# RG-SCP Validation Round 01
## RG-SCP 01 Claim / Source Audit
### 《反例宇宙與最小失敗狀態》的主張分級、來源去重與驗證邊界

**驗證系列：** RG-SCP Validation  
**驗證階段：** V0 — Claim / Source Audit  
**輪次：** 01  
**對應原稿：** RG-SCP 01《反例宇宙與最小失敗狀態》v0.1  
**日期：** 2026-09-28  
**版本：** v0.1  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**性質：** Canonical Audit / Theorem-Source Ledger  
**狀態：** 第一階段審計；不新增 Goldbach 數論主張

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## 摘要

本文件對 RG-SCP 01《反例宇宙與最小失敗狀態》進行第一輪 claim/source audit。

本輪不嘗試增加新 theorem，也不進行大規模計算。

唯一目標是把原稿中的內容分成：

$$
\boxed{
\mathrm T
=
\text{Exact Theorem}
}
$$

$$
\boxed{
\mathrm E
=
\text{Equivalent Reformulation}
}
$$

$$
\boxed{
\mathrm H
=
\text{Heuristic / Empirical}
}
$$

$$
\boxed{
\mathrm O
=
\text{Open Target}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\mathrm F
=
\text{Framework / Definition}
}
$$

五類。

同時對每一條主張標記其 source class：

$$
\mathcal S_0
=
\text{Elementary Arithmetic / Logic},
$$

$$
\mathcal S_1
=
\text{Prime / Factor Structure},
$$

$$
\mathcal S_2
=
\text{Finite Quotient / Wheel},
$$

$$
\mathcal S_3
=
\text{Fixed-Point Relational Organization},
$$

$$
\mathcal S_4
=
\text{Additive History / Minimality},
$$

$$
\mathcal S_5
=
\text{External Analytic Number Theory},
$$

$$
\mathcal S_6
=
\text{Heuristic Approximation / Skew}.
$$

本輪審計結論如下。

第一，RG-SCP 01 的核心 mathematically valid content 主要屬於：

$$
\mathcal S_0.
$$

它建立的是 counterexample universe、minimal counterexample、admissibility filtration 與 proof-channel discipline。

第二，RG-SCP 01 本身沒有新增任何關於 prime distribution、Goldbach density、M6、wheel 或 spectral structure 的 theorem。

第三，最小反例的存在：

$$
N_*
=
\min\mathcal C_G
$$

在假設：

$$
\mathcal C_G\neq\varnothing
$$

後，只使用自然數良序性，因此是完全 elementary 的 exact theorem。

第四：

$$
\mathcal C_G=\varnothing
$$

與標準二元 Goldbach 命題只是邏輯等價重寫，不應被列為新的證明成果。

第五，admissibility filtration：

$$
\mathcal A_0
\supseteq
\mathcal A_1
\supseteq
\cdots
$$

是一個 research framework。它只有在每一步都能證：

$$
\mathcal C_G
\subseteq
\mathcal A_k
$$

時才具有 proof meaning。

因此：

$$
\mathcal A_k
$$

的真正證明義務不是「看起來越來越小」，而是：

$$
\boxed{
\text{Soundness}
:
\mathcal C_G\subseteq\mathcal A_k.
}
$$

第六，本篇最值得形式化的核心不是 Goldbach 本身，而是：

1. counterexample set；
2. minimal-counterexample existence；
3. minimality predecessor-success property；
4. admissibility refinement soundness schema。

本輪最終判定：

$$
\boxed{
\text{RG-SCP 01 = PASS as framework foundation}
}
$$

但其 theorem novelty 應保持保守：

$$
\boxed{
\text{framework novelty}
\neq
\text{new Goldbach theorem}.
}
$$

---

# 1. 審計對象

本輪只審：

# RG-SCP 01
## 《反例宇宙與最小失敗狀態：從直接證明轉向結構可容許性壓縮》

不審：

- RG-SCP 02 obstruction cover；
- RG-SCP 03 M6 / wheel；
- RG-SCP 04 fixed point；
- RG-SCP 05 heuristic；
- RG-SCP 06 demand-capacity；
- RG-SCP 07 minimality transport；
- RG-SCP 08 synthesis。

