# RG-SCP Validation Round 02
## RG-SCP 02 Claim / Source Audit
### 《哥德巴赫失敗障礙覆蓋》的等價性強化、least-factor 邊界與 source 去重

**驗證系列：** RG-SCP Validation  
**驗證階段：** V0 — Claim / Source Audit  
**輪次：** 02  
**對應原稿：** RG-SCP 02《哥德巴赫失敗障礙覆蓋》v0.1  
**日期：** 2026-09-28  
**版本：** v0.1  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**性質：** Canonical Audit / Theorem-Source Ledger  
**狀態：** 第二輪審計；不宣稱新的 Goldbach 全域證明

---

## 摘要

本文件對 RG-SCP 02《哥德巴赫失敗障礙覆蓋：從質數互補失敗到最小質因子分割》進行逐項 claim/source audit。

本輪重點是檢查：

1. Goldbach failure 與 total proper obstruction map 是否真正等價；
2. full prime-input domain 與 reduced-half domain 是否保持命題等價；
3. raw obstruction cover 與 canonical least-factor partition 的邏輯關係；
4. least-prime-factor bound：

$$
r\le\sqrt{N-p}
$$

是否在所有邊界上正確；
5. canonical obstruction map 的唯一性到底是什麼意思；
6. obstruction cover 是不是新增 primality source，還是 compositeness 的結構化重寫；
7. M6 / wheel / fixed-point preview 是否與後續篇章重複計數。

本輪得到一個重要強化。

原稿只把 raw Goldbach Failure Obstruction Cover：

$$
\mathbb P_N
\subseteq
\bigcup_{\substack{
r\in\mathbb P\\
r\le\sqrt{N-2}
}}
\mathcal O_r(N)
$$

描述為 Goldbach failure 的必要條件。

實際上，在 reduced prime domain：

$$
\mathbb P_N^{-}
=
\left\{
p\in\mathbb P:
2\le p\le\frac N2
\right\},
$$

可以證得更強的 pointwise equivalence：

$$
\boxed{
N-p
\text{ composite}
\Longleftrightarrow
\exists r\in\mathbb P,
\quad
r\le\sqrt{N-2},
\quad
r\mid(N-p)
}
$$

對每個：

$$
p\in\mathbb P_N^{-}
$$

成立。

原因是：

$$
N-p
\ge
\frac N2
>
\sqrt{N-2}
$$

對所有：

$$
N\ge4
$$

成立。

所以若：

$$
N-p
$$

是 prime，它唯一的 prime divisor就是自身，而且大於：

$$
\sqrt{N-2}.
$$

因此它不可能落入任何 small-factor obstruction class。

反過來，若：

$$
N-p
$$

composite，則存在 prime factor：

$$
r\le\sqrt{N-p}
\le
\sqrt{N-2}.
$$

由此得到：

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
\mathbb P_N^{-}
\subseteq
\bigcup_{\substack{
r\in\mathbb P\\
r\le\sqrt{N-2}
}}
\mathcal O_r(N).
}
$$

所以 RG-SCP 02 的 raw GFOC 可以從「必要 cover」提升成「reduced-domain exact cover characterization」。

本輪同時確認：

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
\exists
\text{ total proper obstruction map}
}
$$

是正確的 exact equivalence。

但需要區分：

- total proper obstruction map 一般 **不唯一**；
- canonical least-factor obstruction map：

$$
\Phi_N^{\min}(p)
=
\operatorname{lpf}(N-p)
$$

在 failure state 下才是唯一 canonical choice。

此外，本輪建議把：

$$
D_G(N),
\quad
L_r(N),
\quad
\Theta_N(y)
$$

等「failure-state obstruction statistics」明確標成 conditional objects，或為成功態定義 separate extended semantics，避免在後續計算中把 prime complement 的 ordinary least prime factor誤當成 proper obstruction。

本輪 source audit 的核心結論是：

$$
\boxed{
\text{obstruction map}
}
$$

在 element level 並未新增 primality information。

它使用的仍是：

$$
\boxed{
\mathcal S_1
=
\text{factor / least-prime-factor source}.
}
$$

其真正價值是：

$$
\boxed{
\text{把所有 prime complements 的 compositeness witnesses
組織成一個 global cover / partition object}.
}
$$

