# ACTM Round 12
## BADT$_2$ 線性矩陣的 Rank-$\le3$ 全域 Support-Visibility No-Go
### A Global Rank-$\le3$ Support-Visibility No-Go for Linear Matrices on BADT$_2$

**研究計畫：** Algebraic Combinatorial Transcendence Methodology（ACTM）  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-02  
**版本：** Round 12 / v0.1  
**文件性質：** 正式研究筆記／computer-assisted finite case theorem  
**狀態聲明：** 本輪不宣稱證明 Four Exponentials Conjecture 或 BADT$_2$ 不可能。本輪證明一個受限但比 Round 11 更完整的結構定理：對 BADT$_2$ toric support 上所有 rational-linear-entry matrices，只要 normal rank 不超過 $3$，且 rank 已進入 Waldschmidt–Masser strict region，那麼矩陣必然已具有該定理所要求的 rationally visible large zero block。換言之，rank-$1$、rank-$2$、rank-$3$ 的 linear GCDA 路線全部被排除。

---

## 摘要

BADT$_2$ 的 toric chart 為：

$$
(X_0,X_1,X_2,X_3)
=
u(1,v,v^2,v^4).
$$

因此任意 rational-linear-entry matrix：

$$
M(X)
=
X_0A_0+X_1A_1+X_2A_2+X_3A_3
$$

在 BADT$_2$ 上化成：

$$
M(u,v)=uN(v),
$$

其中：

$$
\boxed{
N(v)
=
A_0+vA_1+v^2A_2+v^4A_3.
}
$$

所有 entries 因而落在四維 support space：

$$
\boxed{
W
=
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}.
}
$$

Round 11 已證第一批 rank-$2$ strict sizes：

$$
4\times5,
\quad
5\times4,
\quad
5\times5
$$

皆無 genuine coupled determinantal amplifier。

Round 12 將此提升為全域 rank-$\le3$ theorem。

---

# 1. Main theorem

## Theorem R12.1 — Rank-$\le3$ Support-Visibility Theorem

令：

$$
N(v)
\in
M_{m\times n}(\mathbb Q[v])
$$

滿足：

$$
N_{ij}(v)
\in
W
=
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}.
$$

令其 normal rank：

$$
r
=
\operatorname{rank}_{\mathbb Q(v)}N,
$$

並假設：

$$
1\le r\le3.
$$

若：

$$
\boxed{
r
<
\frac{mn}{m+n},
}
$$

則存在：

$$
P\in\operatorname{GL}_m(\mathbb Q),
\qquad
Q\in\operatorname{GL}_n(\mathbb Q)
$$

使：

$$
PNQ
$$

含有一個：

$$
m'\times n'
$$

zero block，且：

$$
\boxed{
\frac{m'}m+\frac{n'}n>1.
}
$$

因此，在 BADT$_2$ 的 linear-coordinate support class 中：

$$
\boxed{
\text{no rank-}r\le3
\text{ GCDA exists}.
}
$$

---

# 2. 為何這個 theorem 足以處理所有矩陣尺寸

Round 11 只看若干最小 strict sizes。

Round 12 的第一步是證明：

> 對 fixed rank $r\le3$，如果沒有 constant rational left/right kernel，矩陣尺寸本身就自動有有限上界。

因此所有 strict cases 可降成有限枚舉。

---

# 3. Polynomial minimal-basis factorization

令：

$$
\mathcal C
\subseteq
\mathbb Q[v]^m
$$

為 $N$ columns 生成的 column module。

因：

$$
\mathbb Q[v]
$$

為 PID，$\mathcal C$ 為 free module of rank：

$$
r.
$$

選一組 column-reduced polynomial basis：

$$
U(v)
=
\begin{pmatrix}
u_1(v)&\cdots&u_r(v)
\end{pmatrix}
\in
M_{m\times r}(\mathbb Q[v]).
$$

