# 《哥德巴赫反向結構閉合綱領》06 ## 反例需求—障礙容量不等式 ### Reverse Goldbach Structural Closure Program 06 ### Counterexample Demand–Obstruction Capacity Inequalities **系列名稱：** 哥德巴赫反向結構閉合綱領 **英文名稱：** Reverse Goldbach Structural Closure Program **縮寫：** RG-SCP **篇次：** 06 / 預計 08–10 **作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol） **日期：** 2026-09-28 **版本：** v0.1 **性質：** 結構不等式稿／反例排斥框架／後續分析數論與形式化接口 **狀態：** 非哥德巴赫猜想證明；本文建立 hypothetical Goldbach failure 必須滿足的 exact demand–capacity necessary inequalities，並明確標示尚未閉合的容量上界問題 --- ## 摘要 《哥德巴赫反向結構閉合綱領》前五篇已完成下列重構： $$ \text{Goldbach failure} $$ 先被改寫為： $$ \text{complete proper obstruction system}, $$ 再被投影到： $$ \text{M6 / Wheel hard branches}, $$ 以及： $$ \text{fixed-point section hole}. $$ 第五篇則建立 heuristic discovery layer，但不允許 fitted approximation 直接進入 proof chain。 本文重新回到 exact proof channel，第一次把第三篇提出的： $$ \boxed{ \text{obstruction demand} \le \text{obstruction capacity} } $$ 做成精確可驗的不等式架構。 對偶數 $N$，令 reduced prime-input domain 為： $$ \mathbb P_N^{-} = \left\{ p\in\mathbb P: 2\le p\le\frac N2 \right\}. $$ 給定 prime cutoff： $$ y, $$ 定義 small-factor survivor set： $$ \mathbb H_y(N) = \left\{ p\in\mathbb P_N^{-}: \gcd(N-p,P(y))=1 \right\}, $$ 其中： $$ P(y) = \prod_{\substack{ \ell\le y\\ \ell\in\mathbb P }} \ell. $$ 其 cardinality： $$ \boxed{ D_N(y) = |\mathbb H_y(N)| } $$ 稱為 **obstruction demand**。 直觀上： > 這些 prime inputs 的 complements 已避開所有不超過 $y$ 的小質因子；若 $N$ 是 Goldbach failure，它們每一個都還必須由某個大於 $y$ 的 proper prime factor 接手阻擋。 對： $$ p\in\mathbb H_y(N), $$ 定義 deep obstruction multiplicity： $$ m_y(N,p) = \#\left\{ r\in\mathbb P: y failure 要求每一個 small-factor survivor 都仍為 composite，因此每一個 demand unit 至少必須消耗一個 deep obstruction incidence。 所以： $$ \boxed{ D_N(y)>I_N(y) \Longrightarrow R_G(N)>0. } $$ 這是本文最基本的 demand–capacity exclusion criterion。 本文進一步把： $$ I_N(y) $$ 按 obstruction prime $r$ 分解： $$ I_N(y) = \sum_{\substack{ r\in\mathbb P\\ r>y }} C_r(N;y), $$ 其中： $$ C_r(N;y) = \#\left\{ p\in\mathbb H_y(N): p\le N-r^2, \quad p\equiv N\pmod r \right\}. $$ 這把 total capacity 轉成一族 arithmetic-progression capacities。 若： $$ r\mid N, $$ 由 divisor self-suppression： $$ C_r(N;y)\le1. $$ 而若： $$ r\nmid N, $$ 則： $$ C_r(N;y) $$ 受限於 residue class： $$ p\equiv N\pmod r. $$ 因此可由 prime-in-arithmetic-progression upper bounds 控制。 本文再建立 primorial branch 的精確 demand formula。 若： $$ M_k = \prod_{i=1}^{k}p_i $$ 且： $$ M_k\mid N, $$ 則對： $$ y=p_k, $$ 所有： $$ p>p_k $$ 的 prime inputs 自動通過前 $k$ 個 small-factor screens，所以： $$ \boxed{ D_N(p_k) = \pi\left(\frac N2\right)-k } $$ 只要： $$ p_k\le\frac N2. $$ 因此任何 primorial-divisible hypothetical counterexample 都必須滿足： $$ \boxed{ \pi\left(\frac N2\right)-k \le I_N(p_k). } $$ 再配合任何 rigorous capacity upper bound： $$ I_N(p_k) \le U_N(p_k), $$ 就得到排斥準則： $$ \boxed{ \pi\left(\frac N2\right)-k > U_N(p_k) \Longrightarrow N \text{ 不是 Goldbach counterexample}. } $$ 本文同時指出一個重要限制： > 只把所有 raw arithmetic-progression capacities 相加通常會嚴重重複計算，因此 raw first-moment capacity 很可能過鬆。 所以真正高價值的下一層不是繼續加入更多 residue classes，而是對 canonical least-factor cells 建立 **sieved capacity upper bounds**，或對 total incidence 建立 **overlap-aware compression**。 本文最終把 RG-SCP 的 proof target 壓成： $$ \boxed{ \text{Demand Lower Bound} > \text{Capacity Upper Bound}. } $$ 如果某個無限 branch 上能建立這個嚴格不等式，就能一次排除整族 hypothetical counterexamples，而不需要逐一驗證 Goldbach representations。 --- # 1. 從「覆蓋成本」到真正不等式 第三篇提出： $$ \operatorname{Demand}_N \le \operatorname{Cap}_N $$ 作為潛在 contradiction architecture。 但當時： $$ \operatorname{Demand} $$ 與： $$ \operatorname{Cap} $$ 仍只是概念。 本文首先要求： > demand 與 capacity 都必須由 exact finite sets 定義。 只有在 exact layer 建立之後，才能再引入： - analytic bounds； - sieve bounds； - asymptotics； - heuristic prioritization。 --- # 2. Reduced prime-input domain 對偶數： $$ N\ge4, $$ 定義： $$ \boxed{ \mathbb P_N^{-} = \left\{ p\in\mathbb P: 2\le p\le\frac N2 \right\}. } $$ 若存在： $$ p\in\mathbb P_N^{-} $$ 使： $$ N-p\in\mathbb P, $$ 則： $$ N=p+(N-p) $$ 是一個 Goldbach representation。 所以只需研究 reduced domain。 --- # 3. Unordered representation count 定義： $$ \boxed{ R_G^{-}(N) = \#\left\{ p\in\mathbb P_N^{-}: N-p\in\mathbb P \right\}. } $$ 則： $$ R_G^{-}(N)>0 $$ 當且僅當： $$ R_G(N)>0. $$ 所以： $$ \boxed{ F_G(N)=1 \Longleftrightarrow R_G^{-}(N)=0. } $$ --- # 4. Prime cutoff product 對實數： $$ y\ge2, $$ 定義： $$ \boxed{ P(y) = \prod_{\substack{ \ell\in\mathbb P\\ \ell\le y }} \ell. } $$ 它是 cutoff $y$ 下的 primorial-like product。 若： $$ y=p_k, $$ 則： $$ P(y)=M_k. $$ --- # 5. Small-factor survivor set 定義： $$ \boxed{ \mathbb H_y(N) = \left\{ p\in\mathbb P_N^{-}: \gcd(N-p,P(y))=1 \right\}. } $$ 這表示： > 對這些 prime inputs，complement $N-p$ 已經避開所有不超過 $y$ 的 prime divisors。 --- # 6. Demand 定義： $$ \boxed{ D_N(y) = |\mathbb H_y(N)|. } $$ 稱為： # Obstruction Demand 因為如果： $$ F_G(N)=1, $$ 那麼： $$ p\in\mathbb H_y(N) $$ 的每一個 complement： $$ N-p $$ 都必須仍然是 composite。 所以它們必須由更深的 factor source 接手。 --- # 7. 合法 cutoff 本文主要考慮： $$ 2\le y<\frac N2. $$ 原因是： 若： $$ p\le\frac N2, $$ 則： $$ N-p\ge\frac N2. $$ 因此若： $$ N-p $$ 本身是 prime，且： $$ y<\frac N2, $$ 就必有： $$ N-p>y. $$ 所以 prime complement 不會因自己等於某個 cutoff prime 而被錯誤排除出 survivor set。 --- # 8. Deep obstruction multiplicity 對： $$ p\in\mathbb H_y(N), $$ 定義： $$ \boxed{ m_y(N,p) = \#\left\{ r\in\mathbb P: yy $$ 使： $$ r\le\sqrt{N-p} $$ 且： $$ r\mid(N-p). $$ 因此： $$ m_y(N,p)\ge1. $$ --- # 9. Total deep obstruction incidence 定義： $$ \boxed{ I_N(y) = \sum_{p\in\mathbb H_y(N)} m_y(N,p). } $$ 它計算： > survivor complements 一共擁有多少個可作為 proper compositeness witness 的 deep prime-factor incidences。 這是本文的第一個 exact capacity quantity。 --- # 10. Demand–Incidence Necessary Inequality ## 定理 RG-SCP-06.1 若： $$ F_G(N)=1, $$ 則對任何： $$ 2\le y<\frac N2 $$ 都有： $$ \boxed{ D_N(y) \le I_N(y). } $$ --- ## 證明 假設： $$ F_G(N)=1. $$ 則對所有： $$ p\in\mathbb P_N^{-}, $$ 有： $$ N-p $$ 為 composite。 特別地，對： $$ p\in\mathbb H_y(N), $$ complement 不只 composite，還避開所有： $$ r\le y. $$ 因此其 least prime factor： $$ \operatorname{lpf}(N-p) $$ 滿足： $$ \operatorname{lpf}(N-p)>y $$ 且： $$ \operatorname{lpf}(N-p) \le \sqrt{N-p}. $$ 所以： $$ m_y(N,p)\ge1. $$ 對所有： $$ p\in\mathbb H_y(N) $$ 求和： $$ I_N(y) = \sum_{p\in\mathbb H_y(N)} m_y(N,p) \ge \sum_{p\in\mathbb H_y(N)}1 = D_N(y). $$ 證畢。 --- # 11. 第一個排斥準則 由定理 RG-SCP-06.1 立即得到： ## 推論 RG-SCP-06.1a 若存在： $$ y $$ 使： $$ \boxed{ D_N(y)>I_N(y), } $$ 則： $$ R_G^{-}(N)>0. $$ 所以： $$ \boxed{ N \text{ 不是 Goldbach counterexample}. } $$ 這是一個純 pigeonhole 型排斥準則。 --- # 12. Demand unit 與 capacity slot 這個不等式可以用非常直觀的語言理解。 每個： $$ p\in\mathbb H_y(N) $$ 是一個 **demand unit**。 如果 $N$ 是 failure，它要求至少一個： $$ r>y $$ 來證明： $$ N-p $$ 仍是 composite。 每一個 pair： $$ (p,r) $$ 其中： $$ r\mid(N-p) $$ 是一個 **capacity slot**。 failure 要求： $$ \boxed{ \text{每個 demand unit 至少配到一個 slot}. } $$ 因此： $$ D_N(y)\le I_N(y). $$ --- # 13. Prime complement 是零 slot 如果： $$ N-p $$ 為 prime， 則： $$ m_y(N,p)=0. $$ 所以任何 Goldbach representation 在 demand–capacity picture 中，就是： $$ \boxed{ \text{一個 demand unit 沒有任何 proper-factor slot}. } $$ 因此 Goldbach success 可理解成 obstruction-capacity deficiency。 --- # 14. Deep incidence 按 prime factor 分解 對： $$ r>y, $$ 定義： $$ \boxed{ C_r(N;y) = \#\left\{ p\in\mathbb H_y(N): r\le\sqrt{N-p}, \quad r\mid(N-p) \right\}. } $$ 則交換求和次序得到： $$ \boxed{ I_N(y) = \sum_{\substack{ r\in\mathbb P\\ r>y }} C_r(N;y). } $$ 實際上只有： $$ r\le\sqrt{N-2} $$ 可能貢獻。 --- # 15. Proper-factor geometry 條件： $$ r\le\sqrt{N-p} $$ 等價於： $$ p\le N-r^2. $$ 而： $$ r\mid(N-p) $$ 等價於： $$ p\equiv N\pmod r. $$ 所以： $$ \boxed{ C_r(N;y) = \#\left\{ p\in\mathbb H_y(N): p\le x_r(N), \quad p\equiv N\pmod r \right\}, } $$ 其中： $$ \boxed{ x_r(N) = \min \left( \frac N2, N-r^2 \right). } $$ 若： $$ x_r(N)<2, $$ 則： $$ C_r(N;y)=0. $$ --- # 16. Raw arithmetic-progression capacity 移除 survivor restriction： $$ p\in\mathbb H_y(N) $$ 後，定義 raw capacity： $$ \boxed{ A_r(N) = \#\left\{ p\in\mathbb P: 2\le p\le x_r(N), \quad p\equiv N\pmod r \right\}. } $$ 顯然： $$ \boxed{ C_r(N;y)\le A_r(N). } $$ 因此： $$ \boxed{ I_N(y) \le \sum_{\substack{ r\in\mathbb P\\ r>y }} A_r(N). } $$ --- # 17. Divisor self-suppression 再進場 若： $$ r\mid N, $$ 又： $$ p\equiv N\pmod r, $$ 則： $$ p\equiv0\pmod r. $$ 因 $p$ 為 prime， 只能： $$ p=r. $$ 所以： $$ \boxed{ r\mid N \Longrightarrow A_r(N)\le1. } $$ 而且若： $$ r>x_r(N), $$ 則實際： $$ A_r(N)=0. $$ --- # 18. Non-divisor obstruction prime 若： $$ r\nmid N, $$ 則： $$ \gcd(N,r)=1. $$ 因此 residue： $$ N\bmod r $$ 是 reduced residue class。 此時： $$ A_r(N) $$ 就是 prime-in-arithmetic-progression count： $$ \boxed{ A_r(N) = \pi \left( x_r(N); r, N\bmod r \right), } $$ 採用標準： $$ \pi(x;q,a) $$ 記號。 --- # 19. Exact Capacity Upper Envelope 因此定義： $$ \boxed{ U_r^{\mathrm{AP}}(N) = \begin{cases} 1, & r\mid N,\\ \pi(x_r(N);r,N\bmod r), & r\nmid N. \end{cases} } $$ 並把： $$ x_r(N)<2 $$ 的情況理解成： $$ U_r^{\mathrm{AP}}(N)=0. $$ 則： $$ \boxed{ C_r(N;y) \le U_r^{\mathrm{AP}}(N). } $$ 所以： $$ \boxed{ I_N(y) \le U_N^{\mathrm{AP}}(y) } $$ 其中： $$ \boxed{ U_N^{\mathrm{AP}}(y) = \sum_{\substack{ r\in\mathbb P\\ y U_N^{\mathrm{AP}}(y), } $$ 則： $$ F_G(N)=0. $$ 這已經是一個完全 exact 的有限-$N$ 排斥模板。 問題只剩： > 如何在不逐一計算所有 $C_r$ 的情況下，對 demand 給下界、對 capacity 給上界？ --- # 22. Demand 的 exact complement form 定義 small obstruction sets： $$ S_\ell(N) = \left\{ p\in\mathbb P_N^{-}: \ell\mid(N-p) \right\} $$ 對： $$ \ell\le y. $$ 則： $$ \mathbb H_y(N) = \mathbb P_N^{-} \setminus \bigcup_{\substack{ \ell\le y\\ \ell\in\mathbb P }} S_\ell(N). $$ 所以： $$ \boxed{ D_N(y) = |\mathbb P_N^{-}| - \left| \bigcup_{\ell\le y} S_\ell(N) \right|. } $$ --- # 23. 第一階 Demand Lower Bound 由 union bound： $$ \left| \bigcup_{\ell\le y} S_\ell(N) \right| \le \sum_{\ell\le y} |S_\ell(N)|. $$ 所以： $$ \boxed{ D_N(y) \ge |\mathbb P_N^{-}| - \sum_{\ell\le y} |S_\ell(N)|. } $$ 又： $$ |\mathbb P_N^{-}| = \pi\left(\frac N2\right). $$ 因此： $$ \boxed{ D_N(y) \ge \pi\left(\frac N2\right) - \sum_{\ell\le y} |S_\ell(N)|. } $$ 若右側為負，取： $$ 0 $$ 作 trivial lower bound。 --- # 24. Small-factor class 的 self-suppression 若： $$ \ell\mid N, $$ 則： $$ S_\ell(N) \subseteq \{\ell\}. $$ 所以： $$ |S_\ell(N)|\le1. $$ 若： $$ \ell\nmid N, $$ 則： $$ S_\ell(N) $$ 是一個 prime arithmetic progression slice： $$ p\equiv N\pmod\ell. $$ 因此它也能被： $$ \pi \left( \frac N2; \ell, N\bmod\ell \right) $$ 控制。 --- # 25. Demand Lower Envelope 令： $$ V_\ell(N) $$ 是： $$ |S_\ell(N)| $$ 的任何 rigorous upper bound。 定義： $$ \boxed{ L_N(y) = \max \left\{ 0, \pi\left(\frac N2\right) - \sum_{\substack{ \ell\in\mathbb P\\ \ell\le y }} V_\ell(N) \right\}. } $$ 則： $$ \boxed{ D_N(y)\ge L_N(y). } $$ --- # 26. General Demand–Capacity Exclusion Theorem ## 定理 RG-SCP-06.3 如果對某個： $$ y<\frac N2 $$ 建立 rigorous bounds： $$ D_N(y)\ge L_N(y) $$ 以及： $$ I_N(y)\le U_N(y), $$ 且： $$ \boxed{ L_N(y)>U_N(y), } $$ 則： $$ \boxed{ R_G(N)>0. } $$ --- ## 證明 若反設： $$ F_G(N)=1, $$ 則由 RG-SCP-06.1： $$ D_N(y)\le I_N(y). $$ 因此： $$ L_N(y) \le D_N(y) \le I_N(y) \le U_N(y), $$ 與： $$ L_N(y)>U_N(y) $$ 矛盾。 故： $$ F_G(N)=0. $$ 證畢。 --- # 27. 這就是 RG-SCP 的第一個真正 inequality closure template 前三篇都在描述 hypothetical failure 的必要結構。 本文第一次得到： $$ \boxed{ \text{如果 lower demand 超過 upper capacity， 反例直接被排除。} } $$ 這是一個真正可以插入外部數論定理的接口。 --- # 28. Classical AP bound interface 若： $$ r\nmid N $$ 且： $$ x_r(N)>r, $$ 則可把任何 rigorous prime-in-progression upper bound 插入： $$ \pi(x_r;r,N\bmod r). $$ 例如在標準適用範圍內，可使用經典 Brun–Titchmarsh 型上界： $$ \pi(x;q,a) \le \frac{ 2x }{ \varphi(q) \log(x/q) } $$ 對： $$ \gcd(a,q)=1, \quad qr $$ 時使用。 --- # 29. Small-range fallback 若： $$ x_r(N)\le r, $$ 單一 residue class 在： $$ [1,x_r(N)] $$ 中最多含一個整數代表。 因此可採 trivial bound： $$ A_r(N)\le1. $$ 所以 practical upper envelope 可分段。 本文不把此分段寫成新的數論 theorem，只把它當作 capacity interface。 --- # 30. Raw AP Capacity 的致命缺點 即使： $$ A_r(N) $$ 每一項都有很好的 upper bound， 直接求和： $$ \sum_r A_r(N) $$ 仍可能非常鬆。 原因是同一個： $$ p $$ 可能同時滿足： $$ r_1\mid(N-p), $$ $$ r_2\mid(N-p), $$ $$ r_3\mid(N-p). $$ 所以同一 demand unit 被重複計入多個 raw capacities。 這就是： $$ \boxed{ \text{capacity overlap}. } $$ --- # 31. Incidence multiplicity identity 對： $$ p\in\mathbb H_y(N), $$ 已有： $$ m_y(N,p). $$ 所以： $$ I_N(y) = \sum_{p\in\mathbb H_y(N)} m_y(N,p). $$ 如果一個 composite complement 有很多不同 deep prime divisors， 它會貢獻多個 capacity slots， 但它仍只是一個 demand unit。 因此： $$ I_N(y) $$ 是一個 **capacity with multiplicity**。 --- # 32. Zero-slot count 定義： $$ \boxed{ Z_N(y) = \#\left\{ p\in\mathbb H_y(N): m_y(N,p)=0 \right\}. } $$ 在： $$ y<\frac N2 $$ 時， $$ m_y(N,p)=0 $$ 對 survivor $p$ 等價於： $$ N-p $$ 為 prime。 因此： $$ \boxed{ Z_N(y) = R_G^{-}(N). } $$ --- # 33. Overlap surplus 定義： $$ \boxed{ \Omega_N(y) = \sum_{p\in\mathbb H_y(N)} \max \left( m_y(N,p)-1, 0 \right). } $$ 它測量： > composite survivors 擁有超過一個 deep small-prime witness 時，raw capacity 被多算多少。 --- # 34. Exact Demand–Incidence Identity ## 定理 RG-SCP-06.4 對： $$ 2\le y<\frac N2, $$ 有： $$ \boxed{ R_G^{-}(N) = D_N(y) + \Omega_N(y) - I_N(y). } $$ --- ## 證明 把： $$ \mathbb H_y(N) $$ 分成： ### A. 零 slot $$ m_y(N,p)=0. $$ 其個數為： $$ R_G^{-}(N). $$ ### B. 至少一個 slot $$ m_y(N,p)\ge1. $$ 其個數為： $$ D_N(y)-R_G^{-}(N). $$ 對 B 類，每個元素先貢獻一個 base incidence，再加： $$ m_y(N,p)-1 $$ 個 surplus incidence。 所以： $$ I_N(y) = D_N(y) - R_G^{-}(N) + \Omega_N(y). $$ 移項得： $$ R_G^{-}(N) = D_N(y) + \Omega_N(y) - I_N(y). $$ 證畢。 --- # 35. 這個 identity 比單純 $D\le I$ 更完整 failure： $$ R_G^{-}(N)=0 $$ 等價於： $$ \boxed{ I_N(y) = D_N(y) + \Omega_N(y). } $$ 所以反例不只是要求： $$ I_N(y)\ge D_N(y). $$ 而是要求： > total incidence 必須剛好填滿所有 demand，再加上所有 unavoidable overlap surplus。 --- # 36. Overlap-aware exclusion 由 exact identity： 如果能證： $$ \Omega_N(y)\ge\Omega_N^{\mathrm{LB}}(y), $$ 以及： $$ I_N(y)\le U_N(y), $$ 則： $$ R_G^{-}(N) \ge D_N(y) + \Omega_N^{\mathrm{LB}}(y) - U_N(y). $$ 因此若： $$ \boxed{ D_N(y) + \Omega_N^{\mathrm{LB}}(y) > U_N(y), } $$ 則： $$ R_G^{-}(N)>0. $$ 這比第一階 criterion 更強。 --- # 37. 但 overlap lower bound 很難 注意： $$ \Omega_N(y) $$ 不是一定很大。 例如： $$ N-p $$ 可能是： $$ r^2 $$ 或： $$ rs $$ 其中只有一個 prime factor 不超過平方根。 那麼： $$ m_y(N,p)=1. $$ 所以： $$ \Omega_N(y)=0 $$ 完全可能在很多 complements 上發生。 因此本文不假設 overlap surplus 自動提供 closure。 --- # 38. Canonical least-factor cells 另一條避免 overlap 的方法，是直接使用 canonical least factor。 對： $$ r>y, $$ 定義： $$ \boxed{ B_r(N;y) = \left\{ p\in\mathbb H_y(N): \operatorname{lpf}(N-p)=r \right\}. } $$ 不同： $$ r $$ 的 cells 互斥： $$ B_r(N;y) \cap B_s(N;y) = \varnothing $$ 若： $$ r\neq s. $$ --- # 39. Failure 下的 canonical partition 若： $$ F_G(N)=1, $$ 則所有 survivor complements 都 composite。 所以： $$ \boxed{ \mathbb H_y(N) = \bigsqcup_{\substack{ r\in\mathbb P\\ r>y }} B_r(N;y). } $$ 因此： $$ \boxed{ D_N(y) = \sum_{r>y} |B_r(N;y)|. } $$ 這是沒有 overlap 的真正 capacity decomposition。 --- # 40. Sieved capacity 每個： $$ B_r(N;y) $$ 不只要求： $$ p\equiv N\pmod r, $$ 還要求： $$ N-p $$ 不被任何： $$ sy} U_r^{\mathrm{sieve}}(N;y) < D_N(y), $$ 就直接排除 failure。 --- # 42. 這是 parity problem 會出現的地方 要控制： $$ B_r(N;y) $$ 就必須區分： > 一個 complement 的最小質因子恰好是 $r$。 這比： $$ r\mid(N-p) $$ 精細很多。 它要求排除所有更小 prime factors。 這正是 sieve parity / almost-prime distinction 等困難容易進場的位置。 所以本文不宣稱： $$ U_r^{\mathrm{sieve}} $$ 現在已經足夠強。 --- # 43. Demand side 也可以做 sieve refinement 同樣， $$ D_N(y) $$ 本身就是一個 sifted prime-input count： $$ p\in\mathbb P, \quad \gcd(N-p,P(y))=1. $$ 所以可尋找： $$ \boxed{ L_N^{\mathrm{sieve}}(y) \le D_N(y) } $$ 的 rigorous lower bound。 