# ACTM Round 30
## Toric Stabilizer、Kummer Orbit–Fiber Bound 與 Linear Element-Degree Escape
### Toric Stabilizers, Kummer Orbit–Fiber Bounds, and Linear Element-Degree Escape

**研究計畫：** Algebraic Combinatorial Transcendence Methodology（ACTM）  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-03  
**版本：** Round 30 / v0.1  
**文件性質：** 正式研究筆記／Kummer orbit and torsion-fiber round  
**狀態聲明：** 本輪不宣稱 real BADT$_2$ 不可能，也不宣稱 $\alpha_Q$ 的 algebraic degree具有 cubic growth。本輪完成三件事：第一，建立 extremal interpolation slope rational function $R_M(X,Y,Z)$ 的 finite toric-translation stabilizer；第二，修正「finite stabilizer $\Rightarrow Q^3$ element degree」這個過強直覺；第三，結合 Perucca–Sgobba 的 Kummer near-maximality與 fixed-degree torsion-grid fiber counting，證明 interpolation slope本身具有至少 linear-in-$Q$ 的 algebraic degree growth。

---

## 摘要

Round 29 將 first-layer extremal interpolation slope寫成：

$$
\boxed{
\alpha_Q
=
R_M(A_Q,B_Q,C_Q),
}
$$

其中：

$$
A_Q=A^{1/Q},
\qquad
B_Q=B^{1/Q},
\qquad
C_Q=C^{1/Q},
$$

而：

$$
R_M(X,Y,Z)
\in
\mathbb Q(X,Y,Z)
$$

只依賴固定：

$$
M\ge2.
$$

Round 29 已證 ambient radical field：

$$
K_3(A_Q,B_Q,C_Q)
$$

對：

$$
K_3=\mathbb Q(A,B,C)
$$

具有：

$$
\Theta(Q^3)
$$

degree。

但 ambient field degree不等於：

$$
\alpha_Q
$$

本身的 degree。

Round 30 先分析：

$$
R_M
$$

的 toric translation symmetry。

---

定義 interpolation grid：

$$
\mathcal I_M
=
\{
(a,b):
0\le a,b<M
\}.
$$

formal interpolation nodes：

$$
\xi_{a,b}
=
X^aY^b,
$$

formal values：

$$
\eta_{a,b}
=
Y^aZ^b.
$$

令：

$$
H_{X,Y,Z}(T)
$$

為 degree：

$$
\le M^2-1
$$

的 interpolation polynomial：

$$
H_{X,Y,Z}(\xi_{a,b})
=
\eta_{a,b}.
$$

定義：

$$
\boxed{
R_M(X,Y,Z)
=
H_{X,Y,Z}'(1).
}
$$

因：

$$
(0,0)
$$

node為：

$$
1,
$$

這正是 Round 28 first-layer extremal tangent approximant的 universal rational function。