則：

$$
\boxed{
N=UV
}
$$

對某個：

$$
V(v)
\in
M_{r\times n}(\mathbb Q[v]).
$$

令：

$$
\delta_i
=
\deg u_i,
$$

並排序：

$$
0\le
\delta_1\le\cdots\le\delta_r.
$$

---

# 4. Lemma R12.2 — Minimal-basis degrees 不超過 $4$

有：

$$
\boxed{
0\le\delta_i\le4.
}
$$

## Proof

所有 $N$ columns degree 至多：

$$
4.
$$

由 column-reduced basis 的 Predictable Degree Property，對任意：

$$
f=(f_1,\ldots,f_r)^T
$$

有：

$$
\deg(Uf)
=
\max_i
\left(
\delta_i+\deg f_i
\right)
$$

對最高項不為零的表示成立。

若某：

$$
\delta_i>4,
$$

則任何 degree-$\le4$ vector：

$$
Uf
$$

都必滿足：

$$
f_i=0.
$$

但 $N$ 的 columns degree皆不超過 $4$，且它們生成整個：

$$
\mathcal C.
$$

如此 $u_i$ 永遠不會被任何 generator 使用，與：

$$
u_1,\ldots,u_r
$$

是 $\mathcal C$ 的 basis 矛盾。

故：

$$
\delta_i\le4.
$$

證畢。

---

# 5. Multiplier coefficient domain

由 Predictable Degree Property，每個 $V$ column：

$$
f
=
(f_1,\ldots,f_r)^T
$$

滿足：

$$
\deg f_i
\le
4-\delta_i.
$$

定義：

$$
\boxed{
\mathcal F_\delta
=
\bigoplus_{i=1}^{r}
\mathbb Q[v]_{\le4-\delta_i}.
}
$$

其維度：

$$
\boxed{
\dim_{\mathbb Q}\mathcal F_\delta
=
5r
-
\sum_i\delta_i.
}
$$

---

# 6. Missing-cubic constraint

寫：

$$
u_i(v)
=
\sum_{k=0}^{\delta_i}
u_{i,k}v^k,
$$

其中：

$$
u_{i,k}\in\mathbb Q^m.
$$

因：

$$
N=UV
$$

所有 entries 不含：

$$
v^3,
$$

所以每個 $V$ column 都必滿足：

$$
[v^3](Uf)=0.
$$

定義：

$$
\boxed{
T_3:
\mathcal F_\delta
\longrightarrow
\mathbb Q^m,
}
$$

$$
T_3(f)
=
[v^3](Uf).
$$

並定義 admissible space：

$$
\boxed{
\mathcal A_\delta
=
\ker T_3.
}
$$

所有 $V$ columns 都屬於：

$$
\mathcal A_\delta.
$$

---

# 7. Active coefficient indices

對 degree：

$$
\delta\in\{0,1,2,3,4\},
$$

$u_k$ 能對 $v^3$ coefficient 有貢獻，當且僅當：

$$
0\le3-k\le4-\delta.
$$

因此 active index set：

$$
I_\delta
=
\left\{
k:
\max(0,\delta-1)
\le k
\le
\min(\delta,3)
\right\}.
$$

具體：

| $\delta$ | active indices | active count | inactive count |
|---:|---|---:|---:|
| $0$ | $\{0\}$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $\{0,1\}$ | $2$ | $0$ |
| $2$ | $\{1,2\}$ | $2$ | $1$ |
| $3$ | $\{2,3\}$ | $2$ | $2$ |
| $4$ | $\{3\}$ | $1$ | $4$ |

