# ACTM Round 34
## 三索引極端輔助函數、精確零點飽和與 Cubic One-More-Zero Barrier
### Three-Index Extremal Auxiliary Functions, Exact Zero Saturation, and the Cubic One-More-Zero Barrier

**研究計畫：** Algebraic Combinatorial Transcendence Methodology（ACTM）  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-04  
**版本：** Round 34 / v0.1  
**文件性質：** 正式研究筆記／cubic-dimensional auxiliary-function round  
**狀態聲明：** 本輪不宣稱 real BADT$_2$ 不可能，也不宣稱已完成 Philippon / Roy–Waldschmidt 型 zero-estimate proof。本輪將 Round 33 的 Cubic-Dimension Auxiliary Principle（CDAP）實作到精確線性代數層：構造具有 $T^3$ 個 algebraic coefficients / frequencies 的 explicit auxiliary exponential polynomial，精確飽和 $T^3-1$ 個 consecutive algebraic zeros，計算其下一個值與全部後續 moments，並證任何再多一個 real zero或一階 multiplicity都會立即矛盾。結果顯示 cubic-dimensional coefficient budget確實匹配 rank-$3$ Kummer complexity，但 dimension matching本身只到達 extremal boundary；真正 missing bridge被壓成 Cubic One-More-Zero Problem。

---

## 摘要

Round 33 指出 scalar truncated-log defect面臨：

$$
Q^3
\quad\text{vs}\quad
\log Q
$$

的 Taylor–Liouville efficiency gap。

因此提出：

**Cubic-Dimension Auxiliary Principle（CDAP）**

即 first three Type-P logarithms：

$$
\lambda,
\quad
s\lambda,
\quad
s^2\lambda
$$

對應 multiplicative rank-$3$ algebraic constants：

$$
A=e^\lambda,
\quad
B=e^{s\lambda},
\quad
C=e^{s^2\lambda},
$$

其 auxiliary coefficient space也應保留 cubic combinatorial dimension。

Round 34取最直接的三索引 exponential family：

$$
\boxed{
F_T(z)
=
\sum_{
0\le i,j,k<T
}
c_{ijk}
\exp
\left(
z\lambda
(i+js+ks^2)
\right).
}
$$

令：

$$
K=T^3.
$$

定義 bases：

$$
\boxed{
x_{ijk}
=
A^iB^jC^k.
}
$$

則：

$$
F_T(n)
=
\sum c_{ijk}x_{ijk}^n
$$

對每個 integer：

$$
n
$$

都是 algebraic number。

因：

$$
A,B,C
$$

multiplicatively independent，

所有：

$$
x_{ijk}
$$

pairwise distinct。

所以這是一個 $K$-term distinct-positive-base exponential sequence。

---

本輪第一主定理：

## Three-Index Exact Saturation Theorem

令所有 triples：

$$
\nu=(i,j,k)
\in
\{0,\ldots,T-1\}^3
$$

形成 index set：

$$
\mathcal I_T.
$$

定義：

$$
P_T(X)
=
\prod_{\nu\in\mathcal I_T}
(X-x_\nu).
$$

以及 canonical barycentric coefficients：

$$
\boxed{
c_\nu
=
\frac1{
P_T'(x_\nu)
}
=
\frac1{
\displaystyle
\prod_{\mu\neq\nu}
(x_\nu-x_\mu)
}.
}
$$

