# ACTM Round 11
## BADT$_2$ 的最小 Rank-2 GCDA No-Go：Polynomial Minimal Basis、Predictable Degree 與 Rational Visibility
### A Minimal Rank-2 GCDA No-Go for BADT$_2$: Polynomial Minimal Bases, Predictable Degree, and Rational Visibility

**研究計畫：** Algebraic Combinatorial Transcendence Methodology（ACTM）  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-10-02  
**版本：** Round 11 / v0.1  
**文件性質：** 正式研究筆記／symbolic determinantal no-go round  
**狀態聲明：** 本輪不宣稱證明 Four Exponentials Conjecture 或 BADT$_2$ 不可能。本輪證明一個受限但完整的結構性 no-go：對 BADT$_2$ toric surface，所有 rational-linear-entry 的 $4\times5$、$5\times4$、$5\times5$ rank-$\le2$ matrices 都必定具有 Waldschmidt–Masser 意義下足夠大的 rational zero block。因此 Round 10 所提出的第一批最小 rank-$2$ GCDA target 尺寸全部失敗。

---

## 摘要

BADT$_2$ 的 toric relations 為：

$$
X_1^2=X_0X_2,
$$

$$
X_2^2=X_0X_3.
$$

在：

$$
X_0\neq0
$$

的 chart 上，可參數化為：

$$
\boxed{
(X_0,X_1,X_2,X_3)
=
u(1,v,v^2,v^4).
}
$$

Round 10 提出搜尋 rational-linear-entry matrix：

$$
M(X)
=
X_0A_0
+
X_1A_1
+
X_2A_2
+
X_3A_3,
$$

希望在 BADT$_2$ 上：

$$
\operatorname{rank}M\le2
$$

且沒有 Waldschmidt–Masser 所需的 rationally visible zero block。

代入 toric 參數後：

$$
M(u,v)
=
uN(v),
$$

其中：

$$
\boxed{
N(v)
=
A_0
+
vA_1
+
v^2A_2
+
v^4A_3.
}
$$

所以問題化為研究支撐集合：

$$
S=\{0,1,2,4\}
$$

上的 polynomial matrices。

本輪使用 polynomial minimal basis 與 predictable-degree property 證明：

### Theorem R11-A

若：

$$
N(v)
\in
M_{4\times5}(\mathbb Q[v])
$$

的每個 entry 都屬於：

$$
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\},
$$

且：

$$
\operatorname{rank}_{\mathbb Q(v)}N(v)\le2,
$$

則經：

$$
P\in\operatorname{GL}_4(\mathbb Q),
\qquad
Q\in\operatorname{GL}_5(\mathbb Q)
$$

變換後，$PNQ$ 必含有某個 zero block：

$$
m'\times n'
$$

滿足：

$$
\boxed{
\frac{m'}4+\frac{n'}5>1.
}
$$

### Theorem R11-B

同樣結果對：

$$
5\times4
$$

成立。

### Theorem R11-C

若：

$$
N(v)
\in
M_{5\times5}(\mathbb Q[v])
$$

具有相同 support 且：

$$
\operatorname{rank}_{\mathbb Q(v)}N(v)\le2,
$$

則也必存在 rational zero block：

$$
m'\times n'
$$

使：

$$
\boxed{
\frac{m'}5+\frac{n'}5>1.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
4\times5,
\quad
5\times4,
\quad
5\times5
}
$$

三個 Round-10 最小 rank-$2$ GCDA target 全部不存在。

這不是 numerical-search failure，而是 polynomial-module 層面的 finite determinantal no-go。

---

# 1. BADT$_2$ 的 toric genericity

BADT$_2$ 假設：

$$
z_0=\lambda,
$$

$$
z_1=s\lambda,
$$

$$
z_2=s^2\lambda,
$$

$$
z_3=s^4\lambda,
$$

並且：

$$
\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}
\mathbb Q(\lambda,s)=2.
$$

定義 homomorphism：

$$
\phi:
\mathbb Q[X_0,X_1,X_2,X_3]
\longrightarrow
\mathbb Q[\lambda,s]
$$

為：

$$
X_0\mapsto\lambda,
$$

$$
X_1\mapsto\lambda s,
$$

$$
X_2\mapsto\lambda s^2,
$$

$$
X_3\mapsto\lambda s^4.
$$

---

# 2. Toric ideal

直接消去：

$$
u,v
$$

或由 monomial-exponent lattice 可得：

$$
\ker\phi
=
I_{\mathrm{BADT}},
$$

其中：

$$
\boxed{
I_{\mathrm{BADT}}
=
\left(
X_1^2-X_0X_2,
\quad
X_2^2-X_0X_3
\right).
}
$$

