# ACTM Round 16
## BADT Linear Support Visibility 的 All-Rank 證明
### An All-Rank Proof of BADT Linear Support Visibility

**研究計畫：** Algebraic Combinatorial Transcendence Methodology（ACTM）  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-02  
**版本：** Round 16 / v1.0  
**文件性質：** 正式研究筆記／解析定理  
**狀態聲明：** 本輪不宣稱證明 Four Exponentials Conjecture、BADT$_2$ 不可能、Matrix Coefficient Conjecture 或 Structural Rank Conjecture。本輪證明的是一個受限但 all-rank 的 polynomial-matrix support theorem：對 BADT$_2$ 的 linear-coordinate support $W=\operatorname{span}_{\mathbb Q}\{1,v,v^2,v^4\}$，任何進入 Waldschmidt–Masser strict rank region 的 polynomial matrix 都必 rationally visible。因此整條 rational-linear GCDA / Waldschmidt–Masser amplification strategy 被一次關閉。

---

## 摘要

BADT$_2$ 的 toric chart：

$$
(X_0,X_1,X_2,X_3)
=
u(1,v,v^2,v^4)
$$

將任意 rational-linear-entry matrix：

$$
M(X)
=
X_0A_0
+
X_1A_1
+
X_2A_2
+
X_3A_3
$$

化為：

$$
M(u,v)
=
uN(v),
$$

其中：

$$
N(v)
=
A_0+vA_1+v^2A_2+v^4A_3.
$$

所以所有 entries 位於：

$$
\boxed{
W
=
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}.
}
$$

Round 11–15 以 polynomial minimal bases、Predictable Degree Property、missing-cubic map 及 exact finite verification，逐步證明 normal rank：

$$
1\le r\le15
$$

時，所有 strict Waldschmidt–Masser degeneracies 都必 rationally visible。

Round 16 抽出一個與 $r$ 無關的解析證明。

設：

$$
N(v)
\in
M_{m\times n}(W)
$$

normal rank：

$$
r.
$$

取 column-reduced minimal basis：

$$
U(v)
=
\begin{pmatrix}
u_1(v)&\cdots&u_r(v)
\end{pmatrix}
$$

使：

$$
N=UV.
$$

令 minimal-basis degrees：

$$
\delta_i
\in
\{0,1,2,3,4\}.
$$

記：

$$
x
=
\#\{i:\delta_i=0\},
$$

$$
y
=
\#\{i:\delta_i=4\}.
$$

定義：

- $F$：multiplier-domain dimension；
- $C$：minimal-basis coefficient-vector count；
- $I$：missing-$v^3$ inactive coefficient-vector count；
- $P$：active coefficient-vector count；
- $a=\operatorname{rank}T_3$：active coefficient span rank。

其逐 degree 資源表：

| $d$ | $F$ contribution | coefficient count | active count | inactive count |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| $0$ | $5$ | $1$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $4$ | $2$ | $2$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $3$ | $2$ | $1$ |
| $3$ | $2$ | $4$ | $2$ | $2$ |
| $4$ | $1$ | $5$ | $1$ | $4$ |

由此：

$$
C+F=6r,
$$

$$
P+I=C,
$$

以及最重要的：

$$
\boxed{
F+I
=
4r+x+y.
}
$$

若 matrix 已有 constant rational left/right kernel，便直接得到超過 Waldschmidt–Masser visibility threshold 的 zero row / zero column。

所以只需研究沒有 constant rational kernel 的情形。

定義：

$$
L=a+I,
$$

$$
R=F-a.
$$

則：

$$
m\le L,
$$

$$
n\le R.
$$

定義 resource slacks：

$$
\ell=L-m,
$$

$$
h=R-n.
$$

Waldschmidt–Masser strict rank condition：

$$
\boxed{
r<\frac{mn}{m+n}
}
$$

一方面強迫：

$$
\boxed{
m+n>4r,
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\ell+h<x+y.
}
$$