這是刻意的。

原因是 source audit 若跨篇一次完成，很容易把後面才引入的 source 回灌到前面。

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# 2. Canonical Goldbach predicate

定義：

$$
G(N)
:
\Longleftrightarrow
\left[
N\ge4
\land
N\equiv0\pmod2
\right]
\Rightarrow
\exists p,q\in\mathbb P,
\quad
N=p+q.
$$

更常用的 global form：

$$
\boxed{
G
:
\forall N\ge4,
\quad
N\equiv0\pmod2
\Longrightarrow
\exists p,q\in\mathbb P,
\quad
N=p+q.
}
$$

這是研究 target，不是 RG-SCP 01 新提出的 theorem。

Claim class：

$$
[\mathrm F]
$$

Source：

$$
\mathcal S_0
+
\text{standard prime predicate}.
$$

---

# 3. Goldbach representation count

RG-SCP 01 定義：

$$
R_G(N)
=
\#\left\{
p\in\mathbb P:
2\le p\le N-2,
\quad
N-p\in\mathbb P
\right\}.
$$

這是 ordered-by-first-input 的 counting convention。

若：

$$
R_G(N)>0,
$$

則存在 Goldbach pair。

若：

$$
R_G(N)=0,
$$

則不存在 Goldbach pair。

因此：

$$
\boxed{
G(N)
\Longleftrightarrow
R_G(N)>0
}
$$

在合法偶數 domain 內成立。

Claim class：

$$
[\mathrm E].
$$

理由：

這只是把 existential statement 改寫成 count positivity。

---

# 4. Failure predicate

定義：

$$
F_G(N)
=
1
\Longleftrightarrow
R_G(N)=0.
$$

或用 proposition：

$$
F_G(N)
:
\Longleftrightarrow
R_G(N)=0.
$$

Claim class：

$$
[\mathrm F].
$$

沒有 theorem novelty。

---

# 5. Counterexample universe

定義：

$$
\boxed{
\mathcal C_G
=
\left\{
N\in2\mathbb N:
N\ge4,
\quad
R_G(N)=0
\right\}.
}
$$

Claim class：

$$
[\mathrm F].
$$

Source：

$$
\mathcal S_0.
$$

---

# 6. Goldbach 與 counterexample-universe emptiness

RG-SCP 01 使用：

$$
\boxed{
G
\Longleftrightarrow
\mathcal C_G=\varnothing.
}
$$

Claim class：

$$
[\mathrm E].
$$

這是 exact，但只是邏輯等價。

不能標為：

$$
[\mathrm T_{\mathrm{new}}].
$$

Proof source：

$$
\mathcal S_0.
$$

---

# 7. Counterexample-universe nonemptiness

Goldbach 的否定：

$$
\neg G
$$

等價於：

$$
\mathcal C_G\neq\varnothing.
$$

Claim class：

$$
[\mathrm E].
$$

沒有額外數論內容。

---

# 8. Minimal counterexample existence

若：

$$
\mathcal C_G\neq\varnothing,
$$

且：

$$
\mathcal C_G\subseteq\mathbb N,
$$

則由自然數良序性：

$$
\boxed{
N_*
=
\min\mathcal C_G
}
$$

存在。

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

Source：

$$
\boxed{
\mathcal S_0
}
$$

只需：

- set nonempty；
- subset of naturals；
- well-ordering principle。

不需要：

- prime distribution；
- sieve；
- M6；
- analytic number theory。

---

# 9. Minimality predecessor-success theorem

由：

$$
N_*=\min\mathcal C_G
$$

可得：

若：

$$
4\le M<N_*,
$$

且：

$$
M
$$

為偶數，

則：

$$
M\notin\mathcal C_G.
$$

所以：

$$
\boxed{
R_G(M)>0.
}
$$

形式化為：

$$
\boxed{
\forall M<N_*,
\quad
M\in2\mathbb N_{\ge4}
\Longrightarrow
R_G(M)>0.
}
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

