# ACTM Round 17
## BADT$_2$ 的 Secant Escape、Roy-Test Variety 與 Sparse-Support Interface
### Secant Escape, a Roy-Test Variety, and the Sparse-Support Interface for BADT$_2$

**研究計畫：** Algebraic Combinatorial Transcendence Methodology（ACTM）  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-02  
**版本：** Round 17 / v0.1  
**文件性質：** 正式研究筆記／nonlinear-support transition round  
**狀態聲明：** 本輪不宣稱證明 Four Exponentials Conjecture、Matrix Coefficient Conjecture、Roy 的 algebraic-log geometry conjecture 或 BADT$_2$ 不可能。本輪的主要目的，是在 Round 16 完全關閉 rational-linear Waldschmidt–Masser amplifier 路線後，精確定位下一個非線性 proof interface。主要結果包括：兩層 BADT singular blocks 的 secant escape、BADT toric cone 的 algebraic-linear-subspace classification、Roy-test-variety reduction，以及 Newton-polytope 與 exact-support occupancy 之間的資訊差。

---

## 摘要

Round 16 已證：

$$
R_{\mathrm{SV}}
\left(
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}
\right)
=
\infty.
$$

因此：

> 任何使用 BADT$_2$ 四個 linear coordinates 的 rational-linear matrix，只要試圖靠 Waldschmidt–Masser strict rank condition 製造 contradiction，都會自動先出現 theorem 所允許的 rational zero block。

所以 linear GCDA hierarchy 已完整結束。

Round 17 固定 hypothetical BADT$_2$：

$$
z_0=\lambda,
$$

$$
z_1=s\lambda,
$$

$$
z_2=s^2\lambda,
$$

$$
z_3=s^4\lambda,
$$

其中：

$$
z_i\in\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

$$
s
\text{ transcendental}.
$$

定義兩個 singular logarithm matrices：

$$
H_1
=
\begin{pmatrix}
z_0&z_1\\
z_1&z_2
\end{pmatrix},
$$

$$
H_2
=
\begin{pmatrix}
z_0&z_2\\
z_2&z_3
\end{pmatrix}.
$$

它們可寫成：

$$
H(t)
=
\lambda
\begin{pmatrix}
1&t\\
t&t^2
\end{pmatrix}
=
\lambda
u(t)u(t)^T,
$$

其中：

$$
u(t)
=
\begin{pmatrix}
1\\t
\end{pmatrix}.
$$

因此：

$$
H_1=H(s),
$$

$$
H_2=H(s^2).
$$

本輪首先證明：

$$
\boxed{
\det(aH_1+bH_2)
=
ab\lambda^2s^2(s-1)^2.
}
$$

所以：

$$
ab\neq0
\Longrightarrow
aH_1+bH_2
\text{ invertible}.
$$

也就是兩個 singular blocks 的 span 不是 singular matrix subspace；它們在 determinant quadric 上形成一條 secant，而該 secant 除 endpoints 外立即離開 singular locus。

這稱為：

**Secant Escape Lemma**。

它直接說明為什麼 Dasgupta–Kakde 用來證：

$$
\text{Structural Rank}
\Rightarrow
\text{Matrix Coefficient}
$$

的「entire matrix subspace singular」線性定理無法利用 BADT 的兩層共享結構。

接著，本輪將 BADT$_2$ 重寫成 algebraic variety：

$$
V:
\quad
X_1^2-X_0X_2=0,
$$

$$
X_2^2-X_0X_3=0.
$$

其 projectivization：

$$
C\subset\mathbb P^3
$$

具有 parametrization：

$$
\boxed{
[a:b]
\longmapsto
[a^4:a^3b:a^2b^2:b^4].
}
$$

在：

$$
a\neq0
$$

chart 中即：

$$
\boxed{
[1:t:t^2:t^4].
}
$$

所以：

$$
C
$$

是 support：

$$
A=\{0,1,2,4\}
$$

所定義的 rational quartic monomial curve。

本輪證明：

1. $V$ 不含任何維度 $\ge2$ 的 vector subspace；
2. $V$ 中所有 nonzero linear subspaces都是 rays；
3. 在 $X_0\neq0$ chart，一條 ray：
   $$
   \mathbb C(1,t,t^2,t^4)
   $$
   定義在：
   $$
   \overline{\mathbb Q}
   $$
   上，當且僅當：
   $$
   t\in\overline{\mathbb Q};
   $$
4. 另有 infinity ray：
   $$
   \mathbb Ce_3.
   $$

BADT point：

$$
Z
=
\lambda(1,s,s^2,s^4)
$$

的 direction parameter：

$$
s
$$

為 transcendental。

所以：

$$
\boxed{
Z
\text{ 不屬於任何 }
\overline{\mathbb Q}
\text{-defined vector subspace }
E\subset V.
}
$$

Damien Roy 將「Q-linearly independent logarithms of algebraic numbers應 algebraically independent」重述成一個 algebraic-geometric statement：對定義於 algebraic numbers 上的 variety $V$，其 algebraic-logarithm points 應由 contained algebraic linear subspaces解釋。