則：

$$
\boxed{
F_T(n)
=
0
\qquad
0\le n\le K-2,
}
$$

而：

$$
\boxed{
F_T(K-1)=1.
}
$$

更一般地：

$$
\boxed{
F_T(K-1+r)
=
h_r(
x_\nu:
\nu\in\mathcal I_T
)
\qquad
r\ge0,
}
$$

其中：

$$
h_r
$$

是 complete homogeneous symmetric polynomial。

因所有：

$$
x_\nu>0,
$$

所以：

$$
\boxed{
F_T(K-1+r)>0
\qquad
\forall r\ge0.
}
$$

因此 canonical cubic auxiliary在前：

$$
K-1=T^3-1
$$

個 integer points精確為零，而從下一個 integer開始全部嚴格正。

---

此 theorem 可由 partial fraction / residue identity直接證明。

有：

$$
\frac1{P_T(X)}
=
\sum_{\nu}
\frac{
c_\nu
}{
X-x_\nu
}.
$$

當：

$$
|X|
$$

large：

$$
\frac1{X-x_\nu}
=
\sum_{n\ge0}
x_\nu^nX^{-n-1}.
$$

所以右邊：

$$
\sum_{n\ge0}
\left(
\sum_\nu
c_\nu x_\nu^n
\right)
X^{-n-1}.
$$

另一方面：

$$
P_T(X)
=
X^K
\prod_\nu
\left(
1-\frac{x_\nu}{X}
\right),
$$

所以：

$$
\frac1{P_T(X)}
=
X^{-K}
\sum_{r\ge0}
h_r(x_\nu)X^{-r}.
$$

比較 coefficients：

$$
\sum_\nu
c_\nu x_\nu^n
=
0
$$

對：

$$
0\le n<K-1,
$$

$$
\sum_\nu
c_\nu x_\nu^{K-1}=1,
$$

以及：

$$
\sum_\nu
c_\nu x_\nu^{K-1+r}=h_r.
$$

證畢。

---

# 1. Multiplicative independence

假設：

$$
A^aB^bC^c=1
$$

with：

$$
a,b,c\in\mathbb Z.
$$

positive real logarithm給：

$$
a+bs+cs^2=0.
$$

因：

$$
s
$$

transcendental：

$$
a=b=c=0.
$$

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}
\langle A,B,C\rangle
=
3.
}
$$

---

# 2. Distinct cubic bases

若：

$$
x_{ijk}
=
x_{i'j'k'},
$$

則：

$$
A^{i-i'}
B^{j-j'}
C^{k-k'}
=
1.
$$

multiplicative independence給：

$$
(i,j,k)
=
(i',j',k').
$$

所以：

$$
\boxed{
|\{x_{ijk}\}|
=
T^3.
}
$$

---

# 3. Algebraic value property

若 coefficients：

$$
c_{ijk}
\in
K
=
\mathbb Q(A,B,C),
$$

則對 integer：

$$
n,
$$

$$
F_T(n)
=
\sum c_{ijk}
A^{in}
B^{jn}
C^{kn}
\in
K.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{integer-value zero conditions are purely algebraic linear conditions over a fixed number field}.
}
$$

這避免直接使用 transcendental derivative equations。

---

# 4. Vandermonde formulation

enumerate：

$$
x_1,\ldots,x_K.
$$

integer evaluation matrix：

$$
V_K
=
[x_j^n]_{
0\le n\le K-1,\,
1\le j\le K
}.
$$

其 determinant：

$$
\boxed{
\det V_K
=
\prod_{1\le i<j\le K}
(x_j-x_i)
\neq0.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
K\text{ consecutive integer zero conditions force all coefficients zero}.
}
$$