Source：

$$
\mathcal S_0.
$$

這是後續 RG-SCP 07 additive-history source 的基礎。

但在 RG-SCP 01 本身，它仍只是 minimality 的直接 consequence。

---

# 10. Minimality 是新 source 嗎？

需要區分兩個層級。

在 RG-SCP 01：

$$
N_*
=
\min\mathcal C_G
$$

只是 elementary logical construction。

但當後續使用：

$$
\forall M<N_*,
\quad
R_G(M)>0
$$

去構造 transport graph，

它會成為：

$$
\mathcal S_4
=
\text{Additive History / Minimality Source}.
$$

所以 source classification 應記：

```text
RG-SCP 01:
  minimality_source_defined: yes
  minimality_source_exploited_nontrivially: no
```

真正非平凡使用發生在 RG-SCP 07。

---

# 11. Goldbach fiber

RG-SCP 01 定義：

$$
\mathcal F_N
=
\left\{
(x,y)\in\mathbb N^2:
x+y=N
\right\}.
$$

以及：

$$
\mathcal F_N^{\mathbb P}
=
\mathcal F_N
\cap
(\mathbb P\times\mathbb P).
$$

有：

$$
\boxed{
R_G(N)>0
\Longleftrightarrow
\mathcal F_N^{\mathbb P}\neq\varnothing.
}
$$

Claim class：

$$
[\mathrm E].
$$

這是 coordinate change。

---

# 12. Fiber emptiness form

failure 等價於：

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longleftrightarrow
\mathcal F_N^{\mathbb P}=\varnothing.
}
$$

Claim class：

$$
[\mathrm E].
$$

沒有新 proof information。

---

# 13. Complement involution

定義：

$$
C_N(x)=N-x.
$$

在合法 additive domain 上：

$$
C_N(C_N(x))=x.
$$

所以：

$$
C_N
$$

是 involution。

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

但 theorem complexity極低。

Source：

$$
\mathcal S_0.
$$

---

# 14. Prime-sector self-avoidance

RG-SCP 01 將 failure 描述為：

$$
C_N(\mathbb P)
\cap
\mathbb P
=
\varnothing
$$

在適當有限 domain 中。

Claim class：

$$
[\mathrm E].
$$

這只是 Goldbach failure 的 complement-map representation。

---

# 15. Structural admissibility

RG-SCP 01 定義 constraint family：

$$
\mathcal K_k
=
\left\{
K_1,\ldots,K_k
\right\}.
$$

並定義：

$$
\mathcal A_k
$$

為滿足 failure hypothesis 與當前 constraints 的 admissible state space。

這裡需要一個重要修正。

若：

$$
\mathcal A_k
$$

在定義中直接包含：

$$
F_G(N)=1,
$$

則：

$$
\mathcal A_k
$$

只是 counterexample subset 的重新描述。

這對 theorem search 不夠方便。

更好的 canonical version 應把：

$$
\mathcal A_k
$$

定義成「滿足所有已證 counterexample-necessary constraints 的 even candidates」。

即：

$$
\boxed{
\mathcal A_k
=
\left\{
N\in2\mathbb N_{\ge4}:
K_1(N)
\land\cdots\land
K_k(N)
\right\}.
}
$$

並要求 soundness：

$$
\boxed{
\mathcal C_G
\subseteq
\mathcal A_k.
}
$$

這樣：

$$
\mathcal A_k
$$

才是 counterexample universe 的外逼近。

---

# 16. RG-SCP 01 的第一個 canonical correction

原稿中部分語句把：

$$
F_G(N)=1
$$

直接寫入：

$$
\mathcal A_k
$$

的集合定義。

若保留這種寫法，

則：

$$
\mathcal A_k
$$

不能在不知道 counterexample 的情況下被獨立計算或逼近。

所以本審計建議把 canonical admissibility 定義修正為：

$$
\boxed{
\mathcal A_k
=
\left\{
N\in2\mathbb N_{\ge4}:
\bigwedge_{i=1}^{k}K_i(N)
\right\}.
}
$$

並單獨保留 proof obligation：

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longrightarrow
\bigwedge_{i=1}^{k}K_i(N).
}
$$

