# DNCP / DNGP Prime Survival Depth Prototype v0.1
## 質數在 Grid × Depth × Relation 上「用看的」到底會看到什麼？

**日期：** 2026-09-30  
**有限實驗域：** \(2\le n\le100,000\)  
**Canonical model：** DNGP = Grid + Depth + Relation + Dynamic Structure + Projection + Execution  
**核心原則：** Structure is canonical; visualization is a projection.

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# 1. 這次不是把質數畫成普通散點

這個 prototype 把每個整數 \(n\) 視為一個 arithmetic `ProgramUnit`。

每個 trial prime：

\[
2,3,5,7,11,\ldots
\]

註冊成 semantic depth source。

對 composite \(n\)，
它在：

\[
p=\operatorname{spf}(n)
\]

第一次被 exact elimination relation 擊中。

定義：

\[
D_{\rm death}(n)
=
\pi(\operatorname{spf}(n)).
\]

若 \(n\) 是 prime，
則它沒有 composite death depth，
而一路存活到 trial closure：

\[
D_{\rm close}(n)
=
\pi(\lfloor\sqrt n\rfloor).
\]

因此畫面不是：

```text
prime = white
composite = black
```

而是：

```text
composite = dies at depth d
prime     = survives through closure
```

---

# 2. 最先看到的現象：巨大的 Early-Death Cascades

在 \(N=100,000\)：

最小質因數為 2 的 composite：

\[
49,999
\]

個。

最小質因數為 3：

\[
16,666.
\]

5：

\[
6,666.
\]

7：

\[
3,808.
\]

所以從 depth view 看，
一開始不是均勻消失，
而是：

\[
\boxed{
\text{巨量 candidate 在最前幾層被成批清空。}
}
\]

這會形成非常明顯的：

\[
\boxed{
\text{Early-Death Walls}.
}
\]

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# 3. Survivor Census

標準 sieve semantics：
在 depth prime \(p\) 只從 \(p^2\) 開始消除。

因此小 prime 本身保持 alive。

實測：

| Depth prime | Survivors | Excess candidates |
|---:|---:|---:|
| 2 | 50,000 | 40,408 |
| 3 | 33,334 | 23,742 |
| 5 | 26,668 | 17,076 |
| 7 | 22,860 | 13,268 |
| 13 | 19,186 | 9,594 |
| 31 | 15,315 | 5,723 |
| 97 | 11,855 | 2,263 |
| 151 | 10,617 | 1,025 |
| 211 | 9,946 | 354 |
| 313 | **9,592** | **0** |

而：

\[
\pi(100,000)=9,592.
\]

所以：

\[
\boxed{
p=313
}
\]

正好把有限域 candidate 完全閉合。

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# 4. 視覺上最漂亮的東西：Primorial Corridors

如果只保留：

\[
\gcd(n,W)=1
\]

的 cells，
會看到 exact periodic stencil。

本輪：

| Wheel \(W\) | Candidates | Prime precision |
|---:|---:|---:|
| 2 | 49,999 | 19.18% |
| 6 | 33,332 | 28.77% |
| 30 | 26,665 | 35.96% |
| 210 | 22,856 | 41.95% |
| 2,310 | 20,778 | 46.14% |
| 30,030 | 19,180 | **49.98%** |

所以畫面會很直觀地看到：

> 隨 depth 增加，不是「質數越來越規則」；
> 而是 admissible corridor 被 progressively carved out。

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# 5. mod 210 會變成一張真正的 Stencil

\[
210=2\cdot3\cdot5\cdot7.
\]

把 x 軸設成：

\[
n\bmod210
\]

y 軸設成：

\[
\lfloor n/210\rfloor,
\]

會看到：

\[
\boxed{
\text{完全垂直重複的 admissible lanes}.
}
\]

那些：

\[
\gcd(r,210)>1
\]

的 residues 幾乎成為永久暗柱。

而：

\[
\gcd(r,210)=1
\]

的 residues 成為 candidate corridors。

Prime 只會落在這些 corridor 裡
（2,3,5,7 本身為小例外）。

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# 6. Prime 看起來像「Maximal Survivors」

這是我認為 DNCP / DNGP 最值得看的視覺語義。

普通數軸：

```text
2,3,5,7,11...
```

只是散點。

Depth-native view：

```text
composite:
  某一層被 relation 消除

prime:
  一直沒有 elimination relation
  直到 closure
```

所以 prime 變成：

\[
\boxed{
\text{Maximal Survivors under registered factor relations}.
}
\]

這不是 primality 的新定義。

它是 primality 在：

\[
\boxed{
\text{factor-relation depth projection}
}
\]

中的自然視覺形狀。

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# 7. Twin Prime 變成固定 Corridor Pair Motif

對：

\[
p>5,
\]

若：

\[
p,p+2
\]

都是 prime，
在 mod 30 上 twin start residue 只能是：

\[
\boxed{
11,\;17,\;29
}
\]

也就是：

\[
(11,13),
(17,19),
(29,1)
\pmod{30}.
\]

所以在 corridor projection 中，
twin prime 不是任意兩個亮點。

而是：

\[
\boxed{
\text{固定 admissible lane-pair motif 上偶爾雙重存活}.
}
\]

