# DMSD Phase 3I — Multiscale Source Budget Policy
## Lazy Source Depth as a Budgeted Block Policy

**日期：** 2026-09-30  
**狀態：** COMPLETE  
**Input：** Phase 3H Source-Efficiency Frontier  
**Scales：** \(L_4,L_5,L_6\)  
**Partition：** each scale split into 10 disjoint decimal blocks  
**Reference source：** divisibility source through \(y=13\)

---

# 1. 從 Lazy Resolution 到 Lazy Source Depth

DMSD 最初的核心是：

\[
\boxed{
\text{不要把整個數域一次展開。}
}
\]

而是：

\[
\text{Global Skeleton}
\rightarrow
\text{Selected Block}
\rightarrow
\text{Local Resolution}.
\]

Phase 3H 又發現：

\[
\text{Source Depth}
\uparrow
\Rightarrow
\text{Ambiguity}
\downarrow
\Rightarrow
\text{Burden}
\uparrow.
\]

所以一個很自然的下一步是：

> **既然解析度不必全域一致，source depth 為什麼要全域一致？**

本輪正式建立：

\[
\boxed{
\text{Lazy Source Depth}.
}
\]

---

# 2. Block-Local Source State

每個尺度：

\[
L_k
\]

被切成 10 個 disjoint blocks：

\[
B_{k,0},\ldots,B_{k,9}.
\]

每個 block 有自己的 source depth：

\[
y_{k,i}.
\]

所以整個 scale 的 source state 不再是一個 scalar：

\[
y,
\]

而是一個 policy vector：

\[
\boxed{
\mathbf y_k
=
(y_{k,0},\ldots,y_{k,9}).
}
\]

---

# 3. 每個 block 都有自己的 frontier

對 block \(B_i\)，
registered options 包含：

- source threshold \(y\)；
- additional sieve-touch cost；
- remaining candidate ambiguity；
- candidate precision；
- closure status。

因此 block-local state 可寫成：

\[
F_{i,y}
=
(
C_{i,y},
G_{i,y},
P_{i,y},
\Gamma_{i,y}
),
\]

其中：

- \(C\)：cost；
- \(G\)：ambiguity removed；
- \(P\)：precision；
- \(\Gamma\)：closure / provenance。

---

# 4. Budgeted Policy Problem

給定 global source budget：

\[
B,
\]

要為每個 block 選一個 source depth：

\[
y_i
\]

使：

\[
\sum_i C_{i,y_i}\le B.
\]

若所有 blocks 權重相同，目標為：

\[
\max
\sum_i G_{i,y_i}.
\]

這是本輪的：

\[
\boxed{
\text{Global Scenario}.
}
\]

---

# 5. Focused Viewport Scenario

DMSD 的真正 runtime 不一定平等關心所有 blocks。

如果使用者正在 zoom 中央兩個 blocks，
它們應該比畫面外 block 更值得花 source budget。

所以本輪另外登記 workload weights：

\[
\boxed{
(1,1,1,2,4,4,2,1,1,1).
}
\]

目標改為：

\[
\max
\sum_i
w_iG_{i,y_i}.
\]

這個 scenario 叫：

\[
\boxed{
\text{Focused Viewport}.
}
\]

這組權重只是明示 workload，
不是數學本體。

---

# 6. 三種 Policy

## Uniform

所有 blocks 盡可能使用同一 source threshold：

\[
y_0=y_1=\cdots=y_9.
\]

這最接近傳統：

> 整個 domain 都用相同深度算。

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## Marginal Greedy

每一步選：

\[
\frac{
\Delta\text{weighted ambiguity removal}
}{
\Delta\text{touch burden}
}
\]

最大的下一個 block upgrade。

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## Exact Pareto DP

真正的 ground-truth control。

逐 block 做 multiple-choice dynamic programming，
狀態為：

\[
(\text{cost},\text{weighted gain}).
\]

每加入一個 block 後，
刪除所有被嚴格支配的 states。

因此最後得到 registered menu 下的 exact optimum：

\[
\boxed{
\max G
\quad
\text{s.t.}
\quad
C\le B.
}
\]

沒有 cost discretization。

---

# 7. 為什麼最後用 Pareto DP，而不是把 greedy 當最佳

這一點刻意保留。

Greedy 很快，
而且本輪結果確實非常接近 optimum。

但：

\[
\boxed{
\text{Greedy}
\neq
\text{Optimality Certificate}.
}
\]

所以正式比較仍以 exact Pareto DP 為 ground truth。

這延續 SDRPC Round 20–21 的教訓。

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# 8. Global Scenario：Adaptive Allocation 優於 Uniform