另一方面，可由 support resource bounds 證明：

$$
\boxed{
\frac13
<
\theta
=
\frac nm
<
3.
}
$$

接著只需要兩個 canonical minimal-basis subsets。

第一個：

$$
J_0
=
\{\delta_i=0\}.
$$

若其 rational zero block不夠大，必有：

$$
\boxed{
h
\ge
(4-\theta)x.
}
$$

第二個：

$$
J_3
=
\{\delta_i\le3\},
$$

亦即排除所有 degree-$4$ minimal-basis columns。

若其 rational zero block也不夠大，必有：

$$
\boxed{
\ell
\ge
\left(
4-\frac1\theta
\right)y.
}
$$

因：

$$
\frac13<\theta<3,
$$

所以：

$$
4-\theta>1,
$$

$$
4-\frac1\theta>1.
$$

而 strict region 又迫使：

$$
x+y>0.
$$

所以若兩個 canonical subsets都不可見：

$$
\ell+h
\ge
(4-\theta)x
+
\left(
4-\frac1\theta
\right)y
>
x+y,
$$

這與：

$$
\ell+h<x+y
$$

矛盾。

因此：

$$
\boxed{
J_0
\text{ 或 }
J_3
\text{ 至少一個必產生 sufficiently large rational zero block。}
}
$$

由此得到 all-rank theorem：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}
\left(
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}
\right)
=
\infty.
}
$$