因此：

$$
\mathcal C_G
\subseteq
\mathcal A_k.
$$

---

# 17. 為什麼這個修正重要

若未修正，

「把 admissible space 壓縮到空」其實會 circular 地使用：

$$
F_G.
$$

修正後，

每個：

$$
K_i
$$

必須是 independently checkable constraint。

只有這樣：

$$
\mathcal A_k=\varnothing
$$

才真的能推出：

$$
\mathcal C_G=\varnothing.
$$

這是本輪最重要的 audit correction。

---

# 18. Admissibility refinement

若：

$$
K_{k+1}
$$

是新的 necessary condition，

則：

$$
\mathcal A_{k+1}
=
\mathcal A_k
\cap
\left\{
N:
K_{k+1}(N)
\right\}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathcal A_{k+1}
\subseteq
\mathcal A_k.
}
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T]
$$

前提是集合按上述方式定義。

Source：

$$
\mathcal S_0.
$$

---

# 19. Soundness obligation

最重要的 proof obligation：

$$
\boxed{
\mathcal C_G
\subseteq
\mathcal A_k.
}
$$

等價地：

$$
\boxed{
F_G(N)=1
\Longrightarrow
K_i(N)
}
$$

對所有：

$$
i\le k
$$

成立。

如果某一條：

$$
K_i
$$

只是 heuristic，

就不能放進 canonical：

$$
\mathcal A_k^{\mathrm{proof}}.
$$

---

# 20. Proof admissibility vs heuristic admissibility

因此應分兩個空間。

## Proof admissibility

$$
\boxed{
\mathcal A_k^{\mathrm P}
=
\left\{
N:
\bigwedge_i
K_i^{\mathrm{proof}}(N)
\right\}.
}
$$

滿足：

$$
\mathcal C_G
\subseteq
\mathcal A_k^{\mathrm P}.
$$

## Heuristic candidate space

$$
\boxed{
\mathcal A_k^{\mathrm H}
=
\left\{
N:
\bigwedge_j
H_j(N)
\right\}.
}
$$

但一般不能保證：

$$
\mathcal C_G
\subseteq
\mathcal A_k^{\mathrm H}.
$$

---

# 21. 第二個 canonical correction

RG-SCP 01 原稿已有 proof / heuristic channel 分離概念，

但本輪建議把 admissibility notation也直接分離：

$$
\boxed{
\mathcal A^{\mathrm P}
}
$$

與：

$$
\boxed{
\mathcal A^{\mathrm H}.
}
$$

避免後續某個 heuristic filter 無意中被當成 counterexample-necessary condition。

---

# 22. Counterexample admissibility volume

原稿定義 finite-domain：

$$
V_G(k;B)
=
\left|
\mathcal A_k\cap D_B
\right|.
$$

若採 canonical correction，

應改成：

$$
\boxed{
V_G^{\mathrm P}(k;B)
=
\left|
\mathcal A_k^{\mathrm P}
\cap
D_B
\right|.
}
$$

