# ACTM Round 15
## Exact Active-Rank Visibility Lemma 與 Rank-$6$ 至 Rank-$15$ 的統一 Linear-GCDA No-Go
### The Exact Active-Rank Visibility Lemma and a Unified Rank-6-to-15 Linear-GCDA No-Go

**研究計畫：** Algebraic Combinatorial Transcendence Methodology（ACTM）  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-02  
**版本：** Round 15 / v0.1  
**文件性質：** 正式研究筆記／computer-assisted finite-rank theorem  
**狀態聲明：** 本輪不宣稱證明 Four Exponentials Conjecture 或 BADT$_2$ 不可能。本輪建立一個比 Round 11–14 更強的統一 support-visibility lemma，並用 exact integer arithmetic 完整驗證 normal rank $6$ 至 $15$ 的全部 strict Waldschmidt–Masser configurations。結合前輪，BADT$_2$ linear-coordinate support 的 no-go 現已覆蓋 normal rank $1$ 至 $15$。

---

## 摘要

BADT$_2$ 的 toric chart：

$$
(X_0,X_1,X_2,X_3)
=
u(1,v,v^2,v^4)
$$

將 rational-linear-entry matrices 化成：

$$
N(v)
=
A_0+vA_1+v^2A_2+v^4A_3.
$$

因此 entries 全部位於：

$$
W
=
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}.
$$

Round 11–14 已建立：

$$
R_{\mathrm{SV}}(W)\ge5.
$$

本輪的關鍵改進是保留 missing-cubic map：

$$
T_3
$$

的實際 active rank：

$$
\boxed{
a=\operatorname{rank}T_3.
}
$$

而不是只使用它的全域下界。

對任意 minimal-basis subset：

$$
J,
$$

由此可同時得到：

1. admissible coefficient subspace 的維度下界；
2. image coefficient row-space 的維度上界；
3. actual column span 與該 subspace 的 Grassmann intersection 下界。

這形成 **Exact Active-Rank Visibility Lemma（EARVL）**。

本輪對：

$$
6\le r\le15
$$

所有 strict Waldschmidt–Masser configurations：

$$
r<\frac{mn}{m+n}
$$

逐一做 exact finite verification，共處理：

$$
\boxed{
31,419,396
}
$$

個 degree-multiplicity / matrix-size configurations，結果：

$$
\boxed{
\text{unresolved}=0.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}
\left(
\operatorname{span}_{\mathbb Q}\{1,v,v^2,v^4\}
\right)
\ge15.
}
$$

---

# 1. Polynomial minimal basis

令：

$$
N(v)\in M_{m\times n}(\mathbb Q[v])
$$

normal rank 為：

$$
r.
$$

取 column-reduced polynomial minimal basis：

$$
U(v)
=
\begin{pmatrix}
u_1(v)&\cdots&u_r(v)
\end{pmatrix}
$$

使：

$$
N=UV.
$$

令：

$$
\delta_i=\deg u_i.
$$

由 Predictable Degree Property 與原矩陣 degree $\le4$：

$$
\boxed{
0\le\delta_i\le4.
}
$$

---

# 2. 五種 degree resource

對 degree：

$$
d\in\{0,1,2,3,4\},
$$

定義：

### multiplier-domain dimension

$$
f_d=5-d.
$$

### coefficient-vector count

$$
c_d=d+1.
$$

### $v^3$-active coefficient count

$$
p_d=(1,2,2,2,1)_d.
$$

### inactive coefficient count

$$
q_d=(0,0,1,2,4)_d.
$$

所以：

| $d$ | $f_d$ | $p_d$ | $q_d$ | $c_d$ |
|---:|---:|---:|---:|---:|
| $0$ | $5$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $4$ | $2$ | $0$ | $2$ |
| $2$ | $3$ | $2$ | $1$ | $3$ |
| $3$ | $2$ | $2$ | $2$ | $4$ |
| $4$ | $1$ | $1$ | $4$ | $5$ |

