# 重播通過後的 canonical frontier 增量

**有限證書已通過。** 新目錄重建、獨立算法逐項重播、四個核心檔案 byte 比較、11 項測試及其中 9 類重新封存雜湊的竄改測試全部成功，才寫入本增量。實際執行與程式雜湊見 results/fresh_replay.json；本增量的證據綁定見 results/frontier_delta.json。

基準是上一輪 GPT6_BSD_Stress_Test_Result_2026-09-08.zip，SHA-256：

~~~text
6af50772abb5edc140b49c79c0ffa552af6601c1cdb73bd7262443b050c7b7fc
~~~

## 1. 只修改由這份證書解除的義務

| 識別 | 本輪狀態 | 精確內容 |
|---|---|---|
| R304 | VERIFIED_FINITE | Manin rank $325$、商維數 $65$、三個 Hecke 條件核維數 $2$、幾何 plus 核維數 $1$ |
| R305：原稿字面數值 $6$ | NOT_REPRODUCED_NORMALIZATION_UNSPECIFIED | 原稿沒有留下可辨識的正規化；本次固定尺度的結果是 $5$ |
| K501：新有限替代證書 | VERIFIED_FINITE | 固定排序、$\lambda(1,5)=1$、固定 roots $5,6$ 下，$\delta^{\lambda}_{393427}=5\ne0$ |
| K502：指定 canonical witness | VERIFIED_THEOREM_APPLICATION | 與已驗證 R307 接合，$\overline\delta^{\rm can}_{393427}=5u\ne0$，$u\in\mathbb F_{11}^{\times}$ |
| R308 | VERIFIED_THEOREM_APPLICATION | $\operatorname{rank}E(\mathbb Q)=\operatorname{corank}_{\mathbb Z_{11}}\operatorname{Sel}_{11^\infty}=2$，且 $\Sha(E/\mathbb Q)[11^\infty]=0$ |
| R314 | VERIFIED_THEOREM_APPLICATION | $\operatorname{Sel}_{11}=\langle P,Q\rangle$；原定義的 full norm cube 維數為 $2,1,1,0$ |

R305 的原始數字不被悄悄更正為 VERIFIED。K501 是有完整尺度與重播紀錄的新證書，替代其被下游實際使用的「指定 $n$ 處非零」義務。

## 2. canonical 接合的最短證明

承接上一輪 05_NEW_MATHEMATICS.md §7 已審核的 R307：Néron 正規化的 plus 模符號在此相對 Manin 格上 $11$-整，模 $11$ 非零。其輸入包括殘餘滿射、Manin 因子為 $11$-unit、good ordinary、non-CM、Tamagawa 的 $11$ 部分為 unit；來源為 [Castella–Sano v1，Theorem B](https://arxiv.org/pdf/2601.14504v1) 及 [Kim v6，§1.4.1](https://arxiv.org/html/2203.12159v6)。上一輪已修復的 primitive 推論保持原樣，沒有改回「模某次冪非零即模 $11$ 非零」的失效理由。

該 canonical functional 滿足本包固定的幾何 plus 條件及 $T_2,T_3,T_5$ 特徵方程。R304 的一維性因此給出

$$
\overline\lambda_{\rm can}=u\lambda,
\qquad u\in\mathbb F_{11}^{\times}.
$$

K501 的同一組路徑與 roots 遂給出

$$
\overline\delta^{\rm can}_{397\cdot991}=5u\ne0.
$$

這裡只主張模 $11$ 的 unit 比例；沒有計算 Néron 的絕對尺度 $u$。又兩個 $I_\ell$ 都等於 $(11)$，故這正是 Kim 的該導體處 unit witness。

## 3. Selmer 後果不預設 Sha 有限

所需有限前提已以原算術程式的凍結副本重播，見 results/prior_input_replay.json：$P=(0,0)$、$Q=(1,0)$ 在兩個良好約化點的 $11$-商座標為

$$
\begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix},\qquad\det=2\ne0.
$$

所以 $P,Q$ 在 $E(\mathbb Q)/11E(\mathbb Q)$ 獨立；$\#E(\mathbb F_2)=5$ 排除有理 $11$-torsion，得到秩下界 $2$。

令 $S=\operatorname{Sel}(\mathbb Q,E[11^\infty])$。使用 [Kim Theorem 1.8(1)、(3)](https://arxiv.org/html/2203.12159v6)，指定 unit witness 與兩個獨立 Mordell–Weil 類給出

$$
2\le\operatorname{rank}E(\mathbb Q)
\le\operatorname{corank}_{\mathbb Z_{11}}S
=\operatorname{ord}(\widetilde{\boldsymbol\delta})
\le2.
$$

因此各值皆為 $2$。unit witness 又給 $\partial^{(2)}=\partial^{(\infty)}=0$，所以 $S/S_{\rm div}=0$。Kummer 正合列中 $E(\mathbb Q)\otimes\mathbb Q_{11}/\mathbb Z_{11}$ 注入可除群 $S$，兩者 corank 都為 $2$；其商是 corank $0$ 的可除 $11$-primary 群，必為零。故 $\Sha[11^\infty]=0$。這個推理沒有使用需先假設 Sha 有限的 Theorem 1.8(4)–(6)。

於是 $\operatorname{Sel}_{11}=E(\mathbb Q)/11E(\mathbb Q)=\langle P,Q\rangle$，上述兩列可升格為整個 Selmer 群上的 norm 檢測，原 full norm cube 的四個維數為 $2,1,1,0$。

## 4. 保持原狀的 frontier

R315 的完整 Mazur–Tate initial form、R317 的相應 mixed-line 比較，本輪沒有認證。單一 Kurihara 混合係數非零不提供其餘增廣係數。

R318／完整 CANON-BocID 與 R319／複數 GPR 仍為 OPEN。這份證書解除的是指定有限 witness 及上述直接後果，沒有供應尚缺的 filtered Selmer comparison、積分格／torsion 修正或複數主項比較。