# ACTM Round 14
## BADT$_2$ 線性矩陣的 Rank-$5$ 全域 Support-Visibility No-Go
### A Global Rank-$5$ Support-Visibility No-Go for Linear Matrices on BADT$_2$

**研究計畫：** Algebraic Combinatorial Transcendence Methodology（ACTM）  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-02  
**版本：** Round 14 / v0.1  
**文件性質：** 正式研究筆記／computer-assisted finite case theorem  
**狀態聲明：** 本輪不宣稱證明 Four Exponentials Conjecture 或 BADT$_2$ 不可能。本輪將 Round 11–13 的 support-visibility 方法提升至 normal rank $5$，證明 BADT$_2$ toric support 上不存在 rank-$5$ linear GCDA。結合前輪，得到 normal rank $1$ 至 $5$ 的完整 linear no-go。

---

## 摘要

BADT$_2$ 的 toric chart：

$$
(X_0,X_1,X_2,X_3)
=
u(1,v,v^2,v^4)
$$

把任意 rational-linear-entry matrix：

$$
M(X)
=
X_0A_0+X_1A_1+X_2A_2+X_3A_3
$$

化為：

$$
M(u,v)
=
uN(v),
$$

其中：

$$
\boxed{
N(v)
=
A_0+vA_1+v^2A_2+v^4A_3.
}
$$

因此所有 entries 都位於：

$$
\boxed{
W
=
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}.
}
$$

Round 13 已建立：

$$
R_{\mathrm{SV}}(W)\ge4.
$$

Round 14 對 normal rank：

$$
r=5
$$

完成完整 exact finite screening。

若不存在 constant rational left/right kernel，polynomial minimal-basis degrees：

$$
0
\le
\delta_1
\le
\cdots
\le
\delta_5
\le4
$$

使：

$$
m,n\le25.
$$

degree tuples 共：

$$
\binom{9}{5}
=
126.
$$

只保留 Waldschmidt–Masser strict region：

$$
5
<
\frac{mn}{m+n}.
$$

完整 finite universe 共：

$$
\boxed{
40{,}698
}
$$

個 degree/size configurations。

一般 bounds 先分類：

| 類別 | case 數 |
|---|---:|
| constant rational left kernel | $23{,}360$ |
| constant rational right kernel | $16{,}803$ |
| general Submodule Visibility Lemma | $523$ |
| equality degree-$1$ cluster | $7$ |
| equality mixed $(1,1,2,2,4)$ | $1$ |
| transpose reduction | $4$ |
| unresolved | $\boxed{0}$ |

因此得到：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}
\left(
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}
\right)
\ge5.
}
$$

結合 Round 11–13：

$$
\boxed{
\text{no normal-rank }1\le r\le5
\text{ linear GCDA exists over BADT}_2.
}
$$

---

# 1. Main theorem

## Theorem R14.1 — Rank-$5$ Support-Visibility Theorem

令：

$$
N(v)
\in
M_{m\times n}(\mathbb Q[v])
$$

且：

$$
N_{ij}(v)
\in
W
=
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}.
$$

假設：

$$
\operatorname{rank}_{\mathbb Q(v)}N
=
5.
$$

若：

$$
\boxed{
5
<
\frac{mn}{m+n},
}
$$

則存在：

$$
P\in\operatorname{GL}_m(\mathbb Q),
\qquad
Q\in\operatorname{GL}_n(\mathbb Q)
$$

使：

$$
PNQ
$$

含有：

$$
m'\times n'
$$

zero block，且：

$$
\boxed{
\frac{m'}m+\frac{n'}n>1.
}
$$

因此不存在 rank-$5$ linear GCDA。

---

# 2. Polynomial minimal-basis setup

取 column-reduced minimal basis：

$$
U(v)
=
\begin{pmatrix}
u_1(v)&\cdots&u_5(v)
\end{pmatrix}
$$

與：

$$
V(v)
$$

使：

$$
\boxed{
N=UV.
}
$$

令：

$$
\delta_i
=
\deg u_i.
$$

Round 12 的 Predictable Degree argument 給：

$$
\boxed{
0\le\delta_i\le4.
}
$$

---

# 3. Multiplier domain

每個 $V$ column：

$$
f=(f_1,\ldots,f_5)^T
$$

滿足：

$$
\deg f_i
\le
4-\delta_i.
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathcal F_\delta
=
\bigoplus_{i=1}^{5}
\mathbb Q[v]_{\le4-\delta_i},
}
$$