而：

$$
\operatorname{im}T_3
$$

正是所有 active coefficient vectors 的 linear span。

---

# 8. Constant rational left kernel criterion

若所有 minimal-basis coefficient vectors：

$$
u_{i,k}
$$

未張成：

$$
\mathbb Q^m,
$$

則存在：

$$
0\neq w\in\mathbb Q^m
$$

使：

$$
w^Tu_{i,k}=0
$$

對所有：

$$
i,k
$$

成立。

因此：

$$
w^TU(v)=0,
$$

進而：

$$
w^TN(v)=0.
$$

所以有 constant rational left kernel。

反之亦然。

因此若沒有 constant left kernel：

$$
\boxed{
\dim_{\mathbb Q}
\operatorname{span}
\{u_{i,k}\}
=
m.
}
$$

---

# 9. Constant rational right kernel criterion

若：

$$
0\neq c\in\mathbb Q^n
$$

且：

$$
Nc=0,
$$

因 $U$ 在：

$$
\mathbb Q(v)
$$

上 full column rank，有：

$$
Vc=0.
$$

所以沒有 constant rational right kernel 等價於：

$$
V
$$

的 $n$ 個 columns 作為：

$$
\mathcal A_\delta
$$

中的 Q-vectors 線性獨立。

因此：

$$
\boxed{
\text{no right kernel}
\Rightarrow
n
\le
\dim_{\mathbb Q}\mathcal A_\delta.
}
$$

---

# 10. Finite-size reduction

如果沒有 constant left kernel：

$$
m
\le
\sum_i(\delta_i+1)
\le
5r.
$$

所以：

$$
\boxed{
m\le5r.
}
$$

如果沒有 constant right kernel：

$$
n
\le
\dim\mathcal A_\delta
\le
\dim\mathcal F_\delta
\le
5r.
$$

所以：

$$
\boxed{
n\le5r.
}
$$

對：

$$
r\le3,
$$

只需：

$$
\boxed{
m,n\le15.
}
$$

因此全域 theorem 化為有限 degree/size verification。

---

# 11. Active-span lower bound

令：

$$
a
=
\dim_{\mathbb Q}
\operatorname{im}T_3.
$$

設 inactive coefficient vector 總數為：

$$
I(\delta)
=
\sum_i
\left(
\delta_i+1-|I_{\delta_i}|
\right).
$$

若無 constant left kernel，全部 coefficient vectors span：

$$
m
$$

維。

所以：

$$
\boxed{
a
\ge
m-I(\delta).
}
$$

另外 column-reducedness 保證所有 leading coefficient vectors：

$$
u_{i,\delta_i}
$$

線性獨立。

當：

$$
\delta_i\le3
$$

時，leading vector 本身 active。

因此：

$$
\boxed{
a
\ge
\#\{i:\delta_i\le3\}.
}
$$

綜合：

$$
\boxed{
a
\ge
L(\delta,m)
=
\max
\left(
m-I(\delta),
\#
\{i:\delta_i\le3\}
\right).
}
$$

故：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A_\delta
\le
A_{\max}
=
5r-\sum_i\delta_i-L(\delta,m).
}
$$

---

# 12. Immediate right-kernel test

若：

$$
A_{\max}<n,
$$

則 $n$ 個 $V$ columns 不可能 Q-linearly independent。

所以必存在 constant rational right kernel。

因此得到：

$$
m\times1
$$

zero block。

其 Waldschmidt–Masser visibility：

$$
1+\frac1n>1.
$$

---

# 13. Submodule Visibility Lemma

對 index subset：

$$
J
\subseteq
\{1,\ldots,r\},
$$

定義：

$$
\mathcal F_J
=
\bigoplus_{i\in J}
\mathbb Q[v]_{\le4-\delta_i},
$$

以及：

$$
\mathcal A_J
=
\mathcal F_J
\cap
\mathcal A_\delta.
$$

令：

$$
a_J^{\#}
=
\sum_{i\in J}
|I_{\delta_i}|
$$

為 active coefficient vectors 的數量上界。

則：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A_J
\ge
C_J
=
\sum_{i\in J}(5-\delta_i)
-
a_J^{\#}.
}
$$

---

# 14. Image row-space bound

$U\mathcal A_J$ 的所有 coefficient vectors 都位於：

$$
S_J
=
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\left\{
u_{i,k}:
i\in J
\right\}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\dim S_J
\le
s_J
=
\sum_{i\in J}
(\delta_i+1).
}
$$

