# ACTM Round 6
## Symmetric-Power 權重匹配、三次可除性與 Support Shadow
### Symmetric-Power Weight Matching, Cubic Divisibility, and the Support Shadow of Type P

**研究計畫：** Algebraic Combinatorial Transcendence Methodology（ACTM）  
**作者：** Neo.K；Aletheia（GPT-5.6 Sol）  
**機構：** EveMissLab / 一言諾科技有限公司  
**日期：** 2026-09-30  
**版本：** Round 6 / v0.1  
**文件性質：** 正式研究筆記／Type-P projective-support reduction  
**狀態聲明：** 本輪仍為 Four Exponentials Conjecture 假想 Type-P counterexample 的條件分析，不宣稱證明 Four Exponentials、Matrix Coefficient Conjecture 或 Schanuel 猜想。本輪的新內容主要是對 Round 5 的 projective representation、cubic quotient、support 與 higher-degree tower 進行精確重寫。

---

## 摘要

ACTM Round 5 將 hypothetical Type-P state 壓縮為：

$$
\lambda,
\quad
t\lambda,
\quad
t^2\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

但：

$$
t^3\lambda
\notin
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

其中：

$$
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
=
\left\{
z\in\mathbb C:
e^z\in\overline{\mathbb Q}^{\times}
\right\},
$$

且：

$$
\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}
\mathbb Q(\lambda,t)=2.
$$

本輪不再把：

$$
1,t,t^2,t^3
$$

只視為單變量冪次，而將其置於 binary forms 與 symmetric powers 中。

令：

$$
H_d
=
\operatorname{Sym}^d(\mathbb Q^2),
$$

並以 homogeneous binary form：

$$
F(U,V)
$$

表示 $H_d$ 的元素。

對：

$$
v_t=(1,t),
$$

定義：

$$
\operatorname{ev}_t(F)
=
F(1,t).
$$

由 $t$ 超越，$\operatorname{ev}_t$ 在每個有限 $H_d$ 上皆為單射。

Type P 等價於：

$$
\boxed{
\lambda\operatorname{ev}_t(H_2)
\subseteq
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
}
$$

而 Cubic Wall 更精確地給出：

$$
\boxed{
\lambda\operatorname{ev}_t(H_3)
\cap
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
=
\lambda\operatorname{ev}_t(UH_2).
}
$$

在 affine chart $U=1$ 中，右側就是：

$$
\lambda
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,t,t^2\}.
$$

也就是整個 cubic symmetric-power layer 中，只有三維 quadratic subspace 可以下降；剩餘的一維 quotient：

$$
H_3/UH_2
$$

完全逃逸。

本輪進一步證明這個敘述具有完整 projective 版本。對任意 nonzero rational linear form：

$$
L(U,V)
\in
H_1,
$$

定義：

$$
\Psi_L(F)
=
\lambda
\frac{F(1,t)}{L(1,t)},
\qquad
F\in H_3.
$$

則：

$$
\boxed{
\Psi_L(F)
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
\iff
L\mid F.
}
$$

因此在任何 rational projective chart 中，cubic descent 的判準不再是「degree 不超過 $2$」，而是：

$$
\boxed{
\text{the cubic binary form contains the chart linear factor}.
}
$$

這是一個真正的 support / divisibility criterion。

本輪還得到 polynomial descent space：

$$
\mathscr D_{\lambda,t}
=
\left\{
P\in\mathbb Q[X]:
\lambda P(t)
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
\right\},
$$

滿足精確 shift-overlap：

$$
\boxed{
\mathscr D_{\lambda,t}
\cap
X^{-1}\mathscr D_{\lambda,t}
=
\mathbb Q[X]_{\le1}.
}
$$

更一般地，對任何 nonconstant：

$$
L(X)=u+vX
\in\mathbb Q[X],
$$

有：

$$
\boxed{
P\in\mathscr D_{\lambda,t},
\quad
LP\in\mathscr D_{\lambda,t}
\iff
P\in\mathbb Q[X]_{\le1}.
}
$$

最後，本輪建立 higher-degree projective descent tower：

$$
\mathscr A_{d,L}
=
\left\{
F\in H_d:
\lambda
\frac{F(1,t)}
{L(1,t)^{d-2}}
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
\right\}.
$$

已知：

$$
\boxed{
\mathscr A_{2,L}=H_2,
}
$$

$$
\boxed{
\mathscr A_{3,L}=LH_2,
}
$$

而對所有：

$$
d\ge2
$$

至少有：

$$
\boxed{
L^{d-2}H_2
\subseteq
\mathscr A_{d,L}.
}
$$

對：

$$
d\ge4
$$

是否還存在額外元素目前未知。

這將問題自然轉為：

$$
\boxed{
\text{support / ideal tower rigidity}.
}
$$

---

# 1. Round 6 的起點

固定 hypothetical Type-P state：

$$
0\neq
\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

以及 transcendental：

$$
t\in\mathbb C
$$

滿足：

$$
\lambda,
\quad
t\lambda,
\quad
t^2\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