## \(L_6\)，10% budget

Uniform：

\[
8.91\%
\]

weighted ambiguity removal。

Greedy：

\[
13.77\%.
\]

Exact optimal：

\[
\boxed{13.81\%}.
\]

即使所有 blocks 權重相同，
source depth 也不應必然相同。

原因是各 block：

- candidate composition 不同；
- closure depth 不同；
- incremental source efficiency 不同。

---

# 9. \(L_6\)，35% budget

Uniform：

\[
39.54\%.
\]

Optimal：

\[
\boxed{43.76\%}.
\]

提升約：

\[
4.21
\]

個 percentage points。

Optimal policy：

```text
[43,43,43,43,43,31,97,43,97,97]
```

不是 uniform。

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# 10. Focused Scenario：差距變得非常大

這才是真正符合 DMSD lazy runtime 的 case。

## \(L_6\)，10% budget

Uniform：

\[
8.89\%.
\]

Optimal focused：

\[
\boxed{25.04\%}.
\]

約是 uniform 的：

\[
2.82\times
\]

weighted gain。

Optimal：

```text
[13,13,13,17,61,97,17,13,13,13]
```

也就是 source budget 明顯往中央 focus blocks 集中。

---

# 11. \(L_6\)，20% focused budget

Uniform：

\[
22.22\%.
\]

Optimal：

\[
\boxed{44.28\%}.
\]

Optimal policy：

```text
[13,13,13,13,2341,2203,13,13,13,13]
```

這個結果很極端，也很有 DMSD 味道：

> 不把所有區域平均算深，而把幾乎全部新增 source burden 投進真正被關注的兩個 blocks。

其中甚至已有一個 focus block 被推到 local closure。

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# 12. \(L_5\) 也出現相同現象

## 20% focused budget

Uniform：

\[
24.41\%.
\]

Optimal：

\[
\boxed{44.12\%}.
\]

policy：

```text
[13,13,13,13,739,673,13,13,13,13]
```

source depth 幾乎只集中在兩個高權重 blocks。

---

# 13. \(L_4\) 的 focused 效果更明顯

## 35% budget

Uniform：

\[
28.36\%.
\]

Optimal：

\[
\boxed{61.26\%}.
\]

差：

\[
\boxed{
32.90\text{ percentage points}.
}
\]

這是本輪最大的 uniform-vs-optimal gap 之一。

---

# 14. Uniform Policy 的真正問題

Uniform 並不是錯。

如果 task 本身要求：

\[
\text{每個 block 同等 certificate depth},
\]

uniform 反而可能是正確 constraint。

但如果 task 是：

```text
local zoom
local certification
focused analysis
selected anomaly
```

uniform source depth 會浪費大量 budget 在當下不重要的 blocks。

因此：

\[
\boxed{
\text{Uniform Depth}
\neq
\text{General Optimal Policy}.
}
\]

---

# 15. Greedy 幾乎追上 Exact DP

本輪所有 registered cases 中：

\[
\max
(
G_{\mathrm{opt}}
-
G_{\mathrm{greedy}}
)
\approx
\boxed{0.01961}.
\]

也就是最多約：

\[
1.96
\]

個 weighted-gain percentage points。

多數 cases 的 gap 遠低於 1 percentage point。

有些 budget：

\[
\boxed{
G_{\mathrm{greedy}}=G_{\mathrm{optimal}}.
}
\]

這代表 marginal source-efficiency greedy
很適合當 online runtime policy。

---

# 16. 但 Greedy 仍不能冒充 Optimal

例如 \(L_4\) focused 20%：

Greedy：

\[
41.98\%.
\]

Optimal：

\[
43.94\%.
\]

差：

\[
1.96\text{ points}.
\]

所以 runtime 可以：

```text
Greedy = fast online policy
```

但 research certificate 應保留：

```text
Exact Pareto DP = finite registered optimum
```

---

# 17. Lazy Source Depth 的真正形式

現在 DMSD block state 不只包含：

\[
(k,a,b,\rho).
\]

可以擴張成：

\[
\boxed{
B
=
(
k,
a,
b,
\rho,
y,
S,
K,
H
)
}
\]

其中：

- \(k\)：scale；
- \([a,b)\)：block；
- \(\rho\)：resolution；
- \(y\)：source depth；
- \(S\)：summary；
- \(K\)：knowledge / certificate state；
- \(H\)：history / provenance。

因此：

\[
\boxed{
\text{Resolution}
}
\]

和：

\[
\boxed{
\text{Source Depth}
}
\]