因此本輪 verdict：

$$
\boxed{
\mathrm{PASS\ WITH\ STRENGTHENING\ AND\ CANONICALIZATION}.
}
$$

---

# 1. 審計對象

本輪只審：

# RG-SCP 02
## 《哥德巴赫失敗障礙覆蓋：從質數互補失敗到最小質因子分割》

對原稿中已提前出現的：

- M6 easy / hard branch；
- wheel residual；
- fixed-point interface；

只做 source / scope audit。

其詳細 theorem novelty 歸 RG-SCP 03 / 04 驗證，不在本輪重複計數。

---

# 2. Claim taxonomy

沿用 V0 Round 01：

$$
[\mathrm T]
=
\text{Exact Theorem},
$$

$$
[\mathrm E]
=
\text{Equivalent Reformulation},
$$

$$
[\mathrm H]
=
\text{Heuristic / Diagnostic},
$$

$$
[\mathrm O]
=
\text{Open Target},
$$

$$
[\mathrm F]
=
\text{Framework / Definition}.
$$

---

# 3. Source taxonomy

本輪主要使用：

$$
\mathcal S_0
=
\text{Elementary Arithmetic / Logic},
$$

以及：

$$
\mathcal S_1
=
\text{Factor / Least-Prime-Factor Structure}.
$$

後段 M6 / wheel preview 涉及：

$$
\mathcal S_2
=
\text{Finite Quotient / Wheel}.
$$

固定點只作 interface，尚不應增加 source count。

---

# 4. Full prime-input domain

原稿定義：

$$
\boxed{
\mathbb P_N
=
\left\{
p\in\mathbb P:
2\le p\le N-2
\right\}.
}
$$

因此：

$$
2\le N-p\le N-2.
$$

所以：

$$
N-p
$$

永遠不是：

$$
0
$$

或：

$$
1.
$$

這個 domain 邊界是正確的。

Claim class：

$$
[\mathrm F].
$$

---

# 5. Reduced prime-input domain

定義：

$$
\boxed{
\mathbb P_N^{-}
=
\left\{
p\in\mathbb P:
2\le p\le\frac N2
\right\}.
}
$$

若：

$$
N=p+q
$$

為 Goldbach representation，

則至少有一個 endpoint：

$$
\min(p,q)\le\frac N2.
$$

所以：

$$
\boxed{
R_G(N)>0
\Longleftrightarrow
\exists p\in\mathbb P_N^{-},
\quad
N-p\in\mathbb P.
}
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T/E].
$$

它是 exact domain reduction。

---

# 6. Reduced domain 應成為 canonical domain

原稿先在：

$$
\mathbb P_N
$$

建立 obstruction map，

再於第 12–13 節切到：

$$
\mathbb P_N^{-}.
$$

本輪建議 canonical core 直接使用：

$$
\boxed{
\mathbb P_N^{-}.
}
$$

理由：

1. 不重複表示對；
2. proof obligation 約縮半；
3. 每個 complement 滿足：

$$
N-p\ge N/2;
$$

4. 最重要的是，它讓 raw small-factor cover得到 pointwise exact semantics。

這是本輪 Canonical Correction C01。

---

# 7. 關鍵不等式

對：

$$
N\ge4,
$$

證：

$$
\boxed{
\frac N2
>
\sqrt{N-2}.
}
$$

平方後：

$$
\frac{N^2}{4}
>
N-2.
$$

等價於：

$$
N^2-4N+8>0.
$$

而：

$$
N^2-4N+8
=
(N-2)^2+4
>
0.
$$

證畢。

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

Source：

$$
\mathcal S_0.
$$

---

# 8. Reduced complement lower bound

若：

$$
p\in\mathbb P_N^{-},
$$

則：

$$
p\le\frac N2.
$$

因此：

$$
N-p
\ge
\frac N2
>
\sqrt{N-2}.
$$

所以：

$$
\boxed{
N-p>\sqrt{N-2}.
}
$$

這對 prime 與 composite complement 都成立。

---

# 9. Pointwise small-factor characterization

## 定理 R02-T01

對：

$$
N\ge4
$$

偶數，以及：

$$
p\in\mathbb P_N^{-},
$$

有：

$$
\boxed{
N-p
\text{ composite}
\Longleftrightarrow
\exists r\in\mathbb P,
\quad
r\le\sqrt{N-2},
\quad
r\mid(N-p).
}
$$

---

## 證明：左推右

若：

$$
N-p
$$

composite，

存在 prime divisor：

$$
r\le\sqrt{N-p}.
$$

因：

$$
N-p\le N-2,
$$

所以：

$$
r
\le
\sqrt{N-p}
\le
\sqrt{N-2}.
$$

---

## 證明：右推左

假設存在 prime：

$$
r\le\sqrt{N-2}
$$

使：

$$
r\mid(N-p).
$$

又由 reduced-domain bound：

$$
N-p>\sqrt{N-2}\ge r.
$$

所以：

$$
1<r<N-p.
$$

因此：

$$
N-p
$$

有 proper divisor，

故為 composite。

證畢。

---

# 10. 這比原稿更強

原稿使用：

$$
r\le\sqrt{N-p}
$$

來保證 properness。

在 reduced domain 中，

若只知道：

$$
r\le\sqrt{N-2}
$$

並且：

$$
r\mid(N-p),
$$

已足以保證：

$$
r<N-p.
$$

所以 raw fixed global cutoff：

$$
\sqrt{N-2}
$$

本身就能提供 exact pointwise composite characterization。

---

# 11. Raw obstruction class

定義：

$$
\boxed{
\mathcal O_r(N)
=
\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
p\equiv N\pmod r
\right\}.
}
$$