因此 Roy conjectural geometry 若套用到此：

$$
V,
$$

會立即排除 BADT$_2$。

所以 BADT$_2$ 是一個非常小、非常顯式的：

$$
\boxed{
\text{Roy-test variety}.
}
$$

最後，本輪比較 Dasgupta–Kakde 的 sparse-support strategy。

他們對 Matrix Coefficient Conjecture 定義：

- condition $(w)$：matrix singular；
- condition $(m)$：存在 BK-degree 受控的 auxiliary polynomial；
- condition $(o)$：存在 rational/multiplicative coefficient visibility；

並證：

$$
\boxed{
(m)\Rightarrow(o),
}
$$

同時指出真正 open 的步驟是：

$$
\boxed{
(w)\Rightarrow(m).
}
$$

其 $(m)$ 使用 Newton polytope / mixed volume / BK-degree。

但 BADT 的一維 linear support：

$$
A_{\mathrm{BADT}}
=
\{0,1,2,4\}
$$

與 full support：

$$
A_{\mathrm{full}}
=
\{0,1,2,3,4\}
$$

具有完全相同 convex hull：

$$
[0,4].
$$

所以任何只依賴 Newton convex hull 的 invariant 都無法辨識：

$$
v^3
$$

是否缺失。

Round 11–16 的 entire support-visibility theorem恰恰完全依賴這個 missing cubic。

因此得到本輪最重要的方法論判定：

$$
\boxed{
\text{BADT-specific nonlinear proof should preserve exact support occupancy, not only Newton hull.}
}
$$

這與 Dasgupta–Kakde §7.1 引入 support-cardinality condition $(m')$ 的動機自然呼應；但他們目前只在 $2\times2$ real / certain $p$-adic cases證明：

$$
(m')\Rightarrow(o).
$$

而一般 complex case仍沒有 corresponding theorem。

所以 Round 18 的真正 target 將是：

$$
\boxed{
\text{BADT log-geometry}
\longrightarrow
\text{torus auxiliary polynomial with occupancy-sensitive support control}.
}
$$

這就是目前缺失的 **Log-to-Torus Support Bridge**。

---

# 1. BADT$_2$ setting

固定：

$$
0\neq
\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

以及 transcendental：

$$
s.
$$

假設：

$$
\lambda,
\quad
s\lambda,
\quad
s^2\lambda,
\quad
s^4\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
$$

記：

$$
z_0=\lambda,
$$

$$
z_1=s\lambda,
$$

$$
z_2=s^2\lambda,
$$

$$
z_3=s^4\lambda.
$$

則：

$$
z_1^2=z_0z_2,
$$

$$
z_2^2=z_0z_3.
$$

---

# 2. Rank-one block form

定義：

$$
u(t)
=
\begin{pmatrix}
1\\t
\end{pmatrix},
$$

$$
H(t)
=
\lambda u(t)u(t)^T.
$$

所以：

$$
H(t)
=
\lambda
\begin{pmatrix}
1&t\\
t&t^2
\end{pmatrix}.
$$

因此：

$$
\boxed{
H_1=H(s),
}
$$

$$
\boxed{
H_2=H(s^2).
}
$$

---

# 3. Individual Matrix Coefficient visibility

取：

$$
w=
\begin{pmatrix}
p\\q
\end{pmatrix},
$$

$$
v=
\begin{pmatrix}
r\\u
\end{pmatrix}
\in
\mathbb Q^2.
$$

則：

$$
w^TH(t)v
=
\lambda
(p+qt)(r+ut).
$$

所以若：

$$
t
$$

transcendental，且：

$$
w,v
$$

均 nonzero rational vectors，則：

$$
p+qt\neq0,
$$

$$
r+ut\neq0.
$$

故：

$$
\boxed{
w^TH(t)v\neq0.
}
$$

因此每個：

$$
H(s),
\quad
H(s^2)
$$

本身都是 rationally invisible singular $2\times2$ matrix。

這正是 hypothetical Four-Exponentials / Matrix-Coefficient failure形態。

---

# 4. Algebraic coefficient visibility也不存在

完全相同的 argument 對：

$$
w,v\in\overline{\mathbb Q}^2
$$

成立。

因：

$$
s
$$

與：

$$
s^2
$$

皆 transcendental。

所以：

$$
\boxed{
H_1,H_2
}
$$

甚至沒有 nonzero：

$$
\overline{\mathbb Q}
$$

matrix-coefficient witness。

---

# 5. Kernel fields

$$
\ker H(t)
=
\mathbb C
\begin{pmatrix}
-t\\1
\end{pmatrix}.
$$

因此：

$$
\ker H_1
=
\mathbb C
\begin{pmatrix}
-s\\1
\end{pmatrix},
$$

$$
\ker H_2
=
\mathbb C
\begin{pmatrix}
-s^2\\1
\end{pmatrix}.
$$

其 natural fields of definition分別為：

$$
\mathbb Q(s),
$$

以及：

$$
\mathbb Q(s^2).
$$

所以 BADT 的 singularity完全可見，但其 visibility field是 transcendental function field，而不是 algebraic coefficient field。

