# ACTM Round 19
## Collinear-Support Optimality、Bi-Chebyshev Circuit Parity 與 Jet-Transfer No-Go
### Collinear-Support Optimality, Bi-Chebyshev Circuit Parity, and a Jet-Transfer No-Go

**研究計畫：** Algebraic Combinatorial Transcendence Methodology（ACTM）  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-02  
**版本：** Round 19 / v0.1  
**文件性質：** 正式研究筆記／coupled-fewnomial structural round  
**狀態聲明：** 本輪不宣稱求得一般 $\kappa_{\cup}(M)$，也不宣稱證明 real BADT$_2$ 不可能。本輪完成三件受限但精確的工作：第一，求出所有 affine-collinear monomial supports 的 exact two-layer support complexity；第二，分類達到 single-layer minimum $M^2+1$ 時必須滿足的 common-circuit / crossing-parity條件；第三，排除一大類把第二層直接轉成第一層 finite jet 的 universal operator bridge。

---

## 摘要

Round 18 對 real rank-one orbit：

$$
X_t(M)
=
\left\{
\left(
e^{\lambda(a+bt)},
e^{\lambda t(a+bt)}
\right):
0\le a,b<M
\right\}
$$

證明：

$$
\kappa_t(M)=M^2+1.
$$

並對兩層 union：

$$
Y(M)
=
X_s(M)
\cup
X_{s^2}(M)
$$

得到：

$$
M^2+1
\le
\kappa_{\cup}(M)
\le
2M^2-M+1.
$$

Round 19 首先問：

> 上界：
>
> $$
> 2M^2-M+1
> $$
>
> 是否只是因為我們偷懶用了 univariate polynomial？

答案是：

$$
\boxed{
\text{對所有 affine-collinear monomial supports，它其實就是 exact optimum。}
}
$$

定義：

$$
\kappa_{\cup}^{\mathrm{col}}(M)
$$

為 exponent support affine dimension至多 $1$ 的 nonzero Laurent polynomials中，在：

$$
Y(M)
$$

上消失者的最小 support size。

本輪證明：

$$
\boxed{
\kappa_{\cup}^{\mathrm{col}}(M)
=
2M^2-M+1.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\kappa_{\cup}(M)
<
2M^2-M+1
}
$$

若可能，必來自 genuine two-dimensional exponent support。

證明使用任意 primitive lattice direction：

$$
(p,q)
\in
\mathbb Z^2
\setminus
\{0\}.
$$

對 monomial：

$$
Z_{p,q}
=
T_1^pT_2^q,
$$

第一層 $X_s(M)$ 的 $Z_{p,q}$-values有 $M^2$ 個，第二層 $X_{s^2}(M)$ 也有 $M^2$ 個。

兩個 value sets的 intersection size精確為：

$$
\boxed{
J_{p,q}(M)
=
\begin{cases}
M,
&
p=0
\text{ or }
q=0
\text{ or }
p+q=0,
\\
1,
&
\text{otherwise}.
\end{cases}
}
$$

因此任一 lattice-line support必面對至少：

$$
2M^2-M
$$

個 distinct positive univariate values。

$K$-term Laurent polynomial在 positive real axis上至多有：

$$
K-1
$$

個 distinct positive zeros；這是 Dasgupta–Kakde real exponential-polynomial zero lemma經：

$$
Z=e^x
$$

的直接版本。

所以：

$$
K
\ge
2M^2-M+1.
$$

horizontal direction：

$$
(p,q)=(1,0)
$$

由 Round 18 的 first-coordinate product polynomial達到 equality。

---

第二個主結果研究最激進的 hypothetical compression：

$$
|S(P)|=M^2+1.
$$

固定任何：

$$
S
\subset
\mathbb Z^2,
$$

$$
|S|=M^2+1.
$$

對：

$$
t\in\{s,s^2\},
$$

定義 evaluation matrix：

$$
E_t(S)
=
\left[
e^{\lambda q(u+vt)}
\right]_{
q\in Q_t(M),
\,
(u,v)\in S
},
$$