另一個常見 binomial：

$$
X_1^2X_3-X_2^3
$$

只是前兩個 generators 的 consequence：

$$
X_3(X_1^2-X_0X_2)
+
X_2(X_0X_3-X_2^2)
=
X_1^2X_3-X_2^3.
$$

---

# 3. Generic-point consequence

因：

$$
\lambda,s
$$

代數獨立，BADT$_2$ point：

$$
Z_2
=
(\lambda,\lambda s,\lambda s^2,\lambda s^4)
$$

是此 toric surface 的 generic point over $\mathbb Q$。

因此對任何：

$$
F\in\mathbb Q[X_0,\ldots,X_3],
$$

若：

$$
F(Z_2)=0,
$$

則：

$$
\boxed{
F\in I_{\mathrm{BADT}}.
}
$$

所以如果 rational-linear matrix：

$$
M(X)
$$

在 hypothetical BADT$_2$ point 上 rank：

$$
\le2,
$$

那麼其所有：

$$
3\times3
$$

minors 都自動在整個 BADT toric surface 上消失。

換句話說：

$$
\boxed{
\text{pointwise rank drop}
=
\text{toric-uniform rank drop}
}
$$

對 rational-linear matrices 成立。

這使 Round 11 的 symbolic no-go 具有直接應用性，而不只是一個 generic-search approximation。

---

# 4. Univariate reduction

在：

$$
X_0\neq0
$$

chart：

$$
(X_0,X_1,X_2,X_3)
=
u(1,v,v^2,v^4).
$$

所以：

$$
M(X)
=
uN(v),
$$

其中：

$$
\boxed{
N(v)
=
A_0
+
vA_1
+
v^2A_2
+
v^4A_3.
}
$$

乘上：

$$
u\neq0
$$

不影響 matrix rank 或 rational zero-block structure。

因此只需研究：

$$
N(v).
$$

---

# 5. Support space

定義：

$$
\boxed{
W
=
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,v,v^2,v^4\}.
}
$$

則所有 entries：

$$
N_{ij}(v)
$$

都在：

$$
W.
$$

關鍵缺口是：

$$
\boxed{
v^3
\text{ 不允許出現}.
}
$$

整個 Round 11 no-go 最終都來自：

$$
\text{rank-2 polynomial factorization}
+
\text{missing cubic coefficient}.
$$

---

# 6. Polynomial rank factorization

先考慮：

$$
\operatorname{rank}_{\mathbb Q(v)}N=2.
$$

令：

$$
\mathcal C
$$

為 $N$ columns 所生成的：

$$
\mathbb Q[v]
$$

column module。

因：

$$
\mathbb Q[v]
$$

為 PID，$\mathcal C$ 為 rank-$2$ free module。

取一組 column-reduced basis：

$$
U(v)
=
\begin{pmatrix}
u_1(v)&u_2(v)
\end{pmatrix}
\in
M_{m\times2}(\mathbb Q[v]).
$$

則存在：

$$
V(v)
\in
M_{2\times n}(\mathbb Q[v])
$$

使：

$$
\boxed{
N=UV.
}
$$

令：

$$
\delta_1
=
\deg u_1,
$$

$$
\delta_2
=
\deg u_2,
$$

且：

$$
\delta_1\le\delta_2.
$$

---

# 7. Predictable Degree Property

因：

$$
U
$$

column-reduced，其 leading column coefficient vectors 線性獨立。

因此對：

$$
f=
\begin{pmatrix}
f_1\\
f_2
\end{pmatrix},
$$

有 standard Predictable Degree Property：

$$
\deg(Uf)
=
\max
\left(
\delta_1+\deg f_1,
\quad
\delta_2+\deg f_2
\right)
$$

當最高項存在時。

因 $N$ 每個 column degree 至多：

$$
4,
$$

所以 $V$ 每個 column：

$$
f
=
(f_1,f_2)^T
$$

滿足：

$$
\boxed{
\deg f_1\le4-\delta_1,
}
$$

$$
\boxed{
\deg f_2\le4-\delta_2.
}
$$

特別：

$$
0\le\delta_i\le4.
$$

---

# 8. Coefficient domain

定義：

$$
\mathcal F_{\delta_1,\delta_2}
=
\mathbb Q[v]_{\le4-\delta_1}
\oplus
\mathbb Q[v]_{\le4-\delta_2}.
$$