---

# 6. Coupled nonlinear witness

取：

$$
w_s
=
\begin{pmatrix}
-s\\1
\end{pmatrix},
$$

$$
v_{s^2}
=
\begin{pmatrix}
-s^2\\1
\end{pmatrix}.
$$

則：

$$
w_s^TH_1=0,
$$

以及：

$$
H_2v_{s^2}=0.
$$

所以：

$$
\boxed{
w_s^TH_1v_{s^2}=0,
}
$$

$$
\boxed{
w_s^TH_2v_{s^2}=0.
}
$$

也就是兩層 BADT 確實存在 shared bilinear witness，但 witness coefficients位於：

$$
\mathbb Q(s),
$$

並滿足非線性關係：

$$
(-v_1)=(-w_1)^2.
$$

這是一個：

$$
\boxed{
\text{squared witness pair}.
}
$$

它再次顯示缺失的不是「有沒有 witness」，而是：

$$
\boxed{
\text{如何把 nonlinear/transcendental witness 壓回 rational visibility}.
}
$$

---

# 7. Secant Escape Lemma

考慮 rational pencil：

$$
H_{a,b}
=
aH_1+bH_2.
$$

直接計算：

$$
H_{a,b}
=
\lambda
\begin{pmatrix}
a+b
&
as+bs^2
\\
as+bs^2
&
as^2+bs^4
\end{pmatrix}.
$$

其 determinant：

$$
\det H_{a,b}
=
\lambda^2
\left[
(a+b)(as^2+bs^4)
-
(as+bs^2)^2
\right].
$$

化簡：

$$
\boxed{
\det H_{a,b}
=
ab\lambda^2s^2(s-1)^2.
}
$$

---

# 8. Secant consequence

因：

$$
\lambda\neq0,
$$

且：

$$
s
$$

transcendental，所以：

$$
s\neq0,
\qquad
s\neq1.
$$

因此：

$$
\boxed{
ab\neq0
\Longrightarrow
\det H_{a,b}\neq0.
}
$$

所以 projective pencil：

$$
\mathbb P
\operatorname{span}
\{H_1,H_2\}
$$

與 singular determinant hypersurface只在：

$$
[H_1],
\quad
[H_2]
$$

兩點相交。

本輪稱此為：

**Secant Escape Lemma**。

---

# 9. Why Dasgupta–Kakde Theorem 2.2 does not couple the two layers

Dasgupta–Kakde 使用一個 linear-algebra theorem：

> 若 infinite field 上的一個 matrix subspace中每個 matrix 都 singular，則存在共同 bilinear coefficient witness。

這可用來說明：

$$
\text{Structural Rank Conjecture}
\Rightarrow
\text{Matrix Coefficient Conjecture}.
$$

但 BADT：

$$
E
=
\operatorname{span}
\{H_1,H_2\}
$$

不是 all-singular subspace。

相反：

$$
\boxed{
E\setminus
\left(
\mathbb CH_1
\cup
\mathbb CH_2
\right)
}
$$

全部為 invertible matrices。

因此：

$$
\boxed{
\text{shared anchor does not generate a singular linear subspace}.
}
$$