---

# 5. Extremal kernel

刪除最後一 row：

$$
n=K-1.
$$

得到：

$$
(K-1)\times K
$$

matrix：

$$
V_{K-1}.
$$

因任何：

$$
K-1
$$

columns形成 ordinary Vandermonde matrix，

$$
\operatorname{rank}V_{K-1}
=
K-1.
$$

所以：

$$
\boxed{
\dim\ker V_{K-1}
=
1.
}
$$

canonical vector：

$$
(c_j)
$$

正生成此 kernel。

---

# 6. Exact next-value normalization

選：

$$
c_j
=
1/P_T'(x_j).
$$

則：

$$
\boxed{
F_T(K-1)=1.
}
$$

所以 extremal auxiliary的「下一個 zero」不是 delicate small-value question：

$$
\boxed{
\text{canonical normalization下它精確等於 }1.
}
$$

---

# 7. Future-value positivity

對：

$$
r\ge0,
$$

$$
F_T(K-1+r)
=
h_r(x_1,\ldots,x_K).
$$

因：

$$
x_j>0,
$$

complete homogeneous symmetric polynomial為：

$$
h_r
=
\sum_{
a_1+\cdots+a_K=r
}
x_1^{a_1}\cdots x_K^{a_K}
>0.
$$

所以：

$$
\boxed{
F_T(n)>0
\qquad
n\ge K-1.
}
$$

對 canonical real normalization成立。

---

# 8. Exact consecutive-zero capacity

因此：

## Corollary R34.1

一個使用全部：

$$
K=T^3
$$

distinct frequencies：

$$
\lambda(i+js+ks^2)
$$

的 nonzero auxiliary exponential polynomial，至多可以有：

$$
K-1
$$

個 consecutive integer zeros。

canonical auxiliary精確達到：

$$
K-1.
$$

這也是 ordinary Vandermonde interpolation的 exact saturation。

---

# 9. Real zero-count saturation

更強地，因 frequencies：

$$
i+js+ks^2
$$

all real and distinct，

functions：

$$
e^{\lambda(i+js+ks^2)z}
$$

形成 extended Chebyshev system。

所以任意 nonzero：

$$
K
$$

term exponential polynomial在 real line上的 zeros counted with multiplicity至多：

$$
K-1.
$$

canonical auxiliary已有：

$$
K-1
$$

distinct real zeros：

$$
0,1,\ldots,K-2.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{all these zeros are simple}
}
$$

且：

$$
\boxed{
\text{it has no additional real zero anywhere}.
}
$$

---

# 10. One-extra-condition principle

因此對 canonical extremal cubic auxiliary：

任何以下一項都立即 contradiction：

1. 一個 additional real zero：
   $$
   F_T(t_\ast)=0
   $$
   with：
   $$
   t_\ast\notin\{0,\ldots,K-2\};
   $$

2. 任一既有 zero變成 multiple：
   $$
   F_T'(n_\ast)=0;
   $$

3. 任意額外 independent real vanishing condition that raises total real zero multiplicity beyond：
   $$
   K-1.
   $$

所以：

$$
\boxed{
\text{cubic auxiliary route again reduces to one extra condition}.
}
$$

---

# 11. Cubic One-More-Zero Problem

正式定義：

**Cubic One-More-Zero Problem（COMZP）**

給 hypothetical BADT second layer：

$$
C=e^{s^2\lambda},
$$

$$
D=e^{s^4\lambda},
$$

能否利用 nested structure，對 first-layer canonical cubic auxiliary：

$$
F_T
$$

迫使：

$$
\boxed{
F_T(t_\ast)=0
}
$$

for one extra real：

$$
t_\ast,
$$

或等價地迫使某一既有 zero取得一個 genuine derivative zero？

若可以，立即 contradiction。

---

# 12. Relation to previous one-jet problems

Rounds 25–27 對 polynomial interpolation得到：

$$
\boxed{
\text{one additional genuine jet}
}
$$

即可打破 first-layer extremality。

Round 34 對 cubic-dimensional exponential auxiliary再次得到：

$$
\boxed{
\text{one additional zero / jet}
}
$$

即可打破 extremality。

這顯示：

$$
\boxed{
\text{one-extra-condition barrier不是 support choice的偶然，而是 finite-dimensional interpolation saturation的普遍結構。}
}
$$

---

# 13. Coefficient field

canonical：

$$
c_\nu
=
1/P_T'(x_\nu)
$$

屬於 fixed field：

$$
\boxed{
K=\mathbb Q(A,B,C).
}
$$

不需要：

- $Q$-th roots；
- growing Kummer field；
- second-layer $D$；
- transcendental coefficients。