本域中共找到：

\[
1,224
\]

組 twin prime pairs。

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# 8. Prime Gap 不再只有 Length

這是本輪我覺得最有意思的結果之一。

普通 prime gap：

\[
g=p_{i+1}-p_i.
\]

只是一個 scalar。

在 depth-native view，
可以為 gap interior 定義：

\[
F_g(d)
=
\#\{
n\in(p_i,p_{i+1}):
D_{\rm death}(n)=d
\}.
\]

它是一整個：

\[
\boxed{
\text{Death-Depth Fingerprint}.
}
\]

---

# 9. 同樣 Gap 58，內部幾何不一樣

在 \(N=100,000\) 內，
gap：

\[
58
\]

出現 4 次：

```text
44293 → 44351
58831 → 58889
79699 → 79757
85933 → 85991
```

完整 death-depth signature hash 分別：

```text
4f1078570eae
90210a50f6d3
2ca5b644a821
dfb02c5f4192
```

四個都不同。

因此：

\[
\boxed{
\text{Same Gap Length}
\neq
\text{Same Internal Elimination Geometry}.
}
\]

這不是新 prime theorem，
但 DNCP view 會把普通 gap scalar 看不到的結構直接顯出來。

---

# 10. Gap 54、52、50 也一樣

例如 gap 54：

多個 instances 有不同 depth fingerprints。

gap 52：

也是多種。

所以可以把 prime gap 從：

\[
g
\]

升成：

\[
\boxed{
(g,F_g).
}
\]

也就是：

> 長度 + 內部 factor-death geometry。

這可能是後續最值得研究的 DNCP prime observable。

---

# 11. 最大 Gap 72 的 Interior

本域最大 gap：

\[
31397\rightarrow31469
\]

長度：

\[
72.
\]

其中 interior composite：

- SPF 2：36
- SPF 3：12
- SPF 5：5
- SPF 7：3
- SPF 11：1
- SPF 13：2
- deeper SPF：12

平均 death depth：

\[
\approx4.80.
\]

但最大 death depth：

\[
38.
\]

也就是：

> 大部分 gap 很早死亡，
> 但仍有少數 composite 撐到相當深才被證明不是 prime。

這在 depth view 中會像：

\[
\boxed{
\text{黑色峽谷裡偶爾伸出很高的假 survivor 尖塔}.
}
\]

---

# 12. 這些現象要分三類

## A. Exact Arithmetic Structure

例如：

- SPF death depth；
- primorial periodicity；
- residue corridors；
- finite closure。

這些不是畫法產生的幻覺。

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## B. Projection-Sensitive Structure

例如：

- cell 在哪一欄；
- grid 長寬；
- 顏色；
- spiral / diagonal；
- staircase direction。

這些是：

\[
\pi_{\rm grid}
\]

的選擇。

---

## C. Candidate Research Observables

例如：

- gap death-depth fingerprint；
- fingerprint similarity；
- survivor topology residual；
- deep false-survivor clusters。

這些值得研究，
但目前只應叫：

\[
\boxed{
\text{finite-domain observations}.
}
\]

---

# 13. DNGP Canonical Boundary

依目前統一後的 DNGP 原則：

\[
\boxed{
\text{Structure is canonical; text/grid/image is a projection}.
}
\]

所以本包另外提供：

```text
canonical_program_sample.json
```

其中：

- Integer 是 `ProgramUnit`；
- prime trial depth 是 semantic source unit；
- elimination 是 first-class typed `Relation`；
- Grid / Depth / Gap map 都只是 projection；
- `semantic_position=false`。

因此不會把：

> 畫面上排在哪裡

誤當成：

> 整數本體在數學上真的位於那裡。

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# 14. 第一眼的結論

如果問：

> 「質數在 DNCP 上到底會不會有很奇怪的規律？」

答案現在可以更精確：

\[
\boxed{
\text{有，而且最強的規律首先出現在 composite elimination geometry。}
}
\]

不是 prime 自己突然排成神祕圖騰。

而是：

1. 小 prime 產生 huge early-death walls；
2. primorial source 產生 exact periodic corridors；
3. prime 成為 maximal survivors；
4. twin prime 成為固定 lane-pair motif；
5. prime gap 具有隱藏的 death-depth fingerprint。

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# 15. 真正值得往下挖的東西

下一步我最推薦：

\[
\boxed{
\text{Prime Survival Residual Topology}.
}
\]

也就是把已知：

- wheel stencil；
- SPF structure；
- \(1/\log n\) baseline；
- source-depth effect；

全部扣掉。

剩下：

\[
\boxed{
\text{deep-survivor / gap-fingerprint residual}
}
\]

再看還有沒有穩定 topology。

那時候才比較接近：

> DNCP 是否真的讓我們「看到」傳統一維 prime analysis 不容易看見的結構。

---

```text
DNCP / DNGP Prime Survival Prototype v0.1: COMPLETE

Finite domain: n <= 100,000
Prime count: 9,592
Closure depth: p = 313, depth 65
Wheel / corridor projection: PASS
Gap-depth fingerprints: FOUND
Canonical DNGP sample: GENERATED
Status of novel theorem claims: NONE
```