真正 closure 需要： $$ \boxed{ L_N^{\mathrm{sieve}}(y) > U_N^{\mathrm{sieve}}(y). } $$ --- # 44. Demand / Capacity 的非對稱性 值得注意： - demand 是 **留下多少 prime inputs 尚未被小因子處理**； - capacity 是 **剩餘大因子能提供多少 obstruction slots**。 兩者不是同一個 sieve 問題。 這個非對稱性可能是 RG-SCP 的價值之一。 因為： $$ \boxed{ \text{survivor lower bound} } $$ 與： $$ \boxed{ \text{obstruction upper bound} } $$ 可以使用不同數學工具。 --- # 45. $6\mid N$ clean branch 第四篇證明： 對： $$ N\ge12, \quad 6\mid N, $$ 標準 Goldbach failure 等價於： $$ \Delta_6(N)>0. $$ 在 demand language 中， 對所有： $$ p>3, $$ 有： $$ \gcd(N-p,6)=1. $$ 所以： $$ \boxed{ \mathbb H_3(N) = \left\{ p\in\mathbb P: 5\le p\le\frac N2 \right\}. } $$ 因此： $$ \boxed{ D_N(3) = \pi\left(\frac N2\right)-2. } $$ 只要： $$ N/2\ge5. $$ --- # 46. M6 Demand–Capacity Inequality 所以任何： $$ 6\mid N, \quad N\ge12 $$ 的 hypothetical failure 必須滿足： $$ \boxed{ \pi\left(\frac N2\right)-2 \le I_N(3). } $$ 這是最乾淨的第一層 demand–capacity inequality。 它說： > 幾乎所有不超過 $N/2$ 的質數，都必須在 complement 端消耗至少一個 $r\ge5$ 的 factor incidence。 --- # 47. Primorial branch 令： $$ M_k = \prod_{i=1}^{k}p_i. $$ 假設： $$ M_k\mid N. $$ 取： $$ y=p_k. $$ 對任意： $$ p>p_k, $$ 因： $$ p $$ 不被前 $k$ 個 primes 整除， 且： $$ N\equiv0\pmod{p_i}, $$ 所以： $$ N-p \equiv -p \not\equiv0 \pmod{p_i} $$ 對所有： $$ i\le k. $$ 因此： $$ \gcd(N-p,M_k)=1. $$ --- # 48. Primorial Demand Formula ## 定理 RG-SCP-06.5 若： $$ M_k\mid N $$ 且： $$ p_k\le\frac N2, $$ 則： $$ \boxed{ \mathbb H_{p_k}(N) = \left\{ p\in\mathbb P: p_kp_k $$ 為 prime，則： $$ p $$ 不等於任何： $$ p_i $$ 且： $$ p_i\nmid p $$ 對： $$ i\le k. $$ 因： $$ p_i\mid N, $$ 所以： $$ N-p \equiv-p \not\equiv0 \pmod{p_i}. $$ 故： $$ \gcd(N-p,M_k)=1. $$ 反之， 若： $$ p=p_i $$ 對某： $$ i\le k, $$ 則： $$ p_i\mid N-p_i, $$ 所以不在 survivor set。 因此 survivor set 恰為： $$ p>p_k $$ 的 prime inputs。 證畢。 --- # 49. Primorial Demand–Capacity Necessary Inequality 由 RG-SCP-06.1： 若： $$ M_k\mid N $$ 且： $$ F_G(N)=1, $$ 則： $$ \boxed{ \pi\left(\frac N2\right)-k \le I_N(p_k). } $$ 這把 hypothetical failure 的 demand 完全顯式化。 --- # 50. Primorial raw capacity 又： $$ I_N(p_k) \le \sum_{\substack{ r\in\mathbb P\\ r>p_k }} A_r(N). $$ 所以 failure 必須滿足： $$ \boxed{ \pi\left(\frac N2\right)-k \le \sum_{\substack{ r\in\mathbb P\\ p_kp_k $$ 但： $$ r\mid N, $$ 則： $$ A_r(N)\le1. $$ 所以 $N$ 若除了： $$ M_k $$ 還含更多 prime divisors， 會進一步壓低 deep raw capacity。 因此： $$ \boxed{ \text{more prime divisors of }N \to \text{more suppressed capacity columns}. } $$ 這把第三篇的 self-suppression 正式放入 capacity inequality。 --- # 52. Primorial exclusion template 如果對某個： $$ k $$ 與所有： $$ N $$ 滿足： $$ M_k\mid N $$ 能證： $$ \boxed{ \sum_{r>p_k} U_r(N) < \pi\left(\frac N2\right)-k, } $$ 其中： $$ U_r(N) $$ 是 rigorous upper bounds， 那麼該整個 branch 都不可能包含 Goldbach counterexample。 這會是： $$ \boxed{ \text{family-level exclusion theorem}. } $$ --- # 53. 這比逐個 $N$ 驗證更重要 有限計算可以證： $$ N $$ 不是反例。 family inequality 則可能一次證： $$ \forall N\in\mathcal F. $$ RG-SCP 的真正目標是後者。 --- # 54. Capacity density heuristic 若暫時忽略 self-suppression 與 survivor restriction， 對： $$ r\nmid N $$ 的 raw AP capacity，粗略密度尺度像： $$ \frac{ x_r(N) }{ (r-1)\log x_r(N) }. $$ 因此總 raw capacity 大致涉及： $$ \sum_{r>y} \frac1{r-1}. $$ 這類和下降很慢。 所以單純 first-order raw AP capacity 可能遠大於 demand。 --- # 55. Raw-capacity no-go warning 因此本文預期： $$ \boxed{ \text{只使用 raw AP union bound， 大概率不足以完成 global closure}. } $$ 這是一個方法論警告，不是已證 impossibility theorem。 原因是 raw capacity： - 不扣除 smaller-factor avoidance； - 不扣除 overlap； - 不利用 least-factor uniqueness； - 不利用 cross-$r$ consistency； - 不利用 fixed-point section geometry。 --- # 56. Capacity Compression 的真正目標 所以後續需要把： $$ A_r(N) $$ 壓成： $$ B_r(N;y) $$ 或其他更小的 canonical capacity。 理想形式： $$ \boxed{ \sum_r U_r^{\mathrm{canonical}}(N;y) < D_N(y). } $$ 這才有機會產生 contradiction。 --- # 57. Cross-$r$ compatibility raw capacity 把不同： $$ r $$ 當成獨立 columns。 但它們其實由同一個： $$ N $$ 產生。 