# DMSD Phase 3C — Cross-Base Prime Projection Audit **日期：** 2026-09-30 **狀態：** COMPLETE **Exact prime bound：** \(10^7\) **Scale grammars：** base 2 / 8 / 10 / 16 --- ## 1. 問題 Phase 3B 在 decimal scale： \[ L_k^{(10)}=[10^k,10^{k+1}) \] 看到數個漂亮的 finite patterns： - normalized center bias 為負； - bias magnitude 隨尺度下降； - adjacent-scale normalized histogram 越來越接近； - prime density 隨尺度下降。 但 DMSD 自己已經要求： \[ \boxed{ \text{Representation Artifact Audit} } \] 所以不能因為 decimal 圖很好看，就把它直接當成 prime ontology。 本輪將同一批 exact prime data 改投影到： \[ b\in\{2,8,10,16\} \] 的尺度： \[ L_k^{(b)}=[b^k,b^{k+1}). \] --- # 2. 不變的是 prime，改變的是 scale grammar 對任意 prime \(p\)，其 primality 不因 base 改變。 但是： \[ k_b(p)=\lfloor \log_b p\rfloor \] 以及： \[ \lambda_{b,k}(p) = \frac{p-b^k}{b^{k+1}-b^k} \] 都依賴 base。 因此： \[ \boxed{ \text{Prime Ontology} \neq \text{Scale Projection Geometry}. } \] 本輪審核的是後者。 --- # 3. Exact scales 在： \[ p<10^7 \] 的共同 exact prime data 下，完整尺度數： ```text base 2: 23 scales base 8: 7 scales base 10: 7 scales base 16: 5 scales ``` 不同 base 的尺度寬度不同，所以 scale count 本來就不應相同。 --- # 4. Refinement correctness 每一個完整 scale block 都計算： \[ R=10,100,1000 \] 的 normalized histograms。 再檢查： \[ 100\to10, \qquad 1000\to100, \qquad 1000\to10. \] 所有 base / scale 的 refinement relations 全部： ```text PASS ``` 因此換 base 並不破壞 DMSD 的： \[ \boxed{ \text{Fine Histogram} \rightarrow \text{Coarse Histogram} } \] exact partition certificate。 --- # 5. Cross-base partition sanity 隨機抽取： ```text 500 ``` 個 exact primes。 對每個 base \(b\)，獨立求： \[ k_b \] 並檢查： \[ b^{k_b}\le p 左端與右端的平均 density 差異越明顯。 因此 normalized center bias 的 base dependence 並不神秘， 而且與 prime-number-theorem 類 density-decay picture 相容。 這裡只是結構性解釋，不作新 theorem 宣稱。 --- # 8. Adjacent-scale histogram similarity 對每個 base 的 100-bin normalized histograms 計算 adjacent-scale JS divergence。 高尺度 tail： ### base 2 \[ 2.22\times10^{-4}, \; 1.04\times10^{-4}, \; 4.88\times10^{-5} \] ### base 8 \[ 1.91\times10^{-2}, \; 1.91\times10^{-3}, \; 1.88\times10^{-4} \] ### base 10 \[ 4.68\times10^{-3}, \; 4.95\times10^{-4}, \; 5.75\times10^{-5} \] ### base 16 \[ 3.25\times10^{-1}, \; 1.27\times10^{-2}, \; 6.16\times10^{-4} \] 四個 base 在目前 finite scales 的尾端都看到下降。 這比 decimal-only observation 更有意思，因為： \[ \boxed{ \text{adjacent-shape similarity increase} } \] 沒有在換 base 後立刻消失。 但仍只能叫： \[ \boxed{ \text{cross-base persistent finite pattern}. } \] 不是 convergence theorem。 --- # 9. Nearest-Magnitude Audit 為避免直接拿完全不同 magnitude 比較， 本輪用 decimal： \[ L_2,\ldots,L_6 \] 的 log-magnitude midpoint 作 anchor。 對其他 base 選 midpoint 最近的 scale。 結果顯示： - 小尺度時不同 base 的 normalized shape 可以差很多； - 隨 magnitude 增大，nearest-magnitude JS distance 普遍大幅縮小； - 但 interval 邊界並不完全一致，因此這只能是 descriptive audit。 