成為兩個不同軸。

---

# 18. 兩維 Lazy Expansion

原來只有：

\[
B
\xrightarrow{\text{zoom}}
(B_1,\ldots,B_m).
\]

現在還可以：

\[
B^{(y_1)}
\xrightarrow{\text{deepen source}}
B^{(y_2)}.
\]

因此 DMSD runtime 可以選：

### Spatial refinement

\[
\rho\uparrow
\]

### Epistemic / source refinement

\[
y\uparrow.
\]

兩者不必同步。

---

# 19. 這會改變計算架構

例如全域：

```text
10^0 ... 10^100
```

只維護 scale skeleton。

看到 \(L_6\)：

```text
source depth = 13
```

即可。

使用者 zoom 到中央 block：

```text
resolution ↑
source depth ↑
```

如果只是查看 density：

```text
不需要 closure
```

如果要求 exact primality certificate：

```text
source depth → local sqrt bound
```

所以：

\[
\boxed{
\text{Compute What You View}
}
\]

現在變成：

\[
\boxed{
\text{Know Deeply Only What You Need}.
}
\]

---

# 20. Multiscale Source Budget Policy

可以正式定義：

\[
\Pi_B
:
(\mathcal B,W,C)
\to
\{y_i\},
\]

其中：

- \(\mathcal B\)：active blocks；
- \(W\)：task weights；
- \(C\)：source-cost model；
- \(B\)：budget。

輸出：

\[
\mathbf y
=
(y_1,\ldots,y_m).
\]

目標：

\[
\boxed{
\max_{\mathbf y}
\sum_i w_iG_i(y_i)
}
\]

subject to：

\[
\boxed{
\sum_iC_i(y_i)\le B.
}
\]

---

# 21. 這不是只對 primes 有用

Prime Layer 只是第一個壓測。

同樣 policy 可以套：

- formal verification depth；
- numerical precision；
- proof certificate generation；
- local simulation fidelity；
- search depth；
- AI reasoning budget；
- physics solver resolution。

所以 DMSD 開始出現一個一般架構：

\[
\boxed{
\text{Spatial LOD}
+
\text{Mathematical LOD}
+
\text{Source LOD}.
}
\]

---

# 22. 本輪驗證

本輪比較：

```text
3 scales
× 2 workload scenarios
× 5 budget levels
× 3 policies
```

共：

\[
90
\]

個 policy outcomes。

Exact DP 皆滿足：

```text
cost <= budget
```

且：

\[
G_{\rm optimal}
\ge
G_{\rm greedy},
\]

\[
G_{\rm optimal}
\ge
G_{\rm uniform}.
\]

Pareto DP 不使用 cost discretization。

---

# 23. 本輪最重要的結論

Source-Efficiency Frontier 不只是一張靜態 curve。

它可以直接變成 runtime policy。

因此 Phase 3H 的：

\[
\boxed{
\text{Source Frontier}
}
\]

到了 Phase 3I 變成：

\[
\boxed{
\text{Source Allocation}.
}
\]

而最自然的工程原則就是：

\[
\boxed{
\textbf{Lazy Source Depth}.
}
\]

---

# 24. 下一步

到這裡 Prime Phase 已經從：

```text
可視化
→ property layer
→ exact / unknown
→ multiscale geometry
→ baseline subtraction
→ source attribution
→ burden frontier
→ adaptive source policy
```

完整走了一圈。

下一輪我反而不建議再無限延長 Prime Phase。

比較合理的是做：

# DMSD Phase 4 — Generalization / Formal Core

把目前真正成熟的東西抽離 prime-specific 實驗：

1. Multiscale Domain；
2. Lazy Resolution；
3. Property Summary Algebra；
4. Knowledge State；
5. Baseline / Residual；
6. Source Depth；
7. Source-Efficiency Frontier；
8. Budgeted Source Policy。

然後正式寫成 base-independent / property-independent 的 DMSD Core v1。

這會避免再往下做成「又一個質數研究系列」。

---

# 25. 結論

Phase 3I 最關鍵的結果是：

\[
\boxed{
\text{Source Depth 不應是全域常數。}
}
\]

如果不同 blocks 的：

- task value；
- source efficiency；
- closure burden；

不同，那麼 global uniform depth 一般沒有理由最優。

有限 budget 下，更合理的是：

\[
\boxed{
\text{block-local adaptive source depth}.
}
\]

也就是：

> **解析度按需展開，知識深度也按需展開。**

---

```text
DMSD Phase 3I: COMPLETE
Validation: PASS

Next recommended:
DMSD Phase 4 — Generalized Formal Core v1
```