其中：

$$
Q_t(M)
=
\{a+bt:0\le a,b<M\}.
$$

將 nodes：

$$
\lambda q
$$

與 frequencies：

$$
u+vt
$$

分別遞增排序。

Michael Floater 2026 所整理的 classical fact指出：

$$
[e^{x_i y_j}]
$$

對 strictly increasing real：

$$
x_i,
\quad
y_j
$$

是 strictly totally positive；所有 square minors皆為正。

因此：

$$
E_t(S)
$$

是一個：

$$
M^2
\times
(M^2+1)
$$

full-spark matrix。

所以：

$$
\boxed{
\dim\ker E_t(S)=1,
}
$$

而 kernel中的每個 coordinate皆非零。

利用 maximal-minor cofactor formula，其唯一 circuit vector在 frequency order中必交錯變號。

因此如果同一 polynomial：

$$
P
$$

以 exactly：

$$
M^2+1
$$

個 monomials同時消失於：

$$
X_s(M),
$$

與：

$$
X_{s^2}(M),
$$

則同一 coefficient vector必同時是：

$$
E_s(S)
$$

與：

$$
E_{s^2}(S)
$$

的 unique circuit。

這稱為：

**Common Exponential Circuit Condition**。

---

設：

$$
\rho_t(p)
$$

為 exponent point：

$$
p=(u,v)\in S
$$

在 projection：

$$
L_t(u,v)=u+tv
$$

下的 order position。

common circuit 的 alternating signs要求：

$$
\boxed{
\rho_s(p)-\rho_{s^2}(p)
\pmod2
}
$$

對所有：

$$
p\in S
$$

必為同一常數。

換句話說，從 $s$-order 到 $s^2$-order 的 permutation必：

- parity-preserving；
- 或在 support size為偶數時 parity-reversing。

這可完全用一個 crossing graph表示。

定義：

$$
G_S(s,s^2)
$$

的 vertices為：

$$
S,
$$

並在：

$$
p=(u,v),
\quad
p'=(u',v')
$$

相對 order在 $s$ 與 $s^2$ 間翻轉時連 edge。

edge criterion：

$$
\boxed{
\left[
(u-u')
+
s(v-v')
\right]
\left[
(u-u')
+
s^2(v-v')
\right]
<0.
}
$$

若：

$$
v\neq v',
$$

令 rational crossing slope：

$$
r(p,p')
=
-\frac{u-u'}{v-v'}.
$$

則：

$$
\boxed{
pp'
\in E(G_S)
\iff
r(p,p')
\in
\left(
\min(s,s^2),
\max(s,s^2)
\right).
}
$$

因 crossing slope為 rational，而 $s,s^2$ transcendental，不存在 boundary ambiguity。

本輪進一步證：

$$
\boxed{
\deg_{G_S}(p)
\equiv
\rho_s(p)-\rho_{s^2}(p)
\pmod2.
}
$$

所以 common-circuit parity condition等價於：

$$
\boxed{
\deg_{G_S}(p)
\text{ 對所有 vertices具有相同 parity。}
}
$$

如果：

$$
|S|=M^2+1
$$

為 odd，handshake lemma排除「全部 odd degree」。

因此：

$$
\boxed{
|S|
\text{ odd}
\Longrightarrow
G_S
\text{ 必為 Eulerian graph。}
}
$$

這給出第一個真正由兩層：

$$
s\mapsto s^2
$$

共同產生的 exact support-combinatorial obstruction。

---

但 parity 仍只是 sign obstruction。

若通過 parity test，還必通過 **cofactor magnitude matching**。

令：

$$
D_t(p)
$$

為刪除 exponent-column：

$$
p
$$

後得到的：

$$
M^2\times M^2
$$

exponential Vandermonde determinant的正值。

則 layer-$t$ unique circuit coefficients滿足：

$$
|c_p^{(t)}|
\propto
D_t(p).
$$

因此 common circuit還要求：

$$
\boxed{
\frac{D_s(p)}{D_{s^2}(p)}
}
$$

對：

$$
p\in S
$$

全部相同，經適當 global normalization後成立。

這將最低-support coupled problem精確壓成：

$$
\boxed{
\text{Crossing Parity}
+
\text{Exponential Cofactor-Ratio Rigidity}.
}
$$

2026 年 Floater 對 exponential Vandermonde determinant的新上下界因此成為一個自然可用工具；但本輪不宣稱這些 bounds已足以證 ratio不可能固定。