但：

$$
t^3\lambda
\notin
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
$$

並且：

$$
\boxed{
\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}
\mathbb Q(\lambda,t)=2.
}
$$

---

# 2. Binary forms

令：

$$
V
=
\mathbb Q^2.
$$

對：

$$
d\ge0,
$$

定義：

$$
H_d
=
\operatorname{Sym}^d(V^\vee).
$$

可將 $H_d$ 視為所有 degree-$d$ homogeneous binary forms：

$$
F(U,V)
=
\sum_{k=0}^{d}
c_k
U^{d-k}V^k,
$$

其中：

$$
c_k\in\mathbb Q.
$$

其維度：

$$
\boxed{
\dim_{\mathbb Q}H_d=d+1.
}
$$

---

# 3. Evaluation at the Type-P point

定義：

$$
v_t
=
(1,t).
$$

以及：

$$
\operatorname{ev}_t:
H_d
\longrightarrow
\mathbb C,
$$

$$
F
\longmapsto
F(1,t).
$$

因 $t$ 為超越數，如果：

$$
F(1,t)=0,
$$

則對應的 rational polynomial：

$$
\sum_{k=0}^{d}
c_k t^k
$$

為零。

由 $t$ 超越：

$$
c_0=\cdots=c_d=0.
$$

所以：

$$
\boxed{
\operatorname{ev}_t
\text{ is injective on every }H_d.
}
$$

---

# 4. Symmetric-power descent spaces

定義：

$$
\mathscr S_d(\lambda,t)
=
\lambda
\operatorname{ev}_t(H_d).
$$

因此：

$$
\mathscr S_d(\lambda,t)
=
\lambda
\operatorname{span}_{\mathbb Q}
\{1,t,\ldots,t^d\}.
$$

且：

$$
\dim_{\mathbb Q}
\mathscr S_d
=
d+1.
$$

---

# 5. Type P as a full second symmetric power

Type P 給出：

$$
\lambda,
\quad
t\lambda,
\quad
t^2\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
$$

因 $\mathcal L_{\mathrm{alg}}$ 為 $\mathbb Q$-向量空間：

$$
\boxed{
\mathscr S_2(\lambda,t)
\subseteq
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
}
$$

因此 Type P 不是三個孤立點。

它包含完整：

$$
\boxed{
\lambda\operatorname{Sym}^2(\mathbb Q^2)
}
$$

evaluation image。

---

# 6. The third symmetric power is not fully admissible

因：

$$
t^3\lambda
\notin
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

所以：

$$
\mathscr S_3(\lambda,t)
\not\subseteq
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
$$

但還能更強。

---

# 7. 命題 R6.1：Exact cubic intersection

有：

$$
\boxed{
\mathscr S_3(\lambda,t)
\cap
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
=
\mathscr S_2(\lambda,t).
}
$$

---

# 8. R6.1 證明

任意：

$$
z
\in
\mathscr S_3
$$

可唯一寫為：

$$
z
=
\lambda
(q_0+q_1t+q_2t^2+q_3t^3),
$$

其中：

$$
q_i\in\mathbb Q.
$$

若：

$$
q_3=0,
$$

則：

$$
z\in\mathscr S_2
\subseteq
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
$$

若：

$$
q_3\neq0
$$

且反設：

$$
z\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

則扣除：

$$
\lambda(q_0+q_1t+q_2t^2)
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
$$

後得到：

$$
q_3t^3\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
$$

因：

$$
q_3\in\mathbb Q^\times,
$$

推出：

$$
t^3\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

矛盾。

故：

$$
q_3=0.
$$

證畢。

---

# 9. One-dimensional cubic escape quotient

由：

$$
\dim H_3=4,
$$

以及：

$$
\dim H_2=3,
$$

R6.1 表示：

$$
\boxed{
\mathscr S_3/
\mathscr S_2
}
$$

是一個一維完全逃逸 quotient。

亦即 cubic layer 只有一個新增方向：

$$
t^3\lambda,
$$

而該方向完全不能下降回 algebraic-log locus。

這提供：

$$
\boxed{
\text{one-dimensional escape at }
\operatorname{Sym}^3.
}
$$

---

# 10. Symmetric-Power Descent Index

定義：

$$
\operatorname{SPDI}_{\lambda}(t)
=
\max
\left\{
d:
\mathscr S_d(\lambda,t)
\subseteq
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
\right\}.
$$

Type P 中：

$$
\boxed{
\operatorname{SPDI}_{\lambda}(t)=2.
}
$$

因：

$$
\mathscr S_2
\subseteq
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

而：

$$
\mathscr S_3
\not\subseteq
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
$$

---

# 11. Projective change of coordinate

取：

$$
A
=
\begin{pmatrix}
p&q\\
r&s
\end{pmatrix}
\in
\operatorname{GL}_2(\mathbb Q).
$$