並有精確 resource identity：

$$
\boxed{
f_d+c_d=6.
}
$$

---

# 3. Global active rank

令：

$$
a=\operatorname{rank}T_3.
$$

令：

$$
F=\sum_i(5-\delta_i)
$$

為完整 multiplier-domain dimension，

以及：

$$
I=\sum_iq_{\delta_i}
$$

為 inactive coefficient-vector總數。

若沒有 constant rational left kernel，全部 coefficient vectors 必張成：

$$
\mathbb Q^m.
$$

因此：

$$
m\le a+I,
$$

即：

$$
\boxed{
a\ge m-I.
}
$$

所有 degree $\le3$ 的 leading coefficient vectors 均 active 且因 column-reducedness而獨立。若 degree-$4$ columns數為 $c_4$：

$$
\boxed{
a\ge r-c_4.
}
$$

若沒有 constant rational right kernel，實際 $n$ 個 coefficient columns 必可在：

$$
\ker T_3
$$

中 Q-linearly independent，因此：

$$
n\le F-a,
$$

即：

$$
\boxed{
a\le F-n.
}
$$

所以 actual active rank 必位於：

$$
\boxed{
\max(m-I,r-c_4)
\le a\le F-n.
}
$$

---

# 4. Subset resource

固定 minimal-basis subset：

$$
J.
$$

定義：

$$
F_J=\sum_{i\in J}(5-\delta_i),
$$

$$
P_J=\sum_{i\in J}p_{\delta_i},
$$

$$
I_J=\sum_{i\in J}q_{\delta_i},
$$

$$
C_J=\sum_{i\in J}(\delta_i+1).
$$

---

# 5. EARVL：admissible-subspace side

restricted map：

$$
T_3|_J
$$

rank 不超過 global active rank $a$，也不超過 $J$ 內 active coefficient-vector總數 $P_J$。

因此：

$$
\operatorname{rank}(T_3|_J)
\le
\min(a,P_J).
$$

所以：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A_J
\ge
F_J-\min(a,P_J).
}
$$

---

# 6. EARVL：row-space side

$J$ 中全部 active coefficient vectors 位於同一個 $a$ 維 global active span。

inactive coefficient vectors最多再增加：

$$
I_J
$$

維。

同時 row coefficient span 也不可能超過全部 coefficient vectors數：

$$
C_J.
$$

因此：

$$
\boxed{
s_J
\le
\min
\left(
m,
C_J,
a+I_J
\right).
}
$$

---

# 7. EARVL：Grassmann side

完整 admissible coefficient space dimension：

$$
\dim\mathcal A=F-a.
$$

若無 constant right kernel，actual coefficient-column span：

$$
F_V
$$

dimension 為：

$$
n.
$$

因此：

$$
\dim(F_V\cap\mathcal A_J)
\ge
n+\dim\mathcal A_J-(F-a).
$$

所以至少存在：

$$
\boxed{
k_J
=
\max
\left(
0,
n+F_J-\min(a,P_J)-(F-a)
\right)
}
$$

個 rationally independent column combinations，其 image 只使用 $J$ 的 coefficient row-space。

---

# 8. EARVL：visibility criterion

row annihilator dimension 至少：

$$
m-s_J.
$$

所以 rational basis changes 後可得到至少：

$$
(m-s_J)\times k_J
$$

zero block。

只要：

$$
\boxed{
\frac{m-s_J}{m}
+
\frac{k_J}{n}
>
1,
}
$$

就達到 Waldschmidt–Masser rational visibility conclusion。

等價地，可完全使用 exact integer inequality：

$$
\boxed{
(m-s_J)n+k_Jm>mn.
}
$$

---

# 9. 為何本輪不再需要 equality-case 手工修補

Round 11–14 常先以：

$$
a\ge a_{\min}
$$

估計 admissible dimension。

若實際：

$$
a>a_{\min},
$$

該估計會太鬆，留下 equality exceptions。

EARVL 則逐一考慮每個可行 actual rank：

$$
a.
$$

較大的 $a$：

- 會減少完整 admissible dimension；
- 增大 Grassmann intersection；
- 同時限制 subset row-space。

因此前輪的 equality rigidity 被統一吸收到一個 $a$-parameter inequality，不再需要逐個 degree pattern補證。

---

# 10. Fixed-rank finite reduction

對 fixed：

$$
r,
$$

degree tuple只需記成 multiplicities：

$$
(c_0,c_1,c_2,c_3,c_4),
$$

其中：

$$
c_0+\cdots+c_4=r.
$$

其可能數量：

$$
\boxed{
\binom{r+4}{4}.
}
$$

若無 constant kernels：

$$
m,n\le5r.
$$

因此每個 fixed $r$ 是完全 finite integer problem。

---

# 11. Exact verifier

對每一組：

$$
(r,m,n,c_0,\ldots,c_4)
$$

滿足：

$$
r<\frac{mn}{m+n},
$$

verifier：

1. 檢查 constant-left-kernel budget；
2. 建立 feasible active-rank interval；
3. interval 空則判定 constant right kernel；
4. 對每個 feasible integer $a$；
5. 枚舉所有 nonempty degree-multiplicity subsets $J$；
6. 計算 EARVL；
7. 若每個 $a$ 都至少存在一個 strict-visible $J$，case完成；
8. 否則標記 unresolved。

