# DMSD Phase 3D — Scale-Normalized Density Model

**日期：** 2026-09-30  
**狀態：** COMPLETE  
**Exact prime bound：** \(10^7\)  
**Bases：** 2 / 8 / 10 / 16

---

## 1. 本輪問題

Phase 3B / 3C 看到：

\[
\text{normalized center bias}<0
\]

以及高尺度 normalized histogram 越來越相似。

但這些現象可能主要來自一個已知的一階效應：

\[
\boxed{
\text{prime density decreases approximately like }1/\log x.
}
\]

若一個 multiplicative scale block：

\[
[a,b)
\]

左端的 prime density 高於右端，那麼 normalized local-position histogram 自然會偏左。

因此本輪不再直接問：

> 原始 histogram 有沒有漂亮 pattern？

而問：

> **先扣掉 \(1/\log x\) baseline 後，還剩什麼？**

---

# 2. Baseline

對 block：

\[
B=[a,b),\qquad a>1,
\]

將 normalized position 分成 \(R=100\) 個 bins：

\[
[x_j,x_{j+1}).
\]

使用 logarithmic-integral mass：

\[
M_j
=
\int_{x_j}^{x_{j+1}}\frac{dt}{\log t}
=
\operatorname{li}(x_{j+1})
-
\operatorname{li}(x_j).
\]

再正規化：

\[
Q_j
=
\frac{M_j}{\sum_r M_r}.
\]

因此：

\[
Q=(Q_0,\ldots,Q_{99})
\]

是「若只考慮一階 \(1/\log x\) density gradient」時的 block-internal reference profile。

這不是 exact prime law，只是一個已知 asymptotic structure 的 baseline。

---

# 3. Observed 與 Residual

exact prime histogram：

\[
P_j
=
\frac{H_j}{\sum_r H_r}.
\]

定義 residual：

\[
R_j=P_j-Q_j.
\]

另外以：

\[
E_j=Q_j\cdot N_{\mathbb P}(B)
\]

定義 diagnostic standardized residual：

\[
Z_j
=
\frac{H_j-E_j}{\sqrt{E_j}}.
\]

這裡的 \(\sqrt{E_j}\) 只是 normalization。

**本輪不假設 primes 是 independent Poisson process。**

---

# 4. Center Bias Decomposition

raw center bias：

\[
B_{\mathrm{raw}}
=
\sum_jP_j\lambda_j-\frac12.
\]

PNT baseline bias：

\[
B_{\mathrm{PNT}}
=
\sum_jQ_j\lambda_j-\frac12.
\]

residual bias：

\[
\boxed{
B_{\mathrm{res}}
=
B_{\mathrm{raw}}
-
B_{\mathrm{PNT}}.
}
\]

因此：

\[
B_{\mathrm{raw}}
=
B_{\mathrm{PNT}}
+
B_{\mathrm{res}}.
\]

---

# 5. 最重要結果：高尺度負偏大部分被 baseline 解釋

## base 10

高三層：

### \(k=4\)

\[
B_{\mathrm{raw}}=-0.0150000
\]

\[
B_{\mathrm{PNT}}=-0.0156482
\]

\[
B_{\mathrm{res}}=+6.48\times10^{-4}.
\]

約 **95.68%** 的 raw-bias magnitude 被 baseline 解釋。

### \(k=5\)

\[
B_{\mathrm{raw}}=-0.0129272
\]

\[
B_{\mathrm{PNT}}=-0.0128147
\]

\[
B_{\mathrm{res}}=-1.13\times10^{-4}.
\]

約 **99.13%** 被解釋。

### \(k=6\)

\[
B_{\mathrm{raw}}=-0.0109271
\]

\[
B_{\mathrm{PNT}}=-0.0108514
\]

\[
B_{\mathrm{res}}=-7.57\times10^{-5}.
\]

約：

\[
\boxed{99.31\%}
\]

被一階 density baseline 解釋。

---

# 6. Cross-base 結果更明顯

各 base 最高完整尺度附近：

### base 2, \(k=22\)

\[
B_{\mathrm{raw}}
\approx
-3.6467\times10^{-3}
\]

\[
B_{\mathrm{res}}
\approx
-3.08\times10^{-6}.
\]

約：

\[
99.92\%
\]

被 baseline 解釋。

### base 8, \(k=6\)

residual bias：

\[
+3.35\times10^{-5},
\]

約：

\[
99.70\%
\]

被 baseline 解釋。

### base 10, \(k=6\)

residual bias：

\[
-7.57\times10^{-5},
\]

約：

\[
99.31\%
\]

被解釋。

### base 16, \(k=4\)

residual bias：

\[
-1.99\times10^{-5},
\]

約：

\[
99.86\%
\]

被解釋。

所以 Phase 3C 的 cross-base negative bias，
現在有一個非常直接的重新解釋：

\[
\boxed{
\text{它主要是 }1/\log x\text{ density gradient 的 scale projection。}
}
\]

至少在目前 exact finite domain 中如此。

---

# 7. 這是好結果，不是「pattern 被消掉所以沒東西」

如果我們的目標只是找漂亮 pattern，
這可能看起來像把東西消掉了。

但研究上反而更好。

因為 DMSD 現在成功完成：

\[
\boxed{
\text{Raw Structure}
=
\text{Known Baseline}
+
\text{Residual}.
}
\]