---

第三個主結果處理 Round 18 留下的：

> second layer能否直接轉成 first-layer derivative / jet data？

對 support：

$$
S
\subset\mathbb Z^2,
$$

定義 restriction：

$$
\mathcal R_t[P](q)
=
P
\left(
e^{\lambda q},
e^{\lambda tq}
\right).
$$

對 monomial：

$$
T_1^uT_2^v,
$$

有：

$$
\mathcal R_t
\left[
T_1^uT_2^v
\right]
=
e^{\lambda(u+tv)q}.
$$

任意 constant-coefficient differential operator：

$$
D(\partial_q)
$$

只會乘上 frequency polynomial：

$$
D
\left(
\lambda(u+sv)
\right),
$$

而不會改變 exponential frequency：

$$
u+sv.
$$

即使允許：

- scalar reparametrization：
  $$
  q\mapsto\alpha q;
  $$
- common exponential prefactor：
  $$
  e^{\lambda\beta q};
  $$

想把 first-layer monomial restrictions轉成 second-layer restrictions仍要求：

$$
\boxed{
u+s^2v
=
\alpha(u+sv)+\beta
}
$$

對所有：

$$
(u,v)\in S.
$$

如果：

$$
\operatorname{affdim}S=2,
$$

兩邊是 affine functions on exponent plane，所以必 globally equal。

比較 coefficients：

$$
1=\alpha,
$$

$$
s^2=\alpha s,
$$

$$
\beta=0.
$$

因此：

$$
s^2=s,
$$

與 transcendental：

$$
s
$$

矛盾。

所以：

## Bounded Jet-Transfer No-Go

若：

$$
\operatorname{affdim}S=2,
$$

不存在 universal finite-order constant-coefficient differential operator、scalar reparametrization與common exponential prefactor，把：

$$
\mathcal R_s
$$

在：

$$
\mathcal P_S
$$

上的 restriction family轉成：

$$
\mathcal R_{s^2}.
$$

因此真正 multiplicity bridge若存在，必須：

- support-dependent；
- $M$-dependent；
- nonlinear；
- 或使用非local operator / elimination data。

---

綜合 Round 19：

$$
\boxed{
\text{1D support 已完全到頂；}
}
$$

$$
\boxed{
\text{最低可能 2D compression 必成為兩個 exponential Vandermonde matroids的 common circuit；}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{naive finite-jet transfer亦被排除。}
}
$$

所以 Round 20 的最窄前沿不再是泛泛地問：

> 有沒有 coupled polynomial？

而是研究：

$$
\boxed{
\text{Exponential Cofactor-Ratio Rigidity}.
}
$$

---

# 1. Real BADT setting

固定：

$$
\lambda,s\in\mathbb R,
$$

$$
\lambda\neq0,
$$

$$
s
\text{ transcendental}.
$$

令：

$$
X_t(M)
=
\left\{
\left(
e^{\lambda(a+bt)},
e^{\lambda t(a+bt)}
\right):
0\le a,b<M
\right\}.
$$

研究：

$$
Y(M)
=
X_s(M)
\cup
X_{s^2}(M).
$$

---

# 2. Affine-collinear lattice support

令 polynomial / Laurent polynomial：

$$
P(T_1,T_2)
$$

的 exponent support：

$$
S(P)
\subset
\mathbb Z^2
$$

位於 affine lattice line：

$$
p_0+\mathbb Z(p,q),
$$

其中：

$$
(p,q)
\in
\mathbb Z^2
\setminus\{(0,0)\}.
$$

可取 primitive direction：

$$
\gcd(p,q)=1.
$$

則：

$$
P(T_1,T_2)
=
T_1^{u_0}
T_2^{v_0}
Q
\left(
T_1^pT_2^q
\right)
$$

對某個 one-variable Laurent polynomial：

$$
Q.
$$

因 torus coordinates nonzero，前面的 monomial factor不影響 zeros。

---

# 3. Monomial coordinate

定義：

$$
Z_{p,q}(T_1,T_2)
=
T_1^pT_2^q.
$$

在 first layer：

$$
X_s(M)
$$

上：

$$
\log Z_{p,q}
=
\lambda
(p+qs)
(a+bs).
$$

展開：

$$
\frac1\lambda
\log Z_{p,q}
=
ap
+
(aq+bp)s
+
bq s^2.
$$

---

# 4. Second layer

在：

$$
X_{s^2}(M)
$$

上：

$$
\frac1\lambda
\log Z_{p,q}
=
(p+qs^2)
(c+ds^2).
$$

展開：

$$
cp
+
(cq+dp)s^2
+
dq s^4.
$$

每一層各自有：

$$
M^2
$$

個 distinct $Z_{p,q}$ values，因：

$$
p+qs\neq0,
$$

$$
p+qs^2\neq0.
$$

---

# 5. Intersection equations

若一個 first-layer value等於一個 second-layer value，positive real logarithm injectivity給：