它是 proof-admissible candidate volume。

若：

$$
V_G^{\mathrm P}(k;B)=0,
$$

只能推出：

$$
\mathcal C_G
\cap
D_B
=
\varnothing.
$$

不能推出 global Goldbach。

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

---

# 23. Global closure criterion

若：

$$
\mathcal C_G
\subseteq
\mathcal A_k^{\mathrm P}
$$

且：

$$
\mathcal A_k^{\mathrm P}
=
\varnothing,
$$

則：

$$
\boxed{
\mathcal C_G=\varnothing.
}
$$

Claim class：

$$
[\mathrm T].
$$

Source：

$$
\mathcal S_0.
$$

這是純集合論。

---

# 24. 這不是 Goldbach-specific theorem

值得明確：

上述 closure criterion 對任何 conjecture 都成立。

若 target counterexample set：

$$
\mathcal C
$$

被某 proof-admissible superset：

$$
\mathcal A
$$

包含，

且：

$$
\mathcal A=\varnothing,
$$

則：

$$
\mathcal C=\varnothing.
$$

所以它是 generic proof architecture。

---

# 25. Quantifier residual

RG-SCP 01 引入：

$$
R_Q(k)
$$

作為尚未被吸收的 global proof burden。

這不是目前已有標準精確定義的單一數學量。

所以：

$$
R_Q(k)
$$

目前 claim class：

$$
[\mathrm F/H].
$$

除非後續給出 formal definition。

不能對：

$$
R_Q(k)
$$

做 theorem-level arithmetic，

直到它被精確定義。

---

# 26. Serialization state

RG-SCP 01 提議：

$$
\mathfrak G_k
$$

或 counterexample state serialization。

這是研究工程架構。

Claim class：

$$
[\mathrm F].
$$

沒有數論 proof content。

但對長程 AI / formal verification非常有價值。

---

# 27. 「反例必須支付存在成本」

這句是研究原則。

若寫成：

$$
F_G(N)=1
\Longrightarrow
K_1(N)\land K_2(N)\land\cdots
$$

且每個：

$$
K_i
$$

被證明，

則是 exact consequence chain。

但「成本很高」本身沒有 formal meaning。

所以：

```text
existence cost
```

在 RG-SCP 01 應標：

$$
[\mathrm F].
$$

直到後續被 demand / capacity 量化。

---

# 28. 「異常不等於矛盾」

RG-SCP 01 強調：

$$
\text{unlikely}
\neq
\text{impossible}.
$$

$$
\text{low density}
\neq
\text{empty}.
$$

$$
\text{no observed example}
\neq
\text{global exclusion}.
$$

這些是 proof-discipline principles。

Claim class：

$$
[\mathrm F].
$$

它們非常重要，但不是 number-theory theorem。

---

# 29. Source audit summary

RG-SCP 01 使用的 source：

## $\mathcal S_0$

大量使用：

- logic；
- set theory；
- natural-number well-order；
- finite counting；
- implication。

## $\mathcal S_1$

只透過 standard prime predicate 出現。

沒有使用新的 factor theorem。

## $\mathcal S_2$

沒有實質使用 wheel。

## $\mathcal S_3$

只預留 fixed-point interface。

## $\mathcal S_4$

定義 minimality source，但尚未非平凡利用。

## $\mathcal S_5$

沒有使用 analytic number theory。

## $\mathcal S_6$

沒有必要使用 heuristic。

---

# 30. Source novelty 判定

RG-SCP 01 的 novelty 不在數論 source。

它是：

$$
\boxed{
\text{proof-state architecture novelty}.
}
$$

即：

$$
\text{counterexample universe}
\to
\text{admissibility filtration}
\to
\text{certificate discipline}.
$$

所以不應對外寫成：

> 新的 Goldbach theorem。

較精確：

> 新的 reverse-closure research architecture。

---

# 31. Formalization priority

RG-SCP 01 值得先形式化四件事。

## F01

counterexample set：

$$
\mathcal C_G.
$$

## F02

minimal counterexample existence under nonempty assumption。

## F03

minimality predecessor-success theorem。

## F04

generic admissibility soundness：

若：

$$
\forall N,
\quad
F_G(N)\Rightarrow K_i(N),
$$

則：

$$
\mathcal C_G
\subseteq
\mathcal A_k^{\mathrm P}.
$$

---

# 32. 不需優先形式化的內容

暫不需要：

- existence cost rhetoric；
- quantifier residual symbol；
- normalized admissibility volume；
- heuristic state schema。