定義兩個 linear forms：

$$
L(U,V)=pU+qV,
$$

$$
M(U,V)=rU+sV.
$$

在：

$$
v_t=(1,t)
$$

上：

$$
L_t
=
p+qt,
$$

$$
M_t
=
r+st.
$$

因 $t$ 超越且 $L$ 非零：

$$
L_t\neq0.
$$

定義新 projective coordinate：

$$
t_A
=
\frac{M_t}{L_t}.
$$

以及 Type-P scaling：

$$
\boxed{
\lambda_A
=
\lambda L_t^2.
}
$$

---

# 12. Symmetric-power transformation law

對：

$$
F\in H_d,
$$

有：

$$
F(1,t_A)
=
F
\left(
1,
\frac{M_t}{L_t}
\right).
$$

由 homogeneous degree $d$：

$$
F(1,t_A)
=
L_t^{-d}
F(L_t,M_t).
$$

所以：

$$
\boxed{
\lambda_A
F(1,t_A)
=
\lambda
L_t^{2-d}
F(L_t,M_t).
}
$$

這是本輪的核心 transformation law。

---

# 13. Weight matching

上式中的 residual factor 為：

$$
L_t^{2-d}.
$$

因此：

### $d=0$

$$
L_t^2
$$

殘留。

### $d=1$

$$
L_t
$$

殘留。

### $d=2$

$$
L_t^0=1.
$$

### $d=3$

$$
L_t^{-1}
$$

殘留。

所以唯一沒有任何 residual projective weight 的 degree 是：

$$
\boxed{
d=2.
}
$$

---

# 14. R6.2：Unique projective weight-matched layer

Type P 的 projective scaling：

$$
\lambda_A
=
\lambda L_t^2
$$

與：

$$
\operatorname{Sym}^d
$$

的 normalization factor：

$$
L_t^{-d}
$$

精確抵消，當且僅當：

$$
\boxed{
d=2.
}
$$

因此：

$$
\boxed{
\operatorname{Sym}^2
}
$$

不是因為「數字 $2$ 剛好出現」而特殊。

它是唯一 projectively weight-matched symmetric-power layer。

---

# 15. Why the quadratic window is projectively natural

對：

$$
F\in H_2,
$$

有：

$$
\lambda_A F(1,t_A)
=
\lambda F(L_t,M_t).
$$

當 $F$ 遍歷 $H_2$ 時：

$$
F(L,M)
$$

亦遍歷 $H_2$，因為：

$$
A\in\operatorname{GL}_2(\mathbb Q)
$$

在：

$$
H_2
$$

上誘導 invertible rational linear action。

故：

$$
\boxed{
\lambda_A\operatorname{ev}_{t_A}(H_2)
=
\lambda\operatorname{ev}_t(H_2).
}
$$

所以 Type P 的三維 descent plane 本身是 projectively stable。

---

# 16. Why the cubic layer acquires a denominator

對：

$$
F\in H_3,
$$

有：

$$
\lambda_A F(1,t_A)
=
\lambda
\frac{F(L_t,M_t)}{L_t}.
$$

因此 cubic layer 不再只是一個 polynomial space。

它自然成為：

$$
\boxed{
\lambda
\frac{H_3}{L}
}
$$

型 rational section space。

這正是 Round 5 projective cubic wall 中 denominator：

$$
p+qt
$$

出現的結構原因。

---

# 17. Projective cubic section map

固定 nonzero：

$$
L\in H_1.
$$

定義：

$$
\Psi_L:
H_3
\longrightarrow
\mathbb C,
$$

$$
\boxed{
\Psi_L(F)
=
\lambda
\frac{F(1,t)}{L(1,t)}.
}
$$

因：

$$
L(1,t)\neq0,
$$

此映射良定義。

由 $t$ 超越：

$$
\Psi_L
$$

也是 $\mathbb Q$-linear injective。

---

# 18. 命題 R6.3：Projective Cubic Divisibility Criterion

對任意：

$$
F\in H_3,
$$

有：

$$
\boxed{
\Psi_L(F)
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
\iff
L\mid F.
}
$$

這是 Round 6 的主要精確 support 結果。

---

# 19. R6.3 的容易方向

若：

$$
F=LQ,
$$

其中：

$$
Q\in H_2,
$$

則：

$$
\Psi_L(F)
=
\lambda Q(1,t).
$$

因：

$$
\lambda
\operatorname{ev}_t(H_2)
\subseteq
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

故：

$$
\Psi_L(F)
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
$$

---

# 20. R6.3 的逆方向

選：

$$
M\in H_1
$$

使：

$$
(L,M)
$$

構成 $H_1$ 的 rational basis。

任何：

$$
F\in H_3
$$

可唯一寫為：

$$
F
=
c_0L^3
+
c_1L^2M
+
c_2LM^2
+
c_3M^3,
$$

其中：

$$
c_i\in\mathbb Q.
$$

有：

$$
L\mid F
\iff
c_3=0.
$$

另一方面：

$$
\Psi_L(F)
=
\lambda L_t^2
\left(
c_0
+
c_1t_A
+
c_2t_A^2
+
c_3t_A^3
\right),
$$

