# 可核驗的新進展：局部範數矩陣的實際 Bockstein 來源

日期：2026-09-08。本文提供數學證明、整數／有限域精確計算，以及明示的原始定理。沒有使用形式化證明助理；「新」指相對於提供的研究包新增，不主張文獻優先權。

## 1. 對象與主定理

固定

$$
E:\ y^2+y=x^3+x^2-2x,\qquad
p=11,\quad k=\mathbb F_{11},\quad V=E[11],
$$

以及有理點 $P=(0,0)$、$Q=(1,0)$。令 $F_\ell$ 為 $\mathbb Q(\zeta_\ell)$ 中唯一的 $11$ 次子域，$\ell=397,991$，並令

$$
F=F_{397}F_{991},\quad
G=\operatorname{Gal}(F/\mathbb Q)=C_{11}\times C_{11},\quad
A=k[G],\quad J=\ker(A\longrightarrow k).
$$

兩個子域都為實域，且因導子互質而線性不交。選取兩個 Galois 群生成元，寫

$$
X=\gamma_{397}-1,\qquad Y=\gamma_{991}-1.
$$

令 $\Sigma=\{\infty,11,389,397,991\}$。以下使用直接的群環作用，而非逆作用：

$$
g(v\otimes a)=gv\otimes\bar g a.
$$

實際商映射 $G_{\mathbb Q,\Sigma}\to G$ 給出短正合列

$$
0\longrightarrow V\otimes_k J/J^2
\longrightarrow V\otimes_k A/J^2
\longrightarrow V\longrightarrow0.
$$

由此定義環境 Galois 上同調的連接映射

$$
\beta_\Sigma:H^1(G_{\mathbb Q,\Sigma},V)
\longrightarrow H^2(G_{\mathbb Q,\Sigma},V)\otimes_k J/J^2.
$$

「環境」表示此處尚未放入全域 Selmer 複形的局部條件錐。設 $U$ 為 $P,Q$ 的全域 Kummer 類所張成的子空間。本文會證明 $\dim_k U=2$，並不假定 $U$ 是整個 Selmer 群。

**主定理。** 將 $\beta_\Sigma|_U$ 局部化到且僅到 $397,991$，記此映射為 $B_{\{397,991\}}$。在下文指定的局部上同調基底 $e_{397},e_{991}$ 下，

$$
B_{\{397,991\}}=
\begin{pmatrix}
X&2X\\
Y&4Y
\end{pmatrix},
$$

且其外積配合增廣分次乘法滿足

$$
\boxed{
\det B_{\{397,991\}}(P\wedge Q)
=2(e_{397}\wedge e_{991})\otimes XY\ne0
}
$$

於

$$
\bigwedge\nolimits^2_k
\left(H^2(\mathbb Q_{397},V)\oplus H^2(\mathbb Q_{991},V)\right)
\otimes_k J^2/J^3.
$$

這不是整個 $\beta_\Sigma$ 的行列式，也不是 BKS 或 Nekovář 調節子的同一性定理。數字 $2$ 依賴指定基底；非零性及相應張量線上的元素才有正確的換基意義。

## 2. 範數商引理

**引理 2.1。** 設 $K/\mathbb Q_\ell$ 為有限擴張、$\ell\ne p$，$E/K$ 有良好約化，$L/K$ 為完全分歧的循環 $p$ 次擴張。則

$$
N_{L/K}E(L)=pE(K),
\qquad
E(K)/N_{L/K}E(L)
\simeq\widetilde E(k_K)/p\widetilde E(k_K).
$$

**證明。** 約化正合列的核 $E_1(K)$ 是形式群。因 $p$ 在 $\mathcal O_K$ 可逆，形式冪級數 $[p](T)$ 的一次係數可逆，因此 $[p]:E_1(K)\to E_1(K)$ 為雙射。所有 $E_1(K)$ 點均為範數：取 $py=z$，把 $y\in E_1(K)$ 視為 $L$ 點便有 $N(y)=py=z$。

完全分歧使剩餘域不變，所以 $N$ 在約化群上是乘 $p$。於是

$$
NE(L)\subseteq\operatorname{red}^{-1}(p\widetilde E(k_K)).
$$

若右側含有 $x$，先提升一個滿足 $p\bar y=\bar x$ 的剩餘域點，再利用 $E_1(K)$ 的唯一 $p$ 可除性，得 $x\in pE(K)$。另一方面任意 $y\in E(K)$ 都有 $py=N(y)$。三者遂相等。$\square$

