# ACTM Round 13
## BADT$_2$ 線性矩陣的 Rank-$4$ 全域 Support-Visibility No-Go
### A Global Rank-$4$ Support-Visibility No-Go for Linear Matrices on BADT$_2$

**研究計畫：** Algebraic Combinatorial Transcendence Methodology（ACTM）  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-02  
**版本：** Round 13 / v0.1  
**文件性質：** 正式研究筆記／computer-assisted finite case theorem  
**狀態聲明：** 本輪不宣稱證明 Four Exponentials Conjecture 或 BADT$_2$ 不可能。本輪將 Round 12 的 support-visibility 方法提升到 normal rank $4$，並證明：對 BADT$_2$ toric support 上所有 rational-linear-entry matrices，只要 normal rank 為 $4$ 且已進入 Waldschmidt–Masser strict rank region，矩陣必具有 sufficiently large rational zero block。因此 rank-$1,2,3,4$ 的 linear GCDA 路線全部排除。

---

## 摘要

BADT$_2$ 在 toric chart：

$$
X_0\neq0
$$

上可寫為：

$$
(X_0,X_1,X_2,X_3)
=
u(1,v,v^2,v^4).
$$

因此任意 rational-linear-entry matrix：

$$
M(X)
=
X_0A_0
+
X_1A_1
+
X_2A_2
+
X_3A_3
$$

限制到 BADT$_2$ 後成為：

$$
M(u,v)
=
uN(v),
$$

其中：

$$
\boxed{
N(v)
=
A_0+vA_1+v^2A_2+v^4A_3.
}
$$

所以所有 matrix entries 都位於：

$$
\boxed{
W
=
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}.
}
$$

Round 12 已證：

$$
R_{\mathrm{SV}}(W)\ge3,
$$

亦即所有 normal rank：

$$
r\le3
$$

且滿足：

$$
r<\frac{mn}{m+n}
$$

的 $W$-supported matrices 都已 rationally visible。

Round 13 對：

$$
r=4
$$

完成同樣的全域 finite screening。

若矩陣沒有 constant rational left / right kernel，polynomial minimal-basis degrees：

$$
0\le
\delta_1\le\delta_2\le\delta_3\le\delta_4\le4
$$

使矩陣尺寸自動受限於：

$$
m,n\le20.
$$

總共有：

$$
\binom{8}{4}
=
70
$$

個 degree tuples。

再對全部：

$$
m,n\le20
$$

且：

$$
4
<
\frac{mn}{m+n}
$$

的 strict cases進行 exact rational screening，共得到：

$$
\boxed{
14{,}420
}
$$

個 degree/size configurations。

分類結果：

| 類別 | case 數 |
|---|---:|
| constant left kernel | $8{,}238$ |
| constant right kernel | $5{,}992$ |
| general Submodule Visibility Lemma | $186$ |
| special $(7,10;(1,1,1,4))$ | $1$ |
| special $(8,9;(1,1,1,4))$ | $1$ |
| special $(8,9;(1,1,2,4))$ | $1$ |
| special $(10,7;(2,2,2,4))$ | $1$ |
| unresolved | $\boxed{0}$ |

因此得到：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}
\left(
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}
\right)
\ge4.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{no normal-rank }r\le4
\text{ linear GCDA exists over the BADT}_2\text{ support}.
}
$$

---

# 1. Main theorem

## Theorem R13.1 — Rank-$4$ Support-Visibility Theorem

令：

$$
N(v)
\in
M_{m\times n}(\mathbb Q[v])
$$

且每個 entry 滿足：

$$
N_{ij}(v)
\in
W
=
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}.
$$

假設：

$$
\operatorname{rank}_{\mathbb Q(v)}N
=
4.
$$

若：

$$
\boxed{
4
<
\frac{mn}{m+n},
}
$$

則存在：

$$
P\in\operatorname{GL}_m(\mathbb Q),
\qquad
Q\in\operatorname{GL}_n(\mathbb Q)
$$