其中：

$$
t_A
=
\frac{M_t}{L_t},
$$

以及：

$$
\lambda_A
=
\lambda L_t^2.
$$

若：

$$
c_3\neq0,
$$

括號中是 exact cubic polynomial in $t_A$。

由 Round 5 的 projective Cubic Wall：

$$
\Psi_L(F)
\notin
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
$$

所以若：

$$
\Psi_L(F)
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

必有：

$$
c_3=0.
$$

即：

$$
L\mid F.
$$

證畢。

---

# 21. Cubic descent as a principal ideal piece

R6.3 可重寫為：

$$
\boxed{
\left\{
F\in H_3:
\Psi_L(F)
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
\right\}
=
LH_2.
}
$$

因此 cubic descent space 不是任意三維 subspace。

它精確等於 principal ideal：

$$
(L)
$$

的 degree-$3$ homogeneous piece。

---

# 22. One-dimensional projective quotient

因：

$$
\dim H_3=4,
$$

而：

$$
\dim LH_2=3,
$$

故：

$$
\boxed{
H_3/LH_2
}
$$

為一維。

R6.3 表示：

> algebraic descent 完全等價於 cubic class 在此 quotient 中為零。

因此 cubic escape 被壓成：

$$
\boxed{
[F]\neq0
\text{ in }
H_3/LH_2
\Rightarrow
\Psi_L(F)
\notin
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
}
$$

---

# 23. Support version in an adapted basis

在 adapted basis：

$$
(L,M),
$$

degree-$3$ monomial basis 是：

$$
L^3,
\quad
L^2M,
\quad
LM^2,
\quad
M^3.
$$

R6.3 說：

$$
\boxed{
\Psi_L(F)
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
}
$$

當且僅當：

$$
\boxed{
M^3
\notin
\operatorname{Supp}_{L,M}(F).
}
$$

也就是 cubic support 必須避開 opposite pure-cube vertex。

---

# 24. Cubic Support Shadow

因此 Type P 在每一個 rational projective chart 中，都產生相同模式：

$$
\boxed{
\{L^3,L^2M,LM^2\}
\text{ admissible}
}
$$

而：

$$
\boxed{
M^3
\text{ forbidden}.
}
$$

本輪稱此為：

**Cubic Support Shadow**。

它不是 Dasgupta–Kakde auxiliary-polynomial support 的同一概念，但兩者都把問題從「total degree」轉成「哪些 monomial exponents 可以出現」。

---

# 25. Polynomial descent space

回到 affine chart，定義：

$$
\boxed{
\mathscr D_{\lambda,t}
=
\left\{
P\in\mathbb Q[X]:
\lambda P(t)
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
\right\}.
}
$$

由 $\mathcal L_{\mathrm{alg}}$ 的 $\mathbb Q$-linearity：

$$
\mathscr D_{\lambda,t}
$$

是：

$$
\mathbb Q
$$

-vector subspace of：

$$
\mathbb Q[X].
$$

已知：

$$
\boxed{
\mathbb Q[X]_{\le2}
\subseteq
\mathscr D_{\lambda,t}.
}
$$

而：

$$
\boxed{
\mathscr D_{\lambda,t}
\cap
\{P:\deg P=3\}
=
\varnothing.
}
$$

---

# 26. Shift preimage

定義：

$$
X^{-1}\mathscr D
=
\left\{
P\in\mathbb Q[X]:
XP\in\mathscr D
\right\}.
$$

則：

$$
P
\in
\mathscr D
\cap
X^{-1}\mathscr D
$$

等價於：

$$
\lambda P(t)
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
$$

且：

$$
t\lambda P(t)
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
$$

令：

$$
c=P(t).
$$

則：

$$
c
\in
\mathfrak M_\lambda
\cap
t^{-1}\mathfrak M_\lambda.
$$

Round 5 已證：

$$
\mathfrak M_\lambda
\cap
t^{-1}\mathfrak M_\lambda
=
\mathbb Q+\mathbb Qt.
$$

---

# 27. 命題 R6.4：Exact polynomial shift-overlap

因此：

$$
P(t)
\in
\mathbb Q+\mathbb Qt.
$$

由 $t$ 超越，evaluation：

$$
\mathbb Q[X]
\longrightarrow
\mathbb C
$$

為單射。

所以：

$$
P(X)
=
q_0+q_1X.
$$

反方向任何 degree-$1$ polynomial：

$$
P
$$

及：

$$
XP
$$

degree 皆不超過 $2$，故都在 $\mathscr D$。

因此：

$$
\boxed{
\mathscr D_{\lambda,t}
\cap
X^{-1}\mathscr D_{\lambda,t}
=
\mathbb Q[X]_{\le1}.
}
$$

---

# 28. Nonconstant linear multiplier barrier

令：

$$
R(X)
=
u+vX,
$$

其中：

$$
v\neq0.
$$

若：

$$
P\in\mathscr D
$$

且：

$$
RP\in\mathscr D,
$$

則：

$$
RP-uP
=
vXP
\in
\mathscr D.
$$

因此：

$$
XP\in\mathscr D.
$$

由 R6.4：

$$
P\in\mathbb Q[X]_{\le1}.
$$

反方向若：

$$
\deg P\le1,
$$

則：

$$
\deg(RP)\le2,
$$

所以兩者都在 $\mathscr D$。

因此：

$$
\boxed{
P\in\mathscr D,
\quad
RP\in\mathscr D
\iff
P\in\mathbb Q[X]_{\le1}
}
$$