$$
ap
+
(aq+bp)s
+
bq s^2
=
cp
+
(cq+dp)s^2
+
dq s^4.
$$

因：

$$
s
$$

transcendental，各 coefficient必分別相等：

$$
\boxed{
p(a-c)=0,
}
$$

$$
\boxed{
aq+bp=0,
}
$$

$$
\boxed{
bq-cq-dp=0,
}
$$

$$
\boxed{
dq=0.
}
$$

---

# 6. Case $q=0$

若：

$$
q=0,
\qquad
p\neq0,
$$

方程給：

$$
a=c,
$$

$$
b=0,
$$

$$
d=0.
$$

所以：

$$
\boxed{
J_{p,0}(M)=M.
}
$$

---

# 7. Case $p=0$

若：

$$
p=0,
\qquad
q\neq0,
$$

有：

$$
a=0,
$$

$$
d=0,
$$

$$
b=c.
$$

所以：

$$
\boxed{
J_{0,q}(M)=M.
}
$$

---

# 8. Case $pq\neq0$

由：

$$
dq=0
$$

得：

$$
d=0.
$$

由：

$$
p(a-c)=0
$$

得：

$$
a=c.
$$

由：

$$
bq-cq=0
$$

得：

$$
b=c=a.
$$

剩下：

$$
a(p+q)=0.
$$

因此：

- 若：
  $$
  p+q=0,
  $$
  則：
  $$
  a=b=c
  $$
  任取，共 $M$ 個 overlaps；

- 若：
  $$
  p+q\neq0,
  $$
  則只能：
  $$
  a=b=c=d=0.
  $$

故：

$$
\boxed{
J_{p,q}(M)
=
\begin{cases}
M,&p+q=0,\\
1,&p+q\neq0.
\end{cases}
}
$$

對：

$$
pq\neq0.
$$

---

# 9. Monomial Projection Overlap Theorem

綜合：

$$
\boxed{
J_{p,q}(M)
=
\begin{cases}
M,
&
p=0
\text{ or }
q=0
\text{ or }
p+q=0,
\\
1,
&
\text{otherwise}.
\end{cases}
}
$$

所以：

$$
\boxed{
J_{p,q}(M)\le M
}
$$

對任何 primitive lattice direction成立。

---

# 10. Distinct projected values on union

兩層各有：

$$
M^2
$$

個 values。

所以 union至少有：

$$
2M^2-M
$$

個 distinct positive：

$$
Z_{p,q}
$$

values。

---

# 11. Generalized Descartes bound

若：

$$
Q(Z)
=
\sum_{j=1}^{K}
c_jZ^{n_j}
$$

為 nonzero Laurent polynomial，$n_j$ distinct integers。

令：

$$
Z=e^x.
$$

則：

$$
Q(e^x)
=
\sum_{j=1}^{K}
c_je^{n_jx}.
$$

Dasgupta–Kakde Lemma 7.2 / classical real exponential Chebyshev bound給：

$$
\boxed{
Q
\text{ 在 }
\mathbb R_{>0}
\text{ 上至多有 }
K-1
\text{ 個 distinct zeros}.
}
$$