使：

$$
PNQ
$$

含有：

$$
m'\times n'
$$

zero block，且：

$$
\boxed{
\frac{m'}m+\frac{n'}n>1.
}
$$

因此不存在 rank-$4$ linear GCDA。

---

# 2. 與 Round 12 共用的 polynomial-minimal-basis setup

取 column-reduced polynomial minimal basis：

$$
U(v)
=
\begin{pmatrix}
u_1(v)&u_2(v)&u_3(v)&u_4(v)
\end{pmatrix}
$$

使：

$$
N=UV.
$$

令：

$$
\delta_i
=
\deg u_i,
$$

排序：

$$
0\le
\delta_1
\le
\delta_2
\le
\delta_3
\le
\delta_4.
$$

由 Round 12 的 degree lemma：

$$
\boxed{
0\le\delta_i\le4.
}
$$

---

# 3. Multiplier domain

Predictable Degree Property 給：

$$
\deg f_i
\le
4-\delta_i.
$$

所以：

$$
\boxed{
\mathcal F_\delta
=
\bigoplus_{i=1}^{4}
\mathbb Q[v]_{\le4-\delta_i}.
}
$$

其維度：

$$
\boxed{
F_\delta
=
20
-
\sum_{i=1}^{4}\delta_i.
}
$$

---

# 4. Missing-cubic map

定義：

$$
T_3:
\mathcal F_\delta
\longrightarrow
\mathbb Q^m,
$$

$$
T_3(f)
=
[v^3](Uf).
$$

所有實際 $V$ columns 都位於：

$$
\boxed{
\mathcal A_\delta
=
\ker T_3.
}
$$

---

# 5. Active coefficient index

對一個 degree-$\delta$ minimal-basis column：

$$
u(v)
=
\sum_{k=0}^{\delta}
u_kv^k,
$$

其 coefficient：

$$
u_k
$$

能對 $v^3$ coefficient 產生貢獻當且僅當：

$$
0
\le
3-k
\le
4-\delta.
$$

所以 active indices：

$$
I_\delta
=
\left\{
k:
\max(0,\delta-1)
\le
k
\le
\min(\delta,3)
\right\}.
$$

具體：

| $\delta$ | active indices | active count | inactive count |
|---:|---|---:|---:|
| $0$ | $\{0\}$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $\{0,1\}$ | $2$ | $0$ |
| $2$ | $\{1,2\}$ | $2$ | $1$ |
| $3$ | $\{2,3\}$ | $2$ | $2$ |
| $4$ | $\{3\}$ | $1$ | $4$ |

---

# 6. Constant-kernel bounds

若沒有 constant rational left kernel，所有 minimal-basis coefficient vectors 必張成：

$$
\mathbb Q^m.
$$

因此：

$$
m
\le
\sum_i(\delta_i+1)
\le
20.
$$

所以：

$$
\boxed{
m\le20.
}
$$

若沒有 constant rational right kernel，$V$ 的 $n$ columns 必為：

$$
\mathcal A_\delta
$$

中的 Q-independent vectors。

因此：

$$
n
\le
\dim\mathcal A_\delta
\le
\dim\mathcal F_\delta
\le
20.
$$

所以：

$$
\boxed{
n\le20.
}
$$

故 rank-$4$ 全域問題再次化為有限 universe。

---

# 7. Active-span lower bound

定義 inactive vector總數：

$$
I(\delta)
=
\sum_i
\left(
\delta_i+1-|I_{\delta_i}|
\right).
$$

若全部 coefficient vectors span：

$$
m,
$$

active span 至少：

$$
m-I(\delta).
$$

另外所有：

$$
\delta_i\le3
$$

的 leading vectors都是 active，且因 column-reducedness 彼此線性獨立。

故：

$$
\boxed{
a
=
\operatorname{rank}T_3
\ge
L(\delta,m)
=
\max
\left(
m-I(\delta),
\#
\{i:\delta_i\le3\}
\right).
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A_\delta
\le
A_{\max}
=
20
-
\sum_i\delta_i
-
L(\delta,m).
}
$$