因此：

$$
S_J^\perp
$$

dimension 至少：

$$
\boxed{
m-s_J.
}
$$

---

# 15. Intersection with actual column span

令：

$$
F_V
\subseteq
\mathcal A_\delta
$$

為 $V$ 的 $n$ 個 columns 的 Q-span。

若無 constant right kernel：

$$
\dim F_V=n.
$$

Grassmann inequality：

$$
\dim
(F_V\cap\mathcal A_J)
\ge
n
+
\dim\mathcal A_J
-
\dim\mathcal A_\delta.
$$

故：

$$
\boxed{
k_J
\ge
n+C_J-A_{\max}.
}
$$

負值時取：

$$
0.
$$

---

# 16. Rational zero block from a subset $J$

取：

$$
k_J
$$

個 rationally independent column combinations representing：

$$
F_V\cap\mathcal A_J.
$$

它們經 $U$ 映射後全部落在：

$$
S_J.
$$

再取：

$$
m-s_J
$$

維 rational annihilator：

$$
S_J^\perp.
$$

因此 rational row/column basis change 後存在 zero block 至少：

$$
\boxed{
(m-s_J)
\times
k_J.
}
$$

若：

$$
\boxed{
\frac{m-s_J}{m}
+
\frac{k_J}{n}
>
1,
}
$$

便已得到 Waldschmidt–Masser 所要求的 large rational zero block。

這是 Round 12 的一般 Support-Visibility Lemma。

---

# 17. Finite-case universe

對：

$$
r=1,2,3,
$$

只需枚舉：

$$
0\le
\delta_1\le\cdots\le\delta_r\le4,
$$

以及：

$$
r+1
\le
m,n
\le
5r,
$$

且：

$$
r
<
\frac{mn}{m+n}.
$$

總共得到：

$$
\boxed{
5150
}
$$

個 degree/size configurations。

它們全部以 exact integer / rational inequalities 分類。

---

# 18. Case counts

有限驗證結果：

| 類別 | case 數 |
|---|---:|
| immediate constant left kernel | $2880$ |
| immediate constant right kernel | $2202$ |
| Submodule Visibility Lemma | $66$ |
| special $(r,m,n,\delta)=(3,6,7,(1,1,4))$ | $1$ |
| transpose reduction $(3,8,5,(2,2,4))$ | $1$ |
| unresolved | $\boxed{0}$ |

總計：

$$
2880+2202+66+1+1
=
\boxed{
5150.
}
$$

---

# 19. Rank-wise counts

### Rank $1$

| 類型 | 數量 |
|---|---:|
| left kernel | $39$ |
| right kernel | $36$ |
| unresolved | $0$ |

### Rank $2$

| 類型 | 數量 |
|---|---:|
| left kernel | $462$ |
| right kernel | $370$ |
| subset visibility | $8$ |
| unresolved | $0$ |

### Rank $3$

| 類型 | 數量 |
|---|---:|
| left kernel | $2379$ |
| right kernel | $1796$ |
| subset visibility | $58$ |
| special $6\times7$ | $1$ |
| transpose $8\times5$ | $1$ |
| unresolved | $0$ |

---

# 20. Rank-$3$ strict frontier

Waldschmidt–Masser strict condition：

$$
3
<
\frac{mn}{m+n}
$$

等價於：

$$
\boxed{
(m-3)(n-3)>9.
}
$$

其最小 integer frontier 包括：

$$
\boxed{
4\times13,
\quad
5\times8,
\quad
6\times7,
\quad
7\times6,
\quad
8\times5,
\quad
13\times4.
}
$$

