# DMSD Phase 3H — Source-Efficiency Frontier
## Exact Ambiguity Reduction versus Additional Source Burden

**日期：** 2026-09-30  
**狀態：** COMPLETE  
**Input：** Phase 3G source-depth scan  
**Scales：** \(L_4,L_5,L_6\)  
**Reference source：** all prime divisibility tests up to \(y=13\)

---

# 1. 為什麼這輪不再用 residual 當主座標

Phase 3G 已經發現：

> source depth 越深，原本的 \(1/\log x\) smooth baseline 最後會和 candidate source 重複計算同一類 density effect，甚至出現 implied conditional probability \(p_j>1\)。

所以如果整條 source-depth frontier 都用：

\[
\text{residual RMS}
\]

當主指標，會把：

```text
source improvement
```

和：

```text
baseline failure
```

混在一起。

本輪因此把主目標換成一個完全 exact、直到 closure 都有效的量：

\[
\boxed{
\text{Candidate Ambiguity}.
}
\]

---

# 2. Exact Candidate Ambiguity

對 source depth \(y\)，令：

\[
C_y(B)
=
\#\{
n\in B:
n\text{ 不被任何 prime }p\le y\text{ 整除}
\}.
\]

令 exact prime count：

\[
P(B).
\]

則剩餘 false candidates：

\[
X_y(B)=C_y(B)-P(B).
\]

candidate precision：

\[
\operatorname{Prec}_y
=
\frac{P}{C_y}.
\]

ambiguity fraction：

\[
A_y
=
\frac{C_y-P}{C_y}
=
1-\operatorname{Prec}_y.
\]

到 trial-division closure：

\[
C_y=P,
\]

因此：

\[
A_y=0.
\]

這一整條曲線不依賴 stochastic null。

---

# 3. Source Burden

本輪使用兩個 burden proxy。

## 3.1 Source Predicate Count

\[
B_{\#}(y)=\pi(y)-\pi(13).
\]

也就是從 Phase 3F baseline 往後多加入多少 prime-divisibility predicates。

---

## 3.2 Naive Sieve Touch Burden

對 interval：

\[
B=[a,b),
\]

定義：

\[
T_y(B)
=
\sum_{\substack{p\le y\\p\text{ prime}}}
\#\{n\in B:p\mid n\}.
\]

這個 proxy 故意允許同一整數被多個 prime 重複計 touch。

因為它量的是一個簡單 sieve / divisibility source 執行時：

> **總共做多少 source-to-element interactions。**

它不是最優演算法 complexity theorem。

---

# 4. 為什麼成本從 \(y=13\) 開始算

如果把：

\[
2,3,5,7,11,13
\]

也放進 cost denominator，小質數會天然吃掉 closure touch burden 的大部分。

但 Phase 3H 真正要回答的是：

> **我們已經知道 Phase 3F 的 \(W_{30030}\) source 之後，繼續加 source 值不值得？**

所以定義 additional burden：

\[
\Delta T_y
=
T_y-T_{13}.
\]

並以 closure 額外成本：

\[
\Delta T_{\rm close}
=
T_{\rm close}-T_{13}
\]

正規化：

\[
\boxed{
B_y
=
\frac{\Delta T_y}{\Delta T_{\rm close}}.
}
\]

因此：

\[
B_{13}=0,
\qquad
B_{\rm close}=1.
\]

---

# 5. Ambiguity Removal

以 \(y=13\) 為 reference。

初始 excess candidates：

\[
X_{13}.
\]

定義：

\[
\boxed{
G_y
=
1-\frac{X_y}{X_{13}}.
}
\]

因此：

\[
G_{13}=0,
\qquad
G_{\rm close}=1.
\]

現在整個 source-efficiency 問題成為：

\[
\boxed{
B_y
\longrightarrow
G_y.
}
\]

---

# 6. Closure Burden

從 \(y=13\) 到 finite trial-division closure：

## \(L_4=[10^4,10^5)\)

closure：

\[
y=313.
\]

額外 source primes：

\[
59.
\]

額外 sieve touches：

\[
\boxed{61,066}.
\]

---

## \(L_5=[10^5,10^6)\)

closure：

\[
y=997.
\]

額外 source primes：

\[
162.
\]

額外 touches：

\[
\boxed{768,662}.
\]

---

## \(L_6=[10^6,10^7)\)

closure：

\[
y=3137.
\]

額外 source primes：

\[
440.
\]

額外 touches：

\[
\boxed{9,047,215}.
\]

所以 horizon 每放大一個 decade，
closure source burden 也快速增加。

---

# 7. 前期 source 最划算

三個 scales 的最佳 marginal step 都是：

\[
13\rightarrow17.
\]

每增加約一百萬 sieve touches，
可以消除約：

\[
\boxed{
1.92\times10^5
}
\]