且：

$$
\boxed{
\dim_{\mathbb Q}\mathcal F_\delta
=
25-\sum_i\delta_i.
}
$$

---

# 4. Missing-cubic map

因 matrix entries 不含：

$$
v^3,
$$

定義：

$$
T_3:
\mathcal F_\delta
\to
\mathbb Q^m,
$$

$$
T_3(f)
=
[v^3](Uf).
$$

所有實際 coefficient columns 都落在：

$$
\boxed{
\mathcal A_\delta
=
\ker T_3.
}
$$

---

# 5. Active coefficient pattern

對 degree：

$$
\delta\in\{0,1,2,3,4\},
$$

active indices 為：

$$
I_\delta
=
\left\{
k:
\max(0,\delta-1)
\le k
\le
\min(\delta,3)
\right\}.
$$

所以：

| $\delta$ | active count | inactive count |
|---:|---:|---:|
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $2$ | $0$ |
| $2$ | $2$ | $1$ |
| $3$ | $2$ | $2$ |
| $4$ | $1$ | $4$ |

---

# 6. Finite-size reduction

若沒有 constant rational left kernel：

$$
m
\le
\sum_i(\delta_i+1)
\le25.
$$

若沒有 constant rational right kernel：

$$
n
\le
\dim\mathcal A_\delta
\le
\dim\mathcal F_\delta
\le25.
$$

所以：

$$
\boxed{
m,n\le25.
}
$$

因此 rank-$5$ universe 完全有限。

---

# 7. General active-span bound

定義 inactive coefficient總數：

$$
I(\delta)
=
\sum_i
\left(
\delta_i+1-|I_{\delta_i}|
\right).
$$

若全部 minimal-basis coefficient vectors span：

$$
\mathbb Q^m,
$$

則：

$$
\operatorname{rank}T_3
\ge
m-I(\delta).
$$

又因所有：

$$
\delta_i\le3
$$

的 leading vectors active 且 Q-linearly independent：

$$
\operatorname{rank}T_3
\ge
\#
\{i:\delta_i\le3\}.
$$

所以：

$$
\boxed{
L(\delta,m)
=
\max
\left(
m-I(\delta),
\#
\{i:\delta_i\le3\}
\right)
}
$$

是 universal lower bound。

---

# 8. Admissible-space upper bound

因此：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A_\delta
\le
A_{\max}
=
25
-
\sum_i\delta_i
-
L(\delta,m).
}
$$