---

# 12. Collinear lower bound

若 collinear-support $P$ 在：

$$
Y(M)
$$

上消失，則：

$$
Q
$$

必在至少：

$$
2M^2-M
$$

個 distinct positive values上為零。

因此：

$$
2M^2-M
\le
|S(P)|-1.
$$

所以：

$$
\boxed{
|S(P)|
\ge
2M^2-M+1.
}
$$

---

# 13. Matching upper bound

取：

$$
(p,q)=(1,0).
$$

即只使用：

$$
T_1.
$$

Round 18 已證兩層 first-coordinate union有：

$$
2M^2-M
$$

個 distinct positive values。

其 product polynomial：

$$
Q_{\cup}(T_1)
=
\prod_{\rho}
(T_1-\rho)
$$

degree：

$$
2M^2-M.
$$

全部 roots positive，因此所有 elementary symmetric coefficients nonzero。

所以：

$$
\boxed{
|S(Q_{\cup})|
=
2M^2-M+1.
}
$$

---

# 14. Collinear-Support Optimality Theorem

因此：

$$
\boxed{
\kappa_{\cup}^{\mathrm{col}}(M)
=
2M^2-M+1.
}
$$

所以任何：

$$
P
$$

滿足：

$$
|S(P)|
<
2M^2-M+1
$$

並 vanishing on：

$$
Y(M)
$$

時，必有：

$$
\boxed{
\operatorname{affdim}S(P)=2.
}
$$

---

# 15. Evaluation matrices

固定：

$$
S
\subset\mathbb Z^2,
$$

$$
|S|=K.
$$

令：

$$
Q_t(M)
=
\{a+bt:0\le a,b<M\}.
$$

將：

$$
x_q=\lambda q
$$

遞增排序。

對：

$$
p=(u,v)\in S,
$$

定義 frequency：

$$
\omega_t(p)=u+tv.
$$

因：

$$
t
$$

irrational，所有 distinct lattice points有 distinct frequencies。

---

# 16. Exponential collocation matrix

定義：

$$
E_t(S)
=
\left[
e^{x_q\omega_t(p)}
\right].
$$

當 rows：

$$
x_q
$$

與 columns：

$$
\omega_t(p)
$$

皆遞增排序時，任何 square submatrix都具有形式：

$$
[e^{x_i y_j}],
$$

其中：

$$
x_1<\cdots<x_k,
$$

$$
y_1<\cdots<y_k.
$$

classical exponential total positivity給：

$$
\boxed{
\det[e^{x_i y_j}]>0.
}
$$

---

# 17. Full-spark consequence

令：

$$
L=M^2.
$$

若：

$$
K=L+1,
$$

則：

$$
E_t(S)
$$

為：

$$
L\times(L+1).
$$

任何：

$$
L
$$

columns皆線性獨立。

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}E_t(S)=L,
}
$$

$$
\boxed{
\dim\ker E_t(S)=1.
}
$$

而 kernel vector每個 coordinate皆非零。

---

# 18. Cofactor circuit vector

按 frequency order編號：

$$
p_0,\ldots,p_L.
$$

令：

$$
D_t(p_j)
$$

為刪除第 $j$ column後的 positive determinant。

則：

$$
\boxed{
c_j^{(t)}
=
(-1)^jD_t(p_j)
}
$$

生成：

$$
\ker E_t(S).
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{sgn}
c_j^{(t)}
=
\sigma_t(-1)^j
}
$$

對某個 global：

$$
\sigma_t\in\{\pm1\}.
$$

---

# 19. Common Exponential Circuit Condition

若存在 exactly：

$$
L+1=M^2+1
$$

terms的 polynomial：

$$
P
$$

同時消失於：

$$
X_s(M)
$$

與：

$$
X_{s^2}(M),
$$

其 coefficient vector：

$$
c
$$

同時屬於：

$$
\ker E_s(S)
$$

與：

$$
\ker E_{s^2}(S).
$$

兩者皆一維，所以：

$$
\boxed{
\ker E_s(S)
=
\ker E_{s^2}(S).
}
$$

---

# 20. Projection orders

對：

$$
t=s,s^2,
$$

令：

$$
\rho_t(p)
\in
\{0,\ldots,L\}
$$

為：

$$
p
$$

在：

$$
u+tv
$$

遞增 order中的 position。

common coefficient signs要求存在：

$$
\epsilon\in\{0,1\}
$$

使：

$$
\boxed{
\rho_s(p)-\rho_{s^2}(p)
\equiv
\epsilon
\pmod2
}
$$

對所有：

$$
p\in S.
$$

---

# 21. Crossing graph

定義 graph：

$$
G_S(s,s^2).
$$

vertices：

$$
S.
$$

兩 distinct vertices：

$$
p=(u,v),
$$

$$
p'=(u',v')
$$

相連，若其 relative order在兩個 projections間翻轉。

即：

$$
\boxed{
\left(
\Delta u+s\Delta v
\right)
\left(
\Delta u+s^2\Delta v
\right)
<0,
}
$$