其維度：

$$
\boxed{
\dim_{\mathbb Q}\mathcal F
=
10-\delta_1-\delta_2.
}
$$

---

# 9. Missing-cubic map

對：

$$
f\in\mathcal F,
$$

定義：

$$
T_3(f)
=
[v^3](Uf)
\in
\mathbb Q^m,
$$

即：

$$
Uf
$$

的 $v^3$ coefficient vector。

因所有 $N$ entries 不允許：

$$
v^3,
$$

每個 $V$ column 必位於：

$$
\boxed{
\mathcal A
=
\ker T_3.
}
$$

稱：

$$
\mathcal A
$$

為 admissible coefficient space。

---

# 10. Constant rational kernels

如果 $N$ 沒有 constant rational left kernel，則 $U$ 所有 coefficient vectors 必張成：

$$
\mathbb Q^m.
$$

否則存在：

$$
0\neq w\in\mathbb Q^m
$$

使：

$$
w^TU(v)=0,
$$

因而：

$$
w^TN(v)=0.
$$

同理，如果 $N$ 沒有 constant rational right kernel，則 $V$ 的 $n$ 個 columns 作為：

$$
\mathcal F
$$

中的 vectors 必在：

$$
\mathbb Q
$$

上線性獨立。

因此：

$$
\boxed{
\text{no right kernel}
\Rightarrow
\dim_{\mathbb Q}\mathcal A\ge n.
}
$$

---

# 11. Active coefficients for $v^3$

若一個 minimal-basis column：

$$
u(v)
=
u_0+u_1v+\cdots+u_\delta v^\delta,
$$

而其 multiplier polynomial degree最多：

$$
4-\delta,
$$

則 $u_i$ 能參與：

$$
v^3
$$

coefficient 的條件為：

$$
0
\le
3-i
\le
4-\delta.
$$

即：

$$
\boxed{
\max(0,\delta-1)
\le
i
\le
\min(\delta,3).
}
$$

所以 $T_3$ 的 image 正是兩個 basis columns 中所有 active coefficient vectors 的 span。

---

# 12. $4\times5$：容易可見的 kernel cases

先令：

$$
m=4,
\qquad
n=5.
$$

如果存在 constant left kernel，則可得到：

$$
1\times5
$$

zero block。

其 visibility：

$$
\frac14+\frac55
=
\frac54
>
1.
$$

如果存在 constant right kernel，則可得到：

$$
4\times1
$$

zero block。

其 visibility：

$$
\frac44+\frac15
=
\frac65
>
1.
$$

所以只需分析：

$$
\boxed{
\text{no constant left kernel}
\quad\text{and}\quad
\text{no constant right kernel}.
}
$$

