# ACTM Round 20
## Flat-Limit Barycentric Rigidity、HCIZ Cofactor Factorization 與 Support Escape
### Flat-Limit Barycentric Rigidity, HCIZ Cofactor Factorization, and Support Escape

**研究計畫：** Algebraic Combinatorial Transcendence Methodology（ACTM）  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-02  
**版本：** Round 20 / v0.1  
**文件性質：** 正式研究筆記／flat-parameter circuit-rigidity round  
**狀態聲明：** 本輪不宣稱一般 Circuit-Ratio Rigidity Problem（CRRP）已解，也不宣稱 real BADT$_2$ 不可能。本輪證明：對任意固定 genuine two-dimensional lattice support，$s$ 與 $s^2$ 的 minimal exponential common circuit 在 $\lambda\to0$ 的 flat regime 必不存在；並建立 BADT rational-scaling 下的 support-escape theorem。另由 Floater 2026 的 HCIZ/Vandermonde determinant bounds導出 finite-$\lambda$ 的 support-level separation certificate。

---

## 摘要

Round 19 將最小 genuine two-layer compression：

$$
|S|
=
M^2+1
$$

化為兩個 exponential Vandermonde evaluation systems的 common-circuit問題。

令：

$$
L=M^2,
$$

$$
K=L+1.
$$

對：

$$
t\in\{s,s^2\},
$$

定義 node set：

$$
Q_t(M)
=
\{a+bt:0\le a,b<M\},
$$

以及 lattice support：

$$
S
=
\{p_j=(u_j,v_j)\}_{j=1}^{K}.
$$

projection frequencies：

$$
y_j(t)
=
u_j+t v_j.
$$

引入 flat parameter：

$$
\mu\in\mathbb R,
$$

並定義 evaluation matrix：

$$
E_t(\mu;S)
=
\left[
e^{\mu q_i(t)y_j(t)}
\right]_
{1\le i\le L,\ 1\le j\le K}.
$$

當：

$$
\mu\neq0,
$$

且：

$$
t
$$

irrational時，nodes及 frequencies皆 distinct；exponential kernel的 strict total positivity保證：

$$
\operatorname{rank}E_t(\mu;S)=L.
$$

所以：

$$
\ker E_t(\mu;S)
$$

是一維。

---

本輪首先使用 exponential determinant 的 HCIZ/Vandermonde factorization。

對刪除 support point：

$$
p_j
$$

後的 square cofactor：

$$
D_{t,j}(\mu),
$$

令：

$$
N_L
=
\frac{L(L-1)}2.
$$

則有 exact factorization：

$$
\boxed{
D_{t,j}(\mu)
=
\frac{
\mu^{N_L}
V(Q_t)
V(Y_{t,\widehat j})
}{
c_{L-1}
}
\,
\mathcal H_{t,j}(\mu),
}
$$

其中：

$$
c_{L-1}
=
\prod_{k=1}^{L-1}k!,
$$

$$
Y_{t,\widehat j}
=
\{y_k(t):k\neq j\},
$$

而：

$$
\mathcal H_{t,j}(\mu)
$$

是 HCIZ normalized factor，滿足：

$$
\boxed{
\mathcal H_{t,j}(0)=1.
}
$$

因此：

$$
D_{t,j}(\mu)
=
\frac{
\mu^{N_L}
V(Q_t)
V(Y_{t,\widehat j})
}{
c_{L-1}
}
+
O
\left(
\mu^{N_L+1}
\right).
$$

所以 exponential circuit在 flat limit：

$$
\mu\to0
$$

精確退化成 ordinary Vandermonde / barycentric circuit。

---

對 support point：

$$
p_i=(u_i,v_i),
$$

定義：

$$
\boxed{
w_i(T)
=
\frac1{
\displaystyle
\prod_{j\neq i}
\left[
(u_i-u_j)+T(v_i-v_j)
\right]
}.
}
$$

這是 projected nodes：

$$
u_i+Tv_i
$$

的 ordinary barycentric weight。

定義 projective barycentric circuit：

$$
\boxed{
\beta_S(T)
=
[w_1(T):\cdots:w_K(T)]
\in
\mathbb P^{K-1}
\left(
\mathbb Q(T)
\right).
}
$$

本輪核心定理：

## Barycentric Squaring Rigidity Theorem

若：

$$
s
$$

transcendental，則：

$$
\boxed{
\beta_S(s)
=
\beta_S(s^2)
\iff
\operatorname{affdim}S\le1.
}
$$

也就是：

> $s$ 與 $s^2$ projection擁有相同 projective barycentric circuit，當且僅當 lattice support共線。