等價於：

$$
r\mid(N-p).
$$

對：

$$
r\le\sqrt{N-2},
$$

由 R02-T01：

$$
p\in\mathcal O_r(N)
$$

意味：

$$
N-p
$$

composite。

在 reduced domain中不會出現「prime complement 被自己的小 prime divisor 假裝 obstruction」的問題。

---

# 12. Raw GFOC Exact Characterization

## 定理 R02-T02

對偶數：

$$
N\ge4,
$$

有：

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
\mathbb P_N^{-}
\subseteq
\bigcup_{\substack{
r\in\mathbb P\\
r\le\sqrt{N-2}
}}
\mathcal O_r(N).
}
$$

---

## 證明：failure 推 cover

若：

$$
F_G(N)=1,
$$

則每個：

$$
p\in\mathbb P_N^{-}
$$

都有：

$$
N-p
$$

composite。

由 R02-T01，

存在：

$$
r\le\sqrt{N-2}
$$

使：

$$
r\mid(N-p).
$$

所以：

$$
p\in\mathcal O_r(N).
$$

---

## 證明：cover 推 failure

若 entire reduced domain 被上述 classes cover，

則每個：

$$
p\in\mathbb P_N^{-}
$$

都存在：

$$
r\le\sqrt{N-2}
$$

整除：

$$
N-p.
$$

由 R02-T01，

所有：

$$
N-p
$$

皆 composite。

因此 reduced domain 中不存在 Goldbach pair。

由 reduced-domain equivalence：

$$
F_G(N)=1.
$$

證畢。

---

# 13. Full-domain raw cover 也可得到 exact global characterization

原稿使用 full domain：

$$
\mathbb P_N.
$$

在 full domain 中，某個：

$$
p>N/2
$$

可能有很小的 prime complement，

因此單點：

$$
p\in\mathcal O_r(N)
$$

不再等價於 complement composite。

但 whole-domain cover 仍可作 exact failure characterization。

若 Goldbach success：

$$
N=p+q,
$$

取較小 endpoint：

$$
p_0=\min(p,q)\le N/2.
$$

則：

$$
q_0=N-p_0
\ge N/2
>
\sqrt{N-2}.
$$

因：

$$
q_0
$$

prime，

不存在：

$$
r\le\sqrt{N-2}
$$

整除：

$$
q_0.
$$

所以：

$$
p_0
$$

不會被 raw obstruction union cover。

因此 whole-domain inclusion 也會失敗。

所以：

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
\mathbb P_N
\subseteq
\bigcup_{r\le\sqrt{N-2}}
\mathcal O_r(N)
}
$$

同樣成立。

但是 reduced version 更乾淨，因為它具有 pointwise semantics。

---

# 14. Canonical strengthening S01

原稿：

```text
GFOC = necessary condition
```

本輪提升為：

```text
GFOC on reduced domain = exact characterization
```

所以：

$$
\boxed{
\mathrm{S01:
Necessary}
\to
\mathrm{Equivalent}.
}
$$

這不是 Goldbach proof。

它只是把 obstruction formulation 的邏輯邊界收緊。

---

# 15. Composite factor lemma

對 composite：

$$
m\ge4,
$$

存在 prime：

$$
r\mid m
$$

使：

$$
r\le\sqrt m.
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

Source：

$$
\mathcal S_1
$$

或 elementary factor theory。

這是 RG-SCP 02 的主要 arithmetic input。

---

# 16. Total proper obstruction map

在 reduced domain上定義：

$$
\Phi_N:
\mathbb P_N^{-}
\to
\mathbb P.
$$

要求：

$$
\Phi_N(p)\mid(N-p)
$$

與：

$$
\Phi_N(p)\le\sqrt{N-p}.
$$

因：

$$
\Phi_N(p)\ge2,
$$

而：

$$
\sqrt{N-p}<N-p
$$

對：

$$
N-p>1
$$

成立，

所以：

$$
1<
\Phi_N(p)
<
N-p.
$$

因此：

$$
N-p
$$

composite。

---

# 17. Proper obstruction map characterization

## 定理 R02-T03

對偶數：

$$
N\ge4,
$$

有：

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
\exists
\Phi_N:
\mathbb P_N^{-}
\to\mathbb P
}
$$

使：

$$
\forall p\in\mathbb P_N^{-},
$$

$$
\Phi_N(p)\mid(N-p),
$$

且：

$$
\Phi_N(p)\le\sqrt{N-p}.
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T/E].
$$

Exact。

---

# 18. T03 的 novelty 邊界

R02-T03 是 exact，

但 arithmetic information content 本質上仍是：

$$
\boxed{
m\text{ composite}
\Longleftrightarrow
m\text{ has a proper prime factor}.
}
$$