這修補了原 v1.1 證明中把形式對數當成整個分歧擴張形式群的同構之過強用法；上述證明完全不需要它。

良好約化及 $\ell\ne p$ 同時給出 Kummer 同構

$$
E(K)/pE(K)\simeq H^1_{\rm ur}(K,E[p]).
$$

例如可在光滑整模型上使用有限 étale 的乘 $p$ 映射，再用有限域上橢圓曲線的 Lang 定理。其局部上同調背景見 [Milne，Arithmetic Duality Theorems，第二版 I §2–3](https://www.jmilne.org/math/Books/ADTnot.pdf)。

## 3. tame Bockstein 引理

**引理 3.1。** 設 $K=\mathbb Q_\ell$、$\ell\ne p$、$\ell\equiv1\pmod p$，$V$ 為有限維未分歧 $k=\mathbb F_p$ 表示。令 $\psi:G_K\to k$ 為在慣性群上非零的 tame 加法特徵。由

$$
\rho_\varepsilon(g)=\rho(g)(1+\varepsilon\psi(g)),
\qquad\varepsilon^2=0
$$

所定義的連接映射 $\beta_\psi:H^1(K,V)\to H^2(K,V)$，限制到 $H^1_{\rm ur}(K,V)$ 後為同構。

**證明。** 將一個連續 $1$-cocycle $c$ 提升為沒有 $\varepsilon$ 項的 cochain。其 coboundary 的 $\varepsilon$ 係數是

$$
(g,h)\longmapsto\psi(g)\,g c(h).
$$

所以 $\beta_\psi(c)=\psi\cup c$。逆群環作用會帶來相反號，須全篇一致。

令 $\Phi$ 表示算術 Frobenius 在 $V$ 的作用。野慣性群的高階 $p$-上同調消失，tame $p$-慣性群為 $\mathbb Z_p(1)$。因而

$$
H^1(I_K,V)\simeq V(-1),
$$

其 Frobenius 作用為 $\ell^{-1}\Phi$。未分歧商群具有 $p$-上同調維數 $1$。Hochschild–Serre 譜序列於此給出

$$
H^1_{\rm ur}(K,V)=V/(\Phi-1)V,\qquad
H^2(K,V)\simeq V/(\ell^{-1}\Phi-1)V.
$$

選定 tame 慣性生成元 $\tau$ 後，上式第二個同構的基底選擇即固定。杯積在譜序列的 $(1,0)\times(0,1)$ 項，是將

$$
v\longmapsto\bigl(\tau\longmapsto\psi(\tau)v\bigr).
$$

因此在兩個商空間上，它是乘以 $\pm\psi(\tau)$。由 $\ell=1$ 於 $k$，兩個商相同，且 $\psi(\tau)\ne0$，故為同構。此論證沒有假設 $\Phi$ 半單，尤其包含 unipotent anomalous 情形。$\square$

這裡用到的譜序列與局部計算可對照 [Milne，I Example 0.7、Lemma 2.9 的證明](https://www.jmilne.org/math/Books/ADTnot.pdf)；杯積在本表示上的具體作用由上述 cochain 計算給出。

**推論 3.2。** 在 $\psi$ 上加上一個未分歧特徵，不改變其在 $H^1_{\rm ur}$ 上的 Bockstein。

**證明。** 新增杯積完全從未分歧商群膨脹而來；該群的二階 $p$-上同調為零。$\square$

因此引理本質上依賴非零 tame 特徵這條線；選取不同非零尺度只會乘上一個 $k^\times$ 元素。

## 4. 精確局部證書

在本節的範數商中，$L_\ell=(F_\ell)_w/\mathbb Q_\ell$ 指單一子域 $F_\ell$ 在 $\ell$ 的完備化，是完全分歧的 $11$ 次擴張。它不是整個合成域 $F$ 的完備化；後者可能另含未分歧部分。