所以 residue classes： $$ p\equiv N\pmod r $$ 不是任意選的。 所有 columns 共用同一個： $$ N. $$ 這可能產生 cross-$r$ compatibility constraints。 --- # 58. Chinese-remainder coupling 若某： $$ p $$ 同時被： $$ r $$ 與： $$ s $$ 阻擋， 則： $$ p\equiv N\pmod r $$ 以及： $$ p\equiv N\pmod s. $$ 所以： $$ p\equiv N\pmod{rs} $$ 對不同 primes： $$ r,s. $$ 因此 overlap 其實被更深 modulus： $$ rs $$ 控制。 這提供一個 exact overlap structure。 --- # 59. Pair-overlap set 定義： $$ A_{r,s}(N) = \left\{ p\in\mathbb P_N^{-}: r\mid(N-p), \quad s\mid(N-p) \right\}. $$ 若： $$ r\neq s, $$ 則： $$ rs\mid(N-p). $$ 所以： $$ p\equiv N\pmod{rs}. $$ 因此： $$ A_{r,s}(N) $$ 可由 modulus： $$ rs $$ 的 AP count 控制。 --- # 60. Higher-order overlap hierarchy 同理， 若： $$ r_1,\ldots,r_j $$ 都整除： $$ N-p, $$ 則： $$ p\equiv N \pmod{ r_1\cdots r_j }. $$ 所以 capacity overlap 具有自然 inclusion–exclusion hierarchy： $$ \text{single columns} \to \text{pair intersections} \to \text{triple intersections} \to \cdots. $$ --- # 61. Bonferroni capacity refinement 若用 raw cover： $$ \bigcup_r A_r(N), $$ 第一階上界： $$ \left| \bigcup_r A_r \right| \le \sum_r|A_r|. $$ 更高階可使用 Bonferroni truncation 改善上界。 但高階 intersections 會導致： $$ r_1r_2\cdots r_j $$ 快速增長。 因此這條路線可能很快遇到 combinatorial explosion。 --- # 62. Canonical cells 比 inclusion–exclusion 更乾淨 least-factor cells： $$ B_r(N;y) $$ 天生互斥。 所以如果能直接 upper-bound： $$ |B_r|, $$ 就不需要處理無限 overlap hierarchy。 因此： $$ \boxed{ \text{canonical least-factor capacity} } $$ 是本文更偏好的後續方向。 --- # 63. Capacity as matching problem 也可以建立二分圖： 左側： $$ \mathbb H_y(N). $$ 右側： $$ \mathcal R_y(N) = \left\{ r\in\mathbb P: y demand–capacity inequality 不需要在 obstruction theory 與 fixed-point theory 之間二選一；兩者在 canonical capacity 層其實是同一個結構。 --- # 71. Source audit 再次必要 但這也意味： $$ \operatorname{FCap}_r $$ 與： $$ |B_r| $$ 不能被當成兩個獨立 sources。 它們只是： $$ \operatorname{lpf} $$ structure 的兩種表示。 真正新的 source 必須提供： - cross-fiber constraint； - nonlocal invariant； - global capacity upper bound； - transport theorem； - spectral coupling。 --- # 72. Exact capacity gap 定義： $$ \boxed{ G_N(y) = D_N(y)-I_N(y). } $$ 若： $$ G_N(y)>0, $$ 則 Goldbach success。 若： $$ F_G(N)=1, $$ 則： $$ G_N(y)\le0. $$ 但： $$ G_N(y)\le0 $$ 不代表 failure。 因為 overlap surplus 可能讓： $$ I_N(y) $$ 很大。 --- # 73. Overlap-corrected gap 由 exact identity： $$ R_G^{-}(N) = D_N(y) + \Omega_N(y) - I_N(y), $$ 定義： $$ \boxed{ G_N^{\mathrm{corr}}(y) = D_N(y) + \Omega_N(y) - I_N(y). } $$ 則： $$ \boxed{ G_N^{\mathrm{corr}}(y) = R_G^{-}(N). } $$ 這是 exact，但計算上幾乎等價於已知答案。 所以它主要是理論校準器。 --- # 74. Proof value 來自 bounds，不是 identity 本身 如果我們直接算： $$ D, \Omega,I, $$ 就已經能知道： $$ R_G^{-}. $$ 這不比直接找 Goldbach pairs 更有優勢。 真正 proof value 來自： $$ D\ge L, $$ $$ \Omega\ge O, $$ $$ I\le U $$ 的可證 bounds。 然後： $$ L+O-U>0. $$ --- # 75. Three-bound closure template 因此最一般的 closure form 是： $$ \boxed{ L_N(y) + O_N(y) > U_N(y) } $$ 其中： $$ L_N(y)\le D_N(y), $$ $$ O_N(y)\le\Omega_N(y), $$ $$ I_N(y)\le U_N(y). $$ 則： $$ R_G^{-}(N)>0. $$ 這是本文目前最完整的 inequality architecture。 --- # 76. Branch-level version 若對某個 family： $$ \mathcal F $$ 能證： $$ L_N(y_N) + O_N(y_N) > U_N(y_N) $$ 對所有： $$ N\in\mathcal F, $$ 則： $$ \boxed{ \mathcal F \cap \mathcal C_G = \varnothing. } $$ 這就是 RG-SCP 所追求的 branch elimination。 --- # 77. Dynamic cutoff 不必固定： $$ y. $$ 可以令： $$ y=y(N). $$ 例如： $$ y=N^\theta, $$ 或： $$ y=(\log N)^A, $$ 或： $$ y=p_k $$ 其中 $k$ 隨 $N$ 增長。 這讓 demand 與 capacity 可以在最有利的尺度比較。 --- # 78. Cutoff optimization 定義： $$ \mathcal G_N(y) = L_N(y)-U_N(y). $$ 可研究： $$ \max_y \mathcal G_N(y). $$ 如果存在： $$ y $$ 使： $$ \mathcal G_N(y)>0, $$ 就完成 exclusion。 第五篇 heuristic 可以預測哪個： $$ y $$ 最值得先攻，但 theorem 必須對選定 cutoff 嚴格成立。 --- # 79. Cutoff trade-off 增加： $$ y $$ 會： ### 降低 demand 因更多 complements 被 small factors 先 cover。 但同時也會： ### 降低 deep capacity 因可用： $$ r>y $$ 變少。 所以： $$ y $$ 是一個天然 trade-off parameter。 