---

其證明分兩步。

假設：

$$
\beta_S(s)
=
\beta_S(s^2).
$$

對：

$$
i\ge2,
$$

令：

$$
f_i(T)
=
\frac{w_i(T)}{w_1(T)}
\in
\mathbb Q(T).
$$

則：

$$
f_i(s)=f_i(s^2).
$$

因：

$$
s
$$

transcendental，

$$
f_i(T)-f_i(T^2)
$$

若非零，其 numerator為 nonzero rational polynomial，不可能在 $s$ 消失。

所以：

$$
f_i(T)=f_i(T^2)
$$

為 rational-function identity。

但對 nonconstant rational map：

$$
f,
$$

有：

$$
\deg(f\circ[T\mapsto T^2])
=
2\deg f.
$$

因此：

$$
f(T)=f(T^2)
$$

迫使：

$$
\deg f=0.
$$

所以所有：

$$
f_i
$$

都是 constants。

因此：

$$
\boxed{
\beta_S(T)
\text{ 對 }T\text{ projectively constant}.
}
$$

---

第二步使用 barycentric moment identities。

存在 nonzero constants：

$$
d_1,\ldots,d_K
$$

以及 common rational function：

$$
g(T)
$$

使：

$$
w_i(T)=g(T)d_i.
$$

ordinary Vandermonde kernel identity給：

$$
\sum_{i=1}^{K}
w_i(T)
\left(
u_i+Tv_i
\right)^m
=
0
$$

對：

$$
0\le m\le K-2.
$$

除去：

$$
g(T)
$$

後：

$$
\sum_i
d_i
(u_i+Tv_i)^m
=
0.
$$

比較 $T$ coefficients，得到：

$$
\boxed{
\sum_i
d_i
u_i^a
v_i^b
=
0
\qquad
\forall a,b\ge0,
\quad
a+b\le K-2.
}
$$

也就是 signed functional：

$$
\sum_i d_i\delta_{p_i}
$$

annihilates所有 total degree $\le K-2$ 的二元 polynomial。

---

若：

$$
S
$$

不共線，取三個 noncollinear points：

$$
p_a,p_b,p_c.
$$

取 through：

$$
p_a,p_b
$$

但不通過：

$$
p_c
$$

的 linear polynomial：

$$
\ell.
$$

對每個其餘：

$$
p_r
\in
S\setminus\{p_a,p_b,p_c\},
$$

選一條 through：

$$
p_r
$$

但不通過：

$$
p_c
$$

的 rational linear polynomial：

$$
\ell_r.
$$

令：

$$
F(X,Y)
=
\ell(X,Y)
\prod_r
\ell_r(X,Y).
$$

其 degree：

$$
1+(K-3)
=
K-2.
$$

並滿足：

$$
F(p_i)=0
$$

對所有：

$$
i\neq c,
$$

但：

$$
F(p_c)\neq0.
$$

moment annihilation因此給：

$$
0
=
\sum_i
d_iF(p_i)
=
d_cF(p_c),
$$

與：

$$
d_c\neq0
$$

矛盾。

所以：

$$
S
$$

必共線。

反方向，若：

$$
S
$$

共線，可寫：

$$
p_i=p_0+n_id.
$$

則：

$$
u_i+Tv_i
=
\alpha(T)
+
n_i\beta(T).
$$

所以：

$$
w_i(T)
=
\beta(T)^{-(K-1)}
\cdot
\frac1{
\prod_{j\neq i}(n_i-n_j)
},
$$

故 projective barycentric circuit與：

$$
T
$$

無關。

定理證畢。

---

這立即給出：

## Flat 2D Common-Circuit Exclusion

若：

$$
\operatorname{affdim}S=2,
$$

則：

$$
\beta_S(s)
\neq
\beta_S(s^2).
$$

而 exponential circuit：

$$
\gamma_t(\mu;S)
=
\mathbb P
\left(
\ker E_t(\mu;S)
\right)
$$

滿足：

$$
\boxed{
\lim_{\mu\to0}
\gamma_t(\mu;S)
=
\beta_S(t).
}
$$

因此由 projective continuity：

$$
\boxed{
\exists
\varepsilon(S,s,M)>0
}
$$

使：

$$
0<|\mu|<\varepsilon
$$

時：

$$
\boxed{
\gamma_s(\mu;S)
\neq
\gamma_{s^2}(\mu;S).
}
$$

所以不存在 support恰為：

$$
S
$$

的：

$$
M^2+1
$$

term polynomial，同時在兩層 scaled grids：

$$
X_s(M;\mu),
$$

$$
X_{s^2}(M;\mu)
$$

上消失。

---

本輪接著利用 BADT 的 rational-scaling invariance。

若：

$$
\lambda,
\quad
s\lambda,
\quad
s^2\lambda,
\quad
s^4\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

則對任意：

$$
q\in\mathbb Q,
$$

亦有：

$$
q\lambda,
\quad
qs\lambda,
\quad
qs^2\lambda,
\quad
qs^4\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
$$