其中：

$$
\Delta u=u-u',
$$

$$
\Delta v=v-v'.
$$

---

# 22. Rational crossing slope

若：

$$
\Delta v\neq0,
$$

定義：

$$
r(p,p')
=
-\frac{\Delta u}{\Delta v}
\in\mathbb Q.
$$

則：

$$
\Delta u+t\Delta v
=
\Delta v
(t-r(p,p')).
$$

因此：

$$
\boxed{
pp'
\in E(G_S)
\iff
r(p,p')
\in
(\min(s,s^2),\max(s,s^2)).
}
$$

若：

$$
\Delta v=0,
$$

永遠不 crossing。

---

# 23. Position parity and crossing degree

由一個 total order變成另一個 total order時，vertex：

$$
p
$$

的 position改變 parity，恰在它跨越另一個 vertex時翻一次。

因此：

$$
\boxed{
\rho_s(p)-\rho_{s^2}(p)
\equiv
\deg_{G_S}(p)
\pmod2.
}
$$

---

# 24. Crossing-Parity Theorem

所以 common exponential circuit必要條件：

$$
\boxed{
\deg_{G_S}(p)
\pmod2
}
$$

對所有：

$$
p\in S
$$

相同。

若：

$$
|S|
$$

odd，handshake lemma給：

$$
\sum_p\deg(p)
$$

even。

若所有 degrees皆 odd，而 vertex數 odd，總和反而 odd。

矛盾。

故：

$$
\boxed{
|S|
\text{ odd}
\Longrightarrow
\deg_{G_S}(p)
\text{ 全為 even}.
}
$$

即 crossing graph必 Eulerian。

---

# 25. Parity is only the first filter

crossing parity只比較 circuit signs。

真正 common kernel還需要 magnitudes一致。

對：

$$
p\in S,
$$

定義 positive maximal minor：

$$
D_t(p).
$$

若 parity compatible，common circuit要求存在：

$$
R>0
$$

使：

$$
\boxed{
D_s(p)
=
R D_{s^2}(p)
}
$$

對所有：

$$
p\in S.
$$

等價於：

$$
\boxed{
\frac{D_s(p)}
{D_{s^2}(p)}
}
$$

獨立於：

$$
p.
$$

---

# 26. Circuit-Ratio Rigidity Problem

本輪正式提出：

**Circuit-Ratio Rigidity Problem（CRRP）**

給 genuine two-dimensional lattice support：

$$
S,
$$

$$
|S|=M^2+1,
$$

且 crossing graph通過 parity test，

是否可能：

$$
\boxed{
\frac{D_s(p)}
{D_{s^2}(p)}
=
\text{constant}
\qquad
\forall p\in S?
}
$$

若能證對所有 genuine $2$D supports都不可能，則：

$$
\boxed{
\kappa_{\cup}(M)\ge M^2+2.
}
$$

這會是第一個超越單層 exact barrier的 universal coupled lower bound。

---

# 27. Why 2026 exponential determinant bounds matter

對 ordered：

$$
x_1<\cdots<x_n,
$$

$$
y_1<\cdots<y_n,
$$

Floater 2026 給 exponential determinant：

$$
\det[e^{x_i y_j}]
$$

的 explicit upper/lower bounds，並重申其 strict total positivity。

CRRP中的：

$$
D_t(p)
$$

正是這種 determinant。

所以可嘗試：

1. 用 Vandermonde factors控制刪除不同 frequency後的 determinant ratios；
2. 比較：
   $$
   t=s
   $$
   與：
   $$
   t=s^2;
   $$
3. 證某兩個 omitted-column ratios必嚴格分離。

本輪不宣稱現有 bounds已足以完成這一步。

---

# 28. Jet-transfer question

Round 18 提出：

> second-layer zeros能否變成 first-layer derivative / jet conditions？

本輪先排除最直接的 universal operator形式。

---

# 29. Restriction operator

定義：

$$
\mathcal R_t:
P
\mapsto
\left[
q
\mapsto
P(e^{\lambda q},e^{\lambda tq})
\right].
$$