Linear-subspace machinery到這裡自然停止。

---

# 10. Determinantal conic viewpoint

所有 symmetric rank-one：

$$
2\times2
$$

matrices projectively形成 Veronese conic：

$$
\nu_2:
\mathbb P^1
\to
\mathbb P^2,
$$

$$
[1:t]
\mapsto
[1:t:t^2].
$$

BADT 的兩個 blocks正是：

$$
\nu_2(s),
$$

以及：

$$
\nu_2(s^2).
$$

Secant Escape Lemma只是 Veronese conic 的基本幾何：

> 兩個 distinct conic points的 secant line，一般只在 endpoints與 conic相交。

BADT 的 nonlinear資訊不在 secant line，而在 parameter relation：

$$
\boxed{
s
\longmapsto
s^2.
}
$$

---

# 11. Four-coordinate BADT variety

將兩個 overlapping blocks合併：

$$
Z
=
(z_0,z_1,z_2,z_3).
$$

定義：

$$
\boxed{
V
=
V(q_1,q_2)
\subset
\mathbb A^4,
}
$$

其中：

$$
q_1
=
X_1^2-X_0X_2,
$$

$$
q_2
=
X_2^2-X_0X_3.
$$

BADT point：

$$
Z\in V.
$$

---

# 12. Toric parametrization

定義 monomial map：

$$
\Phi:
\mathbb A^2
\to
\mathbb A^4,
$$

$$
(u,t)
\mapsto
(u,ut,ut^2,ut^4).
$$

其 image closure就是：

$$
V.
$$

對應 exponent support：

$$
\boxed{
A
=
\{0,1,2,4\}.
}
$$

BADT point由：

$$
u=\lambda,
$$

$$
t=s
$$

得到。

---

# 13. Projective curve

projectivize cone：

$$
V.
$$

得到：

$$
C
\subset
\mathbb P^3.
$$

其 normalization parametrization：

$$
\boxed{
[a:b]
\mapsto
[a^4:a^3b:a^2b^2:b^4].
}
$$

在：

$$
a\neq0
$$

chart：

$$
t=b/a,
$$

所以：

$$
\boxed{
[1:t:t^2:t^4].
}
$$

---

# 14. Curve degree and infinity

此 map generically injective，因在：

$$
X_0\neq0
$$

時：

$$
t=X_1/X_0.
$$

pullback of a hyperplane有 degree：

$$
4.
$$

所以：

$$
C
$$

是 rational quartic。

唯一 infinity point：

$$
\boxed{
P_\infty
=
[0:0:0:1].
}
$$

它也是：

$$
C
$$

的 singular point。

---

# 15. No projective line in $C$

$$
C
$$

為 irreducible projective curve且 degree：

$$
4.
$$

若：

$$
C
$$

包含一條 projective line：

$$
L,
$$

則：

$$
L
$$

作為一維 closed irreducible subset必為：

$$
C
$$

的一個 irreducible component。

但：

$$
C
$$

irreducible且不是 line。

矛盾。

因此：

$$
\boxed{
C
\text{ contains no projective line}.
}
$$

---

# 16. Linear-subspace classification of the affine cone

令：

$$
E
subset
V
$$

為 nonzero vector subspace。

若：

$$
\dim E\ge2,
$$

則：

$$
\mathbb P(E)
$$

為 positive-dimensional projective linear subspace contained in：

$$
C.
$$

這與上一節矛盾。

所以：

$$
\boxed{
\dim E=1.
}
$$

因此 $V$ 的所有 nonzero vector subspaces都只是 rays。

---

# 17. Algebraic rays in the affine chart

考慮：

$$
X_0\neq0.
$$

任何 ray都唯一寫成：

$$
\boxed{
E_t
=
\mathbb C
(1,t,t^2,t^4).
}
$$

若：

$$
E_t
$$

定義於：

$$
\overline{\mathbb Q},
$$

則其 projective direction：

$$
[1:t:t^2:t^4]
$$

為：

$$
\overline{\mathbb Q}
$$

point。

因此：

$$
t=X_1/X_0
\in
\overline{\mathbb Q}.
$$

反方向若：

$$
t\in\overline{\mathbb Q},
$$

該 ray顯然 algebraic-defined。

所以：

$$
\boxed{
E_t
\text{ defined over }
\overline{\mathbb Q}
\iff
t\in\overline{\mathbb Q}.
}
$$

---

# 18. Infinity ray

唯一：

$$
X_0=0
$$

projective point是：

$$
P_\infty.
$$

因此 affine cone另有：

$$
\boxed{
E_\infty
=
\mathbb C(0,0,0,1).
}
$$

它定義於：

$$
\mathbb Q.
$$

---

# 19. BADT point has no algebraic linear explanation

BADT point：

$$
Z
=
\lambda
(1,s,s^2,s^4).
$$

其第一 coordinate nonzero，所以：

$$
Z
\notin
E_\infty.
$$

它唯一所在的 ray是：

$$
E_s.
$$

但：

$$
s
$$

transcendental。

所以：

$$
E_s
$$

不是：

$$
\overline{\mathbb Q}
$$

defined。

因此：

$$
\boxed{
\text{不存在 }
\overline{\mathbb Q}
\text{-defined vector subspace }
E\subset V
\text{ containing }Z.
}
$$

---

# 20. Roy-test variety

Roy 的 geometric reformulation粗略地說：

> 對 algebraic-number field上定義的 algebraic variety：
>
> $$
> X\subset\mathbb C^n,
> $$
>
> 其 coordinates為 logarithms of algebraic numbers的 points，應由 contained algebraic vector subspaces解釋。

這個 statement與 logarithms of algebraic numbers 的 algebraic-independence conjecture等價。

對 BADT variety：

$$
V,
$$

上一節已證 hypothetical point：

$$
Z\in V\cap\mathcal L_{\mathrm{alg}}^4
$$

沒有任何 admissible algebraic linear subspace explanation。

所以 Roy conjecture若成立：

$$
\boxed{
\operatorname{BADT}_2
\text{ impossible}.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
V
\text{ 是一個 explicit minimal Roy-test variety}.
}
$$

---

# 21. Why this is still open

這並沒有解決 BADT$_2$。

原因是 Roy geometric statement本身等價於極深的 algebraic-independence conjecture。

現有 Roy–Waldschmidt quadratic-relation theorem可處理 generated field：

$$
\operatorname{trdeg}=1
$$

的情況。

BADT$_2$ 則精確具有：

$$
\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}
\mathbb Q(\lambda,s)
=
2.
$$

所以：

$$
\boxed{
\text{BADT lies exactly one transcendence-degree layer beyond the known quadratic theorem}.
}
$$