最佳 cutoff 可能位於中間尺度，而不是： $$ y=3 $$ 或： $$ y\approx\sqrt N. $$ --- # 80. Capacity phase diagram 可把： $$ y $$ 作橫軸， 畫： $$ D_N(y), $$ $$ I_N(y), $$ $$ L_N(y), $$ $$ U_N(y). $$ 若某處： $$ L_N(y)>U_N(y), $$ 就是 rigorous exclusion zone。 即使沒有 crossing， 曲線形狀也能告訴我們缺哪一側 bound。 --- # 81. 不能用 heuristic crossing 冒充 proof 如果 fitted curves： $$ \widehat L_N(y) $$ 與： $$ \widehat U_N(y) $$ 交叉， 只能產生 candidate cutoff。 真正 conclusion 必須來自 rigorous： $$ L_N(y)>U_N(y). $$ 這直接繼承第五篇 proof-promotion gate。 --- # 82. Minimal counterexample version 假設： $$ N_* = \min\mathcal C_G. $$ 則對： $$ N_* $$ 所有 demand–capacity inequalities 必須成立。 如果再利用： $$ M 最小反例下方所有成功態，也許可以限制大反例的 capacity geometry。 這是不同於 failure-preserving descent 的另一條 route。 --- # 84. Success-background constraint 可以搜尋： $$ \boxed{ \forall M0 } $$ 是否推出： $$ I_{N_*}(y) $$ 不能太大， 或： $$ D_{N_*}(y) $$ 不能太小。 若能做到，就把 minimality 轉成 inequality source。 這是下一階段值得研究的方向。 --- # 85. Capacity certificate 對固定 $N$ 與 $y$， 一個 finite capacity certificate 可以包含： ```text N y survivor prime-input set H_y(N) for each deep prime r: admissible p-range x_r(N) residue class N mod r exact or certified upper capacity suppressed divisors r | N total capacity upper bound demand lower bound comparison ``` 如果： $$ L_N(y)>U_N(y), $$ certificate verifier 只需驗證 bounds 與不等式。 --- # 86. Family certificate 更高階的 family certificate應包含 symbolic： $$ L(N) $$ 與： $$ U(N) $$ 並證： $$ L(N)>U(N) $$ 對： $$ N\in\mathcal F. $$ 這才是最有價值的 proof artifact。 --- # 87. Formalization targets 本篇非常適合 Lean / Coq 先形式化 elementary core。 建議： ### L1 定義： $$ \mathbb H_y(N), D_N(y), m_y(N,p), I_N(y). $$ ### L2 證： $$ F_G(N)=1 \Rightarrow D_N(y)\le I_N(y). $$ ### L3 證 incidence decomposition： $$ I_N(y)=\sum_r C_r(N;y). $$ ### L4 證： $$ C_r(N;y)\le A_r(N). $$ ### L5 證 self-suppression： $$ r\mid N \Rightarrow A_r(N)\le1. $$ ### L6 證 exact identity： $$ R_G^{-} = D+\Omega-I. $$ ### L7 證 primorial demand formula： $$ D_N(p_k) = \pi(N/2)-k. $$ --- # 88. 外部解析定理應隔離 Brun–Titchmarsh、PNT explicit bounds、sieve estimates 等不應直接混進 elementary core。 建議 formalization 分層： ```text Core/ Demand.lean Capacity.lean Incidence.lean PrimorialDemand.lean Interfaces/ PrimeAPUpperBound.lean PrimeCountLowerBound.lean SieveCapacityUpperBound.lean External/ BrunTitchmarshInterface.lean ExplicitPNTInterface.lean ``` 這樣可清楚知道哪一條 conclusion 消耗了哪些外部 theorem。 --- # 89. Source provenance 本篇的主要 source graph： ```text Goldbach failure ↓ small-factor survivor demand ↓ deep proper-factor necessity ↓ factor-incidence capacity ↓ arithmetic progression columns ↓ capacity upper bounds ``` 以及： ```text M_k | N ↓ small-prime self-suppression ↓ explicit survivor demand ↓ primorial demand-capacity inequality ``` --- # 90. 本篇沒有突破 parity barrier 必須明確： 本文建立： $$ D\le I $$ 與： $$ D\le U $$ 並不等於已突破 sieve parity problem。 相反， 要把 raw AP capacity 壓到足夠低， 很可能正會遇到 parity-sensitive difficulty。 因此本文定位是： $$ \boxed{ \text{把 parity-type difficulty 放到一個明確 capacity term 中}. } $$ --- # 91. 這仍然是進展 即使尚未閉合， 我們現在已經能清楚問： > 缺的是 demand lower bound 不夠強，還是 capacity upper bound 太鬆？ 而不是模糊地說： > Goldbach 很難。 這種 failure localization 本身就是研究價值。 --- # 92. Capacity Bottleneck Classification 後續若 inequality 無法 crossing，可分類： ### B1 Demand collapse： $$ L_N(y) $$ 太小。 ### B2 Raw capacity inflation： $$ U_N(y) $$ 太大。 ### B3 Overlap inflation。 ### B4 Self-suppression 未充分利用。 ### B5 least-factor sieve 太弱。 ### B6 cutoff 選錯。 ### B7 source class 本身不足。 每一類 bottleneck 對應不同下一步。 --- # 93. AI 搜尋任務 AI 可以被要求： 1. 搜尋最有效 cutoff $y(N)$； 2. 搜尋最強 matched family； 3. 搜尋 capacity overlap pattern； 4. 猜 sieved capacity inequality； 5. 尋找 primorial branch 的 extremal $N$； 6. 搜尋 local demand subsets $S$； 7. 尋找 cross-$r$ invariant； 8. 將 empirical relation翻成 exact statement。 但不能直接把 numerical crossing 當 theorem。 --- # 94. Candidate theorem queue 高價值候選形式包括： $$ D_N(y) \ge L(N,y), $$ $$ I_N(y) \le U(N,y), $$ $$ \Omega_N(y) \ge O(N,y), $$ $$ |B_r(N;y)| \le U_r(N,y), $$ 以及： $$ \sum_r U_r(N,y) < L(N,y). $$ 這些都是可以真正推動 closure 的 theorem shapes。 --- # 95. 第一個最值得攻的 branch 本文建議優先： $$ \boxed{ M_k\mid N } $$ 的 primorial-divisible family。 原因： 1. demand 有 exact formula； 2. small-prime capacities大量 self-suppressed； 3. $6\mid N$ 自動消除 boundary-$3$； 4. fixed-point section hole與 standard failure 等價； 5. heuristic pressure也最集中。 這是目前 RG-SCP 結構最乾淨的子域。 --- # 96. Primorial family target theorem 最理想的第一個 branch theorem 可以是： > 存在某個 $k_0$，使對所有 $k\ge k_0$ 與所有充分大的 $N$，若 $M_k\mid N$，則 $N$ 有 Goldbach representation。 在 RG-SCP language 中，只需證： $$ \boxed{ L_N(p_k)>U_N(p_k). } $$ 本文目前沒有此證明。 它是清楚的 target。 --- # 97. 更弱但有價值的版本 可以先證某一固定： $$ k. $$ 例如： $$ M_k\mid N $$ 的一整族沒有 counterexample。 即使只排除一個 infinite branch， 也是真正的 theorem-level progress。 --- # 98. 再弱一級：有限尺度 theorem 若只能證： $$ N\le B $$ 的 branch exclusion， 仍可作 machine-checked finite theorem。 但必須標： $$ \text{finite}. $$ 不能升格成： $$ \forall N. $$ --- # 99. 與第五篇的分工 第五篇： $$ \text{找哪個 }y,\mathcal F,S \text{ 值得攻}. $$ 第六篇： $$ \text{要求真正證 } L>U. $$ 所以兩篇之間的接口是： $$ \boxed{ \text{heuristic target selection} \to \text{rigorous inequality closure}. } $$ --- # 100. 本篇核心 exact results 本文目前真正建立的 exact framework 包括： ## T1 $$ F_G(N)=1 \Rightarrow D_N(y)\le I_N(y). $$ ## T2 $$ I_N(y) = \sum_{r>y} C_r(N;y). $$ ## T3 $$ C_r(N;y) \le A_r(N). $$ ## T4 $$ r\mid N \Rightarrow A_r(N)\le1. $$ ## T5 $$ R_G^{-}(N) = D_N(y) + \Omega_N(y) - I_N(y). $$ ## T6 若： $$ M_k\mid N, $$ 則： $$ D_N(p_k) = \pi(N/2)-k. $$ ## T7 若： $$ L_N(y)>U_N(y), $$ 且： $$ D_N(y)\ge L_N(y), \quad I_N(y)\le U_N(y), $$ 則： $$ R_G(N)>0. $$ --- # 101. 本篇沒有證明的東西 本文尚未證： $$ L_N(y)>U_N(y) $$ 對所有偶數成立。 也尚未證： $$ L_N^{\mathrm{sieve}} > U_N^{\mathrm{sieve}} $$ 在任何完整無限 branch 上成立。 所以： $$ \boxed{ \text{Demand–Capacity Framework} \neq \text{Goldbach proof}. } $$ --- # 102. 下一篇接口 第六篇已把 proof target 壓成上下界。 下一篇最自然的是： # RG-SCP 07 ## 最小反例、傳輸算子與需求容量閉合 ### Minimal Counterexamples, Transport Operators, and Demand–Capacity Closure 核心問題： > 能不能把最小反例的「下方全部成功」這件事，轉成對 $D_N(y)$、$I_N(y)$ 或 canonical capacities 的額外限制？ 也就是把第四篇沒有成功的 failure-preserving descent，改寫成： $$ \boxed{ \text{minimality} \to \text{capacity restriction}. } $$ 這可能比直接尋找： $$ N_* \to N'I_N(y) \Longrightarrow \text{Goldbach success}. } $$ 再將： $$ I_N(y) $$ 分解到 obstruction primes： $$ I_N(y) = \sum_{r>y} C_r(N;y), $$ 就把 proof burden轉成： $$ \text{prime counts in constrained residue classes}. $$ 在 primorial branch： $$ M_k\mid N, $$ demand 更完全顯式化： $$ \boxed{ D_N(p_k) = \pi\left(\frac N2\right)-k. } $$ 所以 hypothetical failure 必須滿足： $$ \boxed{ \pi\left(\frac N2\right)-k \le I_N(p_k). } $$ 這就是本文所要的第一個真正「反例合法性不等式」。 接下來只剩一個最硬、也最清楚的問題： $$ \boxed{ \text{能不能證明 demand 的下界， 終究大於 admissible obstruction capacity 的上界？} } $$ 如果答案在某一 branch 上是肯定的， 那個 branch 就被永久從 Goldbach counterexample universe 中刪除。 --- # 104. 最短版本 如果只保留一句話： > **Goldbach 反例若存在，每一個避開小質因子的 prime complement 都仍必須消耗至少一個更深的 proper-factor obstruction slot；因此反例必須滿足「需求不超過容量」，而任何能證明需求下界大於容量上界的尺度，都立即排除該反例。** 核心式： $$ \boxed{ F_G(N)=1 \Longrightarrow D_N(y)\le I_N(y). } $$ 排斥式： $$ \boxed{ L_N(y)>U_N(y) \Longrightarrow R_G(N)>0. } $$ primorial branch： $$ \boxed{ M_k\mid N \Longrightarrow D_N(p_k) = \pi\left(\frac N2\right)-k. } $$ 所以真正下一步不是再多算幾個 Goldbach pair，而是： $$ \boxed{ \text{把 capacity 壓到比這個 demand 更低。} } $$ --- # 附錄 A：Canonical Definitions $$ \mathbb P_N^{-} = \left\{ p\in\mathbb P: 2\le p\le N/2 \right\}. $$ $$ P(y) = \prod_{\ell\le y,\ \ell\in\mathbb P}\ell. $$ $$ \mathbb H_y(N) = \left\{ p\in\mathbb P_N^{-}: \gcd(N-p,P(y))=1 \right\}. $$ $$ D_N(y) = |\mathbb H_y(N)|. $$ $$ m_y(N,p) = \#\left\{ r\in\mathbb P: y