若：

$$
A_{\max}<n,
$$

立刻有 constant rational right kernel。

---

# 9. General Submodule Visibility Lemma

對：

$$
J
\subseteq
\{1,\ldots,5\},
$$

定義：

$$
\mathcal F_J
=
\bigoplus_{i\in J}
\mathbb Q[v]_{\le4-\delta_i}.
$$

令：

$$
C_J
=
\sum_{i\in J}(5-\delta_i)
-
\sum_{i\in J}|I_{\delta_i}|.
$$

則：

$$
\dim
\left(
\mathcal A_\delta
\cap
\mathcal F_J
\right)
\ge
C_J.
$$

而其 image coefficient row-space dimension 至多：

$$
s_J
=
\sum_{i\in J}(\delta_i+1).
$$

若沒有 constant right kernel，實際 $V$ columns span一個 $n$ 維 subspace：

$$
F_V
\subseteq
\mathcal A_\delta.
$$

Grassmann inequality 得：

$$
k_J
\ge
n+C_J-A_{\max}.
$$

因此可得到至少：

$$
\boxed{
(m-s_J)
\times
k_J
}
$$

rational zero block。

若：

$$
\frac{m-s_J}{m}
+
\frac{k_J}{n}
>
1,
$$

case 完成。

---

# 10. Rank-$5$ finite universe

degree tuples：

$$
0\le
\delta_1
\le
\cdots
\le
\delta_5
\le4
$$

共：

$$
126.
$$

矩陣尺寸：

$$
6\le m,n\le25.
$$

保留：

$$
5
<
\frac{mn}{m+n}.
$$

總 configurations：

$$
\boxed{
40{,}698.
}
$$

---

# 11. General screening results

一般 rules 直接處理：

$$
\boxed{
23{,}360
}
$$

個 constant-left-kernel cases。

另有：

$$
\boxed{
16{,}803
}
$$

個 constant-right-kernel cases。

另有：

$$
\boxed{
523
}
$$

個由 Submodule Visibility Lemma 直接處理。

只剩：

$$
\boxed{
12
}
$$

個 conservative-bound exceptional configurations。

---

# 12. Transpose reduction

Theorem R14.1 的結論對 transpose 完全對稱。

若：

$$
N
$$

為：

$$
m\times n
$$

matrix，則：

$$
N^T
$$

仍為同一 support：

$$
W
$$

中的：

$$
n\times m
$$

matrix，而且 normal rank不變。

rational zero block：

$$
m'\times n'
$$

transpose 後成：

$$
n'\times m',
$$

visibility：

$$
\frac{m'}m+\frac{n'}n
$$

也不變。

所以只需手工處理：

$$
m\le n
$$

的 exceptional cases。

剩餘：

$$
m>n
$$

者全部由已完成的 transposed dimension theorem處理。

---

# 13. Eight non-transpose exceptional cases

$m\le n$ 時只剩：

$$
(9,12;(1,1,1,1,4)),
$$

$$
(9,12;(1,1,1,2,4)),
$$

$$
(10,11;(1,1,1,1,4)),
$$

$$
(10,11;(1,1,1,2,4)),
$$

$$
(10,11;(1,1,1,3,4)),
$$

$$
(10,11;(1,1,1,4,4)),
$$

$$
(10,11;(1,1,2,2,4)),
$$

$$
(11,11;(1,1,1,4,4)).
$$

其中七個由同一個 degree-$1$ cluster lemma 處理。

唯一不同的是：

$$
(10,11;(1,1,2,2,4)).
$$

---

# 14. Equality saturation

這八個 cases 都滿足：

$$
A_{\max}=n.
$$

若沒有 constant right kernel，$V$ 的 $n$ 個 columns Q-independent，所以：

$$
\dim\mathcal A_\delta\ge n.
$$

結合：

$$
\dim\mathcal A_\delta\le A_{\max}=n,
$$

得到：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A_\delta=n.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
F_V=\mathcal A_\delta.
}
$$

並且：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}T_3
=
\dim\mathcal F_\delta-n.
}
$$

也就是 active coefficient span被迫精確達到其 lower bound。

這是本輪特殊 cases 的核心 equality rigidity。

---

# 15. Degree-$1$ Cluster Lemma

假設 degree tuple中有：

$$
k
$$

個 degree-$1$ minimal-basis columns。

令：

$$
J
$$

為這些 columns 的 index set。

每個 degree-$1$ basis column：

$$
u_i(v)=a_i+b_iv
$$

的兩個 coefficients 都是 active。

所以 $J$ 的全部 coefficient vectors 都落在 global active span：

$$
S_{\mathrm{act}}.
$$

若：

$$
a
=
\dim S_{\mathrm{act}}
=
\operatorname{rank}T_3,
$$

則：

$$
\dim
U\mathcal A_J
\le a.
$$

另一方面：

$$
\dim\mathcal F_J=4k,
$$

且：

$$
\operatorname{rank}
(T_3|_{\mathcal F_J})
\le a,
$$

所以：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A_J
\ge
4k-a.
}
$$

因：

$$
F_V=\mathcal A_\delta,
$$

這整個 subspace 都可由 rational column combinations實現。

所以得到：

$$
\boxed{
(m-a)
\times
(4k-a)
}
$$

rational zero block。

---

# 16. Seven degree-$1$ exceptional cases

各 case 的：

$$
a
=
\dim\mathcal F_\delta-n
$$

及 zero block如下。

| $(m,n;\delta)$ | $a$ | $k$ | zero block | visibility |
|---|---:|---:|---:|---:|
| $(9,12;1,1,1,1,4)$ | $5$ | $4$ | $4\times11$ | $49/36$ |
| $(9,12;1,1,1,2,4)$ | $4$ | $3$ | $5\times8$ | $11/9$ |
| $(10,11;1,1,1,1,4)$ | $6$ | $4$ | $4\times10$ | $72/55$ |
| $(10,11;1,1,1,2,4)$ | $5$ | $3$ | $5\times7$ | $25/22$ |
| $(10,11;1,1,1,3,4)$ | $4$ | $3$ | $6\times8$ | $73/55$ |
| $(10,11;1,1,1,4,4)$ | $3$ | $3$ | $7\times9$ | $167/110$ |
| $(11,11;1,1,1,4,4)$ | $3$ | $3$ | $8\times9$ | $17/11$ |