---

## Theorem A — Nonconstancy

$$
\boxed{
R_M
\text{ is nonconstant}.
}
$$

事實上取 integer：

$$
k,
$$

使：

$$
M\le k\le M^2-1.
$$

specialize：

$$
Y=X^k,
$$

$$
Z=X^{k^2}.
$$

則 nodes：

$$
X^{a+kb}
$$

兩兩 distinct，因：

$$
0\le a,b<M
$$

且：

$$
k\ge M.
$$

values：

$$
Y^aZ^b
=
X^{ka+k^2b}
=
\left(
X^{a+kb}
\right)^k.
$$

又：

$$
k\le M^2-1.
$$

所以 interpolation polynomial正好是：

$$
T^k.
$$

因此：

$$
\boxed{
R_M(X,X^k,X^{k^2})
=
k.
}
$$

取：

$$
k=M
$$

與：

$$
k=M+1
$$

即可看到：

$$
R_M
$$

不可能 constant。

---

本輪進一步分析 pole geometry。

Lagrange formula顯示：

$$
R_M
$$

所有 finite torus poles都只能來自 node collisions：

$$
X^aY^b
=
X^{a'}Y^{b'}.
$$

所以 polar divisor包含在：

$$
\boxed{
X^pY^q=1,
\qquad
|p|,|q|\le M-1,
\quad
(p,q)\neq(0,0).
}
$$

的有限 torsion-subtorus arrangement中。

---

## Theorem B — $X=1$ and $Y=1$ are genuine polar components

考慮：

$$
X\to1,
$$

而：

$$
Y,Z
$$

保持 generic。

$b=0$ row給一個 coalescing cluster：

$$
1,X,X^2,\ldots,X^{M-1}
$$

with values：

$$
1,Y,Y^2,\ldots,Y^{M-1}.
$$

令：

$$
Q_X(T)
$$

只插值這個 cluster。

寫：

$$
\delta=X-1,
$$

及 rescaled variable：

$$
u=\frac{T-1}{\delta}.
$$

則 cluster nodes：

$$
u_a
=
\frac{X^a-1}{X-1}
\to
a.
$$

rescaled interpolation polynomial converges to degree：

$$
M-1
$$

polynomial：

$$
q_0(u)
$$

satisfying：

$$
q_0(a)=Y^a.
$$

Newton forward formula：

$$
q_0(u)
=
\sum_{j=0}^{M-1}
\binom uj
(Y-1)^j.
$$

所以：

$$
q_0'(0)
=
\sum_{j=1}^{M-1}
\frac{
(-1)^{j-1}
}{
j
}
(Y-1)^j.
$$

這不是 zero polynomial in：

$$
Y.
$$

因此：

$$
Q_X'(1)
=
\frac{
q_0'(0)
}{
X-1
}
+
O(1).
$$

其餘 rows對 derivative只提供：

$$
O(1)
$$

correction。

故：

$$
\boxed{
X=1
}
$$

是 genuine pole。

交換角色，以：

$$
Y\to1
$$

及 cluster：

$$
1,Y,\ldots,Y^{M-1}
$$

with values：

$$
1,Z,\ldots,Z^{M-1},
$$

同理得到：

$$
\boxed{
Y=1
}
$$

亦為 genuine pole。

---

## Theorem C — $R_M$ genuinely depends on $Z$

因：

$$
R_M
$$

對 interpolation values linear，而：

$$
\eta_{a,b}
=
Y^aZ^b,
$$

故：

$$
R_M
$$

是 $Z$ 的 polynomial：

$$
\boxed{
R_M(X,Y,Z)
=
\sum_{b=0}^{M-1}
C_b(X,Y)Z^b.
}
$$

其 denominators只依：

$$
X,Y.
$$

本輪證：

$$
\boxed{
C_{M-1}\neq0.
}
$$

specialize：

$$
Y=X^M.
$$

此時 nodes恰為：

$$
1,X,X^2,\ldots,X^{L-1},
$$

其中：

$$
L=M^2.
$$

row：

$$
b=M-1
$$

對應 indices：

$$
n_a
=
M(M-1)+a,
\qquad
0\le a<M.
$$

對 geometric nodes：

$$
X^n,
$$

Lagrange derivative weight滿足：

$$
\ell_n'(1)
\sim
\varepsilon_n
X^{-n(n+1)/2}
$$

as：

$$
X\to\infty,
$$

其中：

$$
\varepsilon_n\in\{\pm1\}.
$$

所以：

$$
C_{M-1}(X,X^M)
=
\sum_{a=0}^{M-1}
X^{Ma}
\ell_{n_a}'(1).
$$

其 exponent：

$$
E_a
=
Ma-\frac{n_a(n_a+1)}2
$$

滿足：

$$
E_{a+1}-E_a
=
M-(n_a+1)
<0.
$$

因此：

$$
a=0
$$

項唯一 dominant。

故：

$$
C_{M-1}
$$

不是 zero rational function。

所以：

$$
\boxed{
\deg_ZR_M=M-1.
}
$$

---

# 1. Finite Toric Translation Stabilizer

令：

$$
T_3=(\mathbb G_m)^3
$$

作用：

$$
(\xi_1,\xi_2,\xi_3)
:
(X,Y,Z)
\mapsto
(\xi_1X,\xi_2Y,\xi_3Z).
$$

定義：

$$
\operatorname{Stab}_T(R_M)
=
\{
\xi\in T_3:
R_M(\xi_1X,\xi_2Y,\xi_3Z)
=
R_M(X,Y,Z)
\}.
$$

