorem objects。

若保留，

只能標：

```text
heuristic proxy:
  ignores divisor self-cells intentionally
```

但第一階 proof core 不需要它。

---

# 27. Wheel residual ratio

$$
\eta_{M_k}(N)
=
\frac{
|\mathbb H_{M_k}(N)|
}{
|\mathbb P_N^{-}|
}
$$

是 exact finite observable。

單調性：

$$
\eta_{M_{k+1}}(N)
\le
\eta_{M_k}(N)
$$

exact。

但「壓力」語義是 conditional：

若 failure，

survivors 必須由：

$$
r>p_k
$$

阻擋。

---

# 28. Wheel residual pressure proxy

原稿：

$$
\Pi_{M_k}(N)
=
|\mathbb H_{M_k}(N)|p_{k+1}.
$$

這是 exact 數值定義，

但稱為「pressure」只是 proxy。

它不等於：

- factor certificate length；
- proof complexity；
- contradiction strength；
- capacity deficit。

分類：

$$
[\mathrm H/F].
$$

不進 theorem ledger。

---

# 29. Obstruction costs

原稿定義：

$$
C_{\mathrm{obs}}(N)
=
\sum_p
\log\Phi_N^{\min}(p),
$$

以及：

$$
C_{\mathrm{obs}}^{(\alpha)}(N)
=
\sum_p
\left(
\Phi_N^{\min}(p)
\right)^\alpha.
$$

在 failure state下數值 exact。

但「cost」沒有 canonical theorem semantics。

所以：

```text
value: exact
interpretation: heuristic / diagnostic
source: deterministic readout of lpf map
```

---

# 30. Primorial cost lower bound

若：

$$
M_k\mid N
$$

且：

$$
F_G(N)=1,
$$

則對：

$$
p>p_k
$$

有：

$$
\Phi_N^{\min}(p)\ge p_{k+1}.
$$

因此：

$$
\boxed{
C_{\mathrm{obs}}(N)
\ge
\left[
\pi(N/2)-k
\right]
\log p_{k+1}
}
$$

在 log-cost definition 下成立。

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

但它只是對人為定義 cost 的 lower bound。

若沒有獨立 natural upper bound，

不形成 contradiction。

---

# 31. Graph / matrix canonicalization

定義 right obstruction primes：

$$
\boxed{
\mathcal R_N
=
\left\{
r\in\mathbb P:
r^2\le N-2
\right\}.
}
$$

定義 matrix：

$$
A_{p,r}^{(N)}
=
\mathbf1_{r\mid(N-p)}
$$

其中：

$$
p\in\mathbb P_N^{-},
\quad
r\in\mathcal R_N.
$$

這個平方版本優於 real square root。

---

# 32. Pointwise graph theorem

由 V0 Round 02：

$$
N-p
\text{ composite}
\Longleftrightarrow
\exists r\in\mathcal R_N,
\quad
r\mid(N-p).
$$

因此：

$$
\boxed{
\deg_{G_N^{\mathrm{obs}}}(p)=0
\Longleftrightarrow
N-p\in\mathbb P.
}
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T/E].
$$

---

# 33. Graph deficiency 的精確值

定義：

$$
\delta_N
=
\#\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
\deg(p)=0
\right\}.
$$

則：

$$
\boxed{
\delta_N
=
R_G^{-}(N),
}
$$

其中：

$$
R_G^{-}(N)
=
\#\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
N-p\in\mathbb P
\right\}.
$$