全部：

$$
\boxed{
\text{visibility}>1.
}
$$

因此七個 cases全部完成。

---

# 17. Mixed exceptional case

現在考慮：

$$
\boxed{
m=10,
\quad
n=11,
\quad
\delta=(1,1,2,2,4).
}
$$

有：

$$
\dim\mathcal F
=
4+4+3+3+1
=
15.
$$

equality saturation給：

$$
\dim\mathcal A=11,
$$

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}T_3=4.
}
$$

---

# 18. Active span is exactly four-dimensional

前四個 basis columns degrees：

$$
1,1,2,2.
$$

它們的 leading coefficient vectors全部 active。

column-reducedness 保證這四個 leading vectors Q-linearly independent。

所以：

$$
\operatorname{rank}T_3\ge4.
$$

而上一節已知：

$$
\operatorname{rank}T_3=4.
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{所有 active coefficient vectors都落在同一個四維空間 }S.
}
$$

---

# 19. Mixed submodule dimension

取：

$$
J=\{1,2,3,4\},
$$

即 degrees：

$$
1,1,2,2.
$$

其 multiplier-domain dimension：

$$
4+4+3+3
=
14.
$$

$v^3$ map image維度至多：

$$
4.
$$

所以：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A_J
\ge
14-4
=
10.
}
$$

因：

$$
F_V=\mathcal A,
$$

這十維 subspace 都可由 rational column combinations實現。

---

# 20. Mixed image row-space

degree-$1$ columns沒有 inactive coefficients。

每個 degree-$2$ column只有一個 inactive constant coefficient。

所以前四個 basis columns的全部 coefficient vectors都位於：

$$
S
+
\operatorname{span}
\{c_3,c_4\},
$$

其 dimension至多：

$$
4+2=6.
$$

因此 image row-space dimension：

$$
\le6.
$$

在：

$$
\mathbb Q^{10}
$$

中 rational annihilator dimension至少：

$$
4.
$$

---

# 21. Mixed zero block

所以得到：

$$
\boxed{
4\times10
}
$$

rational zero block。

visibility：

$$
\frac4{10}
+
\frac{10}{11}
=
\frac{72}{55}
>
1.
$$

因此：

$$
\boxed{
(10,11;(1,1,2,2,4))
}
$$

完成。

---

# 22. Four transpose exceptional cases

剩餘四個原始 unresolved orientations：

$$
(11,10;(1,1,1,4,4)),
$$

$$
(12,9;(1,1,2,4,4)),
$$

$$
(12,9;(2,2,2,2,4)),
$$

$$
(14,8;(2,2,2,4,4)).
$$

其 transpose 尺寸：

$$
10\times11,
$$

$$
9\times12,
$$

$$
9\times12,
$$

$$
8\times14
$$

皆屬於前面已完整處理的 $m\le n$ dimension classes。

注意：

transpose 後的 column minimal-basis degree tuple未必等於原 tuple。

但這不重要，因為 transposed dimension theorem 已經對該尺寸的**所有可能 degree tuples**完成 finite screening與特殊案例處理。