最小 square size：

$$
\boxed{
7\times7.
}
$$

Round 12 theorem 一次涵蓋以上全部以及所有更大 strict sizes。

---

# 21. Frontier case $4\times13$

這一個先前未在 Round 11 主清單中列出，但其實是 rank-$3$ strict frontier 的極瘦長尺寸。

無 constant left kernel要求：

$$
\sum_i(\delta_i+1)\ge4.
$$

無 right kernel又要求：

$$
\dim\mathcal A_\delta\ge13.
$$

唯一可能的 very-low degree patterns 都會因 active $v^3$ constraint 將：

$$
\dim\mathcal A_\delta
$$

壓到低於：

$$
13.
$$

因此：

$$
\boxed{
4\times13
}
$$

必有 constant rational right kernel。

transpose：

$$
13\times4
$$

同理。

---

# 22. Frontier cases $5\times8$ and $6\times7$

大部分 degree patterns 由 general Support-Visibility Lemma 直接排除。

例如 degree tuple 中含：

$$
\delta_1=0
$$

時，constant minimal-basis column 本身產生一個至少四維的 support-compatible multiplier subspace：

$$
W.
$$

與 $V$ 的 large Q-span 經 Grassmann intersection 後，會產生多個 columns 落在極低維 constant row-space 中，因而給大 zero block。

Round 12 的 verifier 對所有 patterns 使用同一公式自動檢查。

---

# 23. 唯一 genuinely exceptional orientation

general conservative bound 唯一沒有直接 crossing visibility threshold 的非 transpose case是：

$$
\boxed{
r=3,
\quad
m=6,
\quad
n=7,
\quad
(\delta_1,\delta_2,\delta_3)
=
(1,1,4).
}
$$

需要額外使用「所有不等式都被迫取等號」的 rigidity。

---

# 24. Special Lemma R12.3 — $(6,7;(1,1,4))$

此時：

$$
\dim\mathcal F
=
4+4+1
=
9.
$$

degree-$4$ basis column只有其：

$$
v^3
$$

coefficient active，另有四個 inactive coefficient vectors。

前兩個 degree-$1$ basis columns 的全部四個 coefficient vectors都 active。

無 left kernel要求全部 coefficients span：

$$
\mathbb Q^6.
$$

---

# 25. Active rank 被迫精確等於 $2$

由 column-reducedness，前兩個 degree-$1$ columns 的 leading vectors線性獨立。

所以：

$$
\operatorname{rank}T_3\ge2.
$$

另一方面若無 right kernel，七個 $V$ columns Q-independent，所以：

$$
\dim\mathcal A\ge7.
$$

而：

$$
\dim\mathcal F=9.
$$

故：

$$
\operatorname{rank}T_3
=
9-\dim\mathcal A
\le2.
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{rank}T_3=2,
}
$$

以及：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A=7.
}
$$

---

# 26. 第一、第二 minimal-basis columns 的 coefficient span

因前兩個 degree-$1$ columns 的所有 coefficients均 active，而 active span總維度只有：

$$
2,
$$

故這兩個 basis columns 的全部 coefficient vectors都落在同一個二維 rational row-space：

$$
S.
$$

同時其 leading vectors independent，所以：

$$
\boxed{
\dim S=2.
}
$$

---

# 27. Six-dimensional admissible subspace

只使用前兩個 basis columns。

其 multiplier domain dimension：

$$
4+4=8.
$$

$v^3$ map image dimension：

$$
2.
$$

所以：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A_{\{1,2\}}=6.
}
$$

又因：

$$
\dim F_V=7
=
\dim\mathcal A,
$$

有：

$$
F_V=\mathcal A.
$$

因此整個：

$$
\mathcal A_{\{1,2\}}
$$

都可由 rational column combinations of $N$ columns 實現。

---

# 28. Special zero block

取：

$$
6
$$

個 rationally independent column combinations lying in：

$$
\mathcal A_{\{1,2\}}.
$$

其 images全部落在：

$$
S,
$$

而：

$$
\dim S=2.
$$

在：

$$
\mathbb Q^6
$$

中：

$$
S^\perp
$$

dimension：

$$
4.
$$

所以得到：

$$
\boxed{
4\times6
}
$$

zero block。

visibility：

$$
\frac46+\frac67
=
\frac{32}{21}
>
1.
$$

因此 special case 亦被排除。

---

# 29. The transpose exceptional case

finite verifier 的另一個 conservative exception 是：

$$
\boxed{
r=3,
\quad
m=8,
\quad
n=5,
\quad
(\delta_1,\delta_2,\delta_3)
=
(2,2,4).
}
$$

