# 原始來源：版本、精確定位與適用界線

查核日期：2026-09-08。表中「核對」指讀取定理、相關定義或其證明所明示的假設；不是聲稱重證整篇論文。原文採用 published 或 preprint 的身份分別記錄。沒有以搜尋摘要替代主定理。

| 識別 | 原始來源及版本 | 核對位置 | 結果與界線 |
|---|---|---|---|
| KIM | [Kim，arXiv v6](https://arxiv.org/html/2203.12159v6)，2025-05-14；final manuscript | Cor1.6；§1.4.1、1.4.3；Thm1.8、1.10 | varying ideals 與 mod-p collection 不同；1.8 前半 Selmer 結構不用先假定 Sha finite；1.10 的 IMC equivalence 另有 local-p torsion、Tamagawa 條件 |
| CS | [Castella–Sano v1](https://arxiv.org/pdf/2601.14504v1)，2026-01-20，preprint | pp1–3，Theorems A、B、CorA 證明 | good ordinary 下，surjective residual、Manin unit、p>3、non-CM 給 refined divisibility；Tamagawa unit 才給 mod-p primitive witness。已用於05§7；不是指定 n 的計算 |
| BCS | [Burungale–Castella–Skinner v2](https://arxiv.org/html/2405.00270v2)，2025-03-18，accepted IMRN version | Thm1.1.2(a)(b)、Cor1.3.1 | good ordinary、p>3、irreducible；(a) 在 Λ⊗Qp，(b) 加 (im) 才在 Λ。BSD corollary 僅 analytic rank 0/1 |
| BKS19 | [Burns–Kurihara–Sano v2](https://arxiv.org/html/1910.07404v2)，2020-04-17；published JMSJ 76 (2024) | §2.1 的格與period；(2.3.2)–(2.3.3)；§2.4、5 | GPR 是未供應的複數比較；regulator 有 tf projection 與 r−1 次數。arXiv v2 不直接等同未逐字比對的期刊定稿 |
| BKS21 | [Burns–Kurihara–Sano v1](https://arxiv.org/html/2103.11535v1)，2021-03-22；後刊 IMRN 2025 | Hyp2.2(iii)、§3、§5.3 | 乘積中含 ramified auxiliary primes 的 nonsingular group orders。本例397、991違反此假設，直接 non-anomalous 套用不可用 |
| MCS | [Macias Castillo–Sano v1](https://arxiv.org/html/2603.23978v1)，2026-03-25，preprint | Thm3.4；Appendix A；Thm2.20 的接口 | determinant-to-Stark 需 Hyp2.11、core vertex 與相符 Euler characteristic；本輪未為 anomalous norm 結構建立完整實例。不能從 theorem 名稱推得 B_N 的 canonical identification |
| MILNE | [Arithmetic Duality Theorems，第二版](https://www.jmilne.org/math/Books/ADTnot.pdf)，2006-07-01 版 | I Example0.7，Lemma2.9 證明，§2–3 | 譜序列、未分歧商上同調與慣性；本輪的杯積 scalar 與實際局部化另給完整證明 |
| FW | [Fouquet–Wan v3](https://arxiv.org/pdf/2107.13726v3)，2022-04-08，preprint | Thm1.1 p3，Thm1.7 p7，Cor1.10 pp8–9 | odd p、絕對不可約 odd residual、local forbidden ratio、不同於p的 ramified nonsplit Steinberg witness；需要把 E[p] twist(-1) 對齐來源慣例 |
| SK | [Skinner v1](https://arxiv.org/pdf/1407.1093v1)，2014-07-04；PJM 283 (2016) | Theorem C p3 | ordinary／multiplicative p≥3、residual irreducible、另一個 ramified multiplicative prime、L(1)≠0；不要求全域 semistability |
| BSTW | [Burungale–Skinner–Tian–Wan v2](https://arxiv.org/pdf/2409.01350v2)，2024-09-11，preprint | Thm9.21(c) p84 及證明 | ramified quadratic-twist route 需要 witness 避開 twist discriminant；積分 equality 條件不可省略；後續 descent 由 BH 的論證接口供應 |
| BH | [Banwait–Huang v3](https://arxiv.org/html/2601.16044v3)，2026-06-04，preprint | Prop2.9(1)、Remark2.10、Thm2.14(1)、Thm2.18 | semi-stability 的 witness 用途可用直接假設替換；2-primary 族須精確 base rank/period/2-BSD/inertness/splitting 輸入 |
| ZHAI | [Zhai v2](https://arxiv.org/pdf/1409.0231v2)，2017-12-03 | Thm1.1–1.2 pp1–2 | BH negative-discriminant/no-2-torsion 分支之原始來源；使用 least positive real period，696e1 負判別式時 real-component factor=1 |
| CM | [Creutz–Miller v2](https://arxiv.org/pdf/1105.4018v2)，2012-09-17 | Theorem1.1 p2 | N<5000 且 analytic rank≤1 的 full BSD；支持後期 base-anchor 修補，仍需曲線滿足條件 |
| CNS | [Česnavičius–Neururer–Saha v3](https://arxiv.org/pdf/1911.09446v3)，2022-11-02；JEMS26 (2024) | introduction p2，Manin-unit 歷史結果 | good-prime period 與大 additive prime 子類相符；特定 Edixhoven1991 原文未另讀，故該更細分支不是本輪獨立完整核對 |

## 版本漂移

Kim 與 BCS 的 arXiv HTML 出現 2026-08-24 的內文 Date，與頁首 version submission date 不同。本輪不據此宣稱有新的 arXiv version；citation pin 使用 v6、v2 及其提交日期。CS v1 的定理另由固定 PDF 核對。

FW／BSTW 的 abstract version records 與所用 v3／v2 相合。其他論文如同時有期刊與舊 arXiv，表內已明示實際讀取版本；沒有宣稱逐字核對所有出版版本。

原 Phase 1 repo commits 的歷史內容、MST 11-adic regulator 原始重算、Edixhoven1991 全文與 Phase 0 closure map 的其餘文獻，不是本輪已完成的外部核對；相關 claim 不作 VERIFIED 升級。

## 所有原始定理都不能供應的邊

此表沒有任何定理直接把本輪的 $2XY$ 局部投影認作秩二複數 BSD 主項。IMC、refined nonvanishing、determinant-to-Stark、環境 Bockstein 及複數 GPR 的係數與局部條件需逐邊比對。05 已給出新增可證的邊，03 明示剩餘切口。