對 monomial：

$$
p=(u,v),
$$

有：

$$
\mathcal R_t(T^p)(q)
=
e^{\lambda L_t(p)q},
$$

其中：

$$
L_t(p)=u+tv.
$$

---

# 30. Differential operators preserve frequencies

令：

$$
D(\partial_q)
=
\sum_{j=0}^{J}
d_j\partial_q^j.
$$

則：

$$
D(\partial_q)
e^{\lambda L_s(p)q}
=
D(\lambda L_s(p))
e^{\lambda L_s(p)q}.
$$

所以 finite constant-coefficient jet operator只改 coefficient，不改 frequency。

---

# 31. Allowing reparametrization and common frequency shift

允許：

$$
q\mapsto\alpha q
$$

以及乘上：

$$
e^{\lambda\beta q}.
$$

第一層 frequency變成：

$$
\alpha L_s(p)+\beta.
$$

若想對所有：

$$
p\in S
$$

與 second layer相同，必要：

$$
\boxed{
L_{s^2}(p)
=
\alpha L_s(p)+\beta.
}
$$

---

# 32. Affine-span obstruction

若：

$$
\operatorname{affdim}S=2,
$$

兩個 affine functions：

$$
L_{s^2}(u,v)
$$

與：

$$
\alpha L_s(u,v)+\beta
$$

在 affine spanning set上相等，便必在整個：

$$
\mathbb R^2
$$

上相等。

比較 coefficients：

$$
1=\alpha,
$$

$$
s^2=\alpha s,
$$

$$
\beta=0.
$$

所以：

$$
s^2=s.
$$

這要求：

$$
s=0
\quad\text{或}\quad
s=1,
$$

與 transcendence矛盾。

---

# 33. Bounded Jet-Transfer No-Go

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{affdim}S=2
}
$$

時，不存在由：

- finite-order constant-coefficient differential operator；
- scalar parameter reparametrization；
- common exponential prefactor；

組成的 universal identity，把：

$$
\mathcal R_s
$$

轉成：

$$
\mathcal R_{s^2}
$$

on：

$$
\mathcal P_S.
$$

---

# 34. What this does not rule out

本 theorem不排除：

- $M$-dependent differential operators；
- support-dependent interpolation operators；
- variable-coefficient differential operators；
- integral / nonlocal transforms；
- nonlinear elimination；
- higher-dimensional auxiliary objects；
- arithmetic-height based constructions。

所以：

$$
\boxed{
\text{jet route is narrowed, not completely eliminated}.
}
$$

---

# 35. Coupled support hierarchy after Round 19

現在可將 candidate auxiliary polynomials分三層。

## Level 1 — Collinear

$$
\operatorname{affdim}S\le1.
$$

exact minimum：

$$
2M^2-M+1.
$$

沒有任何更好的 compression。

## Level 2 — Minimal genuine 2D circuit

$$
|S|=M^2+1,
$$

$$
\operatorname{affdim}S=2.
$$

必通過：

$$
\boxed{
\text{crossing parity}
+
\text{cofactor-ratio equality}.
}
$$

## Level 3 — Intermediate support

$$
M^2+2
\le
|S|
<
2M^2-M+1.
$$

需要研究兩個 total-positive evaluation matroids的 higher-dimensional kernel intersection。

---

# 36. Matroid formulation

對每層：

$$
t=s,s^2,
$$

evaluation matrix：

$$
E_t
$$

在 monomial ground set：

$$
\mathbb Z^2
$$

上定義一個 representable matroid。

因 exponential total positivity，每個單層 restricted to：

$$
M^2+1
$$

elements時形成 uniform circuit。

two-layer auxiliary polynomial就是 coefficient vector：

$$
c
$$

同時屬於兩個 kernel spaces。

所以 Shared-Grid Fewnomial Problem可重寫為：

$$
\boxed{
\text{intersection of two exponential-Vandermonde kernel matroids under the nonlinear slope map }s\mapsto s^2.
}
$$

這是目前最精確的 linear-algebra formulation。

---

# 37. Round 19 判定

**PASS — All one-dimensional support compression exhausted; minimal genuine two-layer compression reduced to a common-circuit parity and cofactor-ratio problem; universal finite-jet transfer excluded for 2D supports**

本輪完成：

1. 定義 affine-collinear support class。

2. 對任意 monomial direction：
   $$
   (p,q)
   $$
   計算兩層 projected-value intersection。

3. 證：
   $$
   J_{p,q}(M)
   =
   M
   $$
   僅在：
   $$
   p=0,
   \quad
   q=0,
   \quad
   p+q=0;
   $$
   否則：
   $$
   J_{p,q}(M)=1.
   $$

4. 證任何 collinear support面對至少：
   $$
   2M^2-M
   $$
   distinct positive roots。

5. 用 exponential Descartes/Chebyshev bound得到：
   $$
   |S(P)|
   \ge
   2M^2-M+1.
   $$

6. 以 horizontal product polynomial達 equality。

7. 得到：
   $$
   \boxed{
   \kappa_{\cup}^{\mathrm{col}}(M)
   =
   2M^2-M+1.
   }
   $$