所有 comparison皆使用 integer arithmetic，不使用 floating point。

---

# 12. Rank-$6$ 至 Rank-$15$ 結果

| Rank | Strict cases | Left kernel | Right kernel | EARVL | Unresolved |
|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| $6$ | 96,600 | 55,886 | 39,506 | 1,208 | $\mathbf{0}$ |
| $7$ | 206,250 | 119,411 | 84,009 | 2,830 | $\mathbf{0}$ |
| $8$ | 399,960 | 232,393 | 162,003 | 5,564 | $\mathbf{0}$ |
| $9$ | 730,015 | 425,278 | 294,891 | 9,846 | $\mathbf{0}$ |
| $10$ | 1,259,258 | 734,969 | 507,434 | 16,855 | $\mathbf{0}$ |
| $11$ | 2,070,705 | 1,211,036 | 832,570 | 27,099 | $\mathbf{0}$ |
| $12$ | 3,272,360 | 1,916,820 | 1,313,011 | 42,529 | $\mathbf{0}$ |
| $13$ | 5,028,940 | 2,945,108 | 2,015,599 | 68,233 | $\mathbf{0}$ |
| $14$ | 7,490,880 | 4,389,786 | 2,998,968 | 102,126 | $\mathbf{0}$ |
| $15$ | 10,864,428 | 6,376,724 | 4,342,763 | 144,941 | $\mathbf{0}$ |

合計：

$$
\boxed{
31,419,396
}
$$

strict configurations。

其中：

$$
\boxed{
18,407,411
}
$$

由 left-kernel budget排除，

$$
\boxed{
12,590,754
}
$$

由 right-kernel budget排除，

其餘：

$$
\boxed{
421,231
}
$$

全部由 EARVL 產生 sufficiently large rational zero block。

最後：

$$
\boxed{
\text{unresolved}=0.
}
$$

---

# 13. Corollary R15.1

結合 Round 11–14 已證的：

$$
R_{\mathrm{SV}}(W)\ge5
$$

與本輪：

$$
6\le r\le15,
$$

得到：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}
\left(
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}
\right)
\ge15.
}
$$

即：

> BADT$_2$ linear-coordinate support 上，normal rank $1$ 至 $15$ 的所有 strict Waldschmidt–Masser degeneracies 均已被證明 rationally visible。

---

# 14. 這仍不是 all-rank proof

必須區分：

$$
R_{\mathrm{SV}}(W)\ge15
$$

與：

$$
R_{\mathrm{SV}}(W)=\infty.
$$

EARVL 對任意 rank 都成立。

但「對任何 strict configuration 必存在可見 subset $J$」目前仍只 exact-verified 至：

$$
r=15.
$$

所以 BLSVC 的 all-rank version仍是 conjectural。

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# 15. All-rank 問題現在變成五類型整數命題

矩陣理論部分已被 EARVL 壓掉。

剩餘問題只依賴五類 degree resource：

$$
(f_d,p_d,q_d,c_d),
\qquad
d=0,\ldots,4.
$$

所以 all-rank BLSVC 可重寫成：

> 對任意 rank $r$、matrix dimensions $m,n$、degree multiplicities、以及每個 feasible active rank $a$，若：
>
> $$
> r<\frac{mn}{m+n},
> $$
>
> 是否必存在 subset multiplicities $J$ 使 EARVL strict inequality成立？

這是一個純：

$$
\boxed{
\text{five-type integer optimization theorem}.
}
$$

---

# 16. Resource conservation 線索

每個 degree type 都滿足：

$$
\boxed{
(5-d)+(d+1)=6.
}
$$

也就是 minimal-basis degree每增加一單位：

- multiplier-domain capacity 減少一；
- coefficient-space cost 增加一。

這個 exact conservation law 很可能是 all-rank inequality 的主幹。

---

# 17. Missing-cubic bottleneck

若 full support：

$$
\{1,v,v^2,v^3,v^4\}
$$

全部允許，便沒有：

$$
T_3=0
$$

這個 active/inactive split。

BADT$_2$ support只缺單一 monomial：

$$
v^3.
$$

卻已產生：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}(W)\ge15.
}
$$

所以目前觀察到：

$$
\boxed{
\text{one missing support direction}
\Longrightarrow
\text{at least fifteen rank layers of visibility rigidity}.
}
$$