所以：

$$
[\mathrm T]
$$

不等於：

$$
[\mathrm{new\ prime\ theorem}].
$$

真正研究價值是：

$$
\boxed{
\text{all }p
\text{ simultaneously require witnesses}.
}
$$

---

# 19. Total proper obstruction map 不唯一

如果：

$$
N-p
$$

有多個 prime divisors：

$$
r_1,r_2,\ldots,
$$

而其中不只一個：

$$
r_i\le\sqrt{N-p},
$$

則：

$$
\Phi_N(p)
$$

可選不同值。

例如若：

$$
N-p=30,
$$

可有：

$$
2,
3,
5
$$

作 factor witnesses，

但 proper-map bound：

$$
r\le\sqrt{30}
$$

允許：

$$
2,3,5.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{total proper obstruction maps generally nonunique}.
}
$$

---

# 20. Canonical least-factor map

定義：

$$
\boxed{
\Phi_N^{\min}(p)
=
\operatorname{lpf}(N-p).
}
$$

在 failure state 下：

$$
N-p
$$

composite，

因此：

$$
\operatorname{lpf}(N-p)
\le
\sqrt{N-p}.
$$

所以：

$$
\Phi_N^{\min}
$$

是 total proper obstruction map。

而 least prime factor 唯一，

所以 canonical map 唯一。

---

# 21. Canonical uniqueness 的正確語句

應寫：

$$
\boxed{
\text{the least-factor choice is uniquely determined}.
}
$$

而不是：

$$
\boxed{
\text{the proper obstruction map is unique}.
}
$$

這是 Canonical Correction C02。

---

# 22. Canonical least-factor cells

定義：

$$
\boxed{
B_r(N)
=
\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
\operatorname{lpf}(N-p)=r
\right\}.
}
$$

在 failure state 下：

$$
\mathbb P_N^{-}
=
\bigsqcup_r
B_r(N).
$$

不同：

$$
r
$$

cells 互斥。

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

---

# 23. Raw cover vs canonical partition

必須固定三種 object。

## 23.1 Raw cover

$$
\mathbb P_N^{-}
\subseteq
\bigcup_r
\mathcal O_r(N).
$$

不同 obstruction classes 可以重疊。

## 23.2 Canonical partition

$$
\mathbb P_N^{-}
=
\bigsqcup_r
B_r(N).
$$

互斥。

## 23.3 Truncated cover

$$
\mathbb P_N^{\mathrm{cov}}(y)
=
\left\{
p:
\gcd(N-p,P(y))>1
\right\}.
$$

只使用：

$$
r\le y.
$$

三者不能把 cardinality公式互相混用。

---

# 24. Cover cardinality 不能直接等於 load sum

raw cover：

$$
\sum_r
|\mathcal O_r(N)|
$$

一般會重複計數。

只有 canonical partition：

$$
\sum_r
|B_r(N)|
=
|\mathbb P_N^{-}|
$$

在 failure state 下成立。

這是 formalization 時必須防止的 bug。

---

# 25. Canonical Correction C03

所有「load spectrum」都應明確使用：

$$
B_r(N)
$$

或：

$$
\mathcal O_r^{\min}(N),
$$

不能使用 raw：

$$
\mathcal O_r(N)
$$

的 cardinality再假裝互斥。

---

# 26. Obstruction depth

原稿定義：

$$
D_G(N)
=
\max_{p\in\mathbb P_N^{-}}
\Phi_N^{\min}(p).
$$

在：

$$
F_G(N)=1
$$

時完全良定義，且：

$$
D_G(N)\le\sqrt{N-2}.
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T/F].
$$

---

# 27. 成功態上的語義問題

一般：

$$
\operatorname{lpf}(m)
$$

也可對 prime：

$$
m
$$

定義為：

$$
m.
$$

若直接把同一公式用到 Goldbach-success $N$，

則某個 prime complement：

$$
q=N-p
$$

會給：

$$
\Phi_N^{\min}(p)=q.
$$

但：

$$
q
$$

不是 proper obstruction。

所以：

$$
D_G(N)
$$

會失去「obstruction depth」語義。

---

# 28. Canonical Correction C04

建議二選一。

## Option A — Conditional definition

只在：

$$
F_G(N)=1
$$

時定義：

$$
D_G^{\mathrm{fail}}(N).
$$

## Option B — Extended typed state

定義：

$$
\widehat\Phi_N(p)
=
\begin{cases}
\operatorname{lpf}(N-p),
& N-p\text{ composite},\\
\bot,
& N-p\text{ prime}.
\end{cases}
$$

其中：

$$
\bot
$$

表示：

$$
\text{no proper obstruction}.
$$

對後續實驗而言 Option B 更安全。

---

# 29. Truncated cover

定義：

$$
P(y)
=
\prod_{\substack{
r\le y\\
r\in\mathbb P
}}
r.
$$

以及：

$$
\mathbb P_N^{\mathrm{cov}}(y)
=
\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
\gcd(N-p,P(y))>1
\right\}.
$$

$$
\mathbb P_N^{\mathrm{res}}(y)
=
\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
\gcd(N-p,P(y))=1
\right\}.
$$