對任何 nonconstant rational linear $R$ 成立。

---

# 29. Interpretation：linear-factor saturation

這表示：

> Type P 的 descent space 可以完整容納所有 quadratic polynomials，但任何 genuine quadratic descent element 一旦再乘上一個 nonconstant rational linear factor，就必須逃逸。

也就是：

$$
\boxed{
\operatorname{Sym}^1
\cdot
\operatorname{Sym}^1
\longrightarrow
\operatorname{Sym}^2
}
$$

仍完整 admissible，

但：

$$
\boxed{
\operatorname{Sym}^1
\cdot
\operatorname{Sym}^2
\longrightarrow
\operatorname{Sym}^3
}
$$

不能完整 admissible。

---

# 30. Affine multiplier saturation

取：

$$
b=u+vt,
\qquad
v\neq0,
$$

所以：

$$
b\in
\mathfrak M_\lambda
\setminus
\mathbb Q.
$$

對任意：

$$
c=r+st
\in
\mathbb Q+\mathbb Qt,
$$

有：

$$
c\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

而：

$$
bc
$$

是 quadratic polynomial in $t$，所以：

$$
bc\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
$$

因此：

$$
\mathbb Q+\mathbb Qt
\subseteq
W_\lambda(b).
$$

Six Exponentials 給：

$$
\dim_{\mathbb Q}W_\lambda(b)\le2.
$$

所以：

$$
\boxed{
W_\lambda(u+vt)
=
\mathbb Q+\mathbb Qt
}
$$

對所有：

$$
v\neq0
$$

成立。

這將 Round 5 的：

$$
b=t
$$

提升為整個 affine rational line。

---

# 31. Monomial descent set

定義：

$$
E_{\lambda,t}
=
\left\{
n\in\mathbb N:
t^n\lambda
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
\right\}.
$$

Type P 已知：

$$
0,1,2
\in
E_{\lambda,t},
$$

但：

$$
3
\notin
E_{\lambda,t}.
$$

---

# 32. Adjacent-Power Exclusion

若對某：

$$
n\ge2
$$

同時有：

$$
n,
\quad
n+1
\in
E_{\lambda,t},
$$

則：

$$
t^n
\in
\mathfrak M_\lambda
\cap
t^{-1}\mathfrak M_\lambda.
$$

由 exact shift-saturation：

$$
t^n
\in
\mathbb Q+\mathbb Qt.
$$

但 $t$ 超越且：

$$
n\ge2,
$$

不可能。

因此：

$$
\boxed{
n\ge2
\Rightarrow
\neg
\left(
n,n+1
\in
E_{\lambda,t}
\right).
}
$$

---

# 33. Meaning of Adjacent-Power Exclusion

我們目前不能排除：

$$
t^4\lambda,
\quad
t^6\lambda,
\quad
\ldots
$$

某些 isolated higher powers 再次落入：

$$
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
$$

但可以嚴格排除任何：

$$
n\ge2
$$

之後的 consecutive pair。

所以 higher-degree descent 若存在，必須是：

$$
\boxed{
\text{sparse in the multiplicative }t\text{-shift direction}.
}
$$

這是第一個 genuine higher-support constraint。

---

# 34. Natural projective normalization for all degrees

Round 6 的 transformation law 暗示對任意：

$$
d\ge2
$$

與 nonzero：

$$
L\in H_1,
$$

應研究：

$$
\boxed{
\mathscr A_{d,L}
=
\left\{
F\in H_d:
\lambda
\frac{F(1,t)}
{L(1,t)^{d-2}}
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
\right\}.
}
$$

這個 normalization 使用 weight：

$$
d-2.
$$

其原因是 Type P 的 base object：

$$
\lambda
$$

具有 projective weight $2$。

---

# 35. Guaranteed ideal tower

若：

$$
F
=
L^{d-2}Q,
$$

其中：

$$
Q\in H_2,
$$

則：

$$
\lambda
\frac{F(1,t)}
{L(1,t)^{d-2}}
=
\lambda Q(1,t)
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}.
$$

因此：

$$
\boxed{
L^{d-2}H_2
\subseteq
\mathscr A_{d,L}
}
$$

對所有：

$$
d\ge2
$$

成立。

---

# 36. Exact low-degree tower

對：

$$
d=2,
$$

有：

$$
L^0H_2=H_2,
$$

而 Type P 給：

$$
\boxed{
\mathscr A_{2,L}=H_2.
}
$$

對：

$$
d=3,
$$

R6.3 給：

$$
\boxed{
\mathscr A_{3,L}=LH_2.
}
$$

所以 degree $2$ 與 degree $3$ 已完全分類。

---

# 37. The higher-degree unknown

對：

$$
d\ge4,
$$

目前只知道：

$$
\boxed{
L^{d-2}H_2
\subseteq
\mathscr A_{d,L}.
}
$$

但不知道是否：

$$
\boxed{
\mathscr A_{d,L}
=
L^{d-2}H_2.
}
$$

若存在：

$$
F
\notin
L^{d-2}H_2
$$

仍位於：

$$
\mathscr A_{d,L},
$$

就代表 Type P descent 在高 symmetric powers 中出現新的 isolated support。

---

# 38. Support-Tower Equality Problem

本輪提出後續研究問題，而非已知定理：

> 對 hypothetical Type-P state，是否對所有
>
> $$
> d\ge2
> $$
>
> 都有：
>
> $$
> \boxed{
> \mathscr A_{d,L}
> =
> L^{d-2}H_2?
> }
> $$