---

# 1. Main theorem

## Theorem R16.1 — BADT Linear Support Visibility Theorem

令：

$$
W
=
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}.
$$

令：

$$
N(v)
\in
M_{m\times n}(W)
$$

具有 normal rank：

$$
r.
$$

若：

$$
\boxed{
r
<
\frac{mn}{m+n},
}
$$

則存在：

$$
P\in\operatorname{GL}_m(\mathbb Q),
$$

$$
Q\in\operatorname{GL}_n(\mathbb Q)
$$

使：

$$
PNQ
$$

含有一個：

$$
m'\times n'
$$

zero block，滿足：

$$
\boxed{
\frac{m'}m+\frac{n'}n>1.
}
$$

因此 BADT$_2$ linear-coordinate support 中，不存在任何 normal rank 的 hidden linear GCDA。

---

# 2. Constant-kernel cases

若存在：

$$
0\neq w\in\mathbb Q^m
$$

使：

$$
w^TN=0,
$$

經 rational row basis change得到一整列 zero row：

$$
1\times n.
$$

其 visibility：

$$
\frac1m+\frac nn
=
1+\frac1m
>
1.
$$

若存在：

$$
0\neq c\in\mathbb Q^n
$$

使：

$$
Nc=0,
$$

同理得到：

$$
m\times1
$$

zero column，而：

$$
\frac mm+\frac1n
=
1+\frac1n
>
1.
$$

所以從此假設：

$$
\boxed{
\text{no constant rational left/right kernel}.
}
$$

---

# 3. Polynomial minimal basis

令：

$$
\mathcal C
$$

為 $N$ columns 所生成的：

$$
\mathbb Q[v]
$$

column module。

因：

$$
\mathbb Q[v]
$$

為 PID，$\mathcal C$ 為 rank-$r$ free module。

取 column-reduced basis：

$$
U(v)
=
\begin{pmatrix}
u_1(v)&\cdots&u_r(v)
\end{pmatrix}
$$

與：

$$
V(v)
$$

使：

$$
\boxed{
N=UV.
}
$$

記：

$$
\delta_i
=
\deg u_i.
$$

由 Predictable Degree Property 與 $N$ column degree不超過 $4$：

$$
\boxed{
0\le\delta_i\le4.
}
$$

---

# 4. Resource totals

對每個 degree $d$：

$$
f_d=5-d
$$

是 multiplier-domain dimension，

$$
c_d=d+1
$$

是 coefficient-vector count。

missing cubic：

$$
v^3
$$

使 active coefficient counts：

$$
p_d
=
(1,2,2,2,1),
$$

inactive counts：

$$
q_d
=
(0,0,1,2,4).
$$

定義：

$$
F
=
\sum_i f_{\delta_i},
$$

$$
C
=
\sum_i c_{\delta_i},
$$

$$
P
=
\sum_i p_{\delta_i},
$$

$$
I
=
\sum_i q_{\delta_i}.
$$

則：

$$
\boxed{
F+C=6r,
}
$$

$$
\boxed{
P+I=C.
}
$$

---

# 5. Extreme-degree counts

定義：

$$
x
=
\#\{i:\delta_i=0\},
$$

$$
y
=
\#\{i:\delta_i=4\}.
$$

逐 degree 計算：

$$
f_d+q_d
=
(5,4,4,4,5).
$$

所以：

$$
\boxed{
F+I
=
4r+x+y.
}
$$

這是 all-rank proof 的核心 support identity。

---

# 6. Active rank

定義 missing-cubic coefficient map：

$$
T_3:
\mathcal F
\to
\mathbb Q^m,
$$

其中：

$$
\mathcal F
=
\bigoplus_i
\mathbb Q[v]_{\le4-\delta_i}.
$$

令：

$$
a
=
\operatorname{rank}T_3.
$$

因沒有 constant left kernel，所有 minimal-basis coefficient vectors張成：

$$
\mathbb Q^m.
$$

active vectors span至多 $a$ 維，inactive vectors最多提供 $I$ 維，所以：

$$
\boxed{
m\le a+I.
}
$$

又顯然：

$$
m\le C.
$$

---

# 7. Active leading coefficients

column-reducedness保證：

$$
u_1,\ldots,u_r
$$

的 leading coefficient vectors Q-linearly independent。

所有：

$$
\delta_i\le3
$$

的 leading coefficient vectors都是 active。

其數量：

$$
r-y.
$$

因此：

$$
\boxed{
a\ge r-y.
}
$$

---

# 8. Right-side capacity

完整 admissible coefficient space：

$$
\ker T_3
$$

dimension：

$$
F-a.
$$

沒有 constant right kernel意味著 $V$ 的 $n$ columns Q-linearly independent，所以：

$$
\boxed{
n\le F-a.
}
$$

另外：

$$
a\le P
$$

因 active span rank不可能超過 active vector數量。

---

# 9. Left/right capacities

定義：

$$
\boxed{
L=a+I,
}
$$

$$
\boxed{
R=F-a.
}
$$

則：

$$
m\le L,
$$

$$
n\le R.
$$

定義 slacks：

$$
\boxed{
\ell=L-m\ge0,
}
$$

$$
\boxed{
h=R-n\ge0.
}
$$

而：

$$
L+R
=
F+I
=
4r+x+y.
$$

---

# 10. Strict rank implies $m,n>r$

因：

$$
\frac{mn}{m+n}
<
\min(m,n),
$$

若：

$$
r
<
\frac{mn}{m+n},
$$

則：

$$
\boxed{
m>r,
\qquad
n>r.
}
$$

---

# 11. Upper bound for $n$

由：

$$
n\le F-a
$$

及：

$$
a\ge r-y,
$$

有：

$$
n
\le
F-r+y.
$$

逐 degree展開：

$$
F-r+y
=
4x
+
3c_1
+
2c_2
+
c_3
+
y,
$$

其中：

$$
c_d
=
\#\{i:\delta_i=d\}.
$$

每一 coefficient不超過 $4$，所以：

$$
\boxed{
n\le4r.
}
$$

---

# 12. Upper bound for $m$

因：

$$
n>r
$$

且：

$$
n\le F-a,
$$

所以：

$$
a
<
F-r.
$$

因此：

$$
m
\le
a+I
<
F-r+I.
$$

利用：

$$
F+I=4r+x+y,
$$

得到：

$$
m
<
3r+x+y.
$$

因：

$$
x+y\le r,