---

# 13. $4\times5$ coefficient-span constraint

no left kernel 要求：

$$
u_1,u_2
$$

全部 coefficient vectors 張成：

$$
\mathbb Q^4.
$$

總 coefficient vectors 數最多：

$$
(\delta_1+1)+(\delta_2+1)
=
\delta_1+\delta_2+2.
$$

因此：

$$
\boxed{
\delta_1+\delta_2\ge2.
}
$$

---

# 14. $4\times5$：若 $\delta_1\ge1$

以下只需有限 degree-pair analysis。

## Pair $(1,1)$

$$
\dim\mathcal F=8.
$$

所有 coefficient vectors 都 active，且 span：

$$
\mathbb Q^4.
$$

所以：

$$
\operatorname{rank}T_3=4.
$$

故：

$$
\dim\mathcal A=4.
$$

---

## Pair $(1,2)$

$$
\dim\mathcal F=7.
$$

active coefficient vectors 為：

$$
u_0,u_1,
\quad
w_1,w_2.
$$

唯一 inactive vector 是：

$$
w_0.
$$

如果 active span 維度：

$$
\le2,
$$

加入 $w_0$ 後總 span最多 $3$，不能達到 $\mathbb Q^4$。

所以：

$$
\operatorname{rank}T_3\ge3.
$$

因此：

$$
\dim\mathcal A\le4.
$$

---

## Pair $(1,3)$

$$
\dim\mathcal F=6.
$$

active vectors 包含 leading vectors：

$$
u_1,
\quad
w_3,
$$

它們因 column-reduced 而線性獨立。

所以：

$$
\operatorname{rank}T_3\ge2,
$$

因此：

$$
\dim\mathcal A\le4.
$$

---

## Pair $(1,4)$

$$
\dim\mathcal F=5.
$$

至少一個 active coefficient 非零，所以：

$$
\operatorname{rank}T_3\ge1.
$$

故：

$$
\dim\mathcal A\le4.
$$

---

## Pair $(2,2)$

$$
\dim\mathcal F=6.
$$

leading vectors：

$$
u_2,
\quad
w_2
$$

active 且線性獨立，所以：

$$
\operatorname{rank}T_3\ge2.
$$

故：

$$
\dim\mathcal A\le4.
$$

---

## Remaining pairs with $\delta_1\ge2$

對：

$$
(2,3),
(2,4),
(3,3),
(3,4),
(4,4),
$$

either：

$$
\dim\mathcal F\le4
$$

或 active-rank bound 更強。

因此一律：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A\le4.
}
$$

---

# 15. Consequence for $\delta_1\ge1$

五個 $V$ columns 全部位於最多四維的：

$$
\mathcal A.
$$

所以它們必 $\mathbb Q$-線性相依。

因此：

$$
\boxed{
N
\text{ has a nonzero constant rational right kernel}.
}
$$

也就存在：

$$
4\times1
$$

zero block。

---

# 16. $4\times5$：唯一剩餘類 $\delta_1=0$

no-left-kernel 要求 coefficient span維度 $4$。

如果：

$$
\delta_1=0,
$$

第一個 basis column：

$$
u_1(v)=u
$$

是 nonzero constant vector。

要張成四維，必：

$$
\delta_2\ge2.
$$

所以只需：

$$
(0,2),
\quad
(0,3),
\quad
(0,4).
$$

---

# 17. Pure constant-column subspace

定義：

$$
\mathcal C_0
=
\left\{
(f,0):
f\in W
\right\}.
$$

其中：

$$
W
=
\operatorname{span}
\{1,v,v^2,v^4\}.
$$

所以：

$$
\boxed{
\dim\mathcal C_0=4.
}
$$

且：

$$
\mathcal C_0
\subseteq
\mathcal A.
$$

其 image：

$$
U\mathcal C_0
=
uW
$$

全部沿同一 constant vector：

$$
u.
$$

---

# 18. Bound on total admissible space

### Pair $(0,2)$

$$
\dim\mathcal F=8.
$$

$v^3$ active vectors 至少含：

$$
u,
\quad
w_2,
$$

且兩者是 leading vectors，所以獨立。

因此：

$$
\operatorname{rank}T_3\ge2,
$$

故：

$$
\dim\mathcal A\le6.
$$

### Pair $(0,3)$

$$
\dim\mathcal F=7,
$$

且 active leading vectors至少 rank $2$，所以：

$$
\dim\mathcal A\le5.
$$

### Pair $(0,4)$

$$
\dim\mathcal F=6,
$$

且：

$$
T_3
$$

非零，所以：

$$
\dim\mathcal A\le5.
$$

因此統一得到：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A\le6.
}
$$

---

# 19. Grassmann intersection

假設沒有 constant right kernel。

則五個 $V$ columns 的 $\mathbb Q$-span：

$$
F
$$

維度：

$$
\dim F=5.
$$

又：

$$
F\subseteq\mathcal A.
$$

因：

$$
\dim\mathcal C_0=4,
$$

$$
\dim\mathcal A\le6,
$$

Grassmann inequality 給：

$$
\dim(F\cap\mathcal C_0)
\ge
5+4-6.
$$

所以：

$$
\boxed{
\dim(F\cap\mathcal C_0)\ge3.
}
$$

---

# 20. $3\times3$ rational zero block

取：

$$
3
$$

個 rationally independent column combinations：

$$
f^{(1)},f^{(2)},f^{(3)}
\in
F\cap\mathcal C_0.
$$

其 images：

$$
Uf^{(j)}
$$

全部屬於：

$$
uW.
$$

所以都沿同一 constant vector：

$$
u.
$$

令：

$$
L=u^\perp
\subseteq
\mathbb Q^4.
$$

則：

$$
\dim L=3.
$$

對：

$$
\ell\in L
$$

及所有三個 selected column directions：

$$
\ell^TUf^{(j)}=0.
$$

所以經 rational row/column basis change：

$$
N
$$

含：

$$
\boxed{
3\times3
}
$$

zero block。

其 visibility：

$$
\frac34+\frac35
=
\frac{27}{20}
>
1.
$$

---

# 21. Theorem R11-A

綜合所有 cases：

$$
\boxed{
N(v)
\in
M_{4\times5}(\mathbb Q[v]),
\quad
\operatorname{Supp}N\subseteq\{0,1,2,4\},
\quad
\operatorname{rank}N\le2
}
$$

必存在 rational zero block：

$$
m'\times n'
$$

使：

$$
\boxed{
\frac{m'}4+\frac{n'}5>1.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\text{no rank-2 }4\times5\text{ GCDA exists}.
}
$$