---

# 22. Tangent-space field of definition

在 BADT point：

$$
Z
=
\lambda(1,s,s^2,s^4),
$$

Jacobian gradients為：

$$
\nabla q_1(Z)
=
\lambda
(-s^2,2s,-1,0),
$$

$$
\nabla q_2(Z)
=
\lambda
(-s^4,0,2s^2,-1).
$$

所以 tangent space：

$$
T_ZV
$$

由：

$$
-s^2h_0+2sh_1-h_2=0,
$$

$$
-s^4h_0+2s^2h_2-h_3=0
$$

定義。

其 natural field of definition同樣為：

$$
\mathbb Q(s).
$$

這與：

- BADT ray；
- $H_1$ kernel；
- coupled witness；

全部一致。

因此：

$$
\boxed{
\mathbb Q(s)
}
$$

可被視為 BADT 的 **visibility field**。

---

# 23. Dasgupta–Kakde proof strategy：已證與未證

Dasgupta–Kakde 對 square logarithm matrix提出：

### $(w)$

matrix singular。

### $(o)$

存在 nontrivial rational/integral multiplicative coefficient visibility。

### $(m)$

對足夠大：

$$
N
$$

存在 auxiliary polynomial：

$$
P
$$

vanishing on orbit grid：

$$
X(nN),
$$

且：

$$
\BKd(P)<N^n.
$$

其計畫：

$$
\boxed{
(w)
\Longrightarrow
(m)
\Longrightarrow
(o).
}
$$

其中：

$$
\boxed{
(m)\Longrightarrow(o)
}
$$

已證。

真正 open 的 implication是：

$$
\boxed{
(w)\Longrightarrow(m).
}
$$

---

# 24. BK-degree is convex-hull based

對 polynomial：

$$
P,
$$

DK 定義 Newton polytope：

$$
\Delta(P)
=
\operatorname{Conv}
S(P),
$$

並以 mixed volume構造：

$$
\BKd(P).
$$

所以 BK-degree本質上依賴：

$$
\boxed{
\text{convex geometry of support}.
}
$$

---

# 25. BADT support occupancy

Round 11–16 的 linear support：

$$
A_{\mathrm{BADT}}
=
\{0,1,2,4\}.
$$

full quartic support：

$$
A_{\mathrm{full}}
=
\{0,1,2,3,4\}.
$$

但：

$$
\boxed{
\operatorname{Conv}(A_{\mathrm{BADT}})
=
\operatorname{Conv}(A_{\mathrm{full}})
=
[0,4].
}
$$

所以任何只看：

$$
\Delta
$$

的 invariant，對兩者給完全相同資訊。

---

# 26. Yet missing $3$ changes everything

Round 16 all-rank theorem完全依賴：

$$
v^3
$$

不在 support中。

若：

$$
v^3
$$

加入，missing-cubic map：

$$
T_3
$$

就消失。

整個：

$$
R_{\mathrm{SV}}=\infty
$$

proof mechanism也隨之消失。

因此：

$$
\boxed{
\text{BADT linear rigidity is occupancy-sensitive but convex-hull-invisible}.
}
$$

這是一個非常重要的方法論分界。

---

# 27. Not a criticism of BK theory

必須強調：

這不表示 Dasgupta–Kakde condition $(m)$ 不夠強，或其 strategy失效。

其：

$$
\BKd
$$

控制的是真正 auxiliary polynomials：

$$
P(t_1,\ldots,t_n),
$$

而 Round 16 的：

$$
\{1,v,v^2,v^4\}
$$

是 BADT linear-coordinate polynomial-matrix support。

兩者並非同一個 object。

本輪只得到：

> 如果想把 Round 16 的 missing-cubic rigidity直接輸送進 DK auxiliary-polynomial program，單純保留 Newton convex hull會丟掉關鍵資訊。