---

# 8. Immediate right-kernel test

若：

$$
A_{\max}<n,
$$

則不可能有：

$$
n
$$

個 Q-independent $V$ columns。

因此存在 nonzero constant rational right kernel。

這給：

$$
m\times1
$$

zero block，而：

$$
1+\frac1n>1.
$$

所以 case 完成。

---

# 9. Submodule Visibility Lemma

對 index subset：

$$
J
\subseteq
\{1,2,3,4\},
$$

定義：

$$
\mathcal F_J
=
\bigoplus_{i\in J}
\mathbb Q[v]_{\le4-\delta_i}.
$$

令：

$$
C_J
=
\dim\mathcal F_J
-
\sum_{i\in J}|I_{\delta_i}|.
$$

則：

$$
\boxed{
\dim
(
\mathcal A_\delta
\cap
\mathcal F_J
)
\ge
C_J.
}
$$

另一方面 $U\mathcal F_J$ 的所有 coefficient vectors位於：

$$
S_J
=
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{u_{i,k}:i\in J\},
$$

所以：

$$
\boxed{
\dim S_J
\le
s_J
=
\sum_{i\in J}(\delta_i+1).
}
$$

---

# 10. Grassmann intersection

若沒有 constant right kernel，實際 $V$ column span：

$$
F_V
$$

dimension：

$$
n.
$$

又：

$$
F_V\subseteq\mathcal A_\delta.
$$

因此：

$$
\dim
\left(
F_V
\cap
\mathcal A_J
\right)
\ge
n+C_J-A_{\max}.
$$

定義：

$$
\boxed{
k_J
=
\max
\left(
0,
n+C_J-A_{\max}
\right).
}
$$

則可找到至少：

$$
k_J
$$

個 rational column combinations，其 images 都落在：

$$
S_J.
$$

---

# 11. Zero-block visibility

$S_J$ 的 rational annihilator dimension 至少：

$$
m-s_J.
$$

因此得到 zero block：

$$
\boxed{
(m-s_J)
\times
k_J.
}
$$

若：

$$
\boxed{
\frac{m-s_J}{m}
+
\frac{k_J}{n}
>
1,
}
$$

該 case 完成。

Round 13 verifier 對所有：

$$
J\neq\varnothing
$$

計算此 bound。

---

# 12. Finite universe

rank-$4$ degree tuples：

$$
0
\le
\delta_1
\le
\delta_2
\le
\delta_3
\le
\delta_4
\le4.
$$

共有：

$$
\boxed{
70
}
$$

種。

矩陣尺寸只需：

$$
5
\le
m,n
\le20,
$$

且 strict rank condition：

$$
4
<
\frac{mn}{m+n}.
$$

完整 finite universe：

$$
\boxed{
14{,}420
}
$$

cases。

---

# 13. Automatic classification counts

exact screening 得：

$$
\boxed{
8{,}238
}
$$

cases 因：

$$
\sum_i(\delta_i+1)<m
$$

直接有 constant rational left kernel。

另有：

$$
\boxed{
5{,}992
}
$$

cases 因：

$$
A_{\max}<n
$$

直接有 constant rational right kernel。

另有：

$$
\boxed{
186
}
$$

cases 由 general Submodule Visibility Lemma 直接產生：

$$
\frac{m'}m+\frac{n'}n>1
$$

的大 rational zero block。

剩下：

$$
\boxed{
4
}
$$

個 conservative-bound equalities。

---

# 14. 四個 exceptional configurations

只剩：

$$
\boxed{
(7,10;(1,1,1,4)),
}
$$

$$
\boxed{
(8,9;(1,1,1,4)),
}
$$

$$
\boxed{
(8,9;(1,1,2,4)),
}
$$

$$
\boxed{
(10,7;(2,2,2,4)).
}
$$

以下逐一解決。

---

# 15. Special Case A

$$
\boxed{
m=7,
\quad
n=10,
\quad
\delta=(1,1,1,4).
}
$$

此時：

$$
\dim\mathcal F
=
4+4+4+1
=
13.
$$

inactive coefficient vectors全部來自 degree-$4$ basis column，共：

$$
4
$$

個。

no-left-kernel 要求全部 coefficients span：

$$
\mathbb Q^7.
$$

所以 active span 至少：

$$
7-4=3.
$$

前三個 degree-$1$ basis columns 的 leading vectors active 且獨立，故 active rank 至少 $3$。

---

# 16. Active rank 被迫等於 $3$

若沒有 right kernel，十個 $V$ columns Q-independent。

