# RG-SCP Note B
## Root-Bounded Division Domain
### 根界除法作用域、雙側不對稱與 Goldbach Failure 的算子化重寫

**日期：** 2026-09-30  
**性質：** Research Note / Operator Reformulation  
**狀態：** 非證明；建立新的 exact reformulation 語言

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## 0. 目標

把 prime / composite 改寫成：

> 根界內是否存在非平凡 division action。

核心 object：

$$
\boxed{
\mathcal D(n)
=
\{d:1<d\le\sqrt n,\ d\mid n\}.
}
$$

對 $n>1$：

$$
\boxed{
n\in\mathbb P
\Longleftrightarrow
\mathcal D(n)=\varnothing.
}
$$

因此 primality 可以被描述為：

$$
\boxed{
\text{root-bounded division-action-free}.
}
$$

---

## 1. Goldbach 的 symmetric form

對：

$$
N=2m,
$$

Goldbach pair：

$$
N=p+q
$$

可以寫成：

$$
\boxed{
p=m-d,
\qquad
q=m+d.
}
$$

所以 Goldbach success 等價於：

$$
\boxed{
\exists d,
\quad
m-d\in\mathbb P,
\quad
m+d\in\mathbb P.
}
$$

用 division-domain 語言：

$$
\boxed{
\exists d,
\quad
\mathcal D(m-d)=\varnothing,
\quad
\mathcal D(m+d)=\varnothing.
}
$$

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## 2. Failure 的 operator form

Goldbach failure 等價於：

$$
\boxed{
\forall d,
\quad
\mathcal D(m-d)\neq\varnothing
\;\lor\;
\mathcal D(m+d)\neq\varnothing.
}
$$

也就是：

> 每一個合法 symmetric offset，左右至少一端允許一個根界內 nontrivial division action。

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## 3. 合法 offset domain

對 fixed $m$，定義：

$$
\boxed{
\Omega_m
=
\left\{
d\in\mathbb N:
m-d\ge3,
\quad
m-d\text{ odd}
\right\}.
}
$$

因：

$$
m-d
$$

與：

$$
m+d
$$

具有相同 parity，所以這已經同步限制兩側。

對 $N>4$ 的 Goldbach 主 branch，只需要 odd endpoints。

因此：

$$
\boxed{
\Omega_m
}
$$

是 finite domain。

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## 4. 左右 root-bound 不對稱

對：

$$
d>0,
$$

有：

$$
m-d<m+d.
$$

所以：

$$
\boxed{
\sqrt{m-d}<\sqrt{m+d}.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{additive symmetry}
+
\text{multiplicative root-bound asymmetry}.
}
$$

這是新 relation domain 的核心張力。

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## 5. Side-Indexed Division Relation

令：

$$
\sigma\in\{-1,+1\}.
$$

定義：

$$
\boxed{
R_m(d,\sigma,r)
}
$$

當：

$$
r\in\mathbb P,
$$

$$
r\mid(m+\sigma d),
$$

以及：

$$
r^2\le m+\sigma d.
$$

意義：

> $r$ 是 $m+\sigma d$ 的完整根界內 proper-factor witness。

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## 6. Finite Witness Universe

在 odd endpoint domain中：

$$
m+d\le2m-3.
$$

因此任何 proper-factor witness滿足：

$$
r^2\le2m-3.
$$

所以只需考慮：

$$
\boxed{
r\le\sqrt{2m-3}.
}
$$

定義：

$$
\boxed{
W_m
=
\{-1,+1\}
\times
\mathbb P_{\le\sqrt{2m-3}}.
}
$$

所以 $W_m$ 有限。

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## 7. Failure 的有限 Relation-Cover Form

Goldbach failure可以改寫：

$$
\boxed{
\forall d\in\Omega_m,
\quad
\exists(\sigma,r)\in W_m,
\quad
R_m(d,\sigma,r).
}
$$

也就是：

> 每一個 offset 都被至少一個 bounded division witness覆蓋。

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## 8. Residue-Class Form

若：

$$
r\mid(m-d),
$$

則：

$$
\boxed{
d\equiv m\pmod r.
}
$$

若：

$$
r\mid(m+d),
$$

則：

$$
\boxed{
d\equiv -m\pmod r.
}
$$

因此每個 obstruction prime $r$ 在 offset domain中最多提供兩個 residue families：

$$
\boxed{
d\equiv\pm m\pmod r.
}
$$

再被左右各自的 root bound裁切。

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## 9. Root-Bounded Residue Cells

對 witness：

$$
w=(\sigma,r),
$$

定義：

$$
\boxed{
O_w
=
\left\{
d\in\Omega_m:
R_m(d,\sigma,r)
\right\}.
}
$$

每個 $O_w$ 是：

1. residue class；
2. finite interval；
3. side-dependent square-root admissibility；

三者交集。

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## 10. 與單邊 Complement Cover 的差異

原 RG-SCP 常看：

$$
p\mapsto N-p.
$$

現在改成：

$$
m-d
\quad\leftrightarrow\quad
m+d.
$$

兩端共享同一中心：

$$
m,
$$

且相差：

$$
2d.
$$

因此 obstruction 不再只是某個 complement 被哪個 factor攔住，而是：

> 對每個 symmetric offset，左右兩個不同 root-bound domains 是否至少一側被擊中。

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## 11. 目前真正的 GAP

我們仍未證：

$$
\boxed{
\bigcup_{w\in W_m}O_w
\neq
\Omega_m.
}
$$

也就是仍未證明：

> bounded divisor cells 不可能完整覆蓋全部 offsets。

所以 Goldbach 尚未被證明。

但 target 已明確變成：

$$
\boxed{
\text{排除 complete root-bounded symmetric cover。}
}
$$

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## 12. 研究價值

這一 reformulation 可能有三個優勢：

1. primality 轉成 finite non-incidence；
2. Goldbach failure 轉成 finite cover；
3. additive symmetry 與 multiplicative root bounds 進入同一 relation object。

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## 13. 最短結論

Goldbach failure 可重新讀成：

$$
\boxed{
\forall d\in\Omega_m,
\quad
\text{至少一側存在 root-bounded proper division action}.
}
$$

而 success：

$$
\boxed{
\exists d\in\Omega_m,
\quad
\text{左右兩側都沒有任何 root-bounded proper division action}.
}
$$

這就是 finite closure construction 的直接入口。