兩者 exact partition：

$$
\mathbb P_N^{-}
=
\mathbb P_N^{\mathrm{cov}}(y)
\bigsqcup
\mathbb P_N^{\mathrm{res}}(y).
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

---

# 30. Truncated cover ratio

$$
\Theta_N(y)
=
\frac{
|\mathbb P_N^{\mathrm{cov}}(y)|
}{
|\mathbb P_N^{-}|
}.
$$

因：

$$
2\in\mathbb P_N^{-}
$$

對：

$$
N\ge4,
$$

分母非零。

有：

$$
0\le\Theta_N(y)\le1.
$$

若：

$$
y_1\le y_2,
$$

則：

$$
P(y_1)\mid P(y_2),
$$

所以：

$$
\Theta_N(y_1)
\le
\Theta_N(y_2).
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

---

# 31. Depth / cover ratio equivalence

在 failure state下：

$$
\Theta_N(y)=1
$$

等價於：

$$
\operatorname{lpf}(N-p)\le y
$$

對所有：

$$
p\in\mathbb P_N^{-}.
$$

所以：

$$
\boxed{
D_G(N)
=
\min
\left\{
y:
\Theta_N(y)=1
\right\}
}
$$

若 $y$ 允許取到 prime cutoff values。

Claim class：

$$
[\mathrm T]
$$

但必須標記：

$$
F_G(N)=1.
$$

---

# 32. Success state 下不能沿用相同解讀

如果 Goldbach success，

當：

$$
y
$$

大到包含 prime complement本身時，

$$
\Theta_N(y)
$$

也可能變成：

$$
1.
$$

所以：

$$
\Theta_N(y)=1
$$

本身不表示 failure，

除非 cutoff 保證：

$$
y<\text{all possible prime complements}
$$

或使用 reduced-domain global cutoff：

$$
y\le\sqrt{N-2}.
$$

這是語義邊界。

---

# 33. Reduced-domain GFOC 避免上述問題

因：

$$
N-p>\sqrt{N-2}
$$

對：

$$
p\in\mathbb P_N^{-},
$$

如果限制：

$$
y\le\sqrt{N-2},
$$

prime complement永遠不會被當作 obstruction factor。

所以：

$$
\boxed{
\Theta_N(\sqrt{N-2})=1
\Longleftrightarrow
F_G(N)=1.
}
$$

這是 reduced-domain raw cover exactness 的另一個表達。

---

# 34. Divisor self-suppression

原稿定理：

若：

$$
r\mid N
$$

且：

$$
r\mid(N-p),
$$

其中：

$$
p,r
$$

prime，

則：

$$
p=r.
$$

證明：

$$
r\mid N
$$

與：

$$
r\mid(N-p)
$$

推出：

$$
r\mid p.
$$

因：

$$
p
$$

prime，

所以：

$$
p=r.
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

完全正確。

---

# 35. Suppression-set consequence

令：

$$
\mathcal D(N)
=
\left\{
r\in\mathbb P:
r\mid N
\right\}.
$$

若：

$$
p\notin\mathcal D(N)
$$

且：

$$
F_G(N)=1,
$$

則：

$$
\Phi_N^{\min}(p)
\notin
\mathcal D(N).
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

---

# 36. $r=2$ fixed cell

若：

$$
F_G(N)=1,
$$

則：

$$
N-2
$$

為 even composite。

所以：

$$
\operatorname{lpf}(N-2)=2.
$$

因此：

$$
\boxed{
B_2(N)=\{2\}.
}
$$

在 reduced domain中成立。

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

---

# 37. M6 branch preview

原稿已經詳細列出：

$$
N\bmod6
$$

與：

$$
p\bmod6
$$

的 easy / hard branch。

這些 elementary congruence statements 是正確的。

但在 series structure 上，

RG-SCP 03 才是其 canonical detailed home。

所以本輪記：

```text
R02-M6:
  correctness: pass
  source: S2
  novelty_count_in_R02: preview_only
  canonical_detailed_audit: defer_to_R03
```

---

# 38. Wheel hard branch preview

同理：

$$
\mathbb H_{M_k}(N)
=
\left\{
p:
\gcd(N-p,M_k)=1
\right\}
$$

若 failure，

則：

$$
\operatorname{lpf}(N-p)>p_k.
$$

exact。

但 theorem novelty 詳細歸 RG-SCP 03。

---

# 39. Fixed-period source warning

原稿指出：

固定：

$$
y
$$

時，

$$
P(y)
$$

是固定 modulus，

所以：

$$
\gcd(N-p,P(y))
$$

屬 finite fixed-period source。

這個 source audit方向正確。

Claim class：

$$
[\mathrm F/T_{\text{imported}}],
$$

因其完整 insufficiency theorem 來自 SDRPC / Prime-Surface line。

RG-SCP 02 不應重複宣稱為本篇新 theorem。

---

# 40. Obstruction entropy

$$
H_{\mathrm{obs}}(N)
=
-
\sum_r
\pi_r(N)\log\pi_r(N)
$$

如果：

$$
\pi_r
$$

由 canonical partition load 定義，

則數值本身 exact。

但其：

- 高低代表什麼；
- 是否與 counterexample viability 有關；

都屬：

$$
[\mathrm H].
$$

所以應分類為 diagnostic metric。

---

# 41. Obstruction energy

同理：

$$
E_{\mathrm{obs}}^{(\alpha)}(N)
=
\sum_p
\left(
\Phi_N^{\min}(p)
\right)^\alpha
$$