---

# 22. Rank-$1$ case for $4\times5$

若：

$$
\operatorname{rank}N=1,
$$

取 minimal basis：

$$
U=u(v)
$$

單一 column，degree：

$$
\delta.
$$

若無 constant left kernel，$u$ 的 coefficient vectors 要 span：

$$
\mathbb Q^4,
$$

故：

$$
\delta+1\ge4,
$$

即：

$$
\delta\ge3.
$$

Predictable degree 給 scalar multipliers degree：

$$
\le4-\delta
\le1.
$$

所以五個 columns 的 scalar multipliers全部落在最多：

$$
2
$$

維 polynomial space。

必存在大 constant right kernel。

所以 rank-$1$ case 更加 rationally visible。

---

# 23. Transpose theorem：$5\times4$

對：

$$
N^T
$$

使用 R11-A。

因此：

$$
\boxed{
\text{no rank-2 }5\times4\text{ GCDA exists}.
}
$$

zero-block visibility ratio 在 transpose 下保持：

$$
\frac{m'}m+\frac{n'}n.
$$

---

# 24. $5\times5$：easy kernel cases

現在：

$$
m=n=5.
$$

如果存在 constant left kernel：

$$
1\times5
$$

zero block visibility：

$$
\frac15+1
=
\frac65
>
1.
$$

constant right kernel 同理。

所以再次只需研究：

$$
\boxed{
\text{no constant left/right kernel}.
}
$$

---

# 25. $5\times5$ coefficient-degree constraint

no left kernel 要求兩個 minimal-basis columns 的全部 coefficients span：

$$
\mathbb Q^5.
$$

所以：

$$
\delta_1+\delta_2+2
\ge5.
$$

即：

$$
\boxed{
\delta_1+\delta_2\ge3.
}
$$

---

# 26. $5\times5$：若 $\delta_1\ge1$

有限 degree-pair analysis 得：

### $(1,2)$

$$
\dim\mathcal F=7.
$$

active vectors之外只有一個：

$$
w_0
$$

inactive。

總 coefficient span需 $5$，所以 active span至少：

$$
4.
$$

故：

$$
\dim\mathcal A\le3.
$$

### $(1,3)$

$$
\dim\mathcal F=6.
$$

最多兩個關鍵低階 coefficients不 active；為張成 $5$ 維，active span至少：

$$
3.
$$

所以：

$$
\dim\mathcal A\le3.
$$

### $(1,4)$

$$
\dim\mathcal F=5.
$$

$T_3$ 至少 nonzero，所以：

$$
\dim\mathcal A\le4.
$$

### $(2,2)$

$$
\dim\mathcal F=6.
$$

兩個 inactive constant coefficients最多補 $2$ 維；總 span為 $5$，active span至少：

$$
3.
$$

故：

$$
\dim\mathcal A\le3.
$$

### Higher pairs

其：

$$
\dim\mathcal F\le5
$$

且 active rank非零，因此：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A\le4.
}
$$

所以五個 columns 不可能 $\mathbb Q$-independent。

因此有 constant right kernel。

---

# 27. $5\times5$：剩餘 $\delta_1=0$

coefficient span要達到：

$$
5,
$$

所以：

$$
\delta_2\ge3.
$$

只需：

$$
(0,3),
\quad
(0,4).
$$

再次定義：

$$
\mathcal C_0
=
\{(f,0):f\in W\},
$$

所以：

$$
\dim\mathcal C_0=4.
$$

---

# 28. Total admissible dimension in $5\times5$

### $(0,3)$

$$
\dim\mathcal F=7.
$$

active leading vectors：

$$
u,
\quad
w_3
$$

獨立。

所以：

$$
\operatorname{rank}T_3\ge2,
$$

故：

$$
\dim\mathcal A\le5.
$$

### $(0,4)$

$$
\dim\mathcal F=6.
$$

$T_3$ 至少 nonzero。

因此：

$$
\dim\mathcal A\le5.
$$

所以：

$$
\boxed{
\dim\mathcal A\le5.
}
$$

---

# 29. If no right kernel, all admissible space is used

若五個 $V$ columns $\mathbb Q$-independent，則其 span：

$$
F
$$

維度：

$$
5.
$$

而：

$$
F\subseteq\mathcal A,
$$

且：

$$
\dim\mathcal A\le5.
$$

因此：

$$
\boxed{
F=\mathcal A.
}
$$

特別：

$$
\mathcal C_0
\subseteq F.
$$

---

# 30. $4\times4$ zero block

$\mathcal C_0$ 有四個 independent column directions，其 images 全沿 constant vector：

$$
u.
$$

在：

$$
\mathbb Q^5
$$

中：

$$
u^\perp
$$

維度：

$$
4.
$$

因此經 rational basis changes，可得到：

$$
\boxed{
4\times4
}
$$

zero block。

visibility：

$$
\frac45+\frac45
=
\frac85
>
1.
$$

---

# 31. Theorem R11-C

所以：

$$
\boxed{
N(v)
\in
M_{5\times5}(\mathbb Q[v]),
\quad
\operatorname{Supp}N\subseteq\{0,1,2,4\},
\quad
\operatorname{rank}N\le2
}
$$