若成立，則 Type P 的所有 projectively normalized descent 都完全由 quadratic window 生成。

本輪稱此為：

**Support-Tower Equality Problem（STEP）**。

---

# 39. STEP 在 affine chart 的含義

取：

$$
L=U.
$$

則：

$$
L(1,t)=1.
$$

此時：

$$
\mathscr A_{d,U}
$$

等價於：

$$
\left\{
P\in\mathbb Q[X]_{\le d}:
\lambda P(t)
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
\right\}.
$$

而：

$$
U^{d-2}H_2
$$

dehomogenize 後正是：

$$
\mathbb Q[X]_{\le2}.
$$

所以 STEP 等價於：

$$
\boxed{
\mathscr D_{\lambda,t}
=
\mathbb Q[X]_{\le2}.
}
$$

即：

> 不存在任何 degree $\ge4$ 的額外 rational polynomial descent。

目前這仍未證。

---

# 40. 為何 STEP 比 Cubic Wall 強很多

Cubic Wall 只排除：

$$
\deg P=3.
$$

Exact shift-overlap 只排除：

$$
P,
\quad
XP
$$

同時 descent，除非：

$$
\deg P\le1.
$$

但一個 isolated：

$$
P
$$

例如 degree $4$ 或 $6$，目前並未被上述結果直接排除。

因此 STEP 所需的是新的全域 support argument，而不是單純重複 Six Exponentials。

---

# 41. Dasgupta–Kakde 的 support turn

Dasgupta–Kakde 在 Matrix Coefficient Conjecture 的 2026 論文中，將傳統 auxiliary-polynomial 的 degree control 改為：

- monomial support；
- Newton polytope；
- Bernstein–Kushnirenko mixed volume；
- BK-degree。

對 polynomial：

$$
P(t_1,\ldots,t_n),
$$

他們定義 support：

$$
S(P)
$$

為所有 nonzero monomial coefficients 的 exponent vectors，並考慮：

$$
\Delta(P)
=
\operatorname{conv}(S(P)).
$$

核心目的不是要求 polynomial 的 total degree 非常低，而是要求其 support geometry 足夠小。

---

# 42. Matrix Coefficient strategy 的已知與未知

Dasgupta–Kakde 的框架中：

- singularity condition 記為 $(w)$；
- rationally visible zero condition 記為 $(o)$；
- support / BK auxiliary-polynomial condition 記為 $(m)$。

他們證明：

$$
\boxed{
(m)\Rightarrow(o).
}
$$

但要完成該策略仍缺：

$$
\boxed{
(w)\stackrel{?}{\Rightarrow}(m).
}
$$

這仍是公開缺口。

因此我們不能把「support 方法」當成已經完成的 Four Exponentials 證明。

---

# 43. Fewnomial weakening in dimension two

他們還提出較弱條件：

$$
(m')
$$

要求對 sufficiently large $N$ 存在 auxiliary polynomial：

$$
P
$$

使：

$$
|S(P)|<N^n
$$

並在指定有限集合上消失。

對：

$$
n=2
$$

的 real setting，以及特定 p-adic setting，他們證明：

$$
\boxed{
(m')\Rightarrow(o).
}
$$

所以對 real $2\times2$ Four Exponentials 問題，若能由 singularity 建造這種 sufficiently sparse auxiliary polynomial，就足以得到 rational visibility。

但：

$$
(w)\Rightarrow(m')
$$

仍未知。

---

# 44. ACTM support 與 Dasgupta–Kakde support 的差異

必須嚴格區分。

ACTM Round 6 的 support 是：

$$
\operatorname{Supp}_{L,M}(F)
$$

其中：

$$
F
$$

是 binary cubic / symmetric-power element。

Dasgupta–Kakde 的 support 是：

$$
S(P)\subset\mathbb Z^n
$$

其中：

$$
P
$$

是用於 torus zero-set / auxiliary-polynomial argument 的 multivariate polynomial。

所以：

$$
\boxed{
\text{ACTM Cubic Support Shadow}
\neq
\text{DK auxiliary support}.
}
$$

