# DMSD Phase 3G — Structured Null Escalation
## Source-Depth Transition and Baseline–Source Compatibility

**日期：** 2026-09-30  
**狀態：** COMPLETE  
**Exact prime bound：** \(10^7\)  
**Primary partition：** 1000 bins  
**Scales：** \(L_4,L_5,L_6\)

---

# 1. 目的

Phase 3F 留下兩個最穩定的 finite diagnostics：

\[
\boxed{
\text{Residual Underdispersion}
}
\]

以及：

\[
\boxed{
\operatorname{Corr}(Z_j,Z_{j+1})<0.
}
\]

但那一輪的 null source 只排除了：

\[
2,3,5,7,11,13.
\]

因此這一輪不再問：

> residual 看起來像什麼？

而問：

> **如果把更多已知 trial-divisibility source 加進 null，這些 residual diagnostics 會在哪一層被吃掉、改變或失效？**

---

# 2. Structured Source Escalation

對 threshold \(y\)，定義 candidate source：

\[
C_y(n)
=
\mathbf 1[
n\text{ 不被任何 prime }p\le y\text{ 整除}
].
\]

也就是把：

\[
W_{30030}
\]

推廣成「所有 primes \(\le y\) 的 divisibility filter」。

本輪掃描：

\[
y=
13,17,23,31,43,61,97,151,223,313,463,673,997,1499,2203,3137,
\]

只保留各 scale 合法的部分。

---

# 3. Candidate Precision

對 interval \(B\)，定義：

\[
\operatorname{Prec}_y(B)
=
\frac{\#\{\text{primes in }B\}}
{\#\{\text{\(y\)-rough candidates in }B\}}.
\]

這不是分類器 precision 的統計估計，
而是 exact finite-domain ratio。

隨 \(y\) 增大：

\[
\operatorname{Prec}_y(B)\uparrow.
\]

最終若：

\[
y\ge \sqrt{\max B},
\]

所有 composite 都至少有一個 prime divisor \(\le y\)，
所以 candidate set 與 prime set 閉合。

---

# 4. Trial-Division Closure

對：

\[
L_k=[10^k,10^{k+1}),
\]

只要 divisibility source 包含所有 primes：

\[
p\le \sqrt{10^{k+1}-1},
\]

則任何 composite：

\[
n<10^{k+1}
\]

都會被排除。

本輪 closure threshold：

### \(L_4\)

\[
y=313.
\]

### \(L_5\)

\[
y=997.
\]

### \(L_6\)

\[
y=3137.
\]

此時：

\[
\boxed{
\text{candidate set}
=
\text{prime set}
}
\]

在該 finite interval 上成立。

這只是經典 trial-division closure 的 multiscale 表示，
不是新的 primality theorem。

---

# 5. Structured Null 1：Smooth-Weighted Candidate Binomial

對每個 bin \(j\)，先計算 exact candidate count：

\[
C_j^{(y)}.
\]

再使用 smooth density：

\[
\frac1{\log x}
\]

建立 normalized expected mass：

\[
Q_j^{(y)}
\propto
C_j^{(y)}
\cdot
\frac{1}{|B_j|}
\int_{B_j}\frac{dx}{\log x}.
\]

令 exact prime total 為 \(N\)，則：

\[
E_j=NQ_j^{(y)}.
\]

conditional candidate success rate：

\[
p_j=\frac{E_j}{C_j^{(y)}}.
\]

若：

\[
0\le p_j\le1
\]

對所有 bins 成立，才可以建立：

\[
X_j\sim\operatorname{Binomial}(C_j^{(y)},p_j).
\]

---

# 6. Structured Null 2：Fixed-Total Candidate Hypergeometric

另一個控制版本只使用 candidate capacity：

\[
C_j^{(y)},
\]

並固定總 prime count \(N\)。

從所有候選位置中 without replacement 選出 \(N\) 個位置，
得到 multivariate hypergeometric bin counts。

這個 null：

- 保留 total count；
- 保留每 bin candidate capacity；
- 不加入 \(1/\log x\) smooth weighting。

它是 capacity-only control，
不是最終 prime model。

---

# 7. 第一個核心結果：Underdispersion 是 Source-Relative

## \(L_5\)

### \(y=13\)

candidate precision：

\[
0.399.
\]

observed RMS：

\[
0.616.
\]

independent candidate null 預期 RMS 約：

\[
0.775.
\]

明顯 underdispersed。

### \(y=313\)

candidate precision：

\[
0.819.
\]

observed RMS：

\[
0.401.
\]

independent-null expected RMS：

\[
0.424.
\]

ratio：

\[
\boxed{
0.945
}
\]

已經非常接近 1。

所以前一輪看起來很強的 underdispersion，
在加入更深 divisibility source 後大幅縮小。

---

# 8. \(L_6\) 更明顯

### \(y=13\)

precision：

\[
0.340.
\]