所以：

$$
\dim\mathcal A
\ge10.
$$

由：

$$
\dim\mathcal F=13,
$$

有：

$$
\operatorname{rank}T_3
\le3.
$$

故：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}T_3=3,
}
$$

且：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A=10.
}
$$

因此：

$$
F_V=\mathcal A.
$$

---

# 17. First-three-column submodule

取：

$$
J=\{1,2,3\}.
$$

這三個 degree-$1$ basis columns 的所有 coefficients都是 active。

而其 leading vectors獨立，所以它們全部 coefficients span的 active space維度正好：

$$
3.
$$

其 multiplier domain dimension：

$$
4+4+4=12.
$$

故：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A_J
=
12-3
=
9.
}
$$

---

# 18. Special A zero block

因：

$$
F_V=\mathcal A,
$$

整個：

$$
\mathcal A_J
$$

都由 rational column combinations實現。

其 images落在：

$$
3
$$

維 rational row-space。

在：

$$
\mathbb Q^7
$$

中 annihilator dimension：

$$
4.
$$

因此得到：

$$
\boxed{
4\times9
}
$$

zero block。

visibility：

$$
\frac47+\frac9{10}
=
\frac{103}{70}
>
1.
$$

Special A 完成。

---

# 19. Special Case B

$$
\boxed{
m=8,
\quad
n=9,
\quad
\delta=(1,1,1,4).
}
$$

同樣：

$$
\dim\mathcal F=13.
$$

inactive coefficient vectors：

$$
4.
$$

no-left-kernel 給 active rank至少：

$$
8-4=4.
$$

no-right-kernel 給：

$$
\dim\mathcal A\ge9,
$$

所以：

$$
\operatorname{rank}T_3\le4.
$$

故：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}T_3=4,
}
$$

$$
\boxed{
\dim\mathcal A=9.
}
$$

因此：

$$
F_V=\mathcal A.
$$

---

# 20. Special B first-three submodule

再次取前三個 degree-$1$ basis columns。

令它們 coefficient span dimension：

$$
a.
$$

因其三個 leading vectors獨立：

$$
3\le a\le4.
$$

其 domain dimension：

$$
12.
$$

所以：

$$
\dim\mathcal A_J
=
12-a.
$$

而 image row-space dimension：

$$
a.
$$

故 zero block至少：

$$
\boxed{
(8-a)
\times
(12-a).
}
$$

對：

$$
a=3
$$

visibility：

$$
\frac58+\frac99
>
1.
$$

對：

$$
a=4
$$

visibility：

$$
\frac48+\frac89
=
\frac{25}{18}
>
1.
$$

所以所有可能 $a$ 都完成。

---

# 21. Special Case C

$$
\boxed{
m=8,
\quad
n=9,
\quad
\delta=(1,1,2,4).
}
$$

此時：

$$
\dim\mathcal F
=
4+4+3+1
=
12.
$$

inactive vector counts：

$$
0+0+1+4=5.
$$

no-left-kernel 給：

$$
\operatorname{rank}T_3
\ge
8-5=3.
$$

前三個 basis columns 的 leading vectors active 且 independent，所以同樣至少 $3$。

no-right-kernel 要求：

$$
\dim\mathcal A\ge9,
$$

故：

$$
\operatorname{rank}T_3\le3.
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}T_3=3,
}
$$

$$
\boxed{
\dim\mathcal A=9.
}
$$

並有：

$$
F_V=\mathcal A.
$$

---

# 22. Special C first-three submodule

前三個 basis degrees：

$$
1,1,2.
$$

其 multiplier domain dimension：

$$
4+4+3=11.
$$

active coefficient span正好：

$$
3
$$

維，因三個 leading vectors independent，且 global active span也只有 $3$。

所以：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A_J=11-3=8.
}
$$

前三個 basis columns 的全部 coefficient vectors至多增加 degree-$2$ column的一個 inactive constant coefficient。