所以 CDAP auxiliary已完全位於固定 algebraic coefficient field。

---

# 14. Coefficient height bound

對：

$$
\nu=(i,j,k),
$$

有：

$$
h(x_\nu)
\le
i\,h(A)
+
j\,h(B)
+
k\,h(C).
$$

因此：

$$
\boxed{
h(x_\nu)
\le
(T-1)H_0,
}
$$

where：

$$
H_0
=
h(A)+h(B)+h(C).
$$

對：

$$
\mu\neq\nu,
$$

standard height inequality：

$$
h(x_\nu-x_\mu)
\le
h(x_\nu)
+
h(x_\mu)
+
\log2
$$

給：

$$
h(x_\nu-x_\mu)
\le
2(T-1)H_0+\log2.
$$

---

# 15. Height of barycentric coefficients

因：

$$
c_\nu^{-1}
=
\prod_{\mu\neq\nu}
(x_\nu-x_\mu),
$$

而：

$$
K-1=T^3-1,
$$

所以：

$$
h(c_\nu)
=
h(c_\nu^{-1})
$$

$$
\le
\sum_{\mu\neq\nu}
h(x_\nu-x_\mu).
$$

因此：

$$
\boxed{
h(c_\nu)
\le
(T^3-1)
\left[
2(T-1)H_0+\log2
\right].
}
$$

所以：

$$
\boxed{
h(c_\nu)
=
O_{A,B,C}(T^4).
}
$$

---

# 16. Cubic auxiliary complexity profile

canonical construction因此具有：

### term count

$$
\boxed{
T^3
}
$$

### exact algebraic zeros

$$
\boxed{
T^3-1
}
$$

### coefficient field degree

$$
\boxed{
[K:\mathbb Q]
=
O_{A,B,C}(1)
}
$$

### coefficient logarithmic height

$$
\boxed{
O(T^4)
}
$$

這是 Round 33 所要求的第一個真正 cubic-dimensional algebraic auxiliary。

---

# 17. Siegel lemma is not needed for existence

通常 transcendence auxiliary constructions使用 Siegel lemma找一個 small-height nonzero solution。

這裡 extremal consecutive-zero system可完全 explicit 解：

$$
c_\nu
=
1/P_T'(x_\nu).
$$

所以存在性與 uniqueness不需要 Siegel lemma。

但如果未來只 impose：

$$
S<T^3-1
$$

個 zero conditions並希望進一步最佳化 coefficient height，Siegel lemma仍可能重新有用。

---

# 18. Exact recurrence

sequence：

$$
F_T(n)
$$

滿足 order：

$$
K
$$

linear recurrence，其 characteristic polynomial正是：

$$
P_T(X)
=
X^K-e_1X^{K-1}+\cdots+(-1)^Ke_K.
$$

所以：

$$
F_T(n+K)
=
e_1F_T(n+K-1)
-
e_2F_T(n+K-2)
+\cdots
+
(-1)^{K+1}e_KF_T(n).
$$

由 initial data：

$$
F_T(0)=\cdots=F_T(K-2)=0,
$$

$$
F_T(K-1)=1,
$$

後續 moments被完全決定。

所以：

$$
\boxed{
\text{there is no hidden algebraic extrapolation freedom after saturation}.
}
$$

---

# 19. Why ordinary extrapolation cannot give the extra zero

classical extrapolation希望由 many initial zeros推出 later zero / small value。

但 canonical extremal sequence的 exact formula已知：

$$
F_T(K-1+r)
=
h_r(x_\nu)>0.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{pure first-layer recurrence/extrapolation cannot produce the required extra zero}.
}
$$

任何 one-more-zero必使用 first-layer data之外的 genuinely new input。

---

# 20. The second layer

second-layer bases：

$$
y_{ijk}
=
A^iC^jD^k
=
e^{
\lambda(i+js^2+ks^4)
}.
$$

它們同樣 multiplicatively independent and distinct。

所以 second layer自身也有一個 canonical extremal auxiliary：

$$
G_T
$$

with：

$$
G_T(0)=\cdots=G_T(K-2)=0,
$$

$$
G_T(K-1)=1.
$$

但：

$$
\boxed{
\text{two separate saturated auxiliary systems do not by themselves couple}.
}
$$

需要一個 genuine cross-layer relation acting on coefficients / values / multiplicities。

---

# 21. Pure algebraic coupling warning

Round 25 已證：

- finite torus algebraic elimination不能降低 first-layer BK complexity；
- global paired torus relation不存在。

Round 26 已證 natural finite shift operator algebra free。

所以 second-layer cross-input不能只是：

- coefficient enrichment；
- ordinary resultant；
- finite shift identity。

COMZP因此是真正新的 bridge requirement，而不是 algebraic elimination的改名。

---

# 22. Mixed interpolation formulation

令 monomial cube：

$$
\mathcal M_T
=
\{
X^iY^jZ^k:
0\le i,j,k<T
\}.
$$

first-layer integer orbit points：

$$
P_n
=
(A^n,B^n,C^n).
$$

則：

$$
F_T(n)
$$

正是 polynomial：

$$
C(X,Y,Z)
=
\sum c_{ijk}X^iY^jZ^k
$$

在：

$$
P_n
$$

的 values：

$$
F_T(n)=C(P_n).
$$

所以 canonical construction等價於：

$$
\boxed{
C(P_0)=\cdots=C(P_{K-2})=0,
\qquad
C(P_{K-1})=1.
}
$$

第二層 orbit：

$$
Q_n
=
(A^n,C^n,D^n).
$$

COMZP可改寫：

> BADT nesting是否能迫使 extremal box-degree polynomial $C$ 在某一個 additional first-layer point $P_n$ vanishing，或由 values on $Q_n$導出 additional first-layer multiplicity？