在 failure state中是 exact quantity。

但：

$$
E_{\mathrm{obs}}\uparrow
\Rightarrow
\text{counterexample less admissible}
$$

不是 theorem。

分類：

$$
[\mathrm H/F].
$$

---

# 42. Canonical failure certificate

對 fixed candidate：

$$
N,
$$

若提供所有：

$$
p\in\mathbb P_N^{-}
$$

與 proper prime divisor：

$$
r_p
$$

滿足：

$$
r_p\mid(N-p),
$$

$$
r_p\le\sqrt{N-p},
$$

則可 finite-certify：

$$
F_G(N)=1.
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

但 certificate completeness需要確認：

$$
p
$$

枚舉確實涵蓋整個 reduced prime domain。

---

# 43. Certificate completeness requirement

一份合法 finite failure certificate 至少需要：

1. target $N$；
2. 完整：

$$
\mathbb P_N^{-}
$$

枚舉或 verified prime enumerator；
3. 對每個 $p$ 的 witness：

$$
r_p;
$$

4. primality of $r_p$；
5. divisibility：

$$
r_p\mid(N-p);
$$

6. properness：

$$
r_p\le\sqrt{N-p};
$$

7. domain-completeness proof。

只有 factor list 沒有 domain completeness 不夠。

---

# 44. Source audit：obstruction map 新增了什麼？

elementwise：

$$
N-p\text{ composite}
$$

與：

$$
\exists\text{ proper prime factor}
$$

是標準 factor fact。

所以：

$$
\Phi_N
$$

沒有新增一個新的 prime oracle。

Source：

$$
\boxed{
\mathcal S_1.
}
$$

---

# 45. 真正新增的是 relational packaging

RG-SCP 02 的研究價值在：

$$
\boxed{
p
\mapsto
\Phi_N(p)
}
$$

把整個 reduced prime-input domain 同時映到 obstruction-prime domain。

因此可以研究：

- load；
- depth；
- residue coherence；
- forbidden colors；
- capacity；
- cross-$p$ constraints。

所以 novelty 是：

$$
\boxed{
\text{global organization of local factor witnesses}.
}
$$

不是新的 factor theorem。

---

# 46. Source independence 判定

下列 objects：

$$
\Phi_N^{\min},
$$

$$
B_r(N),
$$

$$
D_G(N),
$$

$$
L_r(N)
$$

全部是 least-factor map 的 deterministic readouts。

所以不能把：

- lpf partition；
- lpf depth；
- lpf entropy；
- lpf load spectrum；

當成四個 independent proof sources。

它們共享：

$$
\mathcal S_1.
$$

---

# 47. Canonical Correction C05

source ledger 應寫：

```yaml
factor_source:
  primitive: lpf(N-p)
  derived:
    - canonical_obstruction_map
    - obstruction_cells
    - obstruction_load
    - obstruction_depth
    - obstruction_entropy
    - obstruction_energy
```

只有 derived object產生新的 cross-input theorem時，

才增加 proof information。

---

# 48. Notation audit：$T_6$ vs $T_{\mathrm{top}}$

RG-SCP 02 後段使用：

$$
\operatorname{Fix}(T_6).
$$

後續 canonical M6 v0.2 / RG-SCP 04 使用：

$$
T_{\mathrm{top}}.
$$

若兩者指同一元素層 operator，

應明確定義：

$$
\boxed{
T_6
:=
T_{\mathrm{top}}
}
$$

或統一只用：

$$
T_{\mathrm{top}}.
$$

這是 Canonical Correction C06。

避免未來把 notation alias誤認成新 operator。

---

# 49. Full cover theorem 的最佳 canonical form

綜合本輪，

建議 RG-SCP 02 canonical theorem直接寫：

## Canonical GFOC Theorem

對偶數：

$$
N\ge4,
$$

令：

$$
\mathbb P_N^{-}
=
\left\{
p\in\mathbb P:
2\le p\le N/2
\right\},
$$

以及：

$$
\mathcal O_r(N)
=
\left\{
p\in\mathbb P_N^{-}:
p\equiv N\pmod r
\right\}.
$$

則：

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
\mathbb P_N^{-}
\subseteq
\bigcup_{\substack{
r\in\mathbb P\\
r\le\sqrt{N-2}
}}
\mathcal O_r(N).
}
$$