原稿只寫：

$$
R_G(N)>0
\Longleftrightarrow
\delta_N>0.
$$

本輪可強化成 exact count identity。

這是 Strengthening S03。

---

# 34. Graph left-totality

所以：

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
\delta_N=0
}
$$

也等價於：

$$
\boxed{
\forall p\in\mathbb P_N^{-},
\quad
\deg(p)\ge1.
}
$$

這是 raw GFOC 的 graph form。

Claim class：

$$
[\mathrm E].
$$

---

# 35. Graph 是否新增 source？

沒有。

edge relation：

$$
p\sim r
\Longleftrightarrow
r\mid(N-p)
$$

完全由 factor source決定。

所以 graph是：

$$
\boxed{
\text{S1 factor source 的 relational representation}.
}
$$

它的潛在價值在：

- degree bounds；
- matching；
- expansion；
- capacity；

而不是 edge existence本身。

---

# 36. Truncated graph 的邊界

若只保留：

$$
r\le p_k,
$$

希望 isolated left vertices等於：

$$
\mathbb H_{M_k}(N),
$$

需要注意 cutoff。

若 canonical graph 的 right universe限制：

$$
r^2\le N-2,
$$

則當：

$$
p_k^2\le N-2
$$

時：

$$
\boxed{
\text{isolated vertices of truncated graph}
=
\mathbb H_{M_k}(N).
}
$$

---

# 37. 為什麼要加 cutoff restriction

如果：

$$
p_k>\sqrt{N-2},
$$

wheel：

$$
M_k
$$

可能包含比 canonical proper-factor range更大的 primes。

此時：

$$
\gcd(N-p,M_k)
$$

可能因一個大 factor而非 $1$，

但 canonical proper-obstruction graph不包含該 column。

對 proof core而言，

建議所有 truncated graph statements限制：

$$
\boxed{
p_k^2\le N-2.
}
$$

或直接把 cutoff寫成：

$$
y\le\sqrt{N-2}.
$$

這是 Canonical Correction C02。

---

# 38. Midpoint condition

若：

$$
N/2\in\mathbb P,
$$

則：

$$
N
=
N/2+N/2
$$

Goldbach-success。

所以：

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longrightarrow
N/2\notin\mathbb P.
}
$$

對 even：

$$
N\ge4.
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

---

# 39. Midpoint 是 graph 中的特殊 isolated vertex

若：

$$
p=N/2
$$

為 prime，

則 complement：

$$
N-p=p
$$

也是 prime。

所以在 canonical obstruction graph：

$$
\deg(p)=0.
$$

因此 midpoint theorem是 graph deficiency theorem的一個特殊 case。

不算 independent source。

---

# 40. Self-suppression 的 source status

divisor self-suppression：

$$
r\mid N
\land
r\mid(N-p)
\Rightarrow
r\mid p
$$

是：

$$
\mathcal S_0+\mathcal S_1
$$

elementary structure。

RG-SCP 03 的 primorial theorem其實是把這個 relation同步套用到：

$$
r=p_1,\ldots,p_k.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{primorial suppression}
}
$$

不是新 source class，

而是：

$$
\boxed{
\text{many self-suppression constraints synchronized by }M_k\mid N.
}
$$

---

# 41. 這個同步仍然有 theorem value

source 不新，

不代表 theorem 沒價值。

因：

$$
M_k\mid N
$$

一次就推出：

$$
\pi(N/2)-k
$$

個 hard prime inputs。

所以這是：

$$
\boxed{
\text{proof compression within an existing source}.
}
$$

這一點應與 source-class escape分開評價。

---

# 42. Coverage-cost ordering

原稿說：

$$
N\equiv0\pmod6
$$

branch 的 small-factor pressure高於：

$$
N\equiv2,4\pmod6.
$$

若「pressure」只定義成：

> $r=3$ channel unavailable 的 prime-input數量，

則可以 exact。

但若理解為：

> 更不可能成為 counterexample，

則沒有 theorem。

所以分類：

$$
[\mathrm F/H].
$$

---

# 43. Smoothness paradox

原稿：

$$
\text{more modular structure}
\Longleftrightarrow
\text{fewer reusable small obstruction colors}.
$$

左側到右側的 self-suppression phenomenon有 exact basis。

但「paradox」、「pressure升高」及其對 counterexample viability 的意義，

仍是：

$$
[\mathrm H/O].
$$

---

# 44. Counterexample cost vector

$$
\mathbf C_G(N)
=
\left(
\eta_6,
\eta_{30},
D_G,
A_G,
\overline C_{\mathrm{obs}},
\sigma_N,
\ldots
\right)
$$