---

# 23. Mixed determinant interface

取：

$$
K=T^3
$$

個 evaluation conditions，每一條可以選自：

- first-layer row：
  $$
  [A^{in}B^{jn}C^{kn}]_{i,j,k};
  $$
- second-layer row：
  $$
  [A^{in}C^{jn}D^{kn}]_{i,j,k}.
  $$

其 $K\times K$ determinant若因 BADT nested relation forced zero，就會產生 mixed auxiliary dependence。

所以 Round 35 的自然 object是：

$$
\boxed{
\text{mixed-layer box-Vandermonde determinants}.
}
$$

問題：

> 是否存在非平凡 first/second row pattern，使 determinant因 $s^2=s\cdot s$ identically / structurally vanishes？

若所有 mixed determinants仍 generically nonzero，則 cubic dimension matching本身也無法建立 cross-layer bridge。

---

# 24. A useful baseline

全部取 first-layer rows：

$$
n=0,\ldots,K-1
$$

時：

$$
\det
=
\prod_{\mu<\nu}
(x_\nu-x_\mu)
\neq0.
$$

全部取 second-layer rows亦同。

真正未知的是：

$$
\boxed{
\text{mixed row patterns}.
}
$$

它們不再是 ordinary univariate Vandermonde determinants。

---

# 25. Dimension matching is necessary but not sufficient

Round 33 intuition：

$$
T^3
$$

coefficient budget matches rank-$3$ Kummer complexity。

Round 34 confirms：

$$
\boxed{
\text{yes, the cubic auxiliary exists with controlled arithmetic complexity}.
}
$$

但：

$$
\boxed{
\text{it only saturates the zero-count boundary exactly}.
}
$$

因此 CDAP應修正：

## Refined CDAP

rank-matched auxiliary dimension是必要 capacity condition，但 contradiction仍需要：

$$
\boxed{
\text{one extra structural condition not paid for by ordinary dimension counting}.
}
$$

---

# 26. Relation to Philippon 1997

Philippon 1997 describes a general methodology combining：

- auxiliary analytic functions；
- effective zero estimates；
- approximation properties；

to obtain transcendence / algebraic independence, including results up to transcendence degree $3$ or $4$ in suitable settings and a proposed strategy toward Gel'fond–Schneider-type problems.

Round 34 的 exact saturation結果與此 methodology一致：

> coefficient dimension本身只能購買有限數量的 imposed conditions；真正 theorem-level gain必來自 extrapolation、multiplicity或 zero estimate產生的額外 condition。

---

# 27. Relation to Roy–Waldschmidt 1997

Roy–Waldschmidt's algebraic-independence method ultimately uses interpolation determinants in a multi-parameter algebraic-group setting rather than relying only on a scalar Taylor defect.

Round 34's mixed determinant interface is therefore closer in spirit to that literature than Round 33's scalar truncated-log route。

但本輪沒有將 their theorem直接套到 BADT trdeg-$2$ case。

---

# 28. Round 34 判定

**PASS — A fully explicit cubic-dimensional algebraic auxiliary exists and exactly saturates the zero-count budget; its next value is canonically $1$, so cubic dimension matching alone cannot yield a contradiction**