必具有 Waldschmidt–Masser-large rational zero block。

因此：

$$
\boxed{
\text{no rank-2 }5\times5\text{ GCDA exists}.
}
$$

---

# 32. $5\times5$ rank-$1$ case

若 rank：

$$
1,
$$

且無 constant left kernel，single minimal-basis vector的 coefficients需 span：

$$
\mathbb Q^5.
$$

所以其 degree：

$$
\delta\ge4.
$$

所有 scalar multipliers degree：

$$
\le4-\delta
\le0.
$$

因此五個 columns 全是 constant multiples of one polynomial vector。

存在至少四維 rational right kernel。

所以 rank-$1$ case同樣完全可見。

---

# 33. R11 Main No-Go

對 BADT$_2$ rational-linear-entry matrices：

$$
M(X)
=
\sum_{i=0}^{3}
X_iA_i,
$$

如果：

$$
M(Z_2)
$$

rank：

$$
\le2,
$$

則由 BADT genericity，其 toric restriction：

$$
N(v)
=
A_0+vA_1+v^2A_2+v^4A_3
$$

在：

$$
\mathbb Q(v)
$$

上 rank：

$$
\le2.
$$

因此：

$$
\boxed{
4\times5,\ 
5\times4,\ 
5\times5
}
$$

三種 target size全部必 rationally visible。

也就是：

$$
\boxed{
\text{the entire first rank-2 GCDA search layer is empty}.
}
$$

---

# 34. 這比 brute-force search 強在哪裡

如果只是搜尋小整數 coefficient matrices，沒有找到 candidate，只能說：

> 某個 bounded search 沒找到。

Round 11 的結果是：

> 對這三個尺寸，任何 rational coefficients、任何 support arrangement、任何 rational linear combination 都不可能產生所需的 rank-$2$ invisible GCDA。

因此它是一個真正的：

$$
\boxed{
\text{finite determinantal no-go theorem}.
}
$$

---

# 35. 缺失 $v^3$ 是核心

證明沒有使用：

$$
v^4
$$

本身的特殊代數值。

它真正使用的是 support：

$$
\{0,1,2,4\}
$$

中有：

$$
\boxed{
\text{a single missing degree }3
}
$$

而 Type-P Cubic Wall 正好告訴我們：

$$
3
$$

是第一個不能 descent 的 exponent。

所以：

$$
\boxed{
\text{transcendence Cubic Wall}
}
$$

在 polynomial-matrix factorization 中變成：

$$
\boxed{
\text{missing-cubic coefficient constraint}.
}
$$

這是 ACTM 到目前為止最直接的一次：

$$
\text{transcendence obstruction}
\leftrightarrow
\text{polynomial-module dimension loss}.
$$

---

# 36. Support-to-visibility mechanism

整個 proof chain 可寫成：

$$
\boxed{
v^3\text{ forbidden}
}
$$

↓

$$
\boxed{
T_3(f)=0
}
$$

↓

$$
\boxed{
\dim\mathcal A
\text{ drops}
}
$$

↓

$$
\boxed{
\text{too many columns force rational dependence}
}
$$

或：

$$
\boxed{
\text{constant minimal-basis direction creates a large aligned subspace}
}
$$

↓

$$
\boxed{
\text{large rational zero block}.
}
$$

這就是 Round 11 的 support-to-visibility bridge。

---

# 37. 與 Dasgupta–Kakde support philosophy 的關係

Dasgupta–Kakde 的 Matrix Coefficient program 強調：

$$
\boxed{
\text{support geometry}
}
$$

而不是只有 total degree。

Round 11 的 proof 同樣不是由：

$$
\deg N\le4
$$

單獨推出。

如果：

$$
v^3
$$

也允許出現，$T_3$ constraint 消失，admissible coefficient space 會增大，no-go argument 也隨之失效。

所以真正資訊是：

$$
\boxed{
\operatorname{Supp}(N)
\subseteq
\{0,1,2,4\}.
}
$$

這與 support-sensitive transcendence strategy 在方法論上高度一致。

---

# 38. 與 Round 10 Visibility Conservation 的關係

Round 10 處理 multiplier-separable matrices。

Round 11 更進一步：

> 即使完全不預設 row pair proportionality，只要 matrix 在 BADT toric curve 上 rank $\le2$ 且 entries 只使用 BADT linear coordinates，minimal-basis structure 最終仍強迫 rational visibility。

所以：

$$
\boxed{
\text{Round 10: separable no-go}
}
$$

已被提升為：

$$
\boxed{
\text{Round 11: all rank-2 minimal-size linear-matrix no-go}.
}
$$

---

# 39. 為什麼這仍不證明 BADT$_2$ 不可能

Waldschmidt–Masser theorem只能幫我們：

> 若某個 logarithm matrix rank 足夠低，則它應具有 rational visibility。

Round 11 證明的是：

> 這些最小尺寸 rank-$2$ matrices 本來就具有 rational visibility。

所以沒有矛盾。

BADT$_2$ 仍可能存在，只是不能藉：

$$
4\times5,
\quad
5\times4,
\quad
5\times5
$$

rank-$2$ linear determinantal amplifier 被排除。

---

# 40. Rank-$3$ 的下一個 strict threshold

若：

$$
r=3,
$$

Waldschmidt–Masser strict inequality要求：

$$
3
<
\frac{mn}{m+n}.
$$

等價於：

$$
\boxed{
(m-3)(n-3)>9.
}
$$

最小候選尺寸包括：

$$
\boxed{
5\times8,
\quad
6\times7,
\quad
7\times6,
\quad
8\times5.
}
$$

square 最小為：

$$
\boxed{
7\times7.
}
$$

因此 Round 12 若繼續 rank-amplifier 線，必須至少進入 rank-$3$ 與更大的矩陣空間。

---

# 41. 但 Round 11 提供一個警告

rank-$2$ case顯示：

> matrix size增加並不保證 hidden coupling 出現；support restriction 可能先把所有 low-rank matrices 推回 rational visibility。