目前只能說它們在方法論上對齊：

> 都顯示「哪些 monomials 可以同時存在」可能比 total degree 更接近真正障礙。

---

# 45. 一個可能的 bridge

Round 6 提供的局部 support law 是：

$$
\boxed{
\mathscr A_{3,L}
=
LH_2.
}
$$

也就是 cubic descent support 必須落在 principal ideal face。

Dasgupta–Kakde 需要的是大型：

$$
N\to\infty
$$

auxiliary-polynomial family 的 support control。

因此真正 bridge 問題是：

> 能否從每個 projective chart 中的 finite-dimensional principal-ideal support restriction，迭代或組合出大尺度 sparse auxiliary polynomials？

目前沒有證明。

本輪只把這個 bridge 精確標出。

---

# 46. Veronese geometry

第二 Veronese map：

$$
\nu_2:
\mathbb P^1
\longrightarrow
\mathbb P^2
$$

定義：

$$
[U:V]
\longmapsto
[U^2:UV:V^2].
$$

Type P 的三個 algebraic logarithms：

$$
\lambda,
\quad
t\lambda,
\quad
t^2\lambda
$$

正是：

$$
\boxed{
\lambda
\nu_2([1:t]).
}
$$

因此 hypothetical Type P 是：

> algebraic-log locus 中的一個 scaled Veronese point。

---

# 47. The conic relation

Veronese image 滿足：

$$
X_1X_3-X_2^2=0.
$$

所以：

$$
(\lambda,t\lambda,t^2\lambda)
$$

滿足：

$$
\boxed{
\lambda(t^2\lambda)
-
(t\lambda)^2
=
0.
}
$$

這正是 Round 4 / 5 的 quadratic relation。

因此 symmetric-power viewpoint 與 quadratic-conic viewpoint 完全一致。

---

# 48. Third Veronese layer

第三 Veronese map：

$$
\nu_3:
\mathbb P^1
\longrightarrow
\mathbb P^3
$$

為：

$$
[U:V]
\longmapsto
[U^3:U^2V:UV^2:V^3].
$$

對：

$$
[1:t],
$$

得到：

$$
[1:t:t^2:t^3].
$$

Type P 表示前三個 scaled coordinates 可位於：

$$
\mathcal L_{\mathrm{alg}},
$$

但第四個：

$$
t^3\lambda
$$

必逃逸。

因此：

$$
\boxed{
\nu_2
\text{ can be hypothetically fully descended,}
}
$$

但：

$$
\boxed{
\nu_3
\text{ cannot be fully descended.}
}
$$

---

# 49. Why this is not merely a dimension count

$$
\dim H_2=3,
$$

$$
\dim H_3=4.
$$

但真正關鍵不是「四維比三維多一維」。

而是：

1. projective scaling 的 weight 是 $2$；
2. $\operatorname{Sym}^2$ 剛好取消 normalization；
3. $\operatorname{Sym}^3$ 留下一個 denominator；
4. cubic descent quotient 又剛好是一維；
5. Six Exponentials 精確排除這個 quotient。

所以：

$$
\boxed{
2\rightarrow3
}
$$

是 representation weight、projective geometry 與 transcendence theorem 同時交會的臨界點。

---

# 50. Round 6 的核心結構圖

$$
\boxed{
\operatorname{Sym}^2(\mathbb Q^2)
}
$$

↓

projective weight exactly canceled

$$
\boxed{
\lambda\operatorname{ev}_t(H_2)
\subset
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
}
$$

↓

multiply by a linear direction

$$
\boxed{
\operatorname{Sym}^3(\mathbb Q^2)
}
$$

↓

one-dimensional quotient appears

$$
\boxed{
H_3/LH_2
}
$$

↓

Six Exponentials / Cubic Wall

$$
\boxed{
\text{quotient direction escapes}.
}
$$

---

# 51. Round 6 判定

**PASS — Type P re-expressed as a projectively weight-matched Symmetric-Power state with an exact cubic support quotient**

本輪完成：

1. 定義：
   $$
   H_d=\operatorname{Sym}^d(\mathbb Q^2).
   $$

2. 證明：
   $$
   \operatorname{ev}_t
   $$
   在所有 finite $H_d$ 上單射。

3. 將 Type P 重寫為：
   $$
   \lambda\operatorname{ev}_t(H_2)
   \subseteq
   \mathcal L_{\mathrm{alg}}.
   $$

4. 證明 exact cubic intersection：
   $$
   \mathscr S_3
   \cap
   \mathcal L_{\mathrm{alg}}
   =
   \mathscr S_2.
   $$

5. 定義：
   $$
   \operatorname{SPDI}_{\lambda}(t)=2.
   $$

6. 得到 general projective transformation law：
   $$
   \lambda_A F(1,t_A)
   =
   \lambda L_t^{2-d}F(L_t,M_t).
   $$

7. 證明：
   $$
   d=2
   $$
   是唯一 projective weight-matched layer。

8. 定義 cubic section map：
   $$
   \Psi_L(F)
   =
   \lambda
   \frac{F(1,t)}{L(1,t)}.
   $$

9. 證明 Projective Cubic Divisibility Criterion：
   $$
   \Psi_L(F)\in\mathcal L_{\mathrm{alg}}
   \iff
   L\mid F.
   $$