是 serialization / diagnostic object。

分類：

$$
[\mathrm F/H].
$$

不應放 theorem ledger。

---

# 45. Demand / capacity architecture

RG-SCP 03 第一次明確提出：

$$
\boxed{
\operatorname{Demand}_N
\le
\operatorname{Capacity}_N.
}
$$

在本篇仍是：

$$
[\mathrm O/F].
$$

因 demand / capacity 尚未 exact 定義。

真正 exact 化發生於 RG-SCP 06。

所以 theorem/source ownership：

```text
R03:
  conceptual architecture

R06:
  exact D_N(y), I_N(y), U_N(y)
```

---

# 46. Source-Symmetry Mismatch

原稿用：

$$
J_k(N,p)
=
(N-p)\bmod M_k
$$

指出：

$$
N'\equiv N\pmod{M_k}
$$

可保持 quotient observation，

但：

$$
\mathbf1_{\mathbb P}(N'-p)
$$

與：

$$
\mathbf1_{\mathbb P}(N-p)
$$

可能不同。

這個方向正確。

但如果要作 theorem-level source insufficiency，

應引用 SDRPC / Prime-Surface 的正式 observation-factorization framework。

本篇只標：

$$
[\mathrm F/T_{\mathrm{imported}}].
$$

---

# 47. Fixed-point interface

RG-SCP 03 使用：

$$
\operatorname{Fix}(T_6)
$$

接 M6 hard branch。

但 V0 Round 02 已要求 notation統一：

$$
T_6
\to
T_{\mathrm{top}}.
$$

且 RG-SCP 04 會證：

$$
T_{\mathrm{top}}
$$

在 hard branch就是：

$$
\operatorname{lpf}.
$$

所以本篇 fixed-point burden：

$$
B_6^{\mathrm{fix}}
$$

尚不算 independent source。

詳細 audit留 RG-SCP 04。

---

# 48. Canonical theorem ledger — RG-SCP 03

| ID | Claim | Class | Source | Status |
|---|---|---|---|---|
| R03-T01 | M6 residue easy/hard classification | T | S2 | PASS |
| R03-T02 | wheel-hard nesting | T | S2 | PASS |
| R03-T03 | $M_k\mid N,\ p>p_k \Rightarrow \gcd(N-p,M_k)=1$ | T | S0+S2 | **STRENGTHENED / PASS** |
| R03-T04 | exact primorial hard-sector formula | T | S0+S2 | **AUDIT STRENGTHENING / PASS** |
| R03-T05 | failure + primorial hard input $\Rightarrow \operatorname{lpf}(N-p)>p_k$ | T | S1+S2 | PASS |
| R03-T06 | primorial rough-composite wall under failure | T | S1+S2 | PASS |
| R03-T07 | graph deficiency $\delta_N=R_G^{-}(N)$ | T/E | S1 relational | **STRENGTHENED / PASS** |
| R03-T08 | midpoint prime implies Goldbach success | T | S0 | PASS |
| R03-T09 | primorial log-cost lower bound | T on defined metric | S1-derived | PASS, low proof independence |
| R03-E01 | graph left-totality iff failure | E | S1 relational | PASS |
| R03-H01 | obstruction pressure proxy | H | S1-derived | DIAGNOSTIC |
| R03-H02 | obstruction cost as viability measure | H | S1-derived | DIAGNOSTIC |
| R03-H03 | suppression ratio as difficulty measure | H | S1/S2-derived | DIAGNOSTIC |
| R03-O01 | demand exceeds capacity on a branch | O | future | OPEN |
| R03-O02 | primorial wall incompatible with global arithmetic constraints | O | future | OPEN |