$$

所以：

$$
\boxed{
m<4r.
}
$$

---

# 13. Aspect-Ratio Lemma

定義：

$$
\theta
=
\frac nm.
$$

strict rank condition：

$$
r(m+n)<mn.
$$

改寫：

$$
m(n-r)>rn.
$$

所以：

$$
m
>
\frac{rn}{n-r}.
$$

因：

$$
n\le4r,
$$

有：

$$
n-r\le3r.
$$

因此：

$$
m>\frac n3.
$$

即：

$$
\boxed{
\theta<3.
}
$$

同理：

$$
n(m-r)>rm.
$$

由：

$$
m<4r
$$

得：

$$
n>\frac m3.
$$

故：

$$
\boxed{
\theta>\frac13.
}
$$

所以：

$$
\boxed{
\frac13<\theta<3.
}
$$

---

# 14. Slack Deficit Lemma

AM–GM 給：

$$
\frac{mn}{m+n}
\le
\frac{m+n}{4}.
$$

strict rank condition：

$$
r
<
\frac{mn}{m+n}
$$

因此：

$$
\boxed{
m+n>4r.
}
$$

另一方面：

$$
\ell+h
=
(L+R)-(m+n).
$$

而：

$$
L+R
=
4r+x+y.
$$

所以：

$$
\boxed{
\ell+h
=
4r+x+y-(m+n)
<
x+y.
}
$$

特別：

$$
\boxed{
x+y>0.
}
$$

也就是 strict region 必須含至少一個 extreme minimal-basis degree：

$$
0
\quad\text{或}\quad
4.
$$

---

# 15. Canonical subset $J_0$

令：

$$
J_0
=
\{i:\delta_i=0\}.
$$

其 cardinality：

$$
x.
$$

每個 degree-$0$ basis column只有一個 coefficient vector，且該 vector既是 active 也是 leading。

column-reducedness使這 $x$ 個 vectors Q-linearly independent。

所以：

$$
\dim\operatorname{im}(T_3|_{J_0})=x.
$$

其 multiplier domain dimension：

$$
5x.
$$

因此：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A_{J_0}
=
4x.
}
$$

---

# 16. $J_0$ column-combination count

完整 admissible space dimension：

$$
F-a
=
R.
$$

actual coefficient-column span dimension：

$$
n.
$$

Grassmann inequality給：

$$
k_0
\ge
n+4x-R.
$$

因：

$$
R=n+h,
$$

得到：

$$
\boxed{
k_0
\ge
\max(0,4x-h).
}
$$

而 $J_0$ image row-space dimension正好：

$$
x.
$$

所以 rational zero block至少：

$$
\boxed{
(m-x)
\times
\max(0,4x-h).
}
$$

---

# 17. 若 $J_0$ 不可見

若上述 guaranteed zero block未達：

$$
\frac{m'}m+\frac{n'}n>1,
$$

則：

$$
\frac{m-x}{m}
+
\frac{\max(0,4x-h)}n
\le1.
$$

等價於：

$$
m\max(0,4x-h)
\le
nx.
$$

因此無論：

$$
4x-h
$$

是否正，都有：

$$
\boxed{
h
\ge
(4-\theta)x.
}
$$

其中：

$$
\theta=\frac nm.
$$

---

# 18. Canonical subset $J_3$

令：

$$
J_3
=
\{i:\delta_i\le3\},
$$

亦即排除全部：

$$
y
$$

個 degree-$4$ minimal-basis columns。

因此：

$$
F_{J_3}=F-y,
$$

$$
P_{J_3}=P-y,
$$

$$
I_{J_3}=I-4y,
$$

$$
C_{J_3}=C-5y.
$$

---

# 19. $J_3$ admissible dimension

restricted active rank最多：

$$
\min(a,P-y).
$$

所以：

$$
\dim\mathcal A_{J_3}
\ge
F-y-\min(a,P-y).
$$

與 actual $n$-dimensional column span做 Grassmann intersection：

$$
k_3
\ge
n
+
F-y-\min(a,P-y)
-
(F-a).
$$

令：

$$
z=P-a\ge0.
$$

分情況化簡得到：

$$
\boxed{
k_3
\ge
n-d,
}
$$

其中：

$$
\boxed{
d=\min(y,z).
}
$$

所以：

$$
d\le y.
$$

---

# 20. $J_3$ row-space deficit

令 coefficient-count slack：

$$
c=C-m\ge0.
$$

以及先前：

$$
\ell=(a+I)-m.
$$

$J_3$ 的 coefficient row-space dimension至多：

$$
\min
\left(
m,
C-5y,
a+I-4y
\right).
$$

因此 rational row annihilator dimension至少：

$$
\boxed{
D
=
\max
\left(
0,
5y-c,
4y-\ell
\right).
}
$$

所以得到 guaranteed zero block：

$$
\boxed{
D\times(n-d).
}
$$

---

# 21. 若 $J_3$ 不可見

若：

$$
\frac Dm
+
\frac{n-d}{n}
\le1,
$$

則：

$$
nD
\le
md.
$$

因：

$$
D
\ge
4y-\ell,
$$

且：

$$
d\le y,
$$

所以：

$$
n(4y-\ell)
\le
my.
$$

因此：

$$
\boxed{
\ell
\ge
\left(
4-\frac1\theta
\right)y.
}
$$

---

# 22. Final contradiction

假設兩個 canonical subsets都不可見。

則：

$$
h
\ge
(4-\theta)x,
$$

以及：

$$
\ell
\ge
\left(
4-\frac1\theta
\right)y.
$$

由 Aspect-Ratio Lemma：

$$
\frac13<\theta<3.
$$

所以：

$$
4-\theta>1,
$$

以及：

$$
4-\frac1\theta>1.
$$

由 Slack Deficit Lemma：

$$
x+y>0.
$$

因此：

$$
\ell+h
\ge
(4-\theta)x
+
\left(
4-\frac1\theta
\right)y
>
x+y.
$$

但前面已證：

$$
\ell+h<x+y.
$$

矛盾。

所以：

$$
\boxed{
J_0
\text{ 與 }
J_3
\text{ 至少一個必 rationally visible。}
}
$$

Theorem R16.1 證畢。

---

# 23. Corollary — BLSVC 已證

Round 14 提出的：

**BADT Linear Support Visibility Conjecture（BLSVC）**

現在成為定理。

即：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}
\left(
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}
\right)
=
\infty.
}
$$