所以 Round 12 不應直接 brute-force：

$$
5\times8
$$

的全部 coefficient space。

應先尋找 rank-$3$ minimal-basis 的 support dimension theorem，判斷是否同樣存在：

$$
\boxed{
\text{support dimension}
\Rightarrow
\text{visibility}.
}
$$

如果有，可能整個 rank-$3$ 第一層也能不經暴力搜尋就排除。

---

# 42. Generalized admissible coefficient space

rank-$r$ 情形可取：

$$
U(v)
\in
M_{m\times r}(\mathbb Q[v])
$$

column-reduced minimal basis，column degrees：

$$
\delta_1,\ldots,\delta_r.
$$

Predictable Degree Property 給 multiplier degrees：

$$
\deg f_i
\le
4-\delta_i.
$$

missing cubic 仍定義：

$$
T_3(f)
=
[v^3](Uf).
$$

因此：

$$
\boxed{
\mathcal A_r
=
\ker T_3
}
$$

仍是下一輪的核心 finite-dimensional object。

Round 12 的自然問題是：

> 對 $r=3$，$\dim\mathcal A_3$ 與 minimal-basis coefficient span之間能否產生足夠強的 universal zero-block bound？

---

# 43. Minimal-basis degree budget

rank-$r$ minimal basis總 coefficient vectors 數為：

$$
\sum_{i=1}^{r}
(\delta_i+1).
$$

若無 constant left kernel，必須：

$$
\boxed{
\sum_{i=1}^{r}
(\delta_i+1)\ge m.
}
$$

而 multiplier-domain dimension為：

$$
\boxed{
\dim\mathcal F
=
\sum_{i=1}^{r}
(5-\delta_i)
=
5r-\sum_i\delta_i.
}
$$

這形成一個基本 tension：

- 左側要避免 rational kernel，需要 basis degree budget夠大；
- 右側要容納很多 independent columns，需要 multiplier-domain夠大；
- missing-cubic map又進一步降低 admissible dimension。

Round 11 的 rank-$2$ no-go 就是此 tension 在最小 strict sizes 的完整解。

---

# 44. Computational verification

本輪另附：

$$
\texttt{ACTM\_Round\_11\_symbolic\_verification.py}
$$

其用途：

1. 用 Gröbner elimination 驗證 BADT toric ideal；
2. 驗證：
   $$
   X_1^2X_3-X_2^3
   $$
   為前兩個 binomial generators 的 consequence；
3. 產生 rank-$2$ degree-pair admissible-space dimension tables；
4. 重算 $4\times5$ 與 $5\times5$ 的關鍵 dimension bounds。

程式只用：

$$
\texttt{sympy}
$$

與 Python standard library。

它是 proof sanity-check，不取代本文的數學證明。

---

# 45. Round 11 判定

**PASS — The first GCDA search layer is completely eliminated by a polynomial-minimal-basis visibility theorem**

本輪完成：

1. 驗證 BADT$_2$ toric ideal：
   $$
   I_{\mathrm{BADT}}
   =
   (X_1^2-X_0X_2,\ X_2^2-X_0X_3).
   $$

2. 利用：
   $$
   \operatorname{trdeg}\mathbb Q(\lambda,s)=2
   $$
   建立 BADT point 的 toric genericity。

3. 證明 rational-linear matrix 的 pointwise rank drop 等價於 toric-uniform rank drop。

4. 將 matrix restriction 寫成：
   $$
   N(v)=A_0+vA_1+v^2A_2+v^4A_3.
   $$

5. 引入 column-reduced polynomial minimal basis。

6. 使用 Predictable Degree Property 控制 multiplier degrees。

7. 定義 missing-cubic map：
   $$
   T_3.
   $$

8. 定義 admissible coefficient space：
   $$
   \mathcal A=\ker T_3.
   $$

9. 完整分析 $4\times5$ rank-$2$ degree pairs。

10. 證明若 minimal-basis lowest degree：
    $$
    \delta_1\ge1,
    $$
    則：
    $$
    \dim\mathcal A\le4,
    $$
    因而必有 constant rational right kernel。