---

# 18. Computer-assisted scope

本輪 computer assistance只做：

- integer multiplicity enumeration；
- $m,n$ finite enumeration；
- feasible integer active-rank enumeration；
- subset-resource enumeration；
- exact strict inequalities。

不包含：

- floating-point approximation；
- numerical matrix rank；
- random coefficient search；
- heuristic optimizer；
- Gröbner coefficient search。

因此：

$$
\boxed{
\text{unresolved}=0
}
$$

是 exact finite combinatorial result。

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# 19. Round 15 判定

**PASS — Exact Active-Rank Visibility Lemma established; all strict BADT$_2$ linear-matrix configurations through normal rank $15$ are rationally visible**

本輪完成：

1. 將實際：
   $$
   a=\operatorname{rank}T_3
   $$
   顯式化。

2. 建立 feasible active-rank interval。

3. 建立 subset admissible-dimension 下界。

4. 建立 subset row-space 上界。

5. 建立 EARVL。

6. 消除手工 equality-case dependency。

7. 將 degree data 壓成五種 multiplicity resource。

8. exact-screen：
   $$
   r=6,\ldots,15.
   $$

9. 處理：
   $$
   31,419,396
   $$
   strict configurations。

10. unresolved：
    $$
    \boxed{0}.
    $$

11. 得到：
    $$
    \boxed{
    R_{\mathrm{SV}}(W)\ge15.
    }
    $$

12. 將 all-rank problem 壓成 five-type integer optimization theorem。

---

# 20. Round 16 正式入口

下一輪不再優先機械增加：

$$
r=16,17,\ldots
$$

而應嘗試真正的 all-rank combinatorial proof。

## R16-A：continuous relaxation

將：

$$
(c_0,\ldots,c_4),
$$

$$
(j_0,\ldots,j_4),
$$

以及：

$$
m,n,a
$$

依 rank normalize。

先研究 continuous polytope。

若 relaxation 本身已有 strict margin，integer case只剩 boundary rounding。

---

## R16-B：LP / Farkas dual

EARVL failure 表示：

> 所有 subsets $J$ 都未達 visibility threshold。

嘗試把這些 inequalities做 convex duality，推出：

$$
r\ge\frac{mn}{m+n},
$$

直接與 strict Waldschmidt–Masser region矛盾。

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## R16-C：finite family reduction

數值與 finite驗證顯示最佳 subset通常集中在：

- low-degree prefix；
- high-inactive complement；
- 或少量 boundary partial selections。

嘗試證只需檢查有限類 canonical subsets。

若成功，all-rank proof可能降成幾條解析不等式。

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# 21. 一句話結論

> **Round 15 把前四輪逐 rank 的 equality-case 分析統一成 Exact Active-Rank Visibility Lemma，並以 exact finite arithmetic 將 BADT$_2$ linear-GCDA no-go 從 rank $5$ 一口氣推至 rank $15$；目前真正剩下的已不是矩陣搜尋，而是一個只有五種 degree resource 的 all-rank 整數最佳化問題。**

目前 strongest verified statement：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}
\left(
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}
\right)
\ge15.
}
$$

下一個核心問題：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}(W)
\stackrel{?}{=}
\infty.
}
$$

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# 參考資料

1. Samit Dasgupta, **Ranks of matrices of logarithms of algebraic numbers I: the theorems of Baker and Waldschmidt–Masser**, *Essential Number Theory* 2 (2023), 93–138.  
   https://arxiv.org/abs/2303.02037

2. W. H. L. Neven and C. Praagman, **Column reduction of polynomial matrices**, *Linear Algebra and its Applications* 188–189 (1993), 569–589.  
   DOI: 10.1016/0024-3795(93)90480-C

3. G. D. Forney, classical minimal-basis / Predictable Degree Property theory for one-variable polynomial matrices.

4. Andrii Dmytryshyn, Froilán M. Dopico, Paul Van Dooren, **Minimal rank factorizations of polynomial matrices**, *Linear Algebra and its Applications* 721 (2025), 736–774.  
   DOI: 10.1016/j.laa.2025.01.009

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**ACTM Round 15 完**