原因：

它們不是 elementary proof spine。

---

# 33. Canonical theorem ledger — RG-SCP 01

| ID | Claim | Class | Source | Status |
|---|---|---|---|---|
| R01-T01 | 非空 $\mathcal C_G$ 有最小元素 $N_*$ | T | $\mathcal S_0$ | PASS |
| R01-T02 | $M<N_*$ 的合法偶數皆非 counterexample | T | $\mathcal S_0$ | PASS |
| R01-T03 | $\mathcal A_{k+1}^{P}\subseteq\mathcal A_k^{P}$ | T | $\mathcal S_0$ | PASS after canonical definition |
| R01-T04 | $\mathcal C_G\subseteq\mathcal A_k^P$ 且 $\mathcal A_k^P=\varnothing$ 推 $\mathcal C_G=\varnothing$ | T | $\mathcal S_0$ | PASS |
| R01-E01 | $G\Longleftrightarrow\mathcal C_G=\varnothing$ | E | $\mathcal S_0$ | PASS |
| R01-E02 | failure $\Longleftrightarrow$ prime-prime additive fiber empty | E | $\mathcal S_0$ | PASS |
| R01-E03 | failure $\Longleftrightarrow$ prime sector complement self-avoidance | E | $\mathcal S_0$ | PASS |
| R01-F01 | existence-cost principle | F | framework | KEEP |
| R01-F02 | quantifier residual $R_Q$ | F/H | undefined metric | DEFER |
| R01-O01 | finite-stage proof-admissible space becomes empty | O | future | OPEN |

---

# 34. Canonical corrections ledger

## C01 — Admissibility externalization

舊：

$$
\mathcal A_k
=
\{N:F_G(N)=1\land K_1\land\cdots\}.
$$

建議 canonical：

$$
\boxed{
\mathcal A_k^{P}
=
\left\{
N\in2\mathbb N_{\ge4}:
K_1^{P}(N)\land\cdots\land K_k^{P}(N)
\right\}.
}
$$

另證：

$$
\mathcal C_G
\subseteq
\mathcal A_k^{P}.
$$

---

## C02 — Proof / heuristic admissibility split

新增：

$$
\mathcal A_k^{P}
$$

與：

$$
\mathcal A_k^{H}.
$$

禁止 heuristic filter 進 proof-admissible set。

---

## C03 — Quantifier residual deferred

$$
R_Q
$$

在 formal definition 出現前，

只作研究註記，

不作 theorem quantity。

---

# 35. Circularity audit

本輪重點檢查：

> 是否把 target predicate 偷塞進 candidate-space definition，再宣稱 candidate space 被排空？

若採原始：

$$
F_G(N)=1
$$

直接放入：

$$
\mathcal A_k,
$$

這會讓 admissibility framework不利於獨立驗證。

因此 C01 修正應視為 canonical。

修正後 circularity risk 大幅降低。

---

# 36. Oracle leakage audit

RG-SCP 01 尚未建立計算 probe，

所以沒有直接 oracle leakage。

但 future implementation 若計算：

$$
\mathcal A_k^P,
$$

不得讀：

$$
R_G(N)
$$

作 filter。

truth channel只能事後比較。

---

# 37. Minimality source leakage

若後續使用：

$$
N_*
$$

作 hypothetical minimal counterexample，

可以使用：

$$
M<N_*
\Rightarrow
R_G(M)>0
$$

因這是 minimality assumption的正當 consequence。

但不能使用：

$$
R_G(N_*)=0
$$

去構造某個 supposedly independent capacity bound，

再把該 bound當作外部證據。

需要 provenance 標記。

---

# 38. Independent proof value

RG-SCP 01 中真正可以獨立重建的內容幾乎全部是 elementary logic。

所以 cross-AI reconstruction 的價值主要是：

- 檢查定義一致；
- 檢查 circularity；
- 檢查 set inclusion direction。

不需要花大模型額度重證 well-ordering。

---

# 39. 第一個 formal checkpoint

建議：

```yaml
checkpoint:
  id: RG-SCP-V0-R01
  source_paper: RG-SCP-01
  theorem_count_pass: 4
  equivalence_count_pass: 3
  canonical_corrections: 3
  heuristic_promotions: 0
  source_novelty:
    number_theory: none
    research_architecture: yes
  circularity_status: repaired_by_C01
  formalization_ready: true
```

---

# 40. Validation verdict

RG-SCP 01 的 verdict：

$$
\boxed{
\mathrm{PASS}
}
$$

但需要附：

$$
\boxed{
\mathrm{PASS}
\text{ as framework foundation}
}
$$

而不是：

$$
\boxed{
\mathrm{PASS}
\text{ as new Goldbach theorem}.
}
$$

---

# 41. 本輪最重要結論

如果只保留一件事，

就是：

$$
\boxed{
\mathcal A_k
\text{ 必須是 counterexample universe 的可獨立驗證外逼近，
而不能把 }F_G\text{ 本身塞進定義。}
}
$$