故其 image row-space dimension至多：

$$
\boxed{
4.
}
$$

---

# 23. Special C zero block

因此 rational annihilator dimension至少：

$$
8-4=4.
$$

而可取：

$$
8
$$

個 rationally independent column combinations。

得到：

$$
\boxed{
4\times8
}
$$

zero block。

visibility：

$$
\frac48+\frac89
=
\frac{25}{18}
>
1.
$$

Special C 完成。

---

# 24. Special Case D

$$
\boxed{
m=10,
\quad
n=7,
\quad
\delta=(2,2,2,4).
}
$$

此時：

$$
\dim\mathcal F
=
3+3+3+1
=
10.
$$

inactive vectors：

$$
1+1+1+4=7.
$$

no-left-kernel 給：

$$
\operatorname{rank}T_3
\ge
10-7=3.
$$

前三個 degree-$2$ leading vectors active 且 independent，所以至少 $3$。

no-right-kernel 要求：

$$
\dim\mathcal A\ge7,
$$

故：

$$
\operatorname{rank}T_3\le3.
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}T_3=3,
}
$$

$$
\boxed{
\dim\mathcal A=7.
}
$$

所以：

$$
F_V=\mathcal A.
$$

---

# 25. Special D first-three submodule

取前三個 degree-$2$ basis columns。

domain dimension：

$$
3+3+3=9.
$$

active span由三個 leading vectors張成，正好：

$$
3
$$

維。

所以：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A_J=9-3=6.
}
$$

每個 degree-$2$ basis column只有一個 inactive coefficient vector。

因此前三個 basis columns全部 coefficient span至多：

$$
3+3=6.
$$

---

# 26. Special D zero block

在：

$$
\mathbb Q^{10}
$$

中 annihilator dimension至少：

$$
10-6=4.
$$

而有：

$$
6
$$

個 rationally independent column combinations。

所以得到：

$$
\boxed{
4\times6
}
$$

zero block。

visibility：

$$
\frac4{10}+\frac67
=
\frac{44}{35}
>
1.
$$

Special D 完成。

---

# 27. Round 13 finite verification

全部：

$$
14{,}420
$$

cases 分類如下：

$$
8{,}238
+
5{,}992
+
186
+
1+1+1+1
=
14{,}420.
$$

unresolved：

$$
\boxed{
0.
}
$$

因此 Theorem R13.1 完成。

---

# 28. Rank-$\le4$ global corollary

Round 12 已證：

$$
r\le3.
$$

Round 13 新增：

$$
r=4.
$$

所以得到：

## Corollary R13.2

對任何：

$$
N(v)
\in
M_{m\times n}(W),
$$

其中：

$$
W
=
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\},
$$

若：

$$
1\le
r
=
\operatorname{rank}_{\mathbb Q(v)}N
\le4
$$

且：

$$
r
<
\frac{mn}{m+n},
$$

則必有 sufficiently large rational zero block。

因此：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}(W)\ge4.
}
$$

---

# 29. 這對 BADT$_2$ 的含義

若 BADT$_2$ 存在，且嘗試用 rational-linear coordinates：

$$
z_0,z_1,z_2,z_3
$$

建造 Waldschmidt–Masser amplifier，那麼只要 amplifier normal rank：

$$
\le4,
$$

就不可能是 hidden / invisible 的。

換句話說：

$$
\boxed{
\text{任何 linear determinantal proof route 若要超越目前 visibility rigidity，normal rank 至少要到 }5.
}
$$