---

# 2. $X$-projection is finite

若：

$$
\xi
$$

stabilizes：

$$
R_M,
$$

pole divisor必 invariant。

genuine component：

$$
X=1
$$

在 pullback下變成：

$$
X=\xi_1^{-1}.
$$

但所有 possible polar components皆來自：

$$
X^pY^q=1.
$$

一個 component：

$$
X=c
$$

只能出現在：

$$
q=0.
$$

所以：

$$
c
$$

必為 root of unity of order dividing某個：

$$
1\le|p|\le M-1.
$$

因此：

$$
\boxed{
\xi_1
}
$$

只能取有限多個 roots of unity。

---

# 3. $Y$-projection is finite

完全同理：

$$
\boxed{
\xi_2
}
$$

只能取有限 torsion values。

---

# 4. $Z$-kernel is finite

固定：

$$
\xi_1=\xi_2=1.
$$

若：

$$
R_M(X,Y,\xi_3Z)
=
R_M(X,Y,Z),
$$

而：

$$
\deg_ZR_M=M-1>0,
$$

則：

$$
\xi_3
$$

屬於某個 finite roots-of-unity subgroup。

因此：

$$
\boxed{
\ker
\left(
\operatorname{Stab}_T(R_M)
\to
(\mathbb G_m)^2
\right)
}
$$

finite。

---

# 5. Finite Stabilizer Theorem

projection finite，kernel finite，所以：

$$
\boxed{
\operatorname{Stab}_T(R_M)
\text{ is finite}.
}
$$

對：

$$
M=2,
$$

symbolic calculation甚至給：

$$
\boxed{
\operatorname{Stab}_T(R_2)=\{1\}.
}
$$

但本輪一般 theorem只需要 finiteness。

---

# 6. Important correction to Round 29 intuition

finite global toric stabilizer並不表示：

$$
R_M
$$

在 Kummer orbit上幾乎 injective。

原因：

$$
R_M:
(\mathbb G_m)^3
\dashrightarrow
\mathbb A^1
$$

是 scalar rational map。

generic fiber dimension本來就是：

$$
2.
$$

所以 fixed value hypersurface理論上可以和：

$$
Q\times Q\times Q
$$

torsion grid產生：

$$
O(Q^2)
$$

intersections。

因此：

$$
\boxed{
\text{finite stabilizer}
\not\Rightarrow
\deg(\alpha_Q)\asymp Q^3.
}
$$

Round 29 對「finite stabilizer可能導致 near-cubic element degree」只能保留為需要額外 torsion-fiber sparsity的 heuristic，不能直接當 theorem。