這比先建立 full domain再 reduction 更乾淨。

---

# 50. Canonical proper-map theorem

同時保留：

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
\exists\Phi_N:
\mathbb P_N^{-}\to\mathbb P
}
$$

使：

$$
\Phi_N(p)\mid(N-p)
$$

與：

$$
\Phi_N(p)\le\sqrt{N-p}.
$$

這個版本最適合 certificate / formalization。

---

# 51. Raw cover 與 proper map 的差別

在 reduced domain：

### Raw cover

只需要：

$$
r\le\sqrt{N-2}.
$$

### Proper map

使用更精確：

$$
r\le\sqrt{N-p}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{raw cover}
}
$$

更適合 global quotient geometry，

而：

$$
\boxed{
\text{proper map}
}
$$

更適合 per-complement certificate。

兩者都 exact。

---

# 52. Formalization priority

RG-SCP 02 建議先形式化：

## F02-01

reduced-domain Goldbach equivalence。

## F02-02

$$
N/2>\sqrt{N-2}
$$

用避免 real square root 的等價平方形式形式化。

## F02-03

pointwise small-factor characterization。

## F02-04

raw GFOC exact theorem。

## F02-05

proper obstruction map characterization。

## F02-06

canonical lpf partition。

## F02-07

divisor self-suppression。

## F02-08

truncated cover monotonicity。

---

# 53. 形式化時避免實數平方根

Lean 中不一定要把核心定理建立在：

$$
\sqrt{\cdot}
$$

上。

可以使用：

$$
r^2\le N-p
$$

作 factor-bound形式。

例如 proper obstruction：

$$
r\mid(N-p)
$$

且：

$$
r^2\le N-p.
$$

對 composite：

$$
m,
$$

least prime factor可證：

$$
\operatorname{lpf}(m)^2\le m.
$$

這通常比 real square root更適合 kernel proof。

---

# 54. Canonical discrete formulation

建議 formal core 使用：

$$
\boxed{
r^2\le N-p
}
$$

取代：

$$
r\le\sqrt{N-p}.
$$

raw global cutoff使用：

$$
\boxed{
r^2\le N-2.
}
$$

這避免：

- real coercions；
- floor sqrt；
- unnecessary analysis。

---

# 55. Reduced pointwise theorem 的 discrete form

對：

$$
p\le N/2,
$$

有：

$$
N-p>N/2?
$$

不需要。

只需證：

若：

$$
r^2\le N-2
$$

且：

$$
r\mid(N-p),
$$

則：

$$
r<N-p.
$$

由：

$$
N-p\ge N/2
$$

以及：

$$
r^2\le N-2
<
(N/2)^2
$$

得：

$$
r<N/2\le N-p.
$$

適合 Nat proof。

---

# 56. Canonical theorem ledger — RG-SCP 02

| ID | Claim | Class | Source | Status |
|---|---|---|---|---|
| R02-T01 | reduced complement composite iff has prime divisor $r\le\sqrt{N-2}$ | T | S0+S1 | **NEW AUDIT STRENGTHENING / PASS** |
| R02-T02 | reduced raw GFOC iff failure | T/E | S0+S1 | **PROMOTED FROM NECESSARY / PASS** |
| R02-T03 | total proper obstruction map iff failure | T/E | S1 | PASS |
| R02-T04 | canonical lpf map unique as least-factor choice | T | S1 | PASS |
| R02-T05 | canonical cells form partition under failure | T | S1 | PASS |
| R02-T06 | divisor self-suppression | T | S0+S1 | PASS |
| R02-T07 | truncated cover sets partition reduced domain | T | S0+S2 | PASS |
| R02-T08 | truncated cover monotonic in cutoff | T | S2 | PASS |
| R02-E01 | obstruction assignment as failure language | E | S1 | PASS |
| R02-H01 | obstruction entropy as viability signal | H | S1-derived | DIAGNOSTIC |
| R02-H02 | obstruction energy as viability signal | H | S1-derived | DIAGNOSTIC |
| R02-O01 | higher-order invariant compresses many factor obligations | O | future source | OPEN |