---

# 30. 下一個 rank threshold

若：

$$
r=5,
$$

Waldschmidt–Masser strict condition：

$$
5
<
\frac{mn}{m+n}
$$

等價於：

$$
\boxed{
(m-5)(n-5)>25.
}
$$

若無 constant rational kernels：

$$
m,n\le25.
$$

degree tuple：

$$
0\le
\delta_1\le\cdots\le\delta_5\le4
$$

共有：

$$
\binom{9}{5}
=
\boxed{
126
}
$$

種。

所以 rank-$5$ 仍然是有限 exact-screening 問題。

---

# 31. First strict rank-$5$ frontier

純 rank inequality 的 frontier 包含：

$$
6\times31,
$$

$$
7\times18,
$$

$$
8\times14,
$$

$$
9\times12,
$$

$$
10\times11,
$$

及 transpose。

但 no-kernel bound：

$$
m,n\le25
$$

已自動排除：

$$
6\times31
$$

與：

$$
31\times6.
$$

因此真正第一批 finite frontier 從較內部尺寸開始。

最小 square：

$$
\boxed{
11\times11
}
$$

因：

$$
5<\frac{11}{2}.
$$

---

# 32. Support deficit 已經連續擋住四個 rank layers

BADT$_2$ 的 linear support是：

$$
\{0,1,2,4\}.
$$

相對 full degree-$4$ support：

$$
\{0,1,2,3,4\},
$$

只缺：

$$
v^3.
$$

然而這一個 missing monomial 已經足以建立：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}(W)\ge4.
}
$$

也就是：

$$
\boxed{
\text{one missing support direction}
\Rightarrow
\text{four complete rank layers of visibility rigidity}.
}
$$

這比 Round 12 的 rank-$3$ 結果再推進一層。

---

# 33. Equality rigidity as a recurring mechanism

Round 12 有兩個 special equality cases。

Round 13 有四個。

它們共同特徵：

1. no-right-kernel 迫使：
   $$
   \dim\mathcal A=n;
   $$

2. 因：
   $$
   \dim\mathcal A
   =
   \dim\mathcal F-\operatorname{rank}T_3,
   $$
   active span rank被迫等於其 lower bound；

3. 於是某些 basis-column groups 的 coefficient span變得非常小；

4. 但它們的 admissible submodule dimension很大；

5. Grassmann / exact equality因而產生超臨界 zero block。

所以：

$$
\boxed{
\text{failure of conservative bound}
\not\Rightarrow
\text{candidate exists};
}
$$

常常只是：

$$
\boxed{
\text{all inequalities have become rigid equalities}.
}
$$

---

# 34. Round 13 與 polynomial minimal-rank theory

2025 年的 polynomial minimal-rank factorization研究再次強調：

- minimal bases；
- factorization degree structure；
- normal rank；
- degree distributions；

是研究低秩 polynomial matrices 的天然語言。

ACTM Round 11–13 使用的是更受限的 one-variable support：

$$
\{0,1,2,4\},
$$

而不是 generic full-degree support。

正因 support 缺了一個 $v^3$ direction，minimal-basis degree budget會進一步轉化成 visibility rigidity。

---

# 35. 與 Matrix Coefficient Conjecture 的位置

Dasgupta–Kakde 2026 的 Matrix Coefficient Conjecture 仍然比本輪定理一般得多。

Round 13 只處理：

- BADT$_2$ 特定 toric support；
- rational-linear-entry matrices；
- normal rank不超過 $4$。