所以 hypothetical real BADT$_2$ 自動產生 arbitrarily flat states：

$$
\mu=q\lambda
\to0.
$$

由此得到：

## Flat-Scale Support Escape Theorem

固定：

$$
M\ge2.
$$

假設存在 rational sequence：

$$
q_n\to0,
$$

使每個 scaled state：

$$
\mu_n=q_n\lambda
$$

都存在：

$$
K=M^2+1
$$

term polynomial：

$$
P_n
$$

同時在：

$$
X_s(M;\mu_n)
$$

與：

$$
X_{s^2}(M;\mu_n)
$$

上消失。

令：

$$
S_n
=
S(P_n).
$$

因 Round 19 已證 collinear support需要至少：

$$
2M^2-M+1
>
M^2+1
$$

個 terms，

所以每個：

$$
S_n
$$

必 genuine two-dimensional。

將 support平移不影響 torus zero set，只會乘上 monomial。

因此可 normalize：

$$
0\in S_n.
$$

若：

$$
\operatorname{diam}_{\infty}(S_n)
$$

有 uniform bound，

則只有有限多 normalized lattice supports。

故存在 fixed support：

$$
S
$$

沿 subsequence無限重複。

但 Flat 2D Common-Circuit Exclusion說，對該 fixed：

$$
S,
$$

當：

$$
\mu_n
$$

夠小時不可能有 common circuit。

矛盾。

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{diam}_{\infty}(S_n)
\to\infty
\text{ along every flat common-circuit family, in the sense of escaping every bounded lattice window.}
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{minimal two-layer support must escape to lattice infinity as }\mu\to0.
}
$$

這是一個新的 complexity cost。

---

最後，本輪保留 Floater 2026 determinant bounds作為 finite-$\mu$ support certificate。

Floater 對 ordered real：

$$
x_1<\cdots<x_L,
$$

$$
y_1<\cdots<y_L
$$

證明：

$$
e^{\sum_i x_i y_{L+1-i}}
\le
\frac{
c_{L-1}
\det[e^{x_i y_j}]
}{
V(x)V(y)
}
\le
e^{\sum_i x_i y_i}.
$$

套到：

$$
x_i=\mu q_i(t)
$$

及 omitted frequency set：

$$
Y_{t,\widehat j},
$$

可對每個 cofactor ratio：

$$
\frac{D_{t,j}}{D_{t,k}}
$$

得到 explicit interval。

若：

$$
t=s
$$

與：

$$
t=s^2
$$

的 ratio intervals對某個：

$$
(j,k)
$$

不相交，

則 common circuit不可能。

本輪稱此為：

**Floater Cofactor Separation Certificate（FCSC）**。

它不需要：

$$
\mu
$$

很小，可作為 Round 21 finite-parameter support search的 rigorous pruning rule。

---

# 1. Scaled evaluation system

令：

$$
L=M^2,
$$

$$
K=L+1.
$$

固定：

$$
S
=
\{p_j=(u_j,v_j)\}_{j=1}^{K}
\subset
\mathbb Z^2.
$$

對 real irrational：

$$
t,
$$

定義：

$$
q_{a,b}(t)
=
a+bt,
$$

$$
0\le a,b<M.
$$

將：

$$
L
$$

個 nodes任意固定排序為：

$$
q_1(t),\ldots,q_L(t).
$$

定義：

$$
y_j(t)=u_j+t v_j.
$$

以及：

$$
\boxed{
E_t(\mu;S)
=
\left[
e^{\mu q_i(t)y_j(t)}
\right].
}
$$

---

# 2. Full row rank

因：

$$
t
$$

irrational：

$$
q_i(t)
$$

兩兩 distinct。

同理，distinct lattice support points：

$$
p_j
$$

給 distinct：

$$
y_j(t),
$$

因 projection collision只會發生在 rational slope：

$$
t
=
-\frac{u_i-u_j}{v_i-v_j}.
$$

所以：

$$
t
$$

transcendental時無 collision。

對：

$$
\mu\neq0,
$$

任選：

$$
L
$$

columns可重排成 exponential matrix：

$$
[e^{x_i y_j}]
$$

with distinct real nodes/frequencies。

strict total positivity給：

$$
\det\neq0.
$$

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}E_t(\mu;S)=L.
}
$$

---

# 3. Circuit cofactors

令：

$$
D_{t,j}(\mu)
$$

為刪除第：

$$
j
$$

column後的：

$$
L\times L
$$

determinant。

則 standard cofactor vector：

$$
c_{t,j}(\mu)
=
(-1)^j
D_{t,j}(\mu)
$$

生成：

$$
\ker E_t(\mu;S).
$$

---

# 4. HCIZ normalization

令：

$$
N_L
=
\frac{L(L-1)}2.
$$

Floater 2026 recall的 HCIZ formula給：

$$
\frac{
c_{L-1}
D_{t,j}(\mu)
}{
V(\mu Q_t)
V(Y_{t,\widehat j})
}
=
\mathcal H_{t,j}(\mu),
$$