---

# 7. Kummer Galois group

令：

$$
K=K_3=\mathbb Q(A,B,C).
$$

Perucca–Sgobba 2019證：對 rank-$3$ torsion-free subgroup：

$$
G=\langle A,B,C\rangle,
$$

存在 constant：

$$
C_K\ge1
$$

使：

$$
\boxed{
[
K(\zeta_Q,\sqrt[Q]{G})
:
K(\zeta_Q)
]
\ge
\frac{Q^3}{C_K}.
}
$$

令：

$$
L_Q
=
K(\zeta_Q,A_Q,B_Q,C_Q).
$$

則：

$$
\boxed{
|\operatorname{Gal}(L_Q/K(\zeta_Q))|
\ge
\frac{Q^3}{C_K}.
}
$$

其 elements可視為某個 subgroup：

$$
G_Q
\subset
\mu_Q^3
$$

作用：

$$
(A_Q,B_Q,C_Q)
\mapsto
(\xi_1A_Q,\xi_2B_Q,\xi_3C_Q).
$$

---

# 8. Value collision equation

令：

$$
p_Q=(A_Q,B_Q,C_Q).
$$

以及：

$$
\alpha_Q=R_M(p_Q).
$$

取 reduced rational representation：

$$
R_M=\frac{P_M}{Q_M}.
$$

對 twist：

$$
\xi=(\xi_1,\xi_2,\xi_3),
$$

equality：

$$
R_M(\xi p_Q)=R_M(p_Q)
$$

等價於：

$$
\boxed{
F_{p_Q}(\xi)
=
P_M(\xi p_Q)Q_M(p_Q)
-
P_M(p_Q)Q_M(\xi p_Q)
=
0.
}
$$

在清除 Laurent monomial factors後：

$$
F_{p_Q}
$$

是一個 ordinary polynomial in：

$$
\xi_1,\xi_2,\xi_3
$$

of degree bounded by constant：

$$
D_M
$$

只依賴：

$$
M.
$$

---

# 9. Collision polynomial is nonzero

若：

$$
F_{p_Q}\equiv0
$$

as rational / Laurent function of：

$$
\xi,
$$

則：

$$
R_M(\xi p_Q)
=
R_M(p_Q)
$$

for all generic：

$$
\xi\in(\mathbb G_m)^3.
$$

torus translation：

$$
\xi\mapsto\xi p_Q
$$

是 automorphism of：

$$
(\mathbb G_m)^3.
$$

所以：

$$
R_M
$$

會是 constant。

與 Theorem A 矛盾。

故：

$$
\boxed{
F_{p_Q}\neq0.
}
$$

---

# 10. Torsion-grid zero bound

對任意 nonzero polynomial：

$$
F(U_1,U_2,U_3)
$$

of total degree：

$$
\le D,
$$

在 Cartesian grid：

$$
S^3
$$

其中：

$$
|S|=Q,
$$

standard Schwartz–Zippel induction給：

$$
\boxed{
|\{u\in S^3:F(u)=0\}|
\le
DQ^2.
}
$$

取：

$$
S=\mu_Q.
$$

所以：

$$
\boxed{
|\{
\xi\in\mu_Q^3:
R_M(\xi p_Q)=R_M(p_Q)
\}|
\le
D_MQ^2.
}
$$

對 actual Kummer subgroup：

$$
G_Q
$$

當然同樣成立。

---

# 11. Kummer Orbit–Fiber Theorem

$\alpha_Q$ 在：

$$
\operatorname{Gal}(L_Q/K(\zeta_Q))
$$

下的 orbit size至少：

$$
\frac{
|G_Q|
}{
D_MQ^2
}.
$$

所以：

$$
\boxed{
[
K(\zeta_Q,\alpha_Q)
:
K(\zeta_Q)
]
\ge
c_MQ
}
$$

for：

$$
c_M
=
\frac1{C_KD_M}.
$$

進一步：

$$
[
\mathbb Q(\alpha_Q):\mathbb Q
]
\ge
[
K(\zeta_Q,\alpha_Q):K(\zeta_Q)
].
$$

因此：

## Linear Element-Degree Escape Theorem

$$
\boxed{
[
\mathbb Q(\alpha_Q):\mathbb Q
]
\ge
c_MQ
}
$$

for all sufficiently large：

$$
Q
$$

after absorbing finitely many small levels into the constant。

---

# 12. Improvement over Round 28

Round 28 由 Waldschmidt transcendence measure只得到：

$$
\deg\alpha_Q
\gg
(\log Q)^{1/4}.
$$

Round 30直接升級成：

$$
\boxed{
\deg\alpha_Q
\gg Q.
}
$$

這個 improvement不使用 approximate-jet error：

$$
Q^{-(M^2-1)}.
$$

它只使用：

1. Kummer near-maximality；
2. $R_M$ nonconstant；