為了補足提供的 ZIP 沒有執行碼這一證據缺口，本輪重算主定理真正需要的兩個局部群；未重跑大型 Kurihara 求和。

座標變換

$$
X=36x+12,\qquad Y=216y+108
$$

得到

$$
Y^2=X^3-3024X+46224,\quad P'=(12,108),\quad Q'=(48,108).
$$

本節的 $X,Y$ 是短模型座標，與其他節的增廣變數分開使用。變換在 $397,991$ 皆整係數可逆。微分滿足 $\omega_{\rm short}=\omega_{\rm min}/6$；本節只計算有限群，不比較高度或週期。

| $\ell$ | $\#E(\mathbb F_\ell)$ | $a_\ell$ | $m=\#E/11$ | $mP'$ | $mQ'$ | 相對 $mP'$ 的 $mQ'$ 座標 |
|---:|---:|---:|---:|---|---|---:|
| 397 | 374 | 24 | 34 | $(281,236)$ | $(11,334)$ | 2 |
| 991 | 1045 | −53 | 95 | $(39,97)$ | $(865,243)$ | 4 |

程式用平方表枚舉、Legendre character sum 兩種方法核對點數，再確認 $P'$ 的軌道等於整個群。兩群均循環，$11$ 恰好只除群階一次，故乘 $m$ 將商群 $E(\mathbb F_\ell)/11$ 同構到其 $11$-torsion 子群。

因此在以 $P$ 為基底的範數商上

$$
\lambda_{397}(aP+bQ)=a+2b,\quad
\lambda_{991}(aP+bQ)=a+4b.
$$

行列式 $2\in k^\times$ 說明 $P,Q$ 在 $E(\mathbb Q)/11E(\mathbb Q)$ 的類線性獨立，從而 $\dim U=2$。這個論證不需要先知道 $\operatorname{Sel}_{11}$ 的維度。

附帶重播也得到 $Q'=244P'$ 模 $397$、$Q'=356P'$ 模 $991$，以及同時約化映射的核格基

$$
(5742,-22),\qquad(-254980,1045),
$$

格指數 $390830=374\cdot1045$。同時映射滿射，因兩個模數的公因數為 $11$ 且 $356-244$ 模 $11$ 非零。這個附帶計算只用來交叉核對原 v1.1 的一致性。

可重播檔案：src/exact_arithmetic.py、src/reproduce.py、tests/test_exact.py；已執行結果在 results/exact_results.json 與 results/test_output.txt。

## 5. 主定理證明：真正的全域來源與交叉項消失

寫實際商映射的一階展開為

$$
\bar g=1+\psi_{397}(g)X+\psi_{991}(g)Y\pmod{J^2}.
$$

兩個 $\psi_\ell$ 是實際循環擴張的加法特徵，並非事後任意配上的矩陣係數。由 §3 的 cochain 計算，

$$
\beta_\Sigma(c)
=(\psi_{397}\cup c)\otimes X+
(\psi_{991}\cup c)\otimes Y.
$$

連接映射對限制映射具函子性。全域 Kummer 類在良好且異於 $11$ 的素點未分歧；所以 $\operatorname{loc}_\ell U\subset H^1_{\rm ur}(\mathbb Q_\ell,V)$。

在 $397$，$\psi_{991}$ 未分歧，其杯積依推論 3.2 為零；$\psi_{397}$ 在慣性上非零，依引理 3.1 為同構。在 $991$ 情形對稱。定義

$$
e_\ell=\beta_{\psi_\ell}(\operatorname{loc}_\ell P).
$$

§4 保證 $\operatorname{loc}_\ell P\ne0$，所以 $e_\ell$ 確為一維 $H^2(\mathbb Q_\ell,V)$ 的基底。局部座標 $Q=2P$、$Q=4P$ 遂給出主定理的矩陣。

最後

$$
A\simeq k[X,Y]/(X^{11},Y^{11}).
$$

故 $J^2/J^3$ 有基底 $X^2,XY,Y^2$。外積係數為 $4-2=2$，所以所稱元素非零。這是將 $J/J^2$ 的兩個一次項乘到 $J^2/J^3$；**不是**在 $A/J^2$ 中宣稱 $XY\ne0$。$\square$

結論：原 v1.3 手定義的算子，現在已被認作實際 cyclotomic 環境 Bockstein 的指定局部化。閉合的是 LOCAL-BOC-REALIZATION；Selmer 複形與調節子比較尚未閉合。

## 6. 局部可逆到底留下什麼：核的精確識別

**命題 6.1。** 設

$$
0\longrightarrow U_{\rm MW}
\longrightarrow S
\xrightarrow{q}\Sha(E/\mathbb Q)[p]\longrightarrow0
$$