其中：

$$
\mathcal H_{t,j}(\mu)
$$

可寫為 unitary-group integral。

因：

$$
V(\mu Q_t)
=
\mu^{N_L}
V(Q_t),
$$

有：

$$
\boxed{
D_{t,j}(\mu)
=
\frac{
\mu^{N_L}
V(Q_t)
V(Y_{t,\widehat j})
}{
c_{L-1}
}
\mathcal H_{t,j}(\mu).
}
$$

---

# 5. Flat normalized factor

unitary integral在：

$$
\mu=0
$$

時 integrand恆為：

$$
1.
$$

normalized Haar measure總質量為：

$$
1.
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathcal H_{t,j}(0)=1.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
D_{t,j}(\mu)
=
\frac{
\mu^{N_L}
V(Q_t)
V(Y_{t,\widehat j})
}{
c_{L-1}
}
+
O(\mu^{N_L+1}).
}
$$

---

# 6. Independent power-series derivation

也可直接展開：

$$
e^{\mu xy}
=
\sum_{r\ge0}
\frac{
\mu^r x^r y^r
}{
r!
}.
$$

以 Cauchy–Binet 展開 determinant。

最低總 degree來自：

$$
r=0,1,\ldots,L-1.
$$

其總和：

$$
0+1+\cdots+(L-1)
=
N_L.
$$

對應 coefficient：

$$
\frac{
V(Q_t)
V(Y_{t,\widehat j})
}{
0!1!\cdots(L-1)!
}.
$$

而：

$$
0!1!\cdots(L-1)!
=
c_{L-1}.
$$

所以得到同一 flat expansion。

---

# 7. Barycentric circuit

對 indeterminate：

$$
T,
$$

定義 projected nodes：

$$
y_i(T)
=
u_i+Tv_i.
$$

定義：

$$
\boxed{
w_i(T)
=
\frac1{
\prod_{j\neq i}
(y_i(T)-y_j(T))
}.
}
$$

這些：

$$
w_i(T)
$$

為：

$$
\mathbb Q(T)
$$

中的 nonzero rational functions。

---

# 8. Vandermonde kernel identity

ordinary Vandermonde matrix：

$$
V_T
=
\left[
y_j(T)^m
\right]_
{0\le m\le K-2,\ 1\le j\le K}
$$

rank：

$$
K-1
$$

over：

$$
\mathbb Q(T).
$$

其 kernel由：

$$
w(T)
=
(w_1(T),\ldots,w_K(T))
$$

生成。

所以：

$$
\boxed{
\sum_i
w_i(T)y_i(T)^m
=
0
\qquad
0\le m\le K-2.
}
$$

---

# 9. Flat exponential circuit

由 cofactor expansion：

$$
[c_{t,1}(\mu):\cdots:c_{t,K}(\mu)]
$$

當：

$$
\mu\to0
$$

收斂至：

$$
\boxed{
[w_1(t):\cdots:w_K(t)].
}
$$

因此定義：

$$
\beta_S(t)
=
[w_1(t):\cdots:w_K(t)].
$$

---

# 10. Barycentric Squaring Rigidity — forward implication

假設：

$$
s
$$

transcendental且：

$$
\beta_S(s)
=
\beta_S(s^2).
$$

固定：

$$
i\ge2,
$$

定義：

$$
f_i(T)
=
\frac{w_i(T)}{w_1(T)}
\in
\mathbb Q(T).
$$

projective equality給：

$$
f_i(s)=f_i(s^2).
$$

---

# 11. Transcendence lifts equality to a rational identity

考慮：

$$
g_i(T)
=
f_i(T)-f_i(T^2)
\in
\mathbb Q(T).
$$

若：

$$
g_i
$$

nonzero，清分母後得到 nonzero：

$$
G_i(T)\in\mathbb Q[T].
$$

而：

$$
G_i(s)=0.
$$

這會令：

$$
s
$$

algebraic。

矛盾。

所以：

$$
\boxed{
f_i(T)=f_i(T^2)
}
$$

在：

$$
\mathbb Q(T)
$$

中恆成立。

---

# 12. Squaring-invariant rational functions are constant

若：

$$
f\in\mathbb Q(T)
$$

nonconstant，視為：

$$
\mathbb P^1
\to
\mathbb P^1
$$

rational map。

則：

$$
\deg(f\circ[T\mapsto T^2])
=
2\deg f.
$$

若：

$$
f(T)=f(T^2),
$$

則：

$$
\deg f=2\deg f.
$$

因此：

$$
\deg f=0.
$$

所以：

$$
\boxed{
f
\text{ constant}.
}
$$

故所有：

$$
f_i
$$

constant。

---