11. 分析：
    $$
    \delta_1=0
    $$
    例外類。

12. 證明此例外類必產生至少：
    $$
    3\times3
    $$
    rational zero block。

13. 完成：
    $$
    4\times5
    $$
    rank-$2$ no-go。

14. 處理 rank-$1$ case。

15. 由 transpose 得：
    $$
    5\times4
    $$
    no-go。

16. 完整分析：
    $$
    5\times5
    $$
    rank-$2$ case。

17. 證明 $5\times5$ 例外類必產生：
    $$
    4\times4
    $$
    rational zero block。

18. 完成三個 Round-10 最小 target：
    $$
    4\times5,
    \quad
    5\times4,
    \quad
    5\times5
    $$
    的 universal no-go。

19. 將 Cubic Wall 轉化為 missing-coefficient module constraint。

20. 建立第一個真正的：
    $$
    \text{support}
    \Rightarrow
    \text{rational visibility}
    $$
    theorem。

21. 附加可重跑 symbolic verification script。

---

# 46. Round 12 正式入口

下一輪不直接大規模 brute-force rank-$3$ matrices。

優先建立一般：

$$
r=3
$$

minimal-basis support theory。

## R12-Q1

對：

$$
U(v)
\in
M_{m\times3}(\mathbb Q[v]),
$$

定義：

$$
\mathcal A_3
=
\left\{
f:
Uf
\in
W^m
\right\}.
$$

能否得到 universal upper bound：

$$
\dim\mathcal A_3
$$

只依：

$$
m,
\quad
\delta_1,\delta_2,\delta_3
$$

決定？

---

## R12-Q2

對第一批 strict rank-$3$ sizes：

$$
5\times8,
\quad
6\times7,
\quad
7\times7,
$$

能否像 Round 11 一樣，證明：

$$
\boxed{
\text{low rank}
\Rightarrow
\text{large rational zero block}
}
$$

而不需要搜尋 coefficient matrices？

---

## R12-Q3

如果 rank-$3$ universal no-go 仍成立，則 BADT toric support 對 linear matrices可能具有一般：

$$
\boxed{
\text{rank-defect visibility rigidity}.
}
$$

這會是一個比單獨 Four Exponentials 更偏 algebraic-combinatorial 的新 theorem family。

---

## R12-Q4

若 rank-$3$ no-go 失敗，找到第一個 dimension pair / degree pattern যেখানে：

$$
\mathcal A_3
$$

足夠大、constant rational kernels 又可同時避免。

那一個位置才是下一個真正 GCDA computational-search 起點。

---

# 47. 一句話結論

> **BADT$_2$ 的第一批最小 strict matrix sizes 並沒有 hidden GCDA：只要 matrix entries 是 $\{1,v,v^2,v^4\}$-supported rational polynomials 且 rank $\le2$，column-reduced minimal-basis 的 predictable-degree property與缺失的 cubic coefficient就會迫使 rational kernel 或大 rational zero block出現。**

因此：

$$
\boxed{
4\times5,\ 
5\times4,\ 
5\times5
}
$$

全部被排除。

Round 10 想找的：

$$
\boxed{
\text{rank-2 genuine coupled amplifier}
}
$$

在這個 minimal search layer 中不存在。

下一個問題因此變成：

$$
\boxed{
\text{rank-3 support rigidity}.
}
$$

---

# 參考資料

1. Samit Dasgupta, **Ranks of matrices of logarithms of algebraic numbers I: the theorems of Baker and Waldschmidt–Masser**, *Essential Number Theory* 2 (2023), 93–138.  
   arXiv: https://arxiv.org/abs/2303.02037  
   Waldschmidt–Masser theorem gives, under:
   $$
   \operatorname{rank}(M)
   <
   \frac{mn}{m+n},
   $$
   rational row/column changes producing a zero block with:
   $$
   \frac{m'}m+\frac{n'}n>1.
   $$

2. W. H. L. Neven and C. Praagman, **Column reduction of polynomial matrices**, *Linear Algebra and its Applications* 188–189 (1993), 569–589.  
   DOI: 10.1016/0024-3795(93)90480-C  
   Standard source on column-reduced polynomial matrices.

3. G. D. Forney's classical minimal-basis / predictable-degree framework for polynomial matrices and convolutional systems. In the one-variable case, column reducedness is equivalent to the Predictable Degree Property for full-column-rank polynomial matrices.

4. Recent summaries of polynomial minimal-basis theory characterize column-reduced minimal bases and restate the predictable-degree property in modern matrix-polynomial language.

5. Samit Dasgupta and Mahesh Kakde, **Ranks of Matrices of Logarithms of Algebraic Numbers II: The Matrix Coefficient Conjecture**, *Advances in Mathematics* 487 (2026), 110753.  
   DOI: 10.1016/j.aim.2025.110753  
   The support-sensitive auxiliary-polynomial philosophy motivates the support-to-visibility perspective used here.

6. Damien Roy and Michel Waldschmidt, **Quadratic Relations between Logarithms of Algebraic Numbers**, *Proceedings of the Japan Academy, Series A* 71 (1995), 151–153.

---

**ACTM Round 11 完**