RMS ratio：

\[
\frac{0.554}{0.813}
\approx0.681.
\]

### \(y=313\)

precision：

\[
0.670.
\]

ratio：

\[
0.779.
\]

### \(y=673\)

precision：

\[
0.774.
\]

observed：

\[
0.502
\]

vs independent expectation：

\[
0.475.
\]

ratio：

\[
\boxed{
1.055.
}
\]

也就是原本的：

\[
\boxed{
\text{underdispersion}
}
\]

已經不只消失，甚至在這個 source depth 下略微跨到另一側。

因此：

\[
\boxed{
\text{Residual Underdispersion}
}
\]

不是固定 prime invariant；
它高度依賴 null source class。

---

# 9. Lag-1 Negative Correlation 也不是固定 invariant

## \(L_5\)

### \(y=13\)

\[
\rho_1=-0.120.
\]

### \(y=223\)

\[
\rho_1=-0.098.
\]

### \(y=313\)

\[
\boxed{
\rho_1=+0.085.
}
\]

此時：

\[
p_{\max}\approx0.929<1,
\]

所以 smooth-weighted candidate null 仍然是 probabilistically feasible。

也就是 negative lag-1 在**尚未 trial-division closure 前**已經翻號。

---

# 10. \(L_6\) 的 Source-Depth Transition

### \(y=313\)

\[
\rho_1=-0.137.
\]

### \(y=463\)

candidate precision：

\[
0.721.
\]

而：

\[
\boxed{
\rho_1=+0.080.
}
\]

同時：

\[
p_{\max}\approx0.801<1.
\]

所以：

\[
\boxed{
\text{negative residual correlation}
}
\]

在 \(L_6\) 也於合法 null 範圍內消失。

這表示 Phase 3F 留下的 anti-correlation
不能被直接升格成 prime ontology invariant。

---

# 11. \(L_4\) 的差異

在 \(L_4\)：

\[
y=97
\]

仍有：

\[
\rho_1=-0.119.
\]

當 \(y=151\) 時，
smooth-weighted model 已經出現：

\[
p_{\max}>1.
\]

所以在這個較小尺度上，
baseline family 先失去 probabilistic admissibility，
才進入明顯 sign-flip 區域。

因此三個尺度並沒有共同的 universal transition threshold。

目前只能說：

\[
\boxed{
\text{source-depth transition is horizon/scale dependent}.
}
\]

---

# 12. Baseline–Source Compatibility 問題

這輪意外得到一個比 residual pattern 本身更重要的方法論問題。

淺層 source：

```text
candidate filter is weak
```

所以：

\[
1/\log x
\]

smooth correction 很合理。

但 source 越來越深時：

\[
C_y
\]

本身已經包含越來越多「為什麼某些位置不可能是 prime」的資訊。

最後接近：

\[
y\approx\sqrt x
\]

時，candidate set 幾乎就是 prime set。

此時再硬乘：

\[
1/\log x
\]

會重複施加 density effect，
甚至導致：

\[
\boxed{
p_j>1.
}
\]

這是一個直接的 baseline failure certificate。

---

# 13. Baseline–Source Compatibility Principle

本輪因此提出一條方法論原則：

\[
\boxed{
\textbf{Baseline–Source Compatibility Principle}
}
\]

> **一個 baseline correction 的適用性依賴目前 information source 已經吸收多少結構。當 source 本身逐漸解釋了 baseline 所描述的效應時，原 baseline 必須重新校準、弱化或移除。**

也就是：

\[
\boxed{
\text{Known Effect}
+
\text{Source Encoding Same Effect}
\neq
\text{Always Valid Combination}.
}
\]

否則會 double-count。

---

# 14. Source Saturation Boundary

可以把：

\[
y\to\sqrt b
\]

視為一個 source saturation 過程。

當：

\[
y<\sqrt b
\]

時，仍有 composite candidates 存活。

當：

\[
y\ge\sqrt{b-1}
\]

並包含所有所需 primes 時：

\[
\boxed{
\text{Source Closure}.
}
\]

此時不再需要 stochastic placement model：

\[
\text{candidate source itself}
\]

已經 exact 決定 prime membership
在該 finite interval 上的結果。

---

# 15. Source Depth Scan

本輪除了四個主要 thresholds，
還做 dense milestone scan。

## \(L_4\)

在 smooth model 可行範圍內，
RMS ratio 最接近 independent null 約在：

\[
y=31,
\qquad
\text{ratio}\approx0.938.
\]

lag-1 仍保持負號。

## \(L_5\)

最接近 variance match：

\[
y=313,
\qquad
\text{ratio}\approx0.945.
\]

同時 lag-1 已翻為正。

## \(L_6\)

最接近：

\[
y=673,
\]

\[
\text{ratio}\approx1.055.
\]

而 lag-1 更早在：

\[
y=463
\]