但：

$$
N^T
$$

是一個：

$$
5\times8
$$

support-$W$ rank-$3$ matrix。

而：

$$
5\times8
$$

全部 degree patterns已由 general finite verification排除。

因此 $N^T$ 具有 large rational zero block。

transpose 回去即得到 $N$ 的 large rational zero block。

所以此 case 亦完成。

---

# 30. Universal rank-$3$ conclusion

至此所有：

$$
r=3
$$

strict Waldschmidt–Masser configurations 均被分類。

所以：

$$
\boxed{
\text{no rank-3 linear GCDA exists over the BADT}_2\text{ support}.
}
$$

加上 Round 11 與本輪 rank-$1,2$ finite verification：

$$
\boxed{
\text{no rank-}r\le3
\text{ linear GCDA exists}.
}
$$

---

# 31. Why this is stronger than Round 11

Round 11：

$$
\boxed{
4\times5,\ 5\times4,\ 5\times5
}
$$

rank-$2$ no-go。

Round 12：

$$
\boxed{
\forall m,n,
\quad
r\le3,
\quad
r<\frac{mn}{m+n}
}
$$

都 no-go。

因此「下一個 search size」不再是：

$$
5\times8,
\quad
6\times7,
\quad
7\times7.
$$

這整層已經消失。

---

# 32. Next possible rank is $4$

如果仍沿 linear determinantal amplifier 路線，下一個可能 normal rank 必須：

$$
\boxed{
r\ge4.
}
$$

Waldschmidt–Masser strict condition：

$$
4
<
\frac{mn}{m+n}
$$

等價於：

$$
\boxed{
(m-4)(n-4)>16.
}
$$

minimal frontier開始快速上移。

例如：

$$
5\times21,
$$

$$
6\times13,
$$

$$
7\times10,
$$

$$
8\times9,
$$

及 transpose。

最小 square：

$$
\boxed{
9\times9,
}
$$

因：

$$
4<\frac92.
$$

---

# 33. 但 support dimension 開始成為更強限制

rank-$4$ minimal basis最多有：

$$
4
$$

個 columns，每個 degree至多：

$$
4.
$$

所以若無 constant rational kernels：

$$
m,n
\le
20.
$$

因此：

$$
5\times21
$$

與：

$$
21\times5
$$

其實自動有 constant rational kernel，根本不需要搜尋。

所以 first nontrivial rank-$4$ frontier會比純 rank inequality 更窄。

---

# 34. Rank-$4$ finite universe

同樣方法給：

$$
m,n\le5r=20.
$$

所以即使進 rank：

$$
4,
$$

仍是一個完全 finite degree/size universe。

degree tuple：

$$
0\le
\delta_1\le
\delta_2\le
\delta_3\le
\delta_4\le4.
$$

只有：

$$
\binom{8}{4}=70
$$

種。

所以 Round 13 可以先做 exact finite visibility screening，而不是 symbolic coefficient brute force。

---

# 35. A conjectural pattern emerging

Round 11–12 暗示一個更一般的可能性：

> 對：
>
> $$
> W=\operatorname{span}\{1,v,v^2,v^4\},
> $$
>
> 所有 sufficiently low normal rank polynomial matrices，missing-cubic support可能自動強迫 Waldschmidt–Masser rational visibility。