---

# 28. DK fewnomial condition

Dasgupta–Kakde 因此也研究較直接的 support-size proxy：

$$
(m').
$$

其要求對大：

$$
N
$$

存在：

$$
P
$$

使：

$$
|S(P)|<N^n
$$

並 vanishing on：

$$
X(2N).
$$

對：

$$
2\times2
$$

real case，以及特定 normalization下的：

$$
p
$$

-adic case，他們證：

$$
\boxed{
(m')
\Longrightarrow
(o).
}
$$

其 proof利用 exponential polynomial的 root-counting。

---

# 29. Important limitation

上述：

$$
(m')
\Longrightarrow(o)
$$

目前不是 general complex：

$$
2\times2
$$

theorem。

所以對一般 complex BADT$_2$：

$$
\boxed{
\text{support-cardinality control alone目前還不能直接完成 DK chain}.
}
$$

如果能先建立 BADT-specific complex analogue，會是一條非常有價值的受限進展。

---

# 30. The Log-to-Torus category gap

BADT log variety有明確 binomials：

$$
q_1
=
z_1^2-z_0z_2,
$$

$$
q_2
=
z_2^2-z_0z_3.
$$

但 DK auxiliary polynomial：

$$
P(t_1,t_2)
$$

是定義在 algebraic torus coordinates上的 polynomial。

令：

$$
\alpha_i=e^{z_i}
\in
\overline{\mathbb Q}^{\times}.
$$

則：

$$
z_1^2=z_0z_2
$$

並不 exponentiate成：

$$
\alpha_1^2=\alpha_0\alpha_2.
$$

實際：

$$
e^{z_1^2}
$$

與：

$$
e^{z_0z_2}
$$

不是 algebraic-torus monomial relation in：

$$
\alpha_i.
$$

所以：

$$
\boxed{
q_1,q_2
\text{ 不能直接拿來當 DK auxiliary polynomials}.
}
$$

這是目前最重要的 category boundary。

---

# 31. BADT orbit for the first block

令：

$$
A=e^{z_0},
$$

$$
B=e^{z_1},
$$

$$
C=e^{z_2}.
$$

皆為：

$$
\overline{\mathbb Q}^{\times}.
$$

$H_1$ 對應的 multiplicative orbit points可寫：

$$
\boxed{
(A^aB^b,\ B^aC^b),
}
$$

其中：

$$
a,b\in\mathbb Z.
$$

在 log coordinates：

$$
(A^aB^b,\ B^aC^b)
=
\left(
e^{\lambda(a+bs)},
e^{\lambda s(a+bs)}
\right).
$$

所以 singular rank-one structure將二維 integer grid送到一個 exponential parameter：

$$
a+bs.
$$

---

# 32. Why a sparse auxiliary polynomial would be powerful

若存在：

$$
P(T_1,T_2)
=
\sum_{(u,v)\in S}
c_{u,v}T_1^uT_2^v
$$

vanishing on上述 orbit grid，代入後得到：

$$
\sum_{(u,v)\in S}
c_{u,v}
e^{
\lambda(a+bs)(u+vs)
}
=
0.
$$

對 fixed / varying integer parameters，這是一族 exponential-polynomial zero conditions。

Dasgupta–Kakde 的 real / $p$-adic fewnomial proof正是利用此類 root-counting：

> zeros太多而 support terms太少時，必產生 frequency collision，進而 rational visibility。

---

# 33. Why BADT second layer might matter

第一層只給：

$$
s.
$$

BADT 第二層額外保證：

$$
e^{s^4\lambda}
$$

algebraic，並建立 nested orbit：

$$
(A^aC^b,\ C^aD^b),
$$

其中：

$$
D=e^{s^4\lambda}.
$$

所以 BADT不是單一 rank-one exponential curve，而是兩個共享：

$$
A,
\quad
C
$$

的 nested algebraic orbits。

這是一般 Four-Exponentials hypothetical state以外的 extra data。

---

# 34. But the extra data is not yet an auxiliary polynomial

目前仍沒有已證 mechanism：

$$
\boxed{
\text{nested algebraic exponential orbit}
\Longrightarrow
\text{sparse torus polynomial vanishing on }X(N).
}
$$

這正是 Round 17 最終定位出的 missing bridge。

---

# 35. BADT Restricted Auxiliary Problem

本輪提出：

**BADT Restricted Auxiliary Problem（BRAP）**

給 hypothetical BADT$_2$：

$$
\lambda,
s\lambda,
s^2\lambda,
s^4\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

是否能利用第二層：

$$
s^2\mapsto s^4
$$

的 algebraicity，對第一層 rank-one matrix：

$$
H_1
$$

構造 Dasgupta–Kakde condition：

$$
(m)
$$

所需的 auxiliary polynomials？

即證明 restricted implication：

$$
\boxed{
\operatorname{BADT}_2
\Longrightarrow
(m)_{H_1}.
}
$$

若成功，DK 已證：

$$
(m)\Rightarrow(o)
$$

會給出 rational/multiplicative visibility，從而排除 BADT state。

---

# 36. Occupancy-sensitive variant

Round 16 顯示 convex hull會忘記：

$$
v^3
$$

hole。

所以另一個方向是建立更精細的 auxiliary condition：

$$
(m_{\mathrm{occ}}),
$$

它除了 Newton polytope外保留：

- exact monomial support；
- interior support holes；
- support cardinality；
- translation orbit under $X$。

理想 implication：

$$
\boxed{
\operatorname{BADT}_2
\Longrightarrow
(m_{\mathrm{occ}})
\Longrightarrow
(o).
}
$$

本輪只提出研究接口，不宣稱已有定理。

---

# 37. Support Hole Profile

對 finite lattice support：

$$
S
\subset\mathbb Z^d,
$$

可定義：

$$
\boxed{
\operatorname{Hole}(S)
=
\left(
\operatorname{Conv}(S)\cap\mathbb Z^d
\right)
\setminus S.
}
$$

對 BADT one-variable support：

$$
S=\{0,1,2,4\},
$$

有：

$$
\boxed{
\operatorname{Hole}(S)=\{3\}.
}
$$

Round 16 的 missing-cubic map正是這個 unique support hole的 linear-algebra shadow。

---

# 38. Occupancy vs volume

所以目前有三個不同等級的 support information：

### Convex hull

$$
\Delta(S).
$$

只記 geometric envelope。

### Cardinality

$$
|S|.
$$

記 terms數量，但不記 hole位置。

### Occupancy profile

$$
S
\subset
\Delta(S)\cap\mathbb Z^d.
$$

記每一個 lattice point是否存在。

BADT evidence顯示第三層最直接承載：

$$
v^3
$$

obstruction。

---

# 39. Round 17 methodological conclusion

Round 16 說：

$$
\boxed{
\text{linear matrix amplification}
}
$$

不是路。

Round 17 進一步說：

$$
\boxed{
\text{linear span of singular blocks}
}
$$

也不是路，因 Secant Escape。

因此下一個真正 proof object不是更大的 matrix，而是：

$$
\boxed{
\text{exact support of nonlinear auxiliary functions}.
}
$$

---

# 40. Three equivalent-looking but non-equivalent worlds

目前必須嚴格區分：

## Log space

$$
(z_0,z_1,z_2,z_3)
$$

具有：

$$
q_1=q_2=0.
$$

## Matrix space

$$
H(s),
\quad
H(s^2)
$$

各自 singular，但 pencil generically invertible。

## Torus space

$$
(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)
=
(e^{z_0},e^{z_1},e^{z_2},e^{z_3})
$$