例如 decimal \(L_5\) 附近： ```text base 2 matched scale: JS ≈ 5.55e-4 base 8 matched scale: JS ≈ 7.8e-5 base 16 matched scale: JS ≈ 9.1e-5 ``` 在這個有限 magnitude，normalized shapes 已非常接近。 --- # 10. 這次真正區分出的三層 現在可以清楚分： ## A. Ontology-level property \[ \operatorname{Prime}(n) \] 不依賴 base。 ## B. Scale-robust finite phenomenon 換 base 後仍以類似方向出現，例如目前看到： ```text high-scale center bias remains negative adjacent normalized shapes become more similar ``` 這只是候選 deeper structure。 ## C. Representation-sensitive geometry 例如： ```text exact center-bias magnitude scale count scale widths which primes fall in the same block exact histogram shape at fixed finite k ``` 都顯著依賴 scale grammar。 --- # 11. 一個新的 DMSD 分類 本輪可暫時定義： ### Projection Artifact 只在某一 base / scale grammar 出現。 ### Projection-Sensitive Quantity 跨 base 都存在，但數值會系統性改變。 ### Cross-Projection Persistent Pattern 在多個 base 的有限驗證中保留同方向或同型態。 ### Projection Invariant 必須有更強證明，不能只由有限 cross-base persistence 宣稱。 因此： \[ \boxed{ \text{Persistent} \neq \text{Invariant}. } \] 這個區分很重要。 --- # 12. DMSD 原本的 Representation Audit 通過第一輪實戰 Phase 1 時我們只是規定： > 十進制 pattern 必須換 base 檢查。 現在真的執行後，得到的不是： ```text 全部是 decimal artifact ``` 也不是： ```text 全部都是 invariant ``` 而是一個更合理的中間結果： \[ \boxed{ \text{部分方向跨 base 存活， 但投影數值和局部幾何仍高度 base-sensitive。} } \] 這正是 representation audit 應該提供的資訊。 --- # 13. 對 Phase 3B center bias 的重新解讀 上一輪看到： \[ B_{10,k}<0. \] 如果只看 decimal，容易產生： > 是否存在特殊 decimal prime geometry？ 現在換 base 後，negative sign 仍出現。 所以更合理的假說變成： > 這可能主要來自 multiplicative interval 內 prime density 由左至右下降，而不是十進制特有規律。 這就是 cross-base audit 的價值： \[ \boxed{ \text{它會改變我們對 pattern 成因的解釋。} } \] --- # 14. 下一步不應立刻猜 theorem 目前最自然的下一輪不是： > 「證明 center bias 永遠負。」 而是先進： # DMSD Phase 3D — Scale-Normalized Density Model 把已知的 density-decay baseline 納入， 例如建立一個簡單 reference profile： \[ w(x)\propto\frac1{\log x}. \] 然後問： > 把「prime density 隨 x 下降」這個已知一階效果拿掉之後，local-position histogram 還剩下什麼 residual structure？ 也就是從： \[ H_{\text{observed}} \] 分離： \[ H_{\text{baseline}} \] 與： \[ H_{\text{residual}}. \] 這會比直接對原始 histogram 找圖案更乾淨。 --- # 15. 結論 本輪最重要的結果是： \[ \boxed{ \text{Prime ontology survives base change trivially, but prime projection geometry does not.} } \] 同時，目前 finite exact data 顯示兩個方向： \[ \boxed{ \text{negative normalized center bias} } \] 與： \[ \boxed{ \text{increasing adjacent-scale shape similarity} } \] 在 base 2 / 8 / 10 / 16 中都沒有立刻消失。 因此它們值得進一步做 baseline removal， 但還完全不足以叫做 base-independent invariant。 DMSD 的 representation audit 在這裡第一次真正完成它的工作： > **不是只找漂亮圖，而是主動問：漂亮圖換一種觀看空間後還剩多少？** --- ```text DMSD Phase 3C: COMPLETE Validation: PASS Next: DMSD Phase 3D — Scale-Normalized Density Model ```