---

# 24. 前五輪 finite hierarchy 的新定位

Round 11–15 的 exact computations：

- rank $1$–$5$；
- rank $6$–$15$；
- tens of millions of finite configurations；

現在不再是 theorem 的邏輯必要部分。

它們成為：

$$
\boxed{
\text{independent computational corroboration}
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\text{the empirical route that revealed the canonical two-subset structure}.
}
$$

---

# 25. 這個 theorem 真正關閉了什麼

BADT$_2$ hypothesis本身仍未被排除。

本輪關閉的是整條：

$$
\boxed{
\text{rational-linear matrix}
+
\text{Waldschmidt–Masser strict rank amplification}
}
$$

策略。

也就是：

> 不論 matrix 做多大、不論 normal rank 多高，只要 entries 只是 BADT$_2$ 四個 linear coordinates 的 rational linear combinations，且想靠進入：
>
> $$
> r<\frac{mn}{m+n}
> $$
>
> 來製造矛盾，matrix 都會先自動產生 Waldschmidt–Masser theorem 所允許的 rational zero block。

所以：

$$
\boxed{
\text{linear GCDA strategy is completely closed}.
}
$$

---

# 26. 為什麼這不與 Matrix Coefficient Conjecture 重複

Matrix Coefficient Conjecture 對一般 square matrices of algebraic logarithms 提出更強、更一般的 rational visibility 預測。

R16.1 只處理：

- BADT$_2$ 的特定 toric support；
- rational-linear-entry polynomial matrices；
- Waldschmidt–Masser strict rank regime。

所以它不是 Matrix Coefficient Conjecture 的一般證明。

但它是一個：

$$
\boxed{
\text{all-rank support-specific visibility theorem}.
}
$$

---

# 27. Support geometry 的真正角色

證明最後只需要兩個 extreme degree counts：

$$
x=c_0,
$$

$$
y=c_4.
$$

原因是 support：

$$
\{0,1,2,4\}
$$

的五種 minimal-basis degree resources滿足：

$$
f_d+q_d
=
(5,4,4,4,5).
$$

所有 interior degrees：

$$
1,2,3
$$

貢獻恰好：

$$
4,
$$

只有 extremes：

$$
0,4
$$

額外提供一單位。

因此：

$$
\boxed{
F+I
=
4r+x+y.
}
$$

strict Waldschmidt–Masser geometry 必須消耗這些 extreme surplus。

而 $J_0$ 與 $J_3$ 正好分別檢測左右兩端 surplus。

這就是 all-rank proof 的幾何核心。

---

# 28. Extreme-Surplus Principle

本輪抽象出：

> 當 polynomial support 的 resource table 存在一個 baseline，只有 extreme degree types 提供 surplus，而 strict rank region 又迫使總 slack 小於 extreme surplus 時，兩個 endpoint canonical subsets可能足以證明全 rank visibility。

本輪稱此為：

**Extreme-Surplus Principle**。

目前只對 BADT support完成具體證明。

---

# 29. 與 ACTM 原始「過度壓縮」問題的回接

BADT$_2$ 本身仍是 hypothetical over-compression configuration。

但 R16.1 顯示：

> 這種 over-compression 不能被「投影成一個更大的低 rank rational-linear matrix，再靠 Waldschmidt–Masser theorem 反證」。