因此四個 orientations 全部完成。

---

# 23. Round 14 exact case counts

完整 classification：

$$
\boxed{
40{,}698
}
$$

cases。

具體：

$$
23{,}360
$$

left-kernel cases，

$$
16{,}803
$$

right-kernel cases，

$$
523
$$

general subset-visibility cases，

$$
7
$$

degree-$1$ equality-cluster cases，

$$
1
$$

mixed equality case，

$$
4
$$

transpose reductions。

總和：

$$
23{,}360
+
16{,}803
+
523
+
7
+
1
+
4
=
\boxed{
40{,}698.
}
$$

unresolved：

$$
\boxed{
0.
}
$$

---

# 24. Corollary R14.2 — Rank-$\le5$ Global No-Go

Round 11–13 已處理：

$$
r\le4.
$$

本輪處理：

$$
r=5.
$$

所以對任何：

$$
N(v)
\in
M_{m\times n}(W),
$$

其中：

$$
W
=
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\},
$$

若：

$$
1\le
r
=
\operatorname{rank}_{\mathbb Q(v)}N
\le5
$$

且：

$$
r
<
\frac{mn}{m+n},
$$

則必有 large rational zero block。

因此：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}(W)\ge5.
}
$$

---

# 25. ACTM interpretation

BADT$_2$ 的 linear-coordinate support只有：

$$
\{0,1,2,4\}.
$$

缺失：

$$
v^3
$$

造成：

$$
T_3
$$

這個 linear constraint。

Round 11–14 顯示這一個 support defect已足以連續排除：

$$
\boxed{
r=1,2,3,4,5
}
$$

五個 normal-rank layers 的 hidden low-rank matrix projection。

因此目前已得到：

$$
\boxed{
\text{one missing monomial}
\Longrightarrow
\text{five complete layers of support-visibility rigidity}.
}
$$

---

# 26. 為什麼 equality cases 越來越重要

當 general conservative bound不再 strict crossing visibility threshold時，不代表 genuine candidate 出現。

本輪所有八個非-transpose exceptions都滿足：

$$
A_{\max}=n.
$$

no-right-kernel迫使：

$$
\dim\mathcal A=n.
$$

所以所有 upper/lower dimension bounds同步取等號。

這反而讓 active coefficient span變得更剛性，最終製造比 general bound更大的 exact zero block。

因此：

$$
\boxed{
\text{boundary equality}
}
$$

目前仍然是：

$$
\boxed{
\text{extra rigidity},
}
$$

而不是：

$$
\boxed{
\text{escape route}.
}
$$

---

# 27. Next normal rank

若線性 GCDA 路線仍有 hidden candidate，其 normal rank 必至少：

$$
\boxed{
6.
}
$$

Waldschmidt–Masser strict region：

$$
6
<
\frac{mn}{m+n}
$$

等價於：

$$
\boxed{
(m-6)(n-6)>36.
}
$$

若沒有 constant kernels，仍有：

$$
m,n\le5r=30.
$$

degree tuples：

$$
0\le
\delta_1
\le\cdots\le
\delta_6
\le4
$$

共有：

$$
\binom{10}{6}
=
\boxed{
210
}
$$

種。

所以 rank-$6$ 仍然完全 finite-screenable。

---

# 28. A broader emerging conjecture

目前：

$$
R_{\mathrm{SV}}(W)\ge5.
$$

自然提出：

> 是否其實對：
>
> $$
> W=\operatorname{span}_{\mathbb Q}\{1,v,v^2,v^4\},
> $$
>
> 所有 normal ranks 都有：
>
> $$
> \boxed{
> r<\frac{mn}{m+n}
> \Rightarrow
> \text{large rational zero block}?
> }
> $$

若成立，這會是一個完整的 BADT-support-specific Waldschmidt–Masser visibility theorem，而不只是 finite-rank partial result。

本輪暫稱：

**BADT Linear Support Visibility Conjecture（BLSVC）**。

---

# 29. BLSVC

## Conjecture

對任意：

$$
m,n,r,
$$

若：

$$
N(v)
\in
M_{m\times n}(W),
$$

$$
W
=
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\},
$$

且：

$$
r
=
\operatorname{rank}_{\mathbb Q(v)}N
<
\frac{mn}{m+n},
$$

則存在 rational row/column changes，使 $N$ 出現：

$$
m'\times n'
$$

zero block，且：

$$
\frac{m'}m+\frac{n'}n>1.
$$

目前已證：

$$
\boxed{
\text{BLSVC holds for }r\le5.
}
$$

---

# 30. 若 BLSVC 最終成立

那麼 BADT$_2$ 無法被任何 rational-linear matrix amplifier + Waldschmidt–Masser theorem 排除。

換句話說，整條 linear GCDA strategy 都會被封死。

這會迫使研究真正轉向：

- nonlinear matrix entries；
- higher support auxiliary polynomials；
- Matrix Coefficient Conjecture；
- Roy-type algebraic geometry；
- 或直接的 transcendence / period argument。