但這已經建立一個具體的：

$$
\boxed{
\text{support-sensitive partial Matrix-Coefficient phenomenon}.
}
$$

即：

> 在此 support class，低 rank singularity不能保持 rational invisibility。

---

# 36. Round 13 判定

**PASS — Global rank-$4$ linear-GCDA no-go established; BADT$_2$ support-visibility threshold is at least $4$**

本輪完成：

1. 將 Round 12 finite-screening framework推廣到：
   $$
   r=4.
   $$

2. 證明 no-kernel 時：
   $$
   m,n\le20.
   $$

3. 枚舉全部：
   $$
   70
   $$
   degree tuples。

4. 枚舉全部 strict WM dimension cases。

5. 共驗證：
   $$
   14{,}420
   $$
   configurations。

6. 
   $$
   8{,}238
   $$
   由 constant left kernel 解決。

7. 
   $$
   5{,}992
   $$
   由 constant right kernel 解決。

8. 
   $$
   186
   $$
   由 general Submodule Visibility Lemma 解決。

9. 解決 special：
   $$
   (7,10;(1,1,1,4))
   $$
   並得到：
   $$
   4\times9
   $$
   zero block。

10. 解決 special：
    $$
    (8,9;(1,1,1,4))
    $$
    並得到超臨界 zero block。

11. 解決 special：
    $$
    (8,9;(1,1,2,4))
    $$
    並得到：
    $$
    4\times8
    $$
    zero block。

12. 解決 special：
    $$
    (10,7;(2,2,2,4))
    $$
    並得到：
    $$
    4\times6
    $$
    zero block。

13. unresolved：
    $$
    \boxed{0}.
    $$

14. 得到：
    $$
    \boxed{
    R_{\mathrm{SV}}(W)\ge4.
    }
    $$

15. 將下一線性 GCDA front提升到：
    $$
    r=5.
    $$

---

# 37. Round 14 正式入口

Round 14 建議先完全重複本輪策略：

$$
r=5.
$$

不做 coefficient brute force。

## R14-Q1

枚舉：

$$
126
$$

個 degree tuples。

## R14-Q2

使用：

$$
m,n\le25.
$$

## R14-Q3

只保留：

$$
5
<
\frac{mn}{m+n}.
$$

## R14-Q4

先用 active-span / subset-visibility inequalities分類。

## R14-Q5

對 conservative-bound exceptional cases，再檢查 equality rigidity。

如果 unresolved仍為：

$$
0,
$$

則：

$$
R_{\mathrm{SV}}(W)\ge5.
$$

若首次留下真正 exceptional family，那一族才值得做 symbolic coefficient-level GCDA search。

---

# 38. 一句話結論

> **BADT$_2$ support $\{1,v,v^2,v^4\}$ 對 linear determinantal amplification 的 resistance 又提高了一層：不只 rank $1,2,3$，現在 normal rank $4$ 的所有 strict Waldschmidt–Masser configurations 也都必 rationally visible。**

核心結果：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}
\left(
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}
\right)
\ge4.
}
$$

因此若 linear GCDA 路線還有真正 hidden candidate，它必須至少從：

$$
\boxed{
r=5
}
$$

開始。

---

# 參考資料

1. Samit Dasgupta, **Ranks of matrices of logarithms of algebraic numbers I: the theorems of Baker and Waldschmidt–Masser**, *Essential Number Theory* 2 (2023), 93–138.  
   arXiv: https://arxiv.org/abs/2303.02037

2. W. H. L. Neven and C. Praagman, **Column reduction of polynomial matrices**, *Linear Algebra and its Applications* 188–189 (1993), 569–589.  
   DOI: 10.1016/0024-3795(93)90480-C

3. G. D. Forney, classical minimal-basis and Predictable Degree Property framework for polynomial matrices and convolutional systems.

4. Andrii Dmytryshyn, Froilán M. Dopico, Paul Van Dooren, **Minimal rank factorizations of polynomial matrices**, *Linear Algebra and its Applications* 721 (2025), 736–774.  
   DOI: 10.1016/j.laa.2025.01.009

5. Samit Dasgupta and Mahesh Kakde, **Ranks of Matrices of Logarithms of Algebraic Numbers II: The Matrix Coefficient Conjecture**, *Advances in Mathematics* 487 (2026), 110753.  
   DOI: 10.1016/j.aim.2025.110753

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**ACTM Round 13 完**