# Kurihara 有限證書：可重播規格

本包只處理曲線 $E:y^2+y=x^3+x^2-2x$、$N=389$、$p=11$、$n=397\cdot991=393427$。所有矩陣與總和均以整數／有限域算術計算，沒有浮點 $L$ 值、Sage 資料庫或預先存好的特徵向量作為計算輸入。

## 1. 生成元、關係、plus

固定 $390$ 個生成元的零起算排序

$$
(1,0),(1,1),\ldots,(1,388),(0,1).
$$

$m(c,d)=g\{0,\infty\}$，其中 $g\in\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ 的底列在模 $389$ 下為 $(c,d)$ 的射影類。若 $c\ne0$，索引為 $dc^{-1}\bmod389$；$c=0$ 時索引為 $389$。產生器對 $(1,t)$ 使用提升 $g=\left(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&t\end{smallmatrix}\right)$，因此路徑是 $\{-1/t,0\}$。

關係矩陣含各 $390$ 條二項與三項關係：

$$
m(c,d)+m(d,-c)=0,
$$

$$
m(c,d)+m(d,-c-d)+m(-c-d,c)=0.
$$

這是 Manin presentation，係數特徵 $11$ 避開 $2,3$ 的橢圓點 torsion。其與相對模符號的對應參見 [Stein，Chapter 3](https://wstein.org/books/modform/modform/weight_two.html)。

幾何共軛 $z\mapsto-\bar z$ 對 $2\pi i\int f(z)dz$ 給出複共軛，因此實部 functional 的 plus 條件為

$$
\lambda(c,d)=\lambda(-c,d).
$$

Stein Chapter 8 的 star 定義帶額外負號；不能混用其 plus 標籤。完整慣例審查見 notes/twin_conventions.md。

## 2. Hecke 與線性代數證據

對 $q\nmid389$，使用

$$
T_q\{\alpha,\beta\}
=\{q\alpha,q\beta\}
+\sum_{t=0}^{q-1}\{(\alpha+t)/q,(\beta+t)/q\}.
$$

第 $i$ 列儲存 $T_qm_i$；functional 是列向量，方程為 $H_q\lambda=a_q\lambda$。$a_q$ 直接由原曲線點數計算。

| 階段 | 矩陣大小 | 秩 | 核維數 |
|---|---:|---:|---:|
| Manin 關係 $R$ | $780\times390$ | $325$ | $65$ |
| $T_2,T_3,T_5$ 條件限制於 $\ker R$ | $1170\times65$ | $63$ | $2$ |
| 幾何 plus 條件限制於 Hecke 核 | $390\times2$ | $1$ | $1$ |

產生器存下每一階段的非零 RREF 列、pivot 索引、核基底與變換後矩陣。完整七個 Hecke 矩陣也保存於 results/eigenline_certificate.json。額外檢查 $q=7,13,17,19$ 的特徵值 $-5,-3,-6,5$；七個算子均須下降至 Manin 商空間，$T_2,T_3$ 須在整個商空間交換。

獨立驗證使用不同演算法：以稀疏字典及逐一有限域運算消元；Hecke 算子用 Merel 矩陣，並檢查其有限 cusp 邊界條件 $C_q$，再比較在完整 $65$ 維商空間的作用。來源為 [Stein，Chapter 8，Hecke Operators on Manin Symbols](https://wstein.org/books/modform/modform/_sources/modular_symbols.txt)。

## 3. 事前固定尺度

正規化規則是「在上述固定排序下，第一個非零座標等於 $1$」。本次第一個非零座標索引是 $5$，即

$$
\lambda(1,5)=1.
$$

完整特徵線 JSON 在求和開始前寫入，雜湊為

~~~text
4d7c0b581ad146ccdd906761b63653a7f3281f2b3904673bd53141bb70195a48
~~~

求和後再檢查檔案雜湊未變。執行順序記錄於 results/producer_events.json；產生器拒絕覆寫既存證書。程式不接受「期望 residue」參數。

## 4. 路徑與有限總和

使用 $\{\infty,a/n\}$ 的方向，與 [Kim v6，§1.4](https://arxiv.org/html/2203.12159v6) 的 Néron 正規化實部模符號相容。

產生器對有理數作普通連分數展開。相鄰漸近分數 $u/v$、$a/b$ 滿足 $s=av-ub\in\{1,-1\}$；矩陣 $\left(\begin{smallmatrix}sa&u\\sb&v\end{smallmatrix}\right)$ 行列式為 $1$，所以該邊的 Manin 符號是 $m(sb,v)$。逐邊相加即指定 cusp 路徑。獨立驗證改用模反元素選擇平衡 Farey parent，每步分母至少減半，並逐項核對同一 functional 的值。

固定 primitive roots $5\pmod{397}$、$6\pmod{991}$，定義

$$
\delta_n^{\lambda}
=\sum_{\substack{1\le a<n\\(a,n)=1}}
\lambda\{\infty,a/n\}
\log_5(a\bmod397)\log_6(a\bmod991)
\quad\text{於 }\mathbb F_{11}.
$$

完整離散對數表由 primitive-root orbit 建立；獨立驗證投影至階 $11$ 子群重算。兩個輔助素點的精確數據為

| $\ell$ | $a_\ell$ | $\#E(\mathbb F_\ell)$ | $(\ell-1)/11$ | $(a_\ell-\ell-1)/11$ |
|---|---:|---:|---:|---:|
| $397$ | $24$ | $374$ | $36$ | $-34$ |
| $991$ | $-53$ | $1045$ | $90$ | $-95$ |

故皆為指定 mod-$11$ Kolyvagin 素點，且其 $\mathbb Z_{11}$ 理想 $I_\ell=(11)$。

全部 $\varphi(n)=392040$ 個單位都寫入 CSV，包括權重為零者。每列為 a,symbol,log_397,log_991,term，所有非 a 欄位均取 $0,\ldots,10$ 的代表；term 為乘積模 $11$。JSON 的 raw_product_sum 則先把 symbol 與兩個 log 的代表相乘，再在整數中求和。另保存 $40$ 個 a-區間的局部項數、整數和、模 $11$ 和。

本次產生器得到整數和 $43{,}605{,}160$，故 residue 是 $5$。是否經獨立重播通過，應讀 results/independent_verification.json 與執行紀錄，不能僅由此敘述判定。

## 5. 原稿數字 $6$ 的狀態

原 v0.2 只寫 deterministic normalization，未提供向量、排序與完整正規化程式。以本包明定的尺度，結果是 $5$，所以原稿的字面 residue $6$ 沒有重播成立。缺口精確位於「原稿特徵向量正規化與本包正規化之比」的辨識。

非零特徵向量乘上 unit 會使總和乘上同一 unit；因此一個完整重播的 $5\ne0$ 證書，可以替代原有限非零性義務。它不證明原稿曾經計算出 $6$，也不給出 Néron 絕對尺度。canonical 模 $11$ 非零性須另外接上已修復的 primitive 橋接；本包不藉調尺度配合舊答案。