全部 algebraic，但沒有由：

$$
q_1,q_2
$$

直接導出的 Laurent polynomial relation。

真正 proof 必須建立：

$$
\boxed{
\text{Log geometry}
\to
\text{Torus support control}.
}
$$

---

# 41. Log-to-Torus Support Bridge

本輪正式命名：

**Log-to-Torus Support Bridge（LTSB）**

目標：

> 將 BADT log-space 的 exact support / toric quadratic coupling，轉成 algebraic torus orbit上可用的 support-controlled auxiliary polynomial。

理想形式：

$$
\boxed{
\{q_1,q_2\}
+
\text{algebraicity of }e^{z_i}
\Longrightarrow
P_N
}
$$

其中：

$$
P_N
$$

滿足：

- vanishing on large orbit grid；
- BK-degree / support occupancy 足夠小；
- 可接 DK：
  $$
  (m)\Rightarrow(o).
  $$

這是 Round 18 的核心。

---

# 42. A useful negative result

不能採用：

> 「$q_1$ 與 $q_2$ 是 binomial，所以直接 exponentiate得到 sparse torus polynomial。」

這是錯誤的。

因為：

$$
q_i
$$

含 products of logarithms。

所以：

$$
\boxed{
\text{quadratic log relation}
\neq
\text{multiplicative relation among exponentials}.
}
$$

這個 no-shortcut result必須保留，避免未來 research loop 偷換 category。

---

# 43. Roy route vs DK route

Round 17 後有兩條真正不同的 nonlinear route。

## Roy route

直接研究：

$$
V\cap\mathcal L_{\mathrm{alg}}^4.
$$

目標證：

> BADT toric surface上的 algebraic-log point必落在 algebraic vector subspace。

這是 geometric / algebraic-independence route。

## DK route

將：

$$
H_1
$$

或 coupled BADT data轉為：

$$
X(N)\subset(\overline{\mathbb Q}^{\times})^2
$$

上的 sparse auxiliary polynomial。

這是 exponential / support / zero-estimate route。

兩條 route 不應混在同一個 category 中。

---

# 44. Which route looks narrower?

Roy route若直接成功，幾乎等於在一個 explicit quadratic surface上證 algebraic independence of logarithms，仍非常深。

DK route則有一個更具體的 intermediate target：

$$
\boxed{
\operatorname{BADT}_2
\Rightarrow
(m)
}
$$

或 support-refined：

$$
\boxed{
\operatorname{BADT}_2
\Rightarrow
(m_{\mathrm{occ}}).
}
$$

因此 ACTM 下一輪優先選：

$$
\boxed{
\text{DK/LTSB route}.
}
$$

Roy geometry保留作為 global structural check。

---

# 45. Round 17 判定

**PASS — Linear methods fully separated from the genuine nonlinear problem; BADT$_2$ identified as both a Roy-test variety and a restricted Dasgupta–Kakde auxiliary-polynomial problem**

本輪完成：

1. 將 BADT blocks寫成：
   $$
   H(t)=\lambda u(t)u(t)^T.
   $$

2. 證明 individual rational Matrix Coefficient witness不存在。

3. 證明 algebraic coefficient witness亦不存在。

4. 識別 kernel fields：
   $$
   \mathbb Q(s),
   \quad
   \mathbb Q(s^2).
   $$

5. 建立 squared transcendental witness pair。

6. 證明 Secant Escape：
   $$
   \det(aH_1+bH_2)
   =
   ab\lambda^2s^2(s-1)^2.
   $$

7. 證明 BADT block span不是 all-singular subspace。

8. 解釋 DK Theorem 2.2 linear-subspace method為何無法耦合兩層。

9. 建立 BADT affine toric variety：
   $$
   q_1=q_2=0.
   $$

10. 建立 projective quartic：
    $$
    [1:t:t^2:t^4].
    $$

11. 證明 projective curve無 linear component。

12. 分類 affine cone所有 vector subspaces：只有 rays。

13. 分類 algebraic-defined rays：
    $$
    t\in\overline{\mathbb Q}
    $$
    或 infinity。

14. 證明 BADT point不存在 algebraic linear explanation。

15. 將 BADT surface定位為 explicit Roy-test variety。

16. 識別 visibility field：
    $$
    \mathbb Q(s).
    $$

17. 對齊 DK：
    $$
    (w)\to(m)\to(o),
    $$
    其中：
    $$
    (m)\to(o)
    $$
    已證，
    $$
    (w)\to(m)
    $$
    仍 open。

18. 指出 DK 的 $(m')$ support-cardinality route只在 real / certain $p$-adic $2\times2$ settings有 proven implication：
    $$
    (m')\to(o).
    $$