# 13. Projectively constant barycentric vector

因此存在：

$$
d_i\in\mathbb Q^\times
$$

及：

$$
g(T)\in\mathbb Q(T)^\times
$$

使：

$$
\boxed{
w_i(T)=g(T)d_i.
}
$$

可 normalize：

$$
d_1=1.
$$

---

# 14. Two-variable moment annihilation

代入 Vandermonde kernel identities：

$$
0
=
\sum_i
d_i
(u_i+Tv_i)^m
$$

對：

$$
0\le m\le K-2.
$$

展開：

$$
(u_i+Tv_i)^m
=
\sum_{b=0}^{m}
\binom mb
u_i^{m-b}
v_i^b
T^b.
$$

polynomial identity每個 coefficient皆為零，所以：

$$
\boxed{
\sum_i
d_i
u_i^a
v_i^b
=
0
}
$$

對：

$$
a+b\le K-2.
$$

---

# 15. Polynomial separator for a noncollinear set

若：

$$
S
$$

noncollinear，存在：

$$
p_a,p_b,p_c
$$

noncollinear。

令：

$$
\ell
$$

為 through：

$$
p_a,p_b
$$

的 rational affine-linear polynomial。

所以：

$$
\ell(p_c)\neq0.
$$

對每個其餘：

$$
p_r
\in
S\setminus
\{p_a,p_b,p_c\},
$$

取 rational affine-linear：

$$
\ell_r
$$

使：

$$
\ell_r(p_r)=0,
$$

$$
\ell_r(p_c)\neq0.
$$

---

# 16. Separator degree

令：

$$
F(X,Y)
=
\ell(X,Y)
\prod_r
\ell_r(X,Y).
$$

則：

$$
\deg F
=
1+(K-3)
=
K-2.
$$

且：

$$
F(p_i)=0
$$

對：

$$
i\neq c,
$$

而：

$$
F(p_c)\neq0.
$$

---

# 17. Contradiction

two-variable moment annihilation表示：

$$
\sum_i
d_i
F(p_i)
=
0.
$$

但：

$$
\sum_i
d_iF(p_i)
=
d_cF(p_c)
\neq0.
$$

矛盾。

因此：

$$
\boxed{
S
\text{ must be collinear}.
}
$$

---

# 18. Converse

若：

$$
S
$$

collinear，寫：

$$
p_i
=
p_0+n_id,
$$

其中：

$$
d=(d_1,d_2)
$$

為固定 lattice direction。

則：

$$
y_i(T)
=
\alpha(T)
+
n_i\beta(T),
$$

其中：

$$
\beta(T)
=
d_1+Td_2.
$$

因此：

$$
y_i(T)-y_j(T)
=
(n_i-n_j)\beta(T).
$$

所以：

$$
w_i(T)
=
\beta(T)^{-(K-1)}
\frac1{
\prod_{j\neq i}(n_i-n_j)
}.
$$

所有 weights擁有同一：

$$
T
$$

factor。

故：

$$
\boxed{
\beta_S(T)
\text{ constant}.
}
$$

所以：

$$
\beta_S(s)=\beta_S(s^2).
$$

---

# 19. Barycentric Squaring Rigidity Theorem

綜合：

$$
\boxed{
\beta_S(s)
=
\beta_S(s^2)
\iff
\operatorname{affdim}S\le1.
}
$$

對任意 transcendental：

$$
s.
$$

---

# 20. Flat 2D Common-Circuit Exclusion

若：

$$
\operatorname{affdim}S=2,
$$

則：

$$
\beta_S(s)
\neq
\beta_S(s^2).
$$

exponential circuit projective maps：

$$
\gamma_s(\mu;S),
$$

$$
\gamma_{s^2}(\mu;S)
$$

在：

$$
\mu=0
$$

有 distinct limits。

所以存在：

$$
\varepsilon>0
$$

使：

$$
0<|\mu|<\varepsilon
$$

時：

$$
\boxed{
\gamma_s(\mu;S)
\neq
\gamma_{s^2}(\mu;S).
}
$$

因此不存在 common coefficient vector。

---

# 21. Rational scaling invariance of BADT

因：

$$
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
$$

為：

$$
\mathbb Q
$$

-vector space，

若：

$$
\lambda,
s\lambda,
s^2\lambda,
s^4\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

則對：

$$
q\in\mathbb Q,
$$

有：

$$
\boxed{
q\lambda,
qs\lambda,
qs^2\lambda,
qs^4\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
}
$$