為 Kummer 正合列，其中 $U_{\rm MW}=E(\mathbb Q)/pE(\mathbb Q)$、$S=\operatorname{Sel}_p(E/\mathbb Q)$。設 $\lambda:S\to W$ 為選定局部範數映射，且 $\lambda|_{U_{\rm MW}}$ 為同構。則

$$
\boxed{\ker\lambda\xrightarrow[\ q\ ]{\ \sim\ }\Sha(E/\mathbb Q)[p].}
$$

**證明。** 交集 $U_{\rm MW}\cap\ker\lambda=0$，故 $q$ 在此核上單射。任給 $s\in S$，

$$
s-(\lambda|_{U_{\rm MW}})^{-1}\lambda(s)
$$

屬於 $\ker\lambda$，且在 $\Sha[p]$ 中仍映到 $q(s)$，故滿射。代表元的改變恰被減去的 $U_{\rm MW}$ 項抵消。$\square$

若尚未證明本文 $U=U_{\rm MW}$，可用不需額外假設的版本

$$
\ker\lambda\simeq S/U
$$

（前提僅 $\lambda|_U$ 為同構），並有

$$
0\longrightarrow U_{\rm MW}/U
\longrightarrow S/U
\longrightarrow\Sha[p]\longrightarrow0.
$$

所以即使矩陣完全正確，也不能單靠它判定全域剩餘核消失。抽象反模型為 $S=k^4$、$U=k^2\times0$，$\lambda$ 的矩陣

$$
\begin{pmatrix}1&2&0&0\\1&4&0&0\end{pmatrix}.
$$

其局部資料完全相同，核卻為 $k^2$。這是對「僅靠這些資料的推論」之反例，不聲稱構造出具此 $\Sha$ 的特定橢圓曲線。

## 7. 原始正規化接縫：失效的理由與有效替代

原 P5 v0.2 §4 從 Kim Corollary 1.6 的整族非零性推出標準 plus modular symbol 模 $11$ 非零。該推論不成立。

在 [Kim v6，§1.4.3、Corollary 1.6、Theorem 1.8](https://arxiv.org/html/2203.12159v6)，原始 $\widetilde\delta_n$ 的係數環為 $\mathbb Z_p/I_n$；模 $p$ 版本另行定義。抽象反例是

$$
11\ne0\pmod{121},\qquad11=0\pmod{11}.
$$

因此該 Corollary 本身不能供應所需的 primitive modular-symbol 向量。失效的是引證邊，並非已反證 $\Sha[11^\infty]=0$。

**可獨立補上的前提。** 本曲線在 $11$ 的 canonical modular-symbol 向量可由更強的已知定理證為 primitive，方法如下。

精確不變量為

$$
b_2=4,\ b_4=-4,\ b_6=1,\ b_8=-3,\quad
c_4=112,\quad\Delta=389.
$$

因此模型最小，唯一壞素點 $389$ 為 $I_1$，$N=389$，$\prod c_\ell=1$。此外 $j=112^3/389$ 非整數，排除 CM。點數給出 $a_2=-2$、$a_{11}=-4$。Frobenius $2$ 的模 $11$ 特徵多項式

$$
t^2+2t+2
$$

之判別式 $7$ 不是 $\mathbb F_{11}$ 中的平方，故 $E[11]$ 全域不可約。在 $389$，Tate 曲線的慣性作用包含一個非平凡 transvection，因 $11\nmid v_{389}(\Delta)=1$；非分裂二次扭轉在慣性上無影響。

設 $H$ 為殘餘像、$t$ 為此 transvection。不可約性給出 $g\in H$ 把其固定線移到另一條線。以兩條線為基底，$t$ 與 $gtg^{-1}$ 是非平凡上、下單冪矩陣。因 $k$ 是質數域，其冪生成所有上、下 root subgroup，故 $H$ 含 $\mathrm{SL}_2(k)$。Weil 配對給出的 cyclotomic 行列式滿射，於是

$$
\bar\rho_{E,11}(G_\mathbb Q)=\mathrm{GL}_2(\mathbb F_{11}).
$$

使用 good-at-$11$ 的 Manin prime-to-$11$ 輸入時，應明確選用 strong Weil optimal quotient。若未獨立驗證本標號的最適性，取最小次數同源 $\alpha:E\to E_{\rm opt}$。若 $11\mid\deg\alpha$，則 $\ker\alpha\cap E[11]$ 是非零的 Galois 穩定子空間；不可約性迫使它等於 $E[11]$。於是 $\alpha$ 可經 $[11]$ 分解，違反次數最小性。故 $\alpha$ 與對偶同源的次數 prime-to-$11$。Néron 微分乘子之積為 $\deg\alpha$，所以各為 $11$-unit；實週期的同源核／餘核因子也 prime-to-$11$，Tamagawa 的 $11$ 部分亦不變。