所以繼續 rank-$6$ screening 的價值，不只是往上推一個數字，而是在測試 BLSVC 是否可能成為一般定理。

---

# 31. Round 14 判定

**PASS — Global rank-$5$ linear-GCDA no-go established; BADT$_2$ support-visibility threshold is at least $5$**

本輪完成：

1. 將 exact finite-screening framework推廣到：
   $$
   r=5.
   $$

2. 建立：
   $$
   m,n\le25.
   $$

3. 枚舉：
   $$
   126
   $$
   degree tuples。

4. 驗證：
   $$
   40{,}698
   $$
   strict configurations。

5. 
   $$
   23{,}360
   $$
   由 constant left kernel 處理。

6. 
   $$
   16{,}803
   $$
   由 constant right kernel 處理。

7. 
   $$
   523
   $$
   由 general Submodule Visibility Lemma 處理。

8. 發現：
   $$
   12
   $$
   conservative-bound exceptions。

9. 以 transpose reduction 將其中：
   $$
   4
   $$
   個 orientations消去。

10. 對七個 degree-$1$ cluster cases證明 exact zero blocks。

11. 對：
    $$
    (10,11;(1,1,2,2,4))
    $$
    證明：
    $$
    4\times10
    $$
    zero block。

12. unresolved：
    $$
    \boxed{0}.
    $$

13. 得到：
    $$
    \boxed{
    R_{\mathrm{SV}}(W)\ge5.
    }
    $$

14. 提出 BADT Linear Support Visibility Conjecture（BLSVC）。

---

# 32. Round 15 正式入口

Round 15 有兩條合理選擇。

## Route A：繼續 finite hierarchy

直接進：

$$
r=6.
$$

- degree tuples：
  $$
  210;
  $$
- no-kernel dimensions：
  $$
  m,n\le30;
  $$
- exact screening；
- equality-rigidity analysis。

優點：可直接測 BLSVC 是否繼續成立。

---

## Route B：嘗試一般 proof

Round 11–14 已有足夠 pattern，可以開始尋找：

$$
\boxed{
\text{all-rank proof of BLSVC}.
}
$$

核心可能從：

1. active/inactive coefficient count；
2. minimal-basis degree partition；
3. missing-cubic map；
4. submodule Grassmann visibility；
5. equality saturation；

建立一般 combinatorial inequality。

如果能證：

$$
R_{\mathrm{SV}}(W)=\infty,
$$

便可一次終止所有 linear GCDA search。

---

# 33. 一句話結論

> **Rank $5$ 仍然沒有形成 BADT$_2$ 的 hidden linear determinantal escape route：40,698 個 strict configurations 全部被 constant kernels、general support visibility、equality saturation 或 transpose symmetry 關閉。**

因此：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}
\left(
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}
\right)
\ge5.
}
$$

目前最重要的新問題已不只是：

$$
r=6?
$$

而是：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}(W)
\stackrel{?}{=}
\infty.
}
$$

---

# 參考資料

1. Samit Dasgupta, **Ranks of matrices of logarithms of algebraic numbers I: the theorems of Baker and Waldschmidt–Masser**, *Essential Number Theory* 2 (2023), 93–138.  
   Waldschmidt–Masser theorem uses:
   $$
   \operatorname{rank}(M)
   <
   \frac{mn}{m+n},
   $$
   and concludes the existence, after rational basis changes, of a zero block satisfying:
   $$
   \frac{m'}m+\frac{n'}n>1.
   $$

2. W. H. L. Neven and C. Praagman, **Column reduction of polynomial matrices**, *Linear Algebra and its Applications* 188–189 (1993), 569–589.

3. G. D. Forney, classical minimal-basis / Predictable Degree Property framework for one-variable polynomial matrices.

4. Andrii Dmytryshyn, Froilán M. Dopico, Paul Van Dooren, **Minimal rank factorizations of polynomial matrices**, *Linear Algebra and its Applications* 721 (2025), 736–774.

5. Samit Dasgupta and Mahesh Kakde, **Ranks of Matrices of Logarithms of Algebraic Numbers II: The Matrix Coefficient Conjecture**, *Advances in Mathematics* 487 (2026), 110753.

---

**ACTM Round 14 完**