個 false candidates
（各 scale 數值約 \(1.918\sim1.921\times10^5\)）。

這不是神秘常數；
只是同一個新增 prime source \(p=17\) 在相似 multiplicative domain 上的有限計算結果。

但它非常清楚地展示：

\[
\boxed{
\text{early source refinement has high marginal value}.
}
\]

---

# 8. 越靠近 closure 越貴

最後一個 source step 的 marginal ambiguity removal efficiency：

### \(L_4\)

約：

\[
5.45\times10^4
\]

false candidates / million touches。

### \(L_5\)

約：

\[
4.88\times10^4.
\]

### \(L_6\)

約：

\[
4.11\times10^4.
\]

相較最前面的 \(p=17\) step：

\[
\sim1.92\times10^5,
\]

最後 closure step 只剩約四分之一甚至更低的 marginal efficiency。

因此本輪得到非常清楚的：

\[
\boxed{
\text{Diminishing Source Returns}.
}
\]

---

# 9. Budget Frontier

下面全部是：

> 從 \(y=13\) 往 closure 還需要的 additional touch burden 比例。

## \(L_4\)

### 約 10% budget

\[
y=17
\]

成本：

\[
8.67\%
\]

消除 ambiguity：

\[
11.43\%.
\]

precision：

\[
51.47\%.
\]

### 約 35% budget

\[
y=31
\]

成本：

\[
32.67\%
\]

ambiguity removed：

\[
39.05\%.
\]

### 約 75% budget

\[
y=97
\]

成本：

\[
67.62\%
\]

ambiguity removed：

\[
74.58\%.
\]

---

# 10. \(L_5\) Budget Frontier

### 20% budget

\[
y=23
\]

成本：

\[
18.14\%
\]

ambiguity removed：

\[
24.49\%.
\]

### 35% budget

\[
y=43
\]

成本：

\[
34.70\%
\]

ambiguity removed：

\[
43.48\%.
\]

### 75% budget

\[
y=223
\]

成本：

\[
71.92\%
\]

ambiguity removed：

\[
77.99\%.
\]

---

# 11. \(L_6\) Budget Frontier

### 20% budget

\[
y=23
\]

成本：

\[
15.41\%
\]

ambiguity removed：

\[
22.28\%.
\]

### 35% budget

\[
y=43
\]

成本：

\[
29.48\%
\]

ambiguity removed：

\[
39.54\%.
\]

### 50% budget

\[
y=97
\]

成本：

\[
45.64\%
\]

ambiguity removed：

\[
56.45\%.
\]

### 75% budget

\[
y=463
\]

成本：

\[
73.85\%
\]

ambiguity removed：

\[
80.08\%.
\]

這條 curve 很有代表性：

> 在 closure 之前可以用相對較低 source burden 排除大量 ambiguity，但最後剩下的少量 ambiguity 越來越昂貴。

---

# 12. Closure 的最後幾個百分點最不便宜

以 \(L_6\) 為例：

到：

\[
y=997
\]

已經消除：

\[
90.02\%
\]

的 \(y=13\) ambiguity，

但 additional closure burden 已使用：

\[
84.96\%.
\]

要把：

\[
90\%\rightarrow100\%
\]

剩餘 ambiguity 完全清零，
仍要支付約：

\[
15\%
\]

的 closure-additional touch budget。

而最後：

\[
y=2203\rightarrow3137
\]

只消除：

\[
1.46\%
\]

的初始 ambiguity，
但仍消耗約：

\[
4.46\%
\]

的 closure-additional touch budget。

所以 exact closure 的最後一步並不便宜。

---

# 13. Pareto Frontier

因為 source family 是 nested：

\[
C_{y_2}\subseteq C_{y_1}
\qquad
(y_2>y_1),
\]

所以：

- burden 單調上升；
- candidate ambiguity 單調下降。

因此每個真正產生新 candidate elimination 的 source depth 都位於：

\[
\boxed{
\text{Burden–Ambiguity Pareto Curve}.
}
\]

沒有一個單一 source depth 可以同時：

```text
更便宜
+
ambiguity 更少
```

地嚴格支配另一個已有效 refinement 的點。

所以這輪不是要宣布一個「最佳 y」。

---

# 14. Knee 不是定理

若人工採用簡單 utility：

\[
U_y=G_y-B_y,
\]

可以得到一個視覺上的 balance point。

但：

\[
\boxed{
U_y=G_y-B_y
}
\]

只是其中一種權重選擇。

不同任務：

- 想快速排除大部分 composites；
- 想做到 exact closure；
- 想壓低 verification burden；
- 想節省 runtime；