10. 得到 exact degree-$3$ ideal piece：
    $$
    \mathscr A_{3,L}=LH_2.
    $$

11. 將 cubic escape 壓成一維 quotient：
    $$
    H_3/LH_2.
    $$

12. 得到 Cubic Support Shadow：
    在 adapted basis 中，pure opposite cube vertex 必須缺席。

13. 定義 polynomial descent space：
    $$
    \mathscr D_{\lambda,t}.
    $$

14. 證明 exact shift-overlap：
    $$
    \mathscr D
    \cap
    X^{-1}\mathscr D
    =
    \mathbb Q[X]_{\le1}.
    $$

15. 推廣到任意 nonconstant rational linear multiplier。

16. 證明 affine multiplier saturation：
    $$
    W_\lambda(u+vt)
    =
    \mathbb Q+\mathbb Qt.
    $$

17. 定義 monomial descent set：
    $$
    E_{\lambda,t}.
    $$

18. 證明 Adjacent-Power Exclusion：
    $$
    n\ge2
    \Rightarrow
    \neg(n,n+1\in E_{\lambda,t}).
    $$

19. 定義 higher-degree projective tower：
    $$
    \mathscr A_{d,L}.
    $$

20. 證明 guaranteed ideal tower：
    $$
    L^{d-2}H_2
    \subseteq
    \mathscr A_{d,L}.
    $$

21. 確認：
    $$
    \mathscr A_{2,L}=H_2,
    \qquad
    \mathscr A_{3,L}=LH_2.
    $$

22. 將：
    $$
    d\ge4
    $$
    的 equality 問題列為下一前沿。

23. 與 Dasgupta–Kakde 2026 support / Newton-polytope / BK-degree strategy 建立明確但不誇大的方法論接口。

---

# 52. Round 7 正式入口

下一輪最自然的問題已不再是：

> 為什麼 $t^3\lambda$ 超越？

這已知。

而是：

> higher symmetric powers 中是否還可能出現 isolated algebraic descent？

也就是正式研究：

$$
\boxed{
\mathscr A_{4,L}
\stackrel{?}{=}
L^2H_2.
}
$$

這是第一個真正未知的 support-tower level。

在 affine chart：

$$
L=U,
$$

它等價於：

> 是否可能存在 genuine quartic：
>
> $$
> P\in\mathbb Q[X],
> \qquad
> \deg P=4,
> $$
>
> 使：
>
> $$
> \lambda P(t)
> \in
> \mathcal L_{\mathrm{alg}}?
> $$

Round 7 應優先：

1. 假設 quartic descent 存在；
2. 對所有 rational projective charts 展開；
3. 使用 exact linear-factor overlap 排除可因式分解型；
4. 分類 quartic support；
5. 對照 Newton polygon / fewnomial support；
6. 尋找是否能由 quartic isolated descent 製造新的 Six-Exponential configuration；
7. 若不能，明確定位 Six Exponentials 不足之處；
8. 建立第一個真正 higher-support obstruction。

---

# 53. 一句話結論

> **Type P 的二次窗口不是單純「degree $2$ 剛好還可以」；它是唯一與 projective scaling 權重精確匹配的 symmetric-power layer，而三次逃逸可在每個 rational chart 中精確重寫為「cubic 必須含有 chart linear factor」的 support／ideal 判準。**

最重要的 projective 式為：

$$
\boxed{
\lambda_A F(1,t_A)
=
\lambda
L_t^{2-d}
F(L_t,M_t).
}
$$

所以：

$$
\boxed{
d=2
}
$$

是唯一 weight-zero layer。

而 cubic level 精確滿足：

$$
\boxed{
\Psi_L(F)
\in
\mathcal L_{\mathrm{alg}}
\iff
F\in LH_2.
}
$$

下一個真正未知層因此不再是 cubic，而是：

$$
\boxed{
d=4.
}
$$

---

# 參考資料

1. Samit Dasgupta and Mahesh Kakde, **Ranks of Matrices of Logarithms of Algebraic Numbers II: The Matrix Coefficient Conjecture**, *Advances in Mathematics* 487 (2026), 110753.  
   DOI: 10.1016/j.aim.2025.110753  
   arXiv: https://arxiv.org/abs/2408.08178

2. Dasgupta–Kakde, Section 5–7: support, Newton polytope, Bernstein–Kushnirenko number, BK-degree, fewnomials, and the open implication from matrix singularity to suitable auxiliary-polynomial support.

3. Samit Dasgupta, **Ranks of Matrices of Logarithms of Algebraic Numbers I: The theorems of Baker and Waldschmidt–Masser**, 2023.  
   arXiv: https://arxiv.org/abs/2303.02037

4. Damien Roy and Michel Waldschmidt, **Quadratic Relations between Logarithms of Algebraic Numbers**, *Proceedings of the Japan Academy, Series A* 71 (1995), 151–153.

5. Michel Waldschmidt, texts and expository notes on quadratic relations, Four/Five/Six Exponentials, and logarithms of algebraic numbers.  
   https://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/texts.html

6. Alan Baker, classical linear-independence theorem for logarithms of algebraic numbers.

---

**ACTM Round 6 完**