8. 建立 exponential evaluation matrices：
   $$
   E_t(S).
   $$

9. 用 strict total positivity證：
   $$
   |S|=M^2+1
   $$
   時 kernel為 unique circuit。

10. 以 cofactors證 circuit signs依 projection order交錯。

11. 定義 crossing graph：
    $$
    G_S(s,s^2).
    $$

12. 建立 rational crossing-slope criterion。

13. 證：
    $$
    \rho_s(p)-\rho_{s^2}(p)
    \equiv
    \deg_G(p)
    \pmod2.
    $$

14. 建立 Crossing-Parity Theorem。

15. 當 support size odd時，common circuit要求 crossing graph Eulerian。

16. 建立 cofactor magnitude condition。

17. 定義 Circuit-Ratio Rigidity Problem（CRRP）。

18. 將 2026 exponential determinant bounds接入未來可能工具。

19. 定義 restriction operators：
    $$
    \mathcal R_t.
    $$

20. 證 finite constant-coefficient derivatives不改 frequency。

21. 加入 scalar reparametrization / common exponential shift後仍得到 affine-span contradiction。

22. 建立 Bounded Jet-Transfer No-Go。

23. 將 coupled support問題分成 collinear / minimal 2D circuit / intermediate support三層。

---

# 38. Round 20 正式入口

Round 20 應優先研究：

$$
\boxed{
\text{Circuit-Ratio Rigidity Problem}.
}
$$

不是再泛搜 polynomials。

## R20-A：Cofactor ratio formula

對：

$$
D_t(p)
=
\det
\left[
e^{x_i y_j}
\right],
$$

使用：

- HCIZ formula；
- Floater 2026 determinant bounds；
- Vandermonde factors；

研究：

$$
\frac{D_t(p)}{D_t(p')}
$$

對 omitted frequencies：

$$
p,p'
$$

的 monotonicity。

---

## R20-B：Slope comparison

比較：

$$
t=s
$$

與：

$$
t=s^2.
$$

若可證存在：

$$
p,p'\in S
$$

使：

$$
\frac{D_s(p)}{D_s(p')}
\neq
\frac{D_{s^2}(p)}{D_{s^2}(p')},
$$

便排除：

$$
|S|=M^2+1
$$

common circuit。

---

## R20-C：Support geometry

先對：

- lattice triangles；
- rectangles；
- convex-position supports；
- hole-one supports；

研究 crossing parity與 determinant-ratio。

目標找到可 generalize 的 geometric monotonicity。

---

## R20-D：Intermediate support

若 minimal circuit被排除，下一目標即：

$$
\kappa_{\cup}(M)\ge M^2+2.
$$

之後再逐步研究：

$$
M^2+r
$$

kernel intersections。

---

# 39. 一句話結論

> **兩層 BADT 的 first-coordinate product polynomial其實已經把所有一維 support能做的事情做到極限：任何 affine-collinear support都至少需要 $2M^2-M+1$ terms。因此真正的 LTSB compression必須使用二維 lattice support。若想一步壓到單層理論下限 $M^2+1$，該 support必同時成為 $s$ 與 $s^2$ exponential Vandermonde systems的唯一 circuit；這首先要求 crossing graph parity一致，接著還要求所有 exponential cofactor ratios精確匹配。**

核心前沿：

$$
\boxed{
\kappa_{\cup}^{\mathrm{col}}(M)
=
2M^2-M+1
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{Common Circuit}
\Rightarrow
\text{Crossing Parity}
+
\text{Cofactor-Ratio Equality}.
}
$$

Round 20 將直接攻第二項。

---

# 參考資料

1. Samit Dasgupta and Mahesh Kakde, **Ranks of Matrices of Logarithms of Algebraic Numbers II: The Matrix Coefficient Conjecture**, *Advances in Mathematics* 487 (2026), 110753.  
   arXiv: https://arxiv.org/abs/2408.08178  
   Relevant here: Theorem 7.1 and Lemma 7.2 on real exponential-polynomial zero counts.

2. Michael S. Floater, **Bounds on the determinant of an exponential matrix**, *BIT Numerical Mathematics* 66 (2026), article 58.  
   The paper recalls and uses strict total positivity of:
   $$
   [e^{x_i y_j}]
   $$
   for strictly ordered real nodes and frequencies, and develops explicit determinant bounds.

3. Classical total positivity theory of Pólya, Gantmacher–Krein, Karlin and Pinkus for exponential / generalized Vandermonde matrices.

---

**ACTM Round 19 完**