翻號。

沒有共同 universal \(y\)。

---

# 16. 真正的 Source Attribution

前一輪我們能說：

> PNT+\(W_{30030}\)+independent candidates 不夠。

這一輪可以進一步說：

> **當 divisibility source 往更高 primes 擴張時，underdispersion 與負 lag-1 都會被顯著削弱，且在部分尺度於 full closure 前消失。**

因此它們至少有相當一部分可以歸因於：

\[
\boxed{
\text{unmodeled higher-prime divisibility structure}.
}
\]

這比說：

> 「我們發現新的 prime anti-correlation」

要保守也更準確。

---

# 17. Capacity-Only Null 的角色

Fixed-total hypergeometric control 顯示：

只知道：

\[
\text{candidate capacity}
\]

本身也不足以在所有 source depths 重現 exact residual。

尤其 source 尚淺時，
忽略 smooth density gradient 會留下強烈 systematic structure。

所以：

\[
\boxed{
\text{capacity source}
\neq
\text{density source}.
}
\]

兩者必須區分。

但當 source 完全 closure 時：

\[
C_j=O_j
\]

capacity-only model 退化成 exact histogram，
RMS residual：

\[
0.
\]

這只是 closure identity。

---

# 18. 這輪修正 Phase 3F 的候選命題

Phase 3F 最穩的候選：

\[
\text{Residual Underdispersion}
\]

與：

\[
\text{Negative Lag-1 Residual Correlation}
\]

現在都必須降級。

更準確的狀態：

```text
Underdispersion:
  SOURCE-RELATIVE
  largely reduced by deeper divisibility sources

Negative lag-1:
  SOURCE-RELATIVE
  disappears before closure on L5/L6
```

所以目前：

\[
\boxed{
\text{沒有 residual feature 足以升格為新的 prime invariant。}
}
\]

這其實是好結果。

---

# 19. DMSD 出現新的 Source-Depth 軸

DMSD 原本的軸：

\[
\text{Scale}
\times
\text{Position}
\times
\text{Resolution}.
\]

現在還需要加入：

\[
\boxed{
\text{Source Depth}.
}
\]

因此 residual 必須寫成：

\[
R(
\text{scale},
\text{resolution},
\text{source class},
\text{source depth},
\text{baseline}
).
\]

單獨寫：

\[
R
\]

已經不夠。

---

# 20. Source Depth 與計算成本

source depth 越高：

\[
y\uparrow
\]

代表必須檢查更多 divisibility information。

最終到：

\[
y\approx\sqrt n
\]

就是完整 trial division。

所以：

\[
\boxed{
\text{residual reduction}
\leftrightarrow
\text{source / computational burden increase}.
}
\]

這和先前 SDRPC 的 proof-burden 觀點重新接上：

> 更多 source information 可以消除 ambiguity / residual，但不是免費的。

---

# 21. 這一輪真正的結果

Phase 3G 沒有發現新的 prime law。

它反而成功把 Phase 3F 的兩個最穩 residual feature
進一步歸因為：

\[
\boxed{
\text{source insufficiency artifacts}
}
\]

至少在目前有限 exact scales 上，
更深 divisibility source 足以：

- 大幅縮小 underdispersion；
- 讓 variance ratio 接近 1；
- 讓 lag-1 負相關消失或翻號；
- 最終在 trial-division closure 時完全消除 candidate ambiguity。

這正好符合整個研究線一開始最在意的事：

\[
\boxed{
\text{不要把 source 不夠造成的 residual
誤認成新的數學本體。}
}
\]

---

# 22. 下一步

現在不應再一直增加 source depth，
因為最終一定會走到：

\[
\sqrt n
\]

trial division closure。

更有價值的下一步是：

# DMSD Phase 3H — Source-Efficiency Frontier

研究：

\[
\boxed{
\text{多少 source burden}
\rightarrow
\text{消除多少 residual / ambiguity}
}
\]

例如：

- candidate precision gain；
- residual RMS reduction；
- lag-1 disappearance；
- compute cost；
- source depth；
- closure distance。

也就是建立：

\[
\boxed{
\text{Information Gain}
/
\text{Source Burden}
}
\]

的 Pareto frontier。

這會把 DMSD 和前面 SDRPC 的 proof-burden 思路真正接起來。

---

# 23. 結論

Phase 3G 最重要的不是更深 wheel。

而是得到：

\[
\boxed{
\text{Residual Structure is Source-Relative}.
}
\]

以及：

\[
\boxed{
\text{Baseline must remain compatible with source depth}.
}
\]

原本最穩的 underdispersion / negative lag-1，
都不是在 source escalation 下固定不動的結構。

因此目前最合理的收束不是提出新質數猜想，
而是：

> **先研究 source 深度、計算負擔、residual 消除之間的效率前沿。**

---

```text
DMSD Phase 3G: COMPLETE
Validation: PASS

Next:
DMSD Phase 3H — Source-Efficiency Frontier
```