3. fixed-degree rational-function fiber counting。

所以是獨立而更 robust 的 arithmetic-combinatorial lower bound。

---

# 13. Current degree window

ambient upper bound仍：

$$
\deg\alpha_Q
\le
O(Q^3).
$$

本輪 lower bound：

$$
\deg\alpha_Q
\ge
\Omega(Q).
$$

所以：

$$
\boxed{
c_MQ
\le
\deg\alpha_Q
\le
C_MQ^3.
}
$$

這將 Round 29 的巨大：

$$
(\log Q)^{1/4}
\text{ vs }
Q^3
$$

gap縮成：

$$
Q
\text{ vs }
Q^3.
$$

---

# 14. Why scalar output naturally loses two Kummer powers

Kummer twist space有：

$$
3
$$

degrees of freedom：

$$
(\xi_1,\xi_2,\xi_3).
$$

一個 scalar equation：

$$
R_M(\xi p)=\text{constant}
$$

generically只切掉一維。

所以 grid cardinality由：

$$
Q^3
$$

下降到：

$$
Q^2.
$$

因此 orbit distinct values自然只保證：

$$
Q.
$$

本輪稱：

## Scalar Fiber-Dimension Barrier

$$
\boxed{
\text{rank-3 Kummer orbit}
-
\text{one scalar rational observable}
\Longrightarrow
\text{unconditional }Q^1\text{ distinct-value scale}.
}
$$

---

# 15. Finite stabilizer does not remove fiber dimension

global stabilizer問：

$$
R_M(\xi X,\xi Y,\xi Z)=R_M(X,Y,Z)
$$

作為 rational-function identity。

value collision只問：

$$
R_M(\xi p_Q)=R_M(p_Q)
$$

at one point。

後者可以有很多 accidental solutions lying on the two-dimensional level hypersurface，即使前者只有 finitely many global symmetries。

所以：

$$
\boxed{
\text{global symmetry}
\neq
\text{point-fiber collision}.
}
$$

---

# 16. Torsion Fiber Sparsity Problem

若想把：

$$
\deg\alpha_Q
\gg Q
$$

提升到：

$$
Q^{1+\delta}
$$

甚至：

$$
Q^3,
$$

需要證 level hypersurface：

$$
R_M(\xi p_Q)=R_M(p_Q)
$$

對：

$$
\mu_Q^3
$$

的 intersection比 generic：

$$
O(Q^2)
$$

更 sparse。

本輪正式提出：

**Torsion Fiber Sparsity Problem（TFSP）**

研究：

$$
\boxed{
N_Q(p)
=
\#\{
\xi\in\mu_Q^3:
R_M(\xi p)=R_M(p)
\}.
}
$$

能否對：

$$
p=p_Q
$$

證：

$$
N_Q(p_Q)
=
O(Q^{2-\delta})
$$

for some：

$$
\delta>0?
$$

若能，則：

$$
\boxed{
\deg\alpha_Q
\gg
Q^{1+\delta}.
}
$$

---

# 17. Relation to Laurent / torsion-coset theory

Laurent's theorem說固定 algebraic subvariety of：

$$
(\mathbb G_m)^n
$$

中的 torsion points由 finitely many torsion cosets控制。

近期 torsion-point counting results也能對固定 subvarieties給 growth estimates。

但我們的 fiber：

$$
V_Q:
R_M(\xi p_Q)=R_M(p_Q)
$$

本身隨：

$$
Q
$$

變化。

所以不能直接把 fixed-variety torsion counting theorem套成 uniform：

$$
O(Q^{2-\delta})
$$

bound。

需要额外控制：

- varying coefficients；
- possible torsion cosets；
- how $p_Q\to(1,1,1)$ changes the fibers。

---

# 18. Finite stabilizer and torsion cosets

若 fixed fiber含：

$$
pH
$$

for positive-dimensional subtorus：

$$
H,
$$

這只表示：

$$
R_M
$$

在該單一 coset上 constant。

它不意味：

$$
H
$$

屬於 global translation stabilizer。

因此 Finite Stabilizer Theorem本身仍不能排除 positive-dimensional torsion cosets inside special fibers。

