# 02 — CPL：$70\%/80\%/90\%/99\%$ 目標梯

## 1. 基本定義

$$
P_q:\quad
\liminf_{T\to\infty}
\frac{N_0^s(T,2T)}{N(T,2T)}\ge q.
$$

研究的是 proportion certificate，而不是 RH progress bar。

---

## 2. 目標表

| 節點 | 狀態 | 目前可說的最強依據 |
|---|---|---|
| $P_{2/3}$ | 無條件已證 | Claude Theorem B |
| $P_{67.25}$ | 無條件已證 | Claude Theorem D |
| $P_{68.185}$ | certificate ceiling statement | bandwidth-one configuration-wise class；不是「已達比例」 |
| $P_{70}$ | 未證 | same-route rough support $\approx1.04$；conditional 4th-moment route可到 $13/18$ |
| $P_{80}$ | 未證 | same-route rough support $\approx1.26$ |
| $P_{90}$ | 未證 | same-route rough support $\approx1.70$ |
| $P_{99}$ | 未證 | 論文未給 support threshold；禁止外插 |
| $P_{100}^{density}$ | conditional mechanism endpoint | full PCC 或 sufficiently rich higher moments 可給 density $1$，仍不等於 RH |

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## 3. Horizontal-multiplicity 共同比例座標

相關 Goldston–Suriajaya / GLSS 路線提供一個可比較的常數 $C$：若對相應 horizontal / symmetric-diagonal count 得到

$$
\mathcal H(T)\le(C+o(1))N(T),
\qquad 1\le C<2,
$$

則 simple-critical proportion 至少可下界為：

$$
2-C.
$$

因此 CPL target 可轉成：

| 目標 | 需要的 $C$ |
|---|---:|
| $70\%$ | $C\le1.30$ |
| $80\%$ | $C\le1.20$ |
| $90\%$ | $C\le1.10$ |
| $99\%$ | $C\le1.01$ |
| density $100\%$ | $C\to1$ |

此座標方便比較不同 certificate，而不把它們誤當同一證明方法。

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## 4. 真正的研究平面

至少用二維座標：

$$
(\sigma,k),
$$

其中：

- $\sigma$：可控制的 pair-correlation Fourier support / bandwidth；
- $k$：可可靠取得的 spectral moment 階數。

把比例視為：

$$
q=q(\sigma,k,\mathcal I),
$$

其中 $\mathcal I$ 代表額外的 arithmetic correlation information。

### Axis A：Support expansion

$$
1\to1.04\to1.26\to1.70\to\cdots
$$

主要 QCI 是 off-diagonal prime correlations。

### Axis B：Moment expansion

$$
2\to4\to6\to\cdots
$$

主要 QCI 是 higher additive correlations / Hardy--Littlewood-strength asymptotics。

### Axis C：Certificate enrichment

不增加 support / moments，而增加 zero-side block geometry、額外 invariant 或更強 configuration constraint。

這一軸目前最未知，也可能是我們之後與拓樸/QCI 研究接軌的地方。

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## 5. $P_{70}$：第一個真正突破點

### Route A — Support

要從目前無條件：

$$
\sigma=1
$$

跨到約：

$$
\sigma\approx1.04.
$$

數字只增加 $0.04$，但 proof regime 發生質變，因為開始需要目前未知的 off-diagonal prime-pair information。

### Route B — Fourth Moment

若得到論文的 $HL^*(4,\lambda)$ 條件：

$$
P\ge\frac{13}{18}\approx72.22\%.
$$

因此 $P_{70}$ 不是純粹幻想；有一個明確 conditional bridge。

### Route C — Broader bandwidth-one certificate

Remark 1.1 給出的 $68.185\%$ ceiling 表示：即使不只限於 §7.1 的 window optimisation，某個更廣的 bandwidth-one configuration-wise 類別仍在 $70\%$ 前卡住。

所以若 Route C 要成功，必須先釐清該 ceiling 的**精確假設集合**，找到不屬於它的資訊或 invariant。

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## 6. $P_{80}$ 與 $P_{90}$

論文只稱 support 數值為 roughly：

$$
\sigma_{80}\approx1.26,
$$

$$
\sigma_{90}\approx1.70.
$$

後續不能只引用這兩個數字；需要重建它們來自哪個 extremal law，建立可重算的：

$$
q\mapsto\sigma_{\min}(q).
$$

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## 7. $P_{99}$

目前最嚴格的研究紀律：

$$
\boxed{\text{不猜 }\sigma_{99}.}
$$

已知可定義：

$$
P_{99}:q=0.99,
$$

在 $C$-座標相當於：

$$
C\le1.01.
$$

真正第一問應是：

$$
\boxed{
\inf\{\mathcal I:\ \mathcal I\text{ 足以推出 }P_{99}\}
}
$$

而不是從 $1.04,1.26,1.70$ 做曲線擬合。

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## 8. QCI 解讀

CPL 是 Quantitative Closure Interface 的一個乾淨壓力測試：

$$
\text{spectral structure}
\to
\text{prime-side representation}
\to
\text{support/moments}
\to
\text{uniform asymptotics}
\to
\text{proportion certificate}.
$$

每次提高 $q$，都應記錄：

1. 哪個資訊域不足；
2. 缺的是 support、moment、configuration constraint 還是 arithmetic input；
3. 新資訊是否無條件合法；
4. 誤差是否 uniform；
5. certificate 的 sharpness domain 是什麼。