對最適曲線，Manin prime-to-$11$ 是 [Kim §1.4.1](https://arxiv.org/html/2203.12159v6) 明示的 semistable-at-$p$ 輸入。使用 [Castella–Sano v1，Theorem B 及 Theorem A](https://arxiv.org/html/2601.14504v1)：$p>3$、non-CM、殘餘滿射、Manin 因子 prime-to-$p$、good ordinary，連同 $11\nmid\prod c_\ell$，得到某個 canonical Kurihara 數模 $11$ 非零。prime-to-$11$ 週期比將此性質傳回本曲線。

若所有 canonical plus Manin-symbol 值模 $11$ 均零，由整數 Manin 路徑分解，所有 Kurihara 求和也均零，矛盾。因此 canonical plus 向量模 $11$ 非零。

這修復了 primitive 前提本身。但原稿的 $390$ 維 Manin 關係計算、plus eigenspace 維數 $1$、特定 $\delta^\lambda_{397\cdot991}=6$ 的原始執行檔均未提供，也未在本輪重算。故僅可下結論：

$$
\boxed{
\text{上述缺失的有限證書若通過}
\Longrightarrow
\lambda_{\rm can}=u\lambda,\ u\in\mathbb F_{11}^{\times},
\quad\delta^{\rm can}_{397\cdot991}=6u\ne0.
}
$$

不得把「存在某個 primitive witness」改寫為「已重播指定 witness」。$\Sha[11^\infty]=0$ 的本輪狀態仍為條件性，尚未重新認證。

## 8. 為何還不能搬到 Selmer 調節子

**命題 8.1（殘餘複形不足）。** 令 $R=k[X,Y]/(X,Y)^2$。在次數 $1,2$ 放置自由複形

$$
C_0=[R^2\xrightarrow{0}R^2],
\qquad
C_1=\left[R^2\xrightarrow{
\left(\begin{smallmatrix}X&2X\\Y&4Y\end{smallmatrix}\right)
}R^2\right].
$$

二者模 $(X,Y)$ 的複形同為 $[k^2\xrightarrow0 k^2]$，但第一階連接映射分別為零與顯示的矩陣。

**證明。** 把殘餘源向量任意提升到 $R^2$，對其施行微分並取 $(X,Y)/(X,Y)^2$ 係數，正是連接映射的定義。$\square$

所以殘餘向量空間與非零有限行列式不會自行決定 canonical deformation。§5 已為環境 Galois 情形指定真實 deformation，故沒有落入此反模型；Selmer 局部條件的 deformation 與相容映射仍須另行提供。

此外還有真實的型別差異。[BKS v2，(2.3.2)–(2.3.3)](https://arxiv.org/html/1910.07404v2) 先投影到積分 $H^2$ 的 torsion-free 部分，再建構具有 $r-1$ 增廣次數的 regulator。本文是 $E[11]$ 的兩地局部投影，外積位於增廣次數 $2$。二者的係數、局部條件、投影及增廣次數並不相同。

[BKS 的另一篇文章 v1，Hypothesis 2.2(iii)](https://arxiv.org/html/2103.11535v1) 明確排除輔助素點群階被 $p$ 整除的情形；本例兩個素點恰好違反它。不能直接套用該文的 non-anomalous 公式消去這兩項。

本輪確定的剩餘工作是建構含 anomalous 局部修正項的 Selmer 複形比較，並證明其對增廣濾過、積分格與對偶性的相容性。即使這件事完成，複數主項

$$
\frac{L^{(2)}(E,1)/2!}{\Omega_E^+\operatorname{Reg}_\infty(E)}
$$

與導出算術元素之比較仍未證明。沒有在此把它先視為有理數或一個 canonical $11$-adic 數。