對 real positive exponentials也可直接看：

$$
e^{qz}
$$

為 algebraic數的 rational power，仍 algebraic。

---

# 22. Arbitrarily flat BADT states

取：

$$
q_n\in\mathbb Q_{>0},
$$

$$
q_n\to0.
$$

若一個 real BADT$_2$ state存在，就同時存在：

$$
\boxed{
\mu_n=q_n\lambda\to0
}
$$

的 BADT$_2$ states。

因此 flat parameter不是 artificial deformation，而是 hypothetical BADT family內部真實存在的 rational rescaling direction。

---

# 23. Minimal common support

固定：

$$
M\ge2.
$$

single-layer exact fewnomial theorem給：

$$
|S(P)|\ge M^2+1.
$$

所以若研究：

$$
M^2+1
$$

term common polynomials，它們已是 single-layer minimal circuits。

Round 19又證明 collinear common support需要：

$$
2M^2-M+1.
$$

因：

$$
M\ge2,
$$

有：

$$
2M^2-M+1
>
M^2+1.
$$

所以：

$$
\boxed{
M^2+1
\text{-term common support必為 genuine 2D}.
}
$$

---

# 24. Support normalization

若：

$$
S
\subset
\mathbb Z^2
$$

平移：

$$
S+r,
$$

對 polynomial而言只是乘上 monomial：

$$
T^r.
$$

在 algebraic torus上：

$$
T^r\neq0.
$$

所以 vanishing set完全不變。

因此可 normalize每個 support包含：

$$
(0,0).
$$

---

# 25. Flat-Scale Support Escape Theorem

假設：

$$
\mu_n\to0
$$

的 scaled BADT states各有：

$$
K=M^2+1
$$

term common circuit：

$$
P_n,
$$

support：

$$
S_n.
$$

normalize：

$$
0\in S_n.
$$

假設存在：

$$
D<\infty
$$

使：

$$
\operatorname{diam}_{\infty}(S_n)\le D
$$

沿 infinite subsequence。

---

# 26. Finite pigeonhole

normalized support全部落在 finite lattice box：

$$
[-D,D]^2.
$$

固定 cardinality：

$$
K.
$$

所以只有有限多 possible supports。

因此存在 fixed：

$$
S
$$

沿 infinite subsequence重複。

而：

$$
S
$$

必 genuine 2D。

---

# 27. Escape contradiction

Flat 2D Common-Circuit Exclusion對 fixed：

$$
S
$$

給：

$$
\varepsilon(S,s,M)>0.
$$

當：

$$
|\mu_n|<\varepsilon
$$

時，不可能存在該 support的 common circuit。

與：

$$
\mu_n\to0
$$

矛盾。

所以：

$$
\boxed{
\text{minimal common-circuit supports must escape every bounded lattice window as }\mu\to0.
}
$$

---

# 28. Support Escape interpretation

若 LTSB 最終要為 rationally rescaled BADT states產生 minimal common circuits，則它不能使用：

- fixed support；
- uniformly bounded degree；
- uniformly bounded Newton polygon；
- finitely many support templates。

至少有一個 lattice scale必：

$$
\boxed{
\to\infty
}
$$

as：

$$
\mu\to0.
$$

因此 flat scaling把 support compression問題轉成 support-spread / height-growth問題。

---

# 29. HCIZ factor as finite-parameter correction

flat limit只使用：

$$
\mathcal H_{t,j}(0)=1.
$$

對 finite：

$$
\mu,
$$

exact cofactor為：

$$
V(Y_{t,\widehat j})
\mathcal H_{t,j}(\mu)
$$

乘上 common factors。

因此 finite-$\mu$ CRRP可視為：

$$
\boxed{
\text{barycentric geometry}
\times
\text{HCIZ nonlinear correction}.
}
$$

---

# 30. Floater bounds

假設：

$$
\mu>0.
$$

將：

$$
q_1<\cdots<q_L,
$$

以及 omitted frequency set：

$$
y_1<\cdots<y_L
$$

遞增排序。

Floater 2026 Theorem 1給：

$$
\boxed{
e^{\mu\sum_iq_i y_{L+1-i}}
\le
\mathcal H
\le
e^{\mu\sum_iq_i y_i}.
}
$$

---

# 31. Cofactor ratio intervals

對 omitted support points：

$$
p_j,
\quad
p_k,
$$

定義 signed/absolute Vandermonde ratio：

$$
R_V^{(t)}(j,k)
=
\left|
\frac{
V(Y_{t,\widehat j})
}{
V(Y_{t,\widehat k})
}
\right|.
$$