這是 TFSP 的真正 subtlety。

---

# 19. Second-layer opportunity

Round 29 還有：

$$
\beta_Q
=
R_M(A_Q,C_Q,D_Q).
$$

combined Kummer rank：

$$
4.
$$

若同時觀察 pair：

$$
(\alpha_Q,\beta_Q),
$$

則我們不再只有一個 scalar condition，而是兩個 rational observables：

$$
\Phi_M(X,Y,Z,W)
=
\left(
R_M(X,Y,Z),
R_M(X,Z,W)
\right).
$$

generic dimension heuristic：

$$
4
-
2
=
2.
$$

所以：

$$
Q^4
$$

Kummer twists在 fixed pair-value fiber中自然期望只剩：

$$
Q^2,
$$

亦即 joint field degree：

$$
\boxed{
\sim Q^2
}
$$

的尺度。

本輪不將此 heuristic當 theorem；需要先控制 special-fiber dimension及 torsion-coset degeneracy。

但它指出第二層真正可能提供的不是 ambient degree reduction，而是：

$$
\boxed{
\text{additional independent observable}
}
$$

用來降低 fiber dimension。

---

# 20. Two-Observable Kummer Problem

Round 31 可研究：

$$
\boxed{
[
K_4(\zeta_Q,\alpha_Q,\beta_Q)
:
K_4(\zeta_Q)
]
}
$$

是否至少：

$$
\Omega(Q^2).
$$

若可證，便是第二層首次在 element-level arithmetic complexity上提供 rigorously stronger information。

---

# 21. M=2 symbolic model

對：

$$
M=2,
$$

直接 symbolic interpolation給：

$$
R_2(X,Y,Z)
=
\frac{
N_2(X,Y,Z)
}{
X Y
(X-1)
(X-Y)
(Y-1)
(XY-1)
},
$$

其中：

$$
N_2
$$

對：

$$
Z
$$

linear。

polar arrangement顯示：

$$
X=1,
\quad
Y=1
$$

均 genuine。

在此 case可直接檢查：

$$
\boxed{
\operatorname{Stab}_T(R_2)=\{(1,1,1)\}.
}
$$

而：

$$
R_2(X,X^2,X^4)=2,
$$

$$
R_2(X,X^3,X^9)=3.
$$

這提供 general theorem的最小 symbolic sanity model。

---

# 22. Round 30 判定

**PASS — The interpolation rational function has finite toric translation stabilizer; Kummer orbit/fiber counting yields linear element-degree escape; finite stabilizer alone does not imply cubic element degree**

本輪完成：

1. 正式定義：
   $$
   R_M(X,Y,Z).
   $$

2. 以 exact power-curve specializations證：
   $$
   R_M
   $$
   nonconstant。

3. 分析 Lagrange denominator，證 poles只來自 node-collision torsion subtori。

4. 以 coalescing-cluster argument證：
   $$
   X=1,
   \quad
   Y=1
   $$
   genuine poles。

5. 證：
   $$
   \deg_ZR_M=M-1.
   $$

6. 得到 Finite Toric Translation Stabilizer Theorem。

7. 修正 Round 29：
   finite global stabilizer不能直接推出：
   $$
   \deg\alpha_Q\asymp Q^3.
   $$

8. 建立 Kummer value-collision polynomial：
   $$
   F_{p_Q}.
   $$

9. 證：
   $$
   F_{p_Q}\neq0.
   $$

10. 以 Schwartz–Zippel grid count得到 collision multiplicity：
    $$
    O_M(Q^2).
    $$

11. 結合 Perucca–Sgobba：
    $$
    |G_Q|\gg Q^3.
    $$

12. 得到 Linear Element-Degree Escape：
    $$
    \boxed{
    \deg\alpha_Q\gg Q.
    }
    $$

13. 將 degree window縮成：
    $$
    Q
    \lesssim
    \deg\alpha_Q
    \lesssim
    Q^3.
    $$

14. 識別 Scalar Fiber-Dimension Barrier。

15. 定義 Torsion Fiber Sparsity Problem（TFSP）。

16. 指出 Laurent / torsion-coset theory可能相關，但 varying fibers阻止直接套用 fixed-variety theorem。

17. 識別 second-layer pair：
    $$
    (\alpha_Q,\beta_Q)
    $$
    可能提供第二個 independent observable。