因此 canonical proof architecture 應固定為：

$$
F_G(N)=1
\Longrightarrow
K_1(N)\land\cdots\land K_k(N),
$$

再定義：

$$
\mathcal A_k^P
=
\left\{
N:
K_1(N)\land\cdots\land K_k(N)
\right\}.
$$

由此：

$$
\boxed{
\mathcal C_G
\subseteq
\mathcal A_k^P.
}
$$

如果未來能證：

$$
\boxed{
\mathcal A_k^P=\varnothing,
}
$$

才得到：

$$
\boxed{
\mathcal C_G=\varnothing.
}
$$

這是 RG-SCP reverse closure 必須維持的非循環核心。

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# 42. 下一輪

V0 Round 02 應只審：

# RG-SCP 02
## 《哥德巴赫失敗障礙覆蓋》

重點：

1. total proper obstruction map 是否真的與 failure 等價；
2. least-prime-factor partition 的 domain 邊界；
3. reduced-half domain 是否完全等價；
4. raw cover vs canonical partition 是否混用；
5. obstruction source 是否只是 compositeness witness 的重寫；
6. 哪些量真正值得送入 formal core。

不提前審 RG-SCP 03。

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# 附錄 A：Canonical Claim Records

```yaml
- id: R01-T01
  class: T
  statement: nonempty counterexample set has a least element
  source: [S0]
  proof_status: pass
  formalization_priority: high

- id: R01-T02
  class: T
  statement: all legal smaller even numbers below N_star are Goldbach-success
  source: [S0, S4-definition]
  proof_status: pass
  formalization_priority: high

- id: R01-E01
  class: E
  statement: Goldbach iff counterexample universe is empty
  source: [S0]
  proof_status: pass
  novelty: reformulation

- id: R01-C01
  class: correction
  statement: define proof-admissible candidate space without embedding F_G in the set predicate
  status: canonicalize

- id: R01-O01
  class: O
  statement: some proof-admissible finite-stage candidate space becomes globally empty
  proof_status: open
```

---

# 附錄 B：Source Signature

```yaml
RG-SCP-01:
  S0_elementary: true
  S1_factor: standard-prime-predicate-only
  S2_quotient: false
  S3_fixed_point: interface-only
  S4_minimality: defined_not_exploited
  S5_analytic: false
  S6_heuristic: false

novelty:
  arithmetic_source: none
  relational_source: minimality-interface
  architecture: reverse-closure-admissibility
```

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# 附錄 C：Formalization Sketch

```text
namespace RGSCP

def GoldbachSuccess (N : Nat) : Prop := ...
def Counterexample (N : Nat) : Prop := ...
def CounterexampleSet : Set Nat := ...

theorem goldbach_iff_counterexampleSet_empty : ...

theorem minimal_counterexample_exists
  (h : CounterexampleSet.Nonempty) :
  ∃ Nstar, Nstar ∈ CounterexampleSet ∧
    ∀ M < Nstar, M ∉ CounterexampleSet := ...

def ProofAdmissible
  (Ks : List (Nat → Prop)) : Set Nat :=
  {N | Even N ∧ 4 ≤ N ∧ ∀ K ∈ Ks, K N}

theorem counterexample_subset_admissible
  (sound : ∀ K ∈ Ks, ∀ N, Counterexample N → K N) :
  CounterexampleSet ⊆ ProofAdmissible Ks := ...

theorem empty_admissible_implies_goldbach
  (sound : CounterexampleSet ⊆ ProofAdmissible Ks)
  (hempty : ProofAdmissible Ks = ∅) :
  CounterexampleSet = ∅ := ...

end RGSCP
```

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# 附錄 D：Commit Decision

```yaml
validation_round: V0-R01
decision: PASS_WITH_CANONICAL_CORRECTION
commit_to_sync_core: true
promote_new_goldbach_theorem: false
next_round: V0-R02
```