---

# 49. Canonical corrections ledger

## C01 — Remove effective wheel from exact core

$$
M_k^{\mathrm{eff}}
$$

不增加 large-prime information，

且可能誤處理 self-cell。

---

## C02 — Truncated graph cutoff

graph-isolated = wheel-hard 的 theorem應限制：

$$
p_k^2\le N-2.
$$

---

## C03 — Failure-state typing

以下 object 若使用：

$$
\Phi_N^{\min}
$$

作「proper obstruction」語義，

應標：

```text
failure_state_only
```

包括：

- obstruction depth；
- obstruction cost；
- obstruction alphabet。

---

## C04 — Exact / diagnostic split

數值 exact：

$$
\eta,
\sigma,C_{\mathrm{obs}}
$$

不代表其「壓力」解讀是 theorem。

---

## C05 — Primorial theorem split

分成：

```text
unconditional roughness:
  M_k | N -> p>p_k complement avoids M_k

conditional compositeness:
  failure -> complement composite
```

---

## C06 — Source ownership

RG-SCP 03 不重複 claim：

- obstruction-map theorem（R02）；
- exact demand-capacity theorem（R06）；
- fixed-point source theorem（R04）。

---

# 50. Formalization priority

RG-SCP 03 建議優先：

## F03-01

M6 branch table。

## F03-02

wheel-hard nesting。

## F03-03

primorial complement coprimality：

$$
M_k\mid N
\land
p>p_k
\Rightarrow
\gcd(N-p,M_k)=1.
$$

## F03-04

primorial hard-sector equality。

## F03-05

hard-sector cardinality。

## F03-06

rough-composite wall under failure。

## F03-07

obstruction graph deficiency identity：

$$
\delta_N=R_G^{-}(N).
$$

## F03-08

midpoint success theorem。

---

# 51. 不優先形式化

暫不優先：

- entropy；
- energy；
- structural compression ratio；
- cost vector；
- effective wheel；
- pressure hypotheses。

它們先留 discovery layer。

---

# 52. Graph formalization建議

graph不必一開始使用 heavyweight graph library。

可直接定義 finite relation：

$$
E_N(p,r)
:
\Longleftrightarrow
r^2\le N-2
\land
r\mid(N-p).
$$

再定義：

$$
\operatorname{Isolated}_N(p)
:
\Longleftrightarrow
\neg\exists r,\ E_N(p,r).
$$

證：

$$
\operatorname{Isolated}_N(p)
\Longleftrightarrow
N-p\in\mathbb P.
$$

最後 count isolated rows。

這比先建立 abstract graph更容易 formalize。

---

# 53. Oracle leakage audit

wheel-hard：

$$
\gcd(N-p,M_k)=1
$$

不需要 primality oracle for complement。

安全。

但：

$$
C_{\mathrm{obs}},
D_G,
\Sigma_N
$$

若以：

$$
\operatorname{lpf}(N-p)
$$

計算，

在 success state中要避免把：

$$
\operatorname{lpf}(q)=q
$$

誤讀為 proper obstruction。

所以 formal / computational schema要保留：

```text
proper_obstruction_exists
```

bit。

---

# 54. Experimental controls audit

原稿的 controls方向正確：

- midpoint；
- M6；
- divisor suppression；
- truncated wheel。

本輪再加一個：

## Primorial exact control

若：

$$
M_k\mid N,
$$

則程式必須滿足：

$$
\boxed{
\mathbb H_{M_k}(N)
=
\{p:p_k<p\le N/2,\ p\text{ prime}\}.
}
$$

這是一個非常強的 implementation invariant。

---

# 55. Source novelty verdict

RG-SCP 03 仍主要使用：

$$
\boxed{
\mathcal S_1
+
\mathcal S_2.
}
$$

即：

- factor / lpf；
- finite quotient / wheel。

沒有 source-class escape。

但有一個真正值得保留的 proof compression：

$$
\boxed{
M_k\mid N
}
$$

把 $k$ 個 self-suppression constraints 同時合攏，

直接得到完整 hard-sector formula。

所以：

```text
source novelty: no
constraint compression: yes
```

---

# 56. Proof-compression verdict

RG-SCP 03 比 RG-SCP 02 多的真正內容不是更多 lpf 定義。

而是：

$$
\boxed{
\text{target-state divisibility}
\to
\text{mass simultaneous hardening of complements}.
}
$$