本輪完成：

1. 定義 $T^3$-term three-index exponential auxiliary。

2. 證 first-layer bases：
   $$
   A^iB^jC^k
   $$
   pairwise distinct。

3. 構造 canonical barycentric coefficients：
   $$
   c_\nu=1/P_T'(x_\nu).
   $$

4. 證 exact zeros：
   $$
   F_T(0)=\cdots=F_T(T^3-2)=0.
   $$

5. 證：
   $$
   F_T(T^3-1)=1.
   $$

6. 證 general moment formula：
   $$
   F_T(T^3-1+r)=h_r(x_\nu).
   $$

7. 由 positivity得到全部 future integer values positive。

8. 由 Chebyshev zero-count證 canonical zeros全部 simple且不存在任何 additional real zero。

9. 建立 One-Extra-Condition Principle。

10. 定義 Cubic One-More-Zero Problem（COMZP）。

11. 證 coefficients位於 fixed number field：
    $$
    \mathbb Q(A,B,C).
    $$

12. 建立：
    $$
    h(c_\nu)=O(T^4).
    $$

13. 建立 exact recurrence / no hidden extrapolation freedom。

14. 建立 second-layer symmetric auxiliary並確認「兩個各自飽和系統」不等於 coupling。

15. 將下一個 bridge改寫為 mixed-layer box-Vandermonde determinant問題。

---

# 29. Round 35 正式入口

Round 35 直接研究 mixed-layer determinant。

令：

$$
K=T^3.
$$

columns indexed by：

$$
(i,j,k)\in[0,T-1]^3.
$$

rows有兩種類型：

### Type S

$$
R_n^{(s)}
=
[
A^{in}B^{jn}C^{kn}
]_{i,j,k}.
$$

### Type $S^2$

$$
R_m^{(s^2)}
=
[
A^{im}C^{jm}D^{km}
]_{i,j,k}.
$$

研究任意 $K$ 個 rows組成：

$$
\mathcal V_{\mathcal R}.
$$

## R35-A：small $T$ exact search

對：

$$
T=2
$$

即：

$$
K=8,
$$

symbolically / exactly classify mixed row patterns，找是否有 forced determinant zero。

---

## R35-B：frequency geometry

將 row values寫成：

$$
e^{
\lambda n(i+js+ks^2)
}
$$

或：

$$
e^{
\lambda m(i+js^2+ks^4)
}.
$$

研究 determinant expansion中的 exponent collisions。

若 distinct permutation terms對應 distinct polynomials in：

$$
s,
$$

則可能由 transcendence of $s$證 determinant nonzero。

---

## R35-C：tensor/Kronecker structure

box monomials：

$$
i,j,k<T
$$

可能允許 mixed evaluation matrix作 tensor factorization或 multivariate generalized Vandermonde處理。

---

## R35-D：if all mixed determinants nonzero

則建立：

$$
\boxed{
\text{Mixed Cubic Full-Spark Theorem}
}
$$

至少在一個自然 row class上成立。

這會證明 even cross-layer algebraic value interpolation仍不能供應 one-more-zero，迫使研究真正進入 multiplicity / approximation determinant beyond exact zeros。

---

# 30. 一句話結論

> **Round 34 首次真正實作 CDAP：$T^3$ 個三索引 frequencies給出一個完全 algebraic、固定 number field、coefficient height $O(T^4)$ 的 explicit auxiliary，並精確買到 $T^3-1$ 個 consecutive zeros。但它也揭示一個極硬的飽和律：canonical normalization下第 $T^3$ 個值精確等於 $1$，後續 values更是 positive complete homogeneous symmetric polynomials；Chebyshev zero-count也說再多一個 zero或 multiplicity就必矛盾。**

所以 cubic dimension matching是對的，但它不是 magic：

$$
\boxed{
T^3\text{ coefficients}
\Longrightarrow
T^3-1\text{ free zero conditions}
}
$$

真正要證猜想，仍需要從 BADT 第二層「額外生出」：

$$
\boxed{
\text{one more condition}.
}
$$

Round 35 將直接檢查 mixed first/second-layer determinants能不能提供它。

---

# 參考資料

1. Patrice Philippon, **Une approche méthodique pour la transcendance et l'indépendance algébrique de valeurs de fonctions analytiques**, *Journal of Number Theory* 64 (1997), 291–338.  
   DOI: 10.1006/jnth.1997.2130.  
   Develops an abstract auxiliary-function / effective-zero-estimate methodology for transcendence and algebraic independence.

2. Damien Roy and Michel Waldschmidt, **Approximation diophantienne et indépendance algébrique de logarithmes**, *Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure* 30 (1997), 753–796.  
   DOI: 10.1016/S0012-9593(97)89938-7.  
   Uses simultaneous approximation and interpolation-determinant ideas in multi-parameter algebraic-group settings.

3. Antonella Perucca and Pietro Sgobba, **Kummer theory for number fields and the reductions of algebraic numbers**, *International Journal of Number Theory* 15 (2019), 1617–1633.  
   DOI: 10.1142/S179304211950091X.  
   Supplies the rank-$3$ Kummer arithmetic scale motivating CDAP.

4. Classical Vandermonde interpolation, barycentric weights, partial-fraction identities, and extended Chebyshev-system theory for distinct real exponentials.

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**ACTM Round 34 完**