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# 23. Round 31 正式入口

Round 31 最自然有兩條。

## R31-A：Two-Observable Kummer Orbit

研究：

$$
\Phi_M(X,Y,Z,W)
=
(
R_M(X,Y,Z),
R_M(X,Z,W)
).
$$

先證：

$$
R_M(X,Y,Z),
\quad
R_M(X,Z,W)
$$

algebraically independent。

再研究 fiber：

$$
\Phi_M^{-1}
(
\alpha_Q,\beta_Q
)
$$

與：

$$
\mu_Q^4
$$

的 intersection。

目標：

$$
\boxed{
\#\text{collisions}
=
O_M(Q^2)
}
$$

從而：

$$
\boxed{
\deg(\alpha_Q,\beta_Q)
\gg Q^2.
}
$$

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## R31-B：Torsion-coset classification of scalar fibers

研究：

$$
V_Q:
R_M(\xi p_Q)=R_M(p_Q).
$$

若：

$$
V_Q
$$

含 positive-dimensional torsion coset，將此條件拉回：

$$
R_M
$$

的 monomial restrictions。

嘗試證：

$$
\boxed{
\text{such torsion cosets force a special algebraic relation on }p_Q
}
$$

而：

$$
A_Q,B_Q,C_Q
$$

multiplicative rank $3$ 可排除。

如果成功，就能使用 Laurent/Schefer 類 torsion-counting結果取得 power saving。

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## R31-C：Near-identity fiber degeneration

因：

$$
p_Q\to(1,1,1),
$$

研究：

$$
V_Q
$$

的 flat limit。

Round 28 approximate jet表示 level hypersurface在 identity附近有特殊 tangent behavior。

檢查這個 degeneration是否反而能控制 torsion-coset directions。

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# 24. 一句話結論

> **Round 30 修正了「finite stabilizer就能保住全部 $Q^3$ Kummer degree」這個過強直覺。$R_M$ 的 global toric translation stabilizer確實是 finite，但一個 scalar rational function在三維 torus中的 level fiber天然是二維，因此約 $Q^3$ 個 Kummer twists只無條件保證產生 $Q$ 級 distinct values。利用 Perucca–Sgobba 的 near-maximal Kummer degree與固定-degree torsion-grid zero count，我們仍然把 $\deg\alpha_Q$ 的 lower bound從 $(\log Q)^{1/4}$ 大幅提升到 $\Omega(Q)$。**

現在真正的瓶頸不是 stabilizer本身，而是：

$$
\boxed{
\text{torsion points inside the varying level fibers of }R_M.
}
$$

第二層首次看起來可能真正幫忙的方式，也因此變成：

$$
\boxed{
\text{用第二個 independent observable把 Kummer fiber dimension再降一維。}
}
$$

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# 參考資料

1. Antonella Perucca and Pietro Sgobba, **Kummer theory for number fields and the reductions of algebraic numbers**, *International Journal of Number Theory* 15 (2019), 1617–1633.  
   DOI: 10.1142/S179304211950091X.  
   Main input: for a finitely generated torsion-free rank-$r$ subgroup $G\subset K^\times$,
   $$
   \frac{
   n^r
   }{
   [K(\zeta_n,\sqrt[n]{G}):K(\zeta_n)]
   }
   $$
   is bounded independently of $n$.

2. Antonella Perucca, **The degree of non-Galois Kummer extensions of number fields**, *Rivista di Matematica della Università di Parma* 11 (2020), 301–313.  
   Gives explicit degree formulas for non-Galois radical extensions.

3. Michel Laurent's theorem / toric Manin–Mumford: torsion points on a fixed subvariety of an algebraic torus lie in finitely many torsion cosets.

4. Gerold Schefer, **Counting torsion points on subvarieties of the algebraic torus**, *Acta Arithmetica* 218 (2025), 297–336.  
   Gives quantitative torsion-point counting on fixed subvarieties and power-saving bounds away from maximal torsion-coset behavior.

5. Standard Schwartz–Zippel / Cartesian-grid polynomial zero bound.

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**ACTM Round 30 完**