目前已證：

$$
\boxed{
r\le3.
}
$$

下一個問題是：

$$
\boxed{
r=4?
}
$$

---

# 36. Support-Visibility Rank Threshold

定義：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}(W)
}
$$

為最大的 integer $R$，使所有：

$$
N(v)\in M_{m\times n}(W)
$$

normal rank：

$$
r\le R
$$

且：

$$
r<\frac{mn}{m+n}
$$

時，都必具有 sufficiently large rational zero block。

Round 12 建立：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}(W)\ge3.
}
$$

其中：

$$
W=\operatorname{span}\{1,v,v^2,v^4\}.
$$

---

# 37. ACTM interpretation

BADT$_2$ 嘗試用：

$$
\{0,1,2,4\}
$$

四個 descent monomials 支撐 hidden low-rank matrix。

Round 12 顯示：

> 在 rank $\le3$ 時，缺失的 cubic monomial：
>
> $$
> v^3
> $$
>
> 所造成的 support deficit 已經足以將所有 low-rank matrix degeneracy變成 rationally visible。

因此：

$$
\boxed{
\text{hidden transcendence compression}
}
$$

至少不能透過 rank-$\le3$ 的 linear matrix projection隱藏。

---

# 38. Support defect vs rank defect

BADT support：

$$
\{0,1,2,4\}
$$

相較 full degree-$4$ support：

$$
\{0,1,2,3,4\}
$$

只缺：

$$
\boxed{
1
}
$$

個 monomial。

但這一個缺口在 minimal-basis factorization 中產生：

$$
T_3
$$

constraint，並足以把 rank-$1,2,3$ strict degeneracies全部逼成 rational visibility。

這是一個非常強的現象：

$$
\boxed{
\text{one missing support direction}
\Rightarrow
\text{three full rank layers of visibility rigidity}.
}
$$

---

# 39. Relation to Matrix Coefficient philosophy

Dasgupta–Kakde 2026 的 Matrix Coefficient program 強調 sparse support / Newton polytope 可以替代傳統 total-degree control。

Round 12 給出一個 BADT-specific finite-dimensional版本：

$$
\boxed{
\operatorname{Supp}
\subseteq
\{0,1,2,4\}
}
$$

加上：

$$
r\le3
$$

已足以推出 Waldschmidt–Masser-style visibility。

這不是 Matrix Coefficient Conjecture 的一般證明。

但它是：

$$
\boxed{
\text{a concrete support-to-visibility theorem on a restricted toric model}.
}
$$

---

# 40. Computer-assisted status

Theorem R12.1 的數學部分由：

- minimal-basis factorization；
- predictable-degree property；
- active/inactive coefficient counting；
- Grassmann intersection；
- rational zero-block construction；

組成。

唯一 computer-assisted 部分是：

> 對 finite degree/size universe，枚舉所有 integer configurations，檢查上述 universal inequalities是否足以跨過 visibility threshold。

枚舉使用 exact rational arithmetic。

總 cases：

$$
5150.
$$

unresolved：

$$
\boxed{
0.
}
$$

其中兩個 conservative-bound exceptions另有本文中的手工證明／transpose reduction。

---

# 41. Reproducibility artifacts

本輪提供：

1. canonical UTF-8 Markdown；
2. exact-arithmetic verifier：
   `ACTM_Round_12_rank3_visibility_verifier.py`
3. complete case table：
   `ACTM_Round_12_all_cases.csv`
4. ZIP bundle。