尤其：

$$
M_k\mid N
$$

時，

$$
\pi(N/2)-k
$$

個 reduced prime inputs 全部自動避開：

$$
p_1,\ldots,p_k.
$$

這是 exact synchronized structure。

---

# 57. Validation verdict

RG-SCP 03：

$$
\boxed{
\mathrm{PASS\ WITH\ STRENGTHENING,\ DEDUPLICATION,\ AND\ EFFECTIVE\mbox{-}WHEEL\ REMOVAL}
}
$$

最重要 strengthening：

$$
\boxed{
M_k\mid N
\Longrightarrow
\mathbb H_{M_k}(N)
=
\{p:p_k<p\le N/2\}
}
$$

不需要 failure。

再加 failure才得到：

$$
\boxed{
\forall p>p_k,
\quad
N-p
\text{ is }p_k\text{-rough composite}.
}
$$

最重要 removal：

$$
\boxed{
M_k^{\mathrm{eff}}
\text{ does not belong in canonical exact core}.
}
$$

---

# 58. 下一輪

V0 Round 04 只審：

# RG-SCP 04
## 《固定點纖維、陰影缺口與 Goldbach 反例排斥》

重點：

1. $T_{\mathrm{top}}$ 與 $\operatorname{lpf}$ 是否完全同源；
2. M6 additive candidate domain 是否真的對所有 $N\ge10$ 非空；
3. two-channel decomposition 的邊界；
4. $\Delta_6$ / shadow-gap identity；
5. naive descent no-go；
6. fixed-point language到底增加 relational power還是只是 factor language重寫；
7. $6\mid N$ branch 是否真的讓 standard failure 與 M6 section hole完全等價。

---

# 附錄 A：Canonical Primorial Geometry

```text
Assume:
  M_k | N
  p_k <= N/2

Then:
  H_Mk(N)
    = {p prime : p_k < p <= N/2}

Hence:
  |H_Mk(N)|
    = pi(N/2) - k

No Goldbach-failure assumption needed.

If additionally F_G(N)=1:
  every N-p in this sector is composite
  and lpf(N-p) > p_k
```

---

# 附錄 B：Effective-Wheel Audit

```text
M_eff:
  remove primes r <= p_k with r | N

For p > p_k:
  removed r could not divide N-p anyway
  => H_eff = H_standard

For p = r | N:
  r really divides N-p
  but M_eff deletes r
  => possible false hard classification

Decision:
  remove from canonical exact core
```

---

# 附錄 C：Graph Canonical Form

```text
Left:
  p prime, 2 <= p <= N/2

Right:
  r prime, r^2 <= N-2

Edge:
  r | N-p

Then:
  p isolated
  iff
  N-p prime

Therefore:
  number of isolated left vertices
  =
  reduced Goldbach representation count
```

---

# 附錄 D：Source Signature

```yaml
RG-SCP-03:
  S0_elementary: true
  S1_factor_lpf: primary
  S2_finite_quotient_wheel: primary
  S3_fixed_point: interface_only
  S4_minimality: preview_only
  S5_analytic: not_used_in_exact_core
  S6_heuristic: cost_pressure_metrics

novelty:
  new_prime_oracle: false
  source_class_escape: false
  synchronized_constraint_compression: true
  primorial_hard_sector_exact_formula: true
  graph_relational_reorganization: true
```

---

# 附錄 E：Commit Decision

```yaml
validation_round: V0-R03
decision: PASS_WITH_STRENGTHENING_DEDUPLICATION_AND_EFFECTIVE_WHEEL_REMOVAL

strengthening:
  - primorial_hardness_unconditional
  - exact_hard_sector_formula
  - exact_hard_sector_cardinality
  - graph_deficiency_equals_reduced_representation_count

canonical_removals:
  - effective_wheel_from_exact_core

canonical_corrections:
  - truncated_graph_cutoff
  - failure_state_typing_for_lpf_costs
  - primorial_theorem_split
  - theorem_source_ownership_deduplicated

commit_to_sync_core: true
promote_new_goldbach_theorem: false
next_round: V0-R04
```