會得到不同 optimum。

所以報告提供 budget frontier，
而不把某個 knee 稱為數學最優。

---

# 15. Residual Metrics 的位置

Phase 3G 已證明：

\[
\text{residual diagnostic}
\]

會隨 source depth 改變，
且 smooth baseline 最終失效。

因此本輪規則：

### Exact ambiguity metrics

可使用到 closure。

### Residual RMS / lag-1

只在：

\[
p_{\max}\le1
\]

的 baseline-compatible 區域中作輔助診斷。

這避免把 baseline breakdown 誤算成 source efficiency。

---

# 16. Source Burden 不只有一種

目前至少有：

### Predicate Burden

\[
B_{\#}=\pi(y)-\pi(13).
\]

### Touch Burden

\[
B_T=\Delta T_y.
\]

未來還可加入：

- wall-clock；
- memory；
- certificate size；
- verifier cost；
- hardware energy；
- source acquisition cost。

因此真正完整的 frontier 應是多目標：

\[
\boxed{
(\text{ambiguity},
\text{compute},
\text{memory},
\text{certificate},
\text{verification})
}
\]

而不只一條二維 curve。

---

# 17. DMSD 與 SDRPC 在這裡接起來了

SDRPC 之前已經一路走到：

\[
\text{Information Gain}
\neq
\text{Task Gain}
\]

以及：

\[
\text{Proof Burden Optimization}.
\]

DMSD 現在從另一方向重新得到：

\[
\boxed{
\text{Source Information Gain}
\neq
\text{Free Gain}.
}
\]

更深 source 可以消除更多 candidate ambiguity，
但必須支付更高 source burden。

所以現在兩條線可以統一成：

\[
\boxed{
\text{Source Refinement}
\rightarrow
\text{Ambiguity Reduction}
\rightarrow
\text{Burden Increase}.
}
\]

---

# 18. 新的 Source-Efficiency Object

可以正式定義一個 frontier state：

\[
F_y
=
(
B_y,
G_y,
P_y,
R_y,
C_y
),
\]

其中：

- \(B_y\)：source burden；
- \(G_y\)：ambiguity removed；
- \(P_y\)：candidate precision；
- \(R_y\)：admitted residual diagnostics；
- \(C_y\)：closure status。

整條：

\[
\mathcal F
=
\{F_y\}
\]

就是：

\[
\boxed{
\text{Source-Efficiency Frontier}.
}
\]

---

# 19. 本輪最重要的觀察

目前三個 exact decades 都呈現相同的大方向：

1. 最早的新 prime source 有最高 marginal elimination efficiency；
2. source depth 增加後，candidate precision 持續提高；
3. ambiguity removal 有明顯 diminishing returns；
4. 接近 exact closure 時 marginal efficiency 顯著降低；
5. horizon 越大，完整 closure 需要更多 source predicates；
6. closure 的成本不能從「已經排除很多 candidates」直接忽略。

---

# 20. 這對原始可視化想法的意義

最開始 DMSD 只是：

> 用 Pyramid / Staircase 看不同數量級。

現在每一個 scale block 可以進一步有：

```text
represented state
knowledge state
source depth
source burden
remaining ambiguity
closure distance
```

所以「往上／往下」不只是在 zoom。

它可以變成：

> **在不同數量級上，看 source 深度增加時，資訊與成本如何一起變化。**

這其實已經超過單純 prime visualization。

---

# 21. 下一步

到這裡 DMSD 的 Prime Phase 已經很完整。

下一輪若繼續，最值得做的是：

# DMSD Phase 3I — Multiscale Source Budget Policy

不再問單一 \(y\) 多深，

而是：

> 給定總計算 budget，應該把 source depth 分配到哪些 scale / block？

例如：

- coarse blocks 用淺 source；
- suspicious blocks 用深 source；
- local zoom 才增加 divisibility depth；
- closure 只在真正需要 certificate 的 block 執行。

這會讓原本：

\[
\text{Lazy Resolution}
\]

正式擴張成：

\[
\boxed{
\text{Lazy Source Depth}.
}
\]

也就是：

> 不只解析度按需展開，數學資訊來源本身也按需加深。

---

# 22. 結論

Phase 3H 將前面的 source-depth 實驗壓成一條清楚的成本曲線：

\[
\boxed{
\text{more source}
\Rightarrow
\text{less ambiguity}
\Rightarrow
\text{more burden}.
}
\]

而且：

\[
\boxed{
\text{marginal return generally decreases near closure}.
}
\]

因此 exact primality closure 不再只是：

> 「再把 source 加深就好。」

而可以被看成：

\[
\boxed{
\text{一個有明確資訊收益與計算成本的 frontier problem}.
}
\]

---

```text
DMSD Phase 3H: COMPLETE
Validation: PASS

Next:
DMSD Phase 3I — Multiscale Source Budget Policy
```