因為 support 本身會讓所有此類投影：

$$
\boxed{
\text{low-rank}
\Rightarrow
\text{rationally visible}.
}
$$

所以真正的矛盾若存在，必須保留比 rational-linear projection 更多的 nonlinear資訊。

---

# 30. Round 17 正式入口

linear GCDA hierarchy 已結束。

下一輪應正式轉向 nonlinear / support-sensitive路線。

建議三條：

## R17-A：BADT-specific Matrix Coefficient route

直接處理：

$$
H_1
=
\begin{pmatrix}
z_0&z_1\\
z_1&z_2
\end{pmatrix},
$$

$$
H_2
=
\begin{pmatrix}
z_0&z_2\\
z_2&z_3
\end{pmatrix}
$$

共享：

$$
z_0,z_2
$$

的結構。

不再放大 rank，而研究是否能從 shared support直接生成 Matrix Coefficient rational witness。

---

## R17-B：Dasgupta–Kakde sparse auxiliary polynomial

BADT toric ideal：

$$
q_1=X_1^2-X_0X_2,
$$

$$
q_2=X_2^2-X_0X_3
$$

本身只有四個 monomial support方向。

嘗試在 DK framework 中直接證一個 BADT-specific：

$$
(w)\Rightarrow(m)
$$

或較弱：

$$
(w)\Rightarrow(m').
$$

---

## R17-C：Roy geometric route

研究 BADT$_2$ toric surface：

$$
X_1^2=X_0X_2,
$$

$$
X_2^2=X_0X_3
$$

中的 algebraic-logarithm point：

$$
(z_0,z_1,z_2,z_3).
$$

尋找：

$$
\boxed{
\text{nonlinear toric geometry}
\Rightarrow
\text{rational linear visibility}
}
$$

的受限定理。

---

# 31. Round 16 判定

**PASS — BADT Linear Support Visibility proved for all normal ranks; the entire rational-linear Waldschmidt–Masser amplifier strategy is closed**

本輪完成：

1. 將 finite-rank EARVL pattern抽成兩個 canonical subsets。

2. 定義 extreme degree counts：
   $$
   x=c_0,
   \qquad
   y=c_4.
   $$

3. 建立：
   $$
   F+I=4r+x+y.
   $$

4. 定義 left/right capacities：
   $$
   L=a+I,
   \qquad
   R=F-a.
   $$

5. 定義 slacks：
   $$
   \ell=L-m,
   \qquad
   h=R-n.
   $$

6. 由 strict WM 證：
   $$
   \ell+h<x+y.
   $$

7. 證：
   $$
   m,n<4r
   $$
   型 bounds。

8. 證 Aspect-Ratio Lemma：
   $$
   \frac13<\frac nm<3.
   $$

9. 對 degree-$0$ canonical subset $J_0$ 證：
   若不可見，
   $$
   h\ge(4-\theta)x.
   $$

10. 對 non-degree-$4$ canonical subset $J_3$ 證：
    若不可見，
    $$
    \ell\ge
    \left(
    4-\frac1\theta
    \right)y.
    $$

11. 由 aspect ratio 得兩個係數都嚴格大於 $1$。

12. 與：
    $$
    \ell+h<x+y
    $$
    直接矛盾。

13. 得到 all-rank theorem：
    $$
    \boxed{
    R_{\mathrm{SV}}(W)=\infty.
    }
    $$

14. BLSVC 由 conjecture 升級為 theorem。

15. 完全關閉 linear GCDA / WM amplification hierarchy。

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# 32. 一句話結論

> **BADT$_2$ support 的 linear visibility 不需要逐 rank 搜尋：strict Waldschmidt–Masser geometry 迫使矩陣 aspect ratio 落在 $(1/3,3)$，同時使左右 resource slack 總量小於 degree-$0/4$ extreme surplus；degree-$0$ subset與 non-degree-$4$ subset若同時不可見，反而各自要求超過一單位的 extreme slack，兩者相加直接矛盾。**

因此：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}
\left(
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}
\right)
=
\infty.
}
$$

下一輪正式離開 linear rank-amplifier 路線。

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# 參考資料

1. Samit Dasgupta, **Ranks of matrices of logarithms of algebraic numbers I: the theorems of Baker and Waldschmidt–Masser**, *Essential Number Theory* 2 (2023), 93–138.  
   https://arxiv.org/abs/2303.02037

2. W. H. L. Neven and C. Praagman, **Column reduction of polynomial matrices**, *Linear Algebra and its Applications* 188–189 (1993), 569–589.  
   DOI: 10.1016/0024-3795(93)90480-C

3. Andrii Dmytryshyn, Froilán M. Dopico, Paul Van Dooren, **Minimal rank factorizations of polynomial matrices**, *Linear Algebra and its Applications* 721 (2025), 736–774.  
   DOI: 10.1016/j.laa.2025.01.009

4. Samit Dasgupta and Mahesh Kakde, **Ranks of Matrices of Logarithms of Algebraic Numbers II: The Matrix Coefficient Conjecture**, *Advances in Mathematics* 487 (2026), 110753.  
   DOI: 10.1016/j.aim.2025.110753

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**ACTM Round 16 完**