verifier 不使用 floating-point 判定 visibility threshold。

所有：

$$
\frac{m'}m+\frac{n'}n>1
$$

比較均使用 Python：

`fractions.Fraction`。

---

# 42. Round 12 判定

**PASS — Global rank-$\le3$ linear-GCDA no-go established for the BADT$_2$ support space**

本輪完成：

1. 將 Round 11 minimal-basis方法推廣到 arbitrary：
   $$
   r\le3.
   $$

2. 證明 minimal-basis degrees：
   $$
   \delta_i\le4.
   $$

3. 建立 finite-size reduction：
   $$
   m,n\le5r.
   $$

4. 定義 active coefficient index sets。

5. 建立 universal active-span lower bound。

6. 建立 admissible-space upper bound：
   $$
   A_{\max}.
   $$

7. 建立 Submodule Visibility Lemma。

8. 將所有 strict WM cases降成 finite integer verification。

9. 完整驗證：
   $$
   5150
   $$
   configurations。

10. 其中：
    $$
    2880
    $$
    由 constant left kernel 處理。

11. 
    $$
    2202
    $$
    由 constant right kernel 處理。

12. 
    $$
    66
    $$
    由 general subset-visibility inequality 處理。

13. 單獨解決：
    $$
    (r,m,n,\delta)
    =
    (3,6,7,(1,1,4)).
    $$

14. 以 transpose reduction 解決：
    $$
    (3,8,5,(2,2,4)).
    $$

15. unresolved：
    $$
    \boxed{0}.
    $$

16. 得到 universal theorem：
    $$
    \boxed{
    r\le3
    \Rightarrow
    \text{no linear GCDA}.
    }
    $$

17. 定義 Support-Visibility Rank Threshold：
    $$
    R_{\mathrm{SV}}(W)\ge3.
    $$

18. 將下一前沿提升到：
    $$
    r=4.
    $$

---

# 43. Round 13 正式入口

Round 13 不先搜尋：

$$
9\times9
$$

matrix coefficients。

先做與本輪完全相同的 exact finite screening：

$$
r=4.
$$

## R13-Q1

枚舉：

$$
0\le
\delta_1\le
\delta_2\le
\delta_3\le
\delta_4\le4.
$$

共：

$$
70
$$

degree tuples。

---

## R13-Q2

限制：

$$
m,n\le20.
$$

只保留：

$$
4
<
\frac{mn}{m+n}.
$$

---

## R13-Q3

使用 general active-span / submodule visibility bounds。

先找出真正未被 dimension counting排除的：

$$
\boxed{
\text{rank-4 exceptional degree patterns}.
}
$$

---

## R13-Q4

若 unresolved patterns 為空，則得到：

$$
R_{\mathrm{SV}}(W)\ge4.
$$

若非空，則它們才是第一批值得做 symbolic coefficient / Gröbner search 的 GCDA candidates。

---

# 44. 一句話結論

> **BADT$_2$ 的 linear-coordinate support $\{1,v,v^2,v^4\}$ 不只能排除最小 rank-$2$ amplifier；缺失的 $v^3$ coefficient 與 polynomial minimal-basis 的 predictable-degree結構，足以讓所有 normal rank $1,2,3$、且已進入 Waldschmidt–Masser strict rank region 的 matrices 都自動產生足夠大的 rational zero block。**

因此：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}
\left(
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}
\right)
\ge3.
}
$$

Round 13 的唯一自然問題是：

$$
\boxed{
R_{\mathrm{SV}}\ge4
\text{ 嗎？}
}
$$

---

# 參考資料

1. Samit Dasgupta, **Ranks of matrices of logarithms of algebraic numbers I: the theorems of Baker and Waldschmidt–Masser**, *Essential Number Theory* 2 (2023), 93–138.  
   arXiv: https://arxiv.org/abs/2303.02037  
   Provides the modern exposition of Baker, Structural Rank, and the Waldschmidt–Masser rank/zero-block theorem.

2. W. H. L. Neven and C. Praagman, **Column reduction of polynomial matrices**, *Linear Algebra and its Applications* 188–189 (1993), 569–589.  
   DOI: 10.1016/0024-3795(93)90480-C

3. G. D. Forney, classical minimal-basis and Predictable Degree Property framework for polynomial matrices / convolutional systems.

4. Andrii Dmytryshyn, Froilán M. Dopico, Paul Van Dooren, **Minimal rank factorizations of polynomial matrices**, *Linear Algebra and its Applications* 721 (2025), 736–774.  
   DOI: 10.1016/j.laa.2025.01.009  
   Modern treatment of minimal rank factorizations and degree structure.

5. Samit Dasgupta and Mahesh Kakde, **Ranks of Matrices of Logarithms of Algebraic Numbers II: The Matrix Coefficient Conjecture**, *Advances in Mathematics* 487 (2026), 110753.  
   DOI: 10.1016/j.aim.2025.110753  
   Develops the support-sensitive auxiliary-polynomial viewpoint for logarithm matrices.

---

**ACTM Round 12 完**