19. 證明 BADT exact support：
    $$
    \{0,1,2,4\}
    $$
    與 full quartic support有相同 Newton hull。

20. 識別 missing cubic為 convex-hull-invisible information。

21. 定義 Support Hole Profile。

22. 定義 BADT Restricted Auxiliary Problem（BRAP）。

23. 定義 Log-to-Torus Support Bridge（LTSB）。

24. 明確排除「直接 exponentiate quadratic log binomial」的錯誤捷徑。

---

# 46. Round 18 正式入口

Round 18 不再碰 matrix rank。

固定第一層：

$$
H_1
=
\lambda
\begin{pmatrix}
1&s\\
s&s^2
\end{pmatrix}.
$$

定義：

$$
A=e^\lambda,
$$

$$
B=e^{s\lambda},
$$

$$
C=e^{s^2\lambda},
$$

$$
D=e^{s^4\lambda}.
$$

全部 algebraic。

研究 multiplicative grids：

$$
X_1(N)
=
\left\{
(A^aB^b,\ B^aC^b)
:
0\le a,b<N
\right\},
$$

以及 nested：

$$
X_2(N)
=
\left\{
(A^aC^b,\ C^aD^b)
:
0\le a,b<N
\right\}.
$$

---

## R18-Q1：shared-orbit elimination

利用：

$$
A,C
$$

同時出現在兩個 grids中，是否能建立 elimination polynomial：

$$
P_N(T_1,T_2)
$$

vanishing on：

$$
X_1(N)
$$

而 support明顯小於 generic interpolation？

---

## R18-Q2：frequency collision

將：

$$
P_N
$$

代入：

$$
X_1(N)
$$

後得到 exponential sums whose frequencies是：

$$
u+vs.
$$

第二層則產生：

$$
u+vs^2.
$$

能否利用：

$$
s^2=(s)^2
$$

把兩組 frequency sets耦合，製造比單層 root counting更強的 collision theorem？

---

## R18-Q3：support occupancy transfer

尋找 map：

$$
\{0,1,2,4\}
\longrightarrow
S(P_N)
$$

使 missing exponent：

$$
3
$$

真正變成 auxiliary-polynomial support hole，而不只是 log-space artifact。

---

## R18-Q4：real subcase first

可先限制：

$$
\lambda,s\in\mathbb R
$$

及 positive algebraic exponentials。

此時 DK 已有：

$$
(m')\Rightarrow(o).
$$

所以只要能證 restricted：

$$
\operatorname{BADT}_2
\Rightarrow
(m'),
$$

就能在 real BADT subcase取得真正 contradiction。

這可能是最窄的第一個可攻 target。

---

# 47. 一句話結論

> **Round 17 顯示 BADT 的第二層不會在線性矩陣世界中累積成更大的 singularity：兩個 rank-one blocks的 secant除 endpoints外全部 invertible；真正共享的資訊存在於非線性參數 $s\mapsto s^2$。同一資訊在 log space形成 explicit Roy-test toric surface，而在 auxiliary-polynomial路線中則暴露出一個尚未解決的 Log-to-Torus Support Bridge。**

最重要的三個式子：

$$
\boxed{
\det(aH(s)+bH(s^2))
=
ab\lambda^2s^2(s-1)^2
}
$$

$$
\boxed{
V:
\quad
X_1^2=X_0X_2,
\qquad
X_2^2=X_0X_3
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\operatorname{Conv}\{0,1,2,4\}
=
\operatorname{Conv}\{0,1,2,3,4\}
}
$$

說明：

$$
\boxed{
\text{linear rank is exhausted;}
\quad
\text{exact nonlinear support is the next information layer.}
}
$$

---

# 參考資料

1. Samit Dasgupta and Mahesh Kakde, **Ranks of Matrices of Logarithms of Algebraic Numbers II: The Matrix Coefficient Conjecture**, *Advances in Mathematics* 487 (2026), 110753.  
   arXiv: https://arxiv.org/abs/2408.08178  
   DOI: 10.1016/j.aim.2025.110753  
   Relevant points: Matrix Coefficient Conjecture; Structural Rank implies it; support/BK proof strategy; $(m)\Rightarrow(o)$; open $(w)\Rightarrow(m)$; fewnomial condition $(m')$.

2. Samit Dasgupta, **Ranks of matrices of logarithms of algebraic numbers I: the theorems of Baker and Waldschmidt–Masser**, *Essential Number Theory* 2 (2023), 93–138.  
   arXiv: https://arxiv.org/abs/2303.02037

3. Damien Roy, **Points whose coordinates are logarithms of algebraic numbers on algebraic varieties**, *Acta Mathematica* 175 (1995), 49–73.  
   DOI: 10.1007/BF02392486  
   Gives the geometric reformulation of the algebraic-independence conjecture for logarithms of algebraic numbers.

4. Damien Roy and Michel Waldschmidt, **Quadratic Relations between Logarithms of Algebraic Numbers**, *Proceedings of the Japan Academy, Series A* 71 (1995), 151–153.

5. Michel Waldschmidt, expository discussions of algebraic independence of logarithms and Roy’s geometric reformulation.

---

**ACTM Round 17 完**