這比把已知 density-decay 重新命名成「新幾何」乾淨得多。

---

# 8. Residual JS 也快速下降

base 10：

\[
k=3:
\quad
JS(P,Q)
\approx4.71\times10^{-3}
\]

\[
k=4:
\quad
4.51\times10^{-4}
\]

\[
k=5:
\quad
4.78\times10^{-5}
\]

\[
k=6:
\quad
\boxed{
4.94\times10^{-6}
}
\]

在目前 exact scales 中，
observed normalized histogram 與 \(1/\log x\) baseline 越來越接近。

其他 base 高尺度也看到同方向。

這是 finite evidence，
不是對：

\[
k\to\infty
\]

的 convergence theorem。

---

# 9. Standardized Residual

高尺度 tail 的 RMS standardized residual 約：

```text
base 2:  ~0.45–0.52
base 8:  ~0.38–0.45
base 10: ~0.40–0.46
base 16: ~0.40–0.43
```

它沒有爆炸。

但也不能把這直接解釋成：

> primes 符合 Poisson stochastic model。

因為：

- residue restrictions 造成依賴；
- bin counts 並非獨立；
- \(\sqrt E\) 只作尺度 normalization；
- 目前 bound 僅 \(10^7\)。

所以本輪只把它當 residual amplitude diagnostic。

---

# 10. Residual Center Bias 不再保持固定符號

原始 center bias 在 Phase 3C 的高尺度 tail 都是負。

扣除 PNT baseline 後：

- 有些 scale residual 為正；
- 有些為負；
- 幅度比 raw bias 小很多。

這很重要。

因為：

\[
\boxed{
\text{raw negative sign}
}
\]

本身不再值得當候選新 invariant。

真正應該研究的是：

\[
\boxed{
B_{\mathrm{res}}
}
\]

是否還有跨 scale / cross-base 可重現結構。

目前資料不足以說有。

---

# 11. DMSD 出現第三種觀測層

現在一個 property view 可以拆成：

## Raw Layer

直接 exact observation。

## Baseline Layer

由已知數學結構產生的 reference model。

## Residual Layer

\[
\text{Observed}-\text{Baseline}.
\]

因此：

\[
\boxed{
\text{DMSD Observation}
=
\text{Raw}
+
\text{Baseline}
+
\text{Residual}.
}
\]

這是一個比單純 visualization 更成熟的研究工作流。

---

# 12. Baseline 本身也要有 Provenance

baseline 不能憑感覺選。

本輪登記：

```text
baseline family:
  normalized logarithmic-integral mass

formula:
  li(x_{j+1}) - li(x_j)

purpose:
  remove first-order 1/log(x) density gradient

status:
  asymptotic reference model
  NOT exact prime law
```

所以 residual 的意義始終相對於：

\[
\boxed{
\text{registered baseline}.
}
\]

換 baseline，residual 也會改變。

---

# 13. 這對原先金字塔／階梯想法的意義

最開始我們只想：

> 換尺度、往上看、往下看、向右看。

現在已經多了一層：

> **先看 raw，再問這個 raw 有多少只是已知 scale law 投影出來的。**

所以金字塔可以不只顯示：

\[
\text{prime density by scale},
\]

還能顯示：

\[
\text{raw bias}
\]

\[
\text{baseline bias}
\]

\[
\text{residual bias}.
\]

這使 scale visualization 開始具有「解析已知效應」的能力。

---

# 14. 對前兩輪的修正

Phase 3B / 3C 的 observation 並沒有錯。

錯誤會發生在：

> 把 raw observation 直接當成新的 prime invariant。

Phase 3D 顯示：

\[
\boxed{
\text{Raw Pattern}
\neq
\text{Novel Structure}.
}
\]

先做 baseline subtraction 後，
才能討論是否還有額外 residual structure。

這與前面的 Representation Audit 是同一種精神：

\[
\boxed{
\text{先排除已知來源，再談新來源。}
}
\]

---

# 15. 下一步

下一輪最值得做：

# DMSD Phase 3E — Residual Structure Audit

但要非常保守。

不是直接對 residual 找新規律，
而是先檢查它是否主要由已知 arithmetic constraints 造成，例如：

- parity exclusion；
- mod 3；
- mod 5；
- small-prime wheel structure。

也就是建立：

\[
\text{PNT Baseline}
\rightarrow
\text{Wheel/Residue-Corrected Baseline}
\rightarrow
\text{Residual}.
\]

如果 residual 再被小質數可除性結構大量吃掉，
就繼續扣。

真正留下來的部分才值得進一步研究。

---

# 16. 結論

Phase 3D 最重要的不是發現新 pattern。

恰好相反。

它成功證明一個研究流程是必要的：

\[
\boxed{
\text{Observe}
\rightarrow
\text{Model Known Effects}
\rightarrow
\text{Subtract}
\rightarrow
\text{Audit Residual}.
}
\]

在目前 exact domain：

\[
p<10^7,
\]

cross-base high-scale negative center bias 幾乎完全可以由：

\[
1/\log x
\]

的一階 density gradient 解釋。

因此目前最合理的結論是：

\[
\boxed{
\text{Phase 3B/3C 的 raw left-bias 主要不是新的 prime geometry。}
}
\]

而 DMSD 的價值正是在這裡：

> 它不只幫我們看到 pattern，也幫我們把已知 pattern 從新 pattern 裡剝掉。

---

```text
DMSD Phase 3D: COMPLETE
Validation: PASS

Next:
DMSD Phase 3E — Residual Structure Audit
```