# 重建後的 canonical frontier

## 1. 選擇理由

Phase 1 的舊／新程式 census 是有限來源一致性問題；Phase 2 的 strongest rank-zero family 是若干現有定理加算術證书的路由。兩者沒有已證明的邊通往秩二複數主項。

P5 最後稿將手定義的範數矩陣稱為 finite norm-Bockstein，並明白留下 canonical comparison。此處最小而可觸及的子義務，是證明這個矩陣確為**實際擴張的上同調連接映射之指定局部化**。這比再次計算行列式多一個數學內容，又不把完整 GPR 放進假設。

在選擇前已完成整包覆蓋。沒有以最大版本號、網站 COMPLETE 標記或原 next-step 標題替代證據判斷。

## 2. 精確靶心

採用 05_NEW_MATHEMATICS.md 的 $E,V,F,G,A,J,U,\Sigma$，令

$$
W=H^2(\mathbb Q_{397},V)\oplus H^2(\mathbb Q_{991},V).
$$

一開始的待證義務為

$$
\boxed{
\begin{gathered}
\text{良好約化、實際 }C_{11}^2\text{ 擴張、}\\
\text{已重播的局部群與 Kummer 資料}
\end{gathered}
\Longrightarrow
\begin{gathered}
\operatorname{loc}_{397,991}(\beta_\Sigma|_U)=B_N,\\
\det B_N=2(e_{397}\wedge e_{991})\otimes XY\ne0.
\end{gathered}}
$$

此義務本輪已閉合。此式不假設 $\Sha$ 有限、不假設 Selmer 維数為 $2$、不假設 IMC、不假設 canonical Kurihara witness，更不假設 BSD。

## 3. 證明依賴切口

| 節點 | 輸入證據 | 可輸出的結論 |
|---|---|---|
| 局部群證書 | 整數／有限域程式及兩種點數法 | $U$ 的局部矩陣可逆 |
| 範數商引理 | 形式群的乘 $11$ 可逆性 | norm 商等於未分歧 Kummer 商 |
| tame Bockstein 引理 | cochain 與 Hochschild–Serre | own-prime 杯積為同構 |
| 交叉項消失 | 未分歧商的上同調維數 $1$ | other-prime 杯積為零 |
| 真實 cyclotomic 商 | 群環短正合列與函子性 | 矩陣的環境 Galois 來源 |
| **依賴切口** | 以下尚缺 | 不能越過 |
| Selmer 局部條件與 filtered complex 比較 | OPEN | 完整 CANON-BocID |
| 積分格、torsion、對偶性及 regulator 對接 | OPEN | 確定 canonical 算術元素 |
| 有理性／複數週期／高度與 GPR | OPEN | 秩二複數主項 |

可視化只表示本輪新增邊與仍開放的比較：

~~~mermaid
flowchart TD
    A["精確局部範數資料"] --> C["兩地 Bockstein 實現：已證"]
    B["實際 cyclotomic 擴張"] --> C
    C --> D["Selmer 複形與積分格比較：OPEN"]
    E["指定 Kurihara 證書：缺檔"] --> D
    D --> F["複數 GPR 比較：OPEN"]
    F --> G["秩二 BSD 主項：OPEN"]
~~~

這裡的箭頭表示所需依賴，並不表示只要上游完成便自動證明下游。特別是 $D\to F$ 需要新的比較定理。

## 4. 真正剩餘的最小形式義務

必須指定一個含 anomalous 局部條件的 filtered Selmer 複形 $\mathcal C_F$，及到環境 Galois 複形的映射，證明 reduction、localization 與 augmentation Bockstein 的相容。接著在**明確給定**的 determinant-line 識別下，證明兩地投影的首項就是本文元素。

下列寫法目前只能當待證要求：

$$
\boxed{
\text{已證的 LOCAL-BOC-REALIZATION}
+\text{filtered Selmer comparison}
+\text{必要的 torsion／格修正}
\Longrightarrow
\text{specified determinant specialization}.}
$$

這不宣稱 CANON-BocID 已等價於某個更容易的純線性代數命題。local-realization 子義務變小；全域難點仍在。其具體驗收條件列於 07。

## 5. 不選其他路線的原因

提高 $L''$ 的數值精度無法證明主項比值有理或 primitive。把 $p$ 改成 Kim 已有範例的 $5$，沒有減少複數比較義務。再次列舉 $696.e1$ 支持素數不會影響秩二切口。對原 500K 名單重跑全部 Sage Algorithm 1 也與此靶心無關。本輪只重算缺檔而且真正被新證明使用的有限條件。