---

# 57. Canonical corrections ledger

## C01 — Reduced domain first

Canonical domain：

$$
\mathbb P_N^{-}
$$

取代 full-domain-first exposition。

---

## C02 — Uniqueness wording

「canonical lpf map unique」，

不是「proper obstruction map unique」。

---

## C03 — Raw vs canonical cardinality

raw：

$$
\mathcal O_r
$$

可重疊。

canonical：

$$
B_r
$$

互斥。

load / entropy / partition只用 canonical cells。

---

## C04 — Failure-state statistics typed

$$
D_G,
L_r,
H_{\mathrm{obs}},
E_{\mathrm{obs}}
$$

需標：

```text
defined_on_failure_state
```

或使用 explicit no-obstruction sentinel。

---

## C05 — Source de-duplication

lpf-derived metrics全部共享：

$$
\mathcal S_1.
$$

---

## C06 — Fixed-point notation

統一：

$$
T_6
$$

與：

$$
T_{\mathrm{top}}
$$

的 alias。

---

# 58. Circularity audit

proper obstruction map theorem沒有 circularity，

前提只使用：

- divisibility；
- primality of factor witness；
- factor-size bound。

但 canonical map：

$$
\Phi_N^{\min}
$$

若程式計算時直接先問：

$$
N-p\text{ prime?}
$$

再決定是否建立 factor，

就可能造成 implementation oracle leakage。

更好的實作是：

> 直接 factor / minFac；若 minFac = number itself，則回傳 no-proper-obstruction。

---

# 59. Truth channel 分離

後續實驗：

### Probe Channel

只算：

- gcd；
- factor；
- residue；
- minFac；
- cutoff survival。

### Truth Channel

獨立算：

$$
R_G(N).
$$

Probe 不得讀 Truth。

這與 Phase-I protocol一致。

---

# 60. Counterexample certificate verdict

RG-SCP 02 的 certificate architecture 是 sound。

對 fixed $N$，

一個 complete proper obstruction certificate確實可以證：

$$
F_G(N)=1.
$$

但這是：

$$
\boxed{
\text{finite candidate verification}.
}
$$

它不解決：

$$
\forall N.
$$

---

# 61. Proof-compression verdict

RG-SCP 02 本身還沒有 proof compression theorem。

它完成的是：

$$
\boxed{
\text{proof-burden normalization}.
}
$$

把：

$$
\forall p,
\quad
N-p\text{ composite}
$$

標準化成：

$$
p\mapsto r_p.
$$

真正 compression要等：

$$
\boxed{
\text{many }r_p
\text{ obligations}
\to
\text{one higher-order bound}.
}
$$

---

# 62. Validation verdict

RG-SCP 02：

$$
\boxed{
\mathrm{PASS\ WITH\ STRENGTHENING\ AND\ CANONICALIZATION}
}
$$

其中最重要提升：

$$
\boxed{
\text{raw GFOC}
:
\text{necessary}
\to
\text{exact on reduced domain}.
}
$$

最重要 source 結論：

$$
\boxed{
\text{obstruction map is S1 factor-source organization,
not an independent primality source}.
}
$$

---

# 63. 下一輪

V0 Round 03 只審：

# RG-SCP 03
## 《M6／Wheel 障礙幾何與反例覆蓋成本》

重點：

1. M6 easy / hard branch；
2. primorial suppression theorem；
3. effective wheel 的定義是否真的與 ordinary wheel 不同；
4. suppression ratio / obstruction cost 哪些 exact、哪些 heuristic；
5. obstruction availability matrix / graph 是否只是 lpf source重寫；
6. demand / capacity architecture是否在 03 已經出現可保留的新 independent structure；
7. 02 與 03 重複內容去重。

---

# 附錄 A：Canonical GFOC

```text
Input:
  even N >= 4

Reduced prime domain:
  P_N^- = {p prime : 2 <= p <= N/2}

Obstruction class:
  O_r(N) = {p in P_N^- : p ≡ N mod r}

Global cutoff:
  r^2 <= N-2

Theorem:
  F_G(N)=1
  iff
  P_N^- subset union_r O_r(N)
```

---

# 附錄 B：Canonical Proper Obstruction Map

```text
Phi_N : P_N^- -> Primes

requirements:
  Phi_N(p) | N-p
  Phi_N(p)^2 <= N-p

failure iff such a total map exists

canonical choice under failure:
  Phi_min(p) = lpf(N-p)
```

---

# 附錄 C：Source Signature

```yaml
RG-SCP-02:
  S0_elementary: true
  S1_factor_lpf: primary
  S2_finite_quotient: preview
  S3_fixed_point: interface_only
  S4_minimality: false
  S5_analytic: false
  S6_heuristic: diagnostic_metrics_only

novelty:
  new_prime_oracle: false
  new_factor_theorem: false
  relational_packaging: true
  exact_cover_strengthening_from_audit: true
```

---

# 附錄 D：Formalization Sketch

```text
theorem half_gt_global_sqrt_bound ...
theorem reduced_composite_iff_small_factor ...
theorem gfoc_iff_failure ...
theorem proper_obstruction_map_iff_failure ...
theorem canonical_lpf_partition ...
theorem divisor_self_suppression ...
theorem truncated_cover_monotone ...
```

建議 kernel core以平方不等式取代 real sqrt。

---

# 附錄 E：Commit Decision

```yaml
validation_round: V0-R02
decision: PASS_WITH_STRENGTHENING_AND_CANONICALIZATION

strengthening:
  - raw_GFOC_promoted_to_exact_reduced_domain_characterization

canonical_corrections:
  - reduced_domain_first
  - proper_map_nonunique_canonical_lpf_unique
  - raw_cover_vs_partition_separated
  - failure_statistics_typed
  - lpf_source_deduplicated
  - T6_Ttop_notation_unified

commit_to_sync_core: true
promote_new_goldbach_theorem: false
next_round: V0-R03
```