並令：

$$
\Phi_t^+(j)
=
\sum_i
q_i
y_i^{(\widehat j)},
$$

$$
\Phi_t^-(j)
=
\sum_i
q_i
y_{L+1-i}^{(\widehat j)}.
$$

則：

$$
\boxed{
\left|
\frac{D_{t,j}}{D_{t,k}}
\right|
}
$$

位於：

$$
\boxed{
I_t(j,k)
=
R_V^{(t)}(j,k)
\left[
e^{\mu(\Phi_t^-(j)-\Phi_t^+(k))},
\,
e^{\mu(\Phi_t^+(j)-\Phi_t^-(k))}
\right].
}
$$

---

# 32. Floater Cofactor Separation Certificate

若對某：

$$
j,k
$$

有：

$$
\boxed{
I_s(j,k)
\cap
I_{s^2}(j,k)
=
\varnothing,
}
$$

則：

$$
\left|
\frac{D_{s,j}}{D_{s,k}}
\right|
\neq
\left|
\frac{D_{s^2,j}}{D_{s^2,k}}
\right|.
$$

所以兩個 circuit不可能 projectively相同。

這給：

$$
\boxed{
\text{FCSC}
}
$$

作為任意 finite：

$$
\mu
$$

的 rigorous support-level exclusion test。

---

# 33. What Round 20 solves

本輪完整解決的是：

$$
\boxed{
\text{CRRP 的 flat fixed-support limit}.
}
$$

對任何 genuine 2D fixed support：

$$
S,
$$

common circuit在：

$$
\mu\to0
$$

附近不存在。

---

# 34. What remains open

本輪沒有證明：

$$
\boxed{
\text{對任意 fixed finite }\mu\neq0,
\text{ genuine 2D common circuit均不存在}.
}
$$

HCIZ nonlinear correction：

$$
\mathcal H_{t,j}(\mu)
$$

理論上可能補償不同 barycentric circuits。

所以 full CRRP仍 open。

---

# 35. New shape of the problem

Round 19 的：

$$
\text{Crossing Parity}
+
\text{Cofactor-Ratio Equality}
$$

現在可再細分為：

$$
\boxed{
\text{Barycentric Ratio}
\times
\text{HCIZ Correction}.
}
$$

flat limit證明 barycentric部分對 genuine 2D support必分離。

因此任何 finite-$\mu$ common circuit必由：

$$
\boxed{
\text{nontrivial HCIZ compensation}
}
$$

精確抵消該 separation。

這是更窄的 target。

---

# 36. Flat compensation factor

對：

$$
j,k,
$$

common circuit要求：

$$
\frac{
V_s(\widehat j)
}{
V_s(\widehat k)
}
\cdot
\frac{
\mathcal H_{s,j}(\mu)
}{
\mathcal H_{s,k}(\mu)
}
=
\frac{
V_{s^2}(\widehat j)
}{
V_{s^2}(\widehat k)
}
\cdot
\frac{
\mathcal H_{s^2,j}(\mu)
}{
\mathcal H_{s^2,k}(\mu)
}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\frac{
\mathcal H_{s,j}/\mathcal H_{s,k}
}{
\mathcal H_{s^2,j}/\mathcal H_{s^2,k}
}
=
\frac{
V_{s^2}(\widehat j)/V_{s^2}(\widehat k)
}{
V_s(\widehat j)/V_s(\widehat k)
}.
}
$$

右邊是純 rational projection geometry。

左邊是 HCIZ nonlinear correction。

Round 21 可直接研究這個 compensation equation。

---

# 37. Rational-function side is explicit

Vandermonde ratio可寫成 barycentric ratio：

$$
\frac{
V(Y_{\widehat j})
}{
V(Y_{\widehat k})
}
=
\pm
\frac{
w_k
}{
w_j
}.
$$

而：

$$
w_j(T)
=
\prod_{\ell\neq j}
\left[
(u_j-u_\ell)
+
T(v_j-v_\ell)
\right]^{-1}.
$$

所以右側 compensation target是：

$$
\boxed{
\text{explicit rational function of }s.
}
$$

不存在未知 transcendental determinant。

這使 full CRRP被壓成：

> HCIZ cofactor correction ratios能否恰好實現某個 nontrivial explicit rational function of $s$？

---

# 38. Round 20 判定

**PASS — Genuine 2D common circuits excluded in the flat parameter regime; projective barycentric squaring rigidity proved; minimal supports forced to escape under rational BADT flattening**

本輪完成：

1. 定義 scaled evaluation matrices：
   $$
   E_t(\mu;S).
   $$

2. 證 exponential circuit full row rank。

3. 建立 HCIZ/Vandermonde exact cofactor factorization。

4. 推導 flat determinant asymptotic。

5. 識別 flat circuit為 ordinary barycentric circuit。

6. 定義：
   $$
   \beta_S(T).
   $$

7. 證 transcendental evaluation equality提升為：
   $$
   f(T)=f(T^2).
   $$

8. 證 squaring-invariant rational function必 constant。

9. 推導 projectively constant barycentric weights。

10. 將 barycentric moment identities提升成全部 total-degree：
    $$
    \le K-2
    $$
    的二元 moment annihilation。

11. 以 degree：
    $$
    K-2
    $$
    polynomial separator排除 noncollinear support。

12. 證 collinear converse。

13. 得到 Barycentric Squaring Rigidity：
    $$
    \beta_S(s)=\beta_S(s^2)
    \iff
    \operatorname{affdim}S\le1.
    $$

14. 得到 Flat 2D Common-Circuit Exclusion。

15. 利用：
    $$
    \mathcal L_{\mathrm{alg}}
    $$
    的 Q-vector-space性建立 BADT rational flattening。

16. 結合 Round 19 collinear lower bound，證 minimal support必 genuine 2D。

17. 建立 Flat-Scale Support Escape Theorem。

18. 證 minimal common circuits在：
    $$
    \mu\to0
    $$
    時不能有 uniformly bounded lattice diameter。

19. 用 Floater 2026 bounds建立 finite-$\mu$ Cofactor Separation Certificate。

20. 將 full CRRP縮成 HCIZ Compensation Problem。

---

# 39. Round 21 正式入口

下一輪不再研究 flat limit。

直接研究：

$$
\boxed{
\text{HCIZ Compensation Problem}.
}
$$

## R21-A：Derivative at $\mu=0$

對：

$$
\log\mathcal H_{t,j}(\mu)
$$

做 Taylor expansion。

HCIZ integral的一階 derivative可由 unitary Haar average計算。

檢查 cofactor-ratio correction的一階項是否：

- 與 omitted point無關；
- 或具有 explicit support moment formula。

若一階 ratio correction cancel，繼續算二階。

---

## R21-B：First nontrivial compensation order

flat barycentric ratios已不同。

但 rational scaling可令：

$$
\mu
$$

任意小。

研究：

$$
\frac{
\mathcal H_{t,j}(\mu)
}{
\mathcal H_{t,k}(\mu)
}
=
1
+
c_{jk}^{(r)}(t)
\mu^r
+
O(\mu^{r+1}).
$$

找第一個：

$$
r
$$

及 explicit：

$$
c_{jk}^{(r)}.
$$

---

## R21-C：Quantitative support escape

若能以 support diameter：

$$
D
$$

控制 HCIZ correction，

則 Flat-Scale Support Escape可升級成：

$$
\boxed{
D
\ge
F(1/|\mu|)
}
$$

的 quantitative lower bound。

這會直接連到 auxiliary polynomial degree / height。

---

## R21-D：Floater interval pruning

對具體 finite supports，可用 FCSC exact pruning。

先測：

- rectangles；
- triangles plus interior points；
- convex lattice supports；
- hole-one supports。

找出哪些 geometry在 finite $\mu$ 下仍被 determinant bounds直接排除。

---

# 40. 一句話結論

> **Round 20 完整解掉了 CRRP 的 flat fixed-support極限：projection barycentric circuit在 $s$ 與 $s^2$ 下相同，對 transcendental $s$ 而言等價於 support共線。因此任何 genuine 2D support在 $\lambda\to0$ 附近都不能成為兩層 common circuit；而 hypothetical BADT 可沿 rational multiples任意 flatten，所以任何 minimal common-support mechanism若存在，support必逃向無界 lattice scale。**

核心定理：

$$
\boxed{
\beta_S(s)
=
\beta_S(s^2)
\iff
\operatorname{affdim}S\le1.
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\mu\to0
\Longrightarrow
\text{genuine 2D minimal common supports must escape every bounded lattice window}.
}
$$

full finite-parameter problem現在只剩：

$$
\boxed{
\text{Can HCIZ nonlinear corrections exactly compensate the explicit barycentric separation?}
}
$$

---

# 參考資料

1. Michael S. Floater, **Bounds on the determinant of an exponential matrix**, *BIT Numerical Mathematics* 66 (2026), article 58.  
   Published 23 September 2026.  
   DOI: 10.1007/s10543-026-01153-5  
   Uses the HCIZ representation, strict total positivity of the exponential kernel, and proves explicit upper/lower determinant bounds.

2. Michael S. Floater, arXiv:2603.19900, **Bounds on the determinant of an exponential matrix**.

3. Standard polynomial interpolation / barycentric identity:
   $$
   w_i
   =
   \left(
   \prod_{j\neq i}
   (x_i-x_j)
   \right)^{-1},
   $$
   and the barycentric vector spans the kernel of the truncated Vandermonde matrix.

4. Samit Dasgupta and Mahesh Kakde, **Ranks of Matrices of Logarithms of Algebraic Numbers II: The Matrix Coefficient Conjecture**, *Advances in Mathematics